Eventi e insiemi

sapendo che a–< e–



sono state assegnate probabilit`a ³¸– <  e ³¸–



. Ragioniamo con la logica della scommessa coerente per vincere un importo unitario (vedi paragrafo 2.10)

Le due scommesse separate su–™< e–



equivalgono ad una sola scommes-sa con puntata³¸–<(z"'³¸–



 sull’evento –<p6–



. Infatti: - se non si verifica n´e–< n´e–



, e quindi non si verifica–™<qpӖ



, si perde

³¸–¥<( "³¸–



;

- se si verifica uno qualsiasi dei due si vince 1;

- non si possono verificare simultaneamente entrambi (con eventuale vit-toria doppia) in quanto essi sono incompatibili.

Ne segue che ³¸–¥<7p6–  ³¸–¥<(4"³¸–   se–Ù< e–  incompatibili)C (4.1) Questa `e la terza propriet`a fondamentale della probabilit`a, dopo quella che limita³¸–¾ fra 0 e 1 e quella che afferma che la probabilit`a dell’evento certo `e uguale a 1.

4.2 Eventi e insiemi

Prima di procedere con le altre propriet`a della probabilit`a `e conveniente intro-durre il formalismo con cui sono indicate le operazioni logiche di eventi. Tali operazioni verranno a mano a mano esemplificate sul caso degli esiti del lancio del dado.

Evento: come detto, rappresenta qualsiasi affermazione. Nel caso dei dadi

possiamo avere ad esempio: “2”, “pari”, “’ 3”, “1, 2, 5”, etc. Questi eventi vengono indicati generalmente con lettere maiuscole: – , æ , ë , etc. A volte si usa r , a indicare “ipotesi”, in quanto gli eventi sono associati ad ipotesi (“nell’ipotesi che esce il sei vinco”).

A volte si indicano con lettere minuscole gli eventi elementari, volen-do con essi indicare descrizioni di avvenimenti che non possono essere classificati ulteriormente in base a caratteristiche che hanno alcuni e non altri. Quindi nel caso del dado si avrebbe: l

< #؋0 ”,l



#Ø_E ”.

(Si noti che nei casi reali non ha senso parlare di eventi elementari, in quanto, dato un certo avvenimento, le caratterizzazioni possono essere virtualmente infinite. Ad esempio l’evento “la squadra vince” pu`o es-sere caratterizzata da “se gioca in casa”, “con almeno due goal di scarto”, “nonostante il portiere espulso”, etc.)

Un modo generale di indicare gli eventi del lancio del dado `e di elencare i casi elementari che li costituiscono, come ad esempio

- æ = “pari” = « 2, 4, 6­ ; - ë = “’?H ” =« 1, 2, 3­ ;

4.2 Eventi e insiemi 63

Eventi Insiemi simbolo

evento insieme 

evento certo ambiente s

(spazio campionario)

evento impossibile insieme vuoto t

implicazione inclusione `Ÿvu ¤¡

(sottoinsieme) uguaglianza uguaglianza se w xy  Ÿ uü ¡ e /¡zuüVŸ|{  Ÿ  » ¡

evento opposto insieme 

(o complementare) complementare ~} ?  s s   t ,t   s

prodotto logico intersezione  Ÿ€  ¡

somma logica unione  Ÿ }¾ ¡

eventi incompatibili insiemi disgiunti  Ÿ€



¡

 

t

classe completa partizione finita 

 Ê  7‚/  t7ƒ<„;…  ‡† ˆ Ê  Ê   s

Tabella 4.1:Corrispondenza fra eventi ed insiemi. - â = “6” =l2¯

=« 6­ .

Evento certo: `e indicato con‰ . Nel caso del dado - ‰ =« 1, 2, 3, 4, 5, 6­ .

L’evento certo dipende dal problema. Ad esempio nel lancio di una mo-neta l’evento certo pu`o essere « “testa”, “croce”­ , o « “testa”, “croce”, “dritta”­ . Anche se queste precisazioni sembrano cavillose e sono sot-tintese nella maggior parte dei problemi didattici, esse sono invece im-portanti nella vita reale (si pensi alle classiche postille dei contratti assi-curativi, intere pagine scritte a caratteri microscopici che vengono fatte firmare esplicitamente, oltre a quanto sottoscritto nell’atto principale -“non si preoccupi, firmi tranquillo: niente d’importante”. . . ).

Evento impossibile: sono tutte le affermazioni incompatibili con gli esiti del

dado: “esce sia 3 che 4 allo stesso colpo”; “esce]41OI ”, etc.

Implicazione, indicata con– <*Š –

 (“– < implica–  ”). Indica che se– < `e vero anche– 

- se–Ù< =« 2­ e–



= “pari”, ne segue che–< Š –



; - se –Ù< = « 1, 3, 5­ e –



= “dispari”, ne segue che –™<

Š –  e –  Š –¥< . Quando–< implica–  e anche– 

implica–Ù< vuol dire che i due eventi sono uguali: –™<`f–



.

Evento opposto ad – , indicato con – (si incontra anche il simbolo –O‹ ). Se

– `e vero segue che – `e falso e viceversa, come “pari” e “dispari”. `E chiamato anche evento complementare.

Prodotto logico, indicato con– <Œ –



(si incontra anche – <Ž –



). Esso `e vero se sono veri sia –< che –



. Esso `e anche indicato con il simbo-lo “AND”, con l’“e” commerciale “&” o, anche semplicemente, con il classico simbolo di prodotto “è”. Esempi:

- se– < =« 1, 3, 5­ e–  = « 1­ segue che – <7Œ –  =« 1­ ; - se–Ù< = “’dI ” e–  = “?H ” segue che–< Œ –  =« 3, 4­ ; - se–¥< =« 1­ e– 

= “pari” segue che il prodotto logico `e un evento impossibile: –

<7Œ

–



= ;

- se consideriamo due dadi e chiamiamo –¾< = “’ E ” al primo da-do e –



= “pari” al secondo dado, il prodotto logico –ß< Œ –



`e dato dalle coppie«Lð0N]XE‰w]2ð0N]gILw]2ð0N]w°‰w]3ÁED]XE‰(]2úE]gIw]3ÁE]w°‰w­ , ove le coppie ordinate di valori si riferiscono ai risultati dei due dadi. Dalla definizione segue che il prodotto logico di–ß< e–

 implica sia–Ù< che–  : ¸–Ù< Œ –   Š –0 ; ¸–Ù< Œ –   Š –™E .

Eventi incompatibili: quando non possono essere veri entrambi, ovvero se il

loro prodotto logico `e un evento impossibile (–ß<

Œ

–



= ). Un esempio `e riportato nel punto precedente. Un evento e il suo opposto sono sempre incompatibili: – Œ – = .

Somma logica: –<p‚–



(si incontra anche–<‘‚–



). `E un evento vero se `e vero almeno uno dei due eventi. `E anche indicata con il simbolo “OR”. Esempi

- se–Ù< =« 1­ e–



= “pari”, ne segue che–<7p6–



= « 1, 2, 4, 6­ . - se consideriamo un evento e il suo opposto, la loro unione logica

d`a la certezza: –`p – =‰ .

Dalla definizione segue che ciascuno degli eventi –ß< e –



implica la loro somma logica: –< Š ¸–Ù<7p6–

  ;–  Š ¸–Ù<7p6–   .

Classe completa: `e composta da eventi tali che essi siano a due a due

mutua-mente esclusivi e tali che la loro somma logica costituisca l’evento certo (quest’ultima propriet`a `e anche espressa dicendo che sono esaustivi).

’ – R“Œ – ´ ” •9À ã —– ˜ S R½< –µR ”‰ (4.2) La notazione ˜ S R½<

– R indica la somma logica degli eventi della classe (`e il corrispondente del simbolo di sommatoria dell’aritmetica).

4.2 Eventi e insiemi 65 involuzione &   & commutativit`a & } '   ' } & &  '   '  & associativit`a õg& } 'i÷ } È   & } õg' } ÈY÷ õg&  ' ÷  È   &  õ™'  ÈY÷ distributivit`a &  õg' } ÈY÷   õg&  'i÷ } õg&  ÈY÷ & } õg'  ÈY÷   õg& } ' ÷  õ™& } ÈY÷ distributivit`a &  õg' Ÿ€} ' ¡"} ùXùXùý÷   õg&  ' Ÿ ÷ } õg&  ' ¡ ÷ } ùwùXù numerabile & } õg' Ÿ  ' ¡  ùXùXùý÷   õg& } ' Ÿ ÷  õg& } ' ¡ ÷  ùwùXù idempotenze & } &   & &  &   & assorbimento & } õ™&  ' ÷   & &  õg& } 'i÷   & assorbimento das e dat & } s   s &  t   t identit`a & } t   & &  s   &

legge di contraddizione &



&

 

t

legge del terzo escluso &

}

&

 

s

leggi di De Morgan &

 '   & } ' & } '   &  '

Tabella 4.2: Propriet`a fondamentali delle operazioni fra insiemi (ed eventi). Esse possono essere dimostrate facilmente utilizzando i diagrammi di Venn.

- –Ù< = “pari” e–



= “dispari” rispettano questa condizione; lo stesso vale per–Ù< = “’?E ”,–



= “3”,– ˜ = “š?H ”; - –Ù< = “>@I ” e –



= “ 3” non formano una classe completa, e nemmeno – < = “>#I ” e –



= “š I ” (violano rispettivamente la prima e la seconda condizione della (4.2);

- non `e necessario che la classe completa sia composta dagli “eventi elementari”, anche perch´e questi eventi non sono in genere defini-bili nei problemi reali.

`

E spesso molto pratico mettere in relazione gli eventi con gli insiemi. Essi infatti obbediscono a identiche propriet`a formali se si fanno delle opportune analogie fra definizioni sugli eventi e definizioni sugli insiemi, come mostrato in tabella 4.1. Per gli uni e per gli altri valgono ad esempio le propriet`a ri-portate in tabella 4.2. Inoltre un importante vantaggio della corrispondenza fra

Simbolo Evento & ' booleano 0 1 AND &  ' 0 0 0 1 0 1 OR & } ' 0 0 1 1 1 1 NAND &  ' õ   & } 'i÷ 0 1 1 1 1 0 NOR & } ' õ   &  'i÷ 0 1 0 1 0 0 XOR õg&  'i÷ } õ&  ' ÷ 0 0 1 1 1 0

Tabella 4.3:Simboli dell’algebra booleana e dell’algebra degli insiemi con tabelline della verit`a (0 e 1 stanno rispettivamente per falso e vero).

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A B 1˚ dado 2˚ dado A B

Figura 4.1: Spazio campionario ed esempi di eventi nel caso di lancio di due dadi: & =“il primo dado d`a 6”;' = “il secondo dado d`a 6”;&



' = “entrambi i dadi danno 6”.

Nel documento Probabilit`a e incertezza di misura (pagine 74-79)