Regole di base della probabilit `a - assiomi

6, ë Œ æ e ëfÆÞæ sembrerebbero la stessa cosa, cambia l’ambiente entro cui

tale evento `e considerato. Infattiæ Œ ë `e l’intersezione diæ e dië riferita allo spazio campionario ‰ costituito dalle 36 possibilit`a, mentre ëäÆÞæ `e sempre l’intersezione dei due, ma riferita allo spazio campionario ridotto‰¢¡ costituito daæ .

Quindi, anche se–

Œ

r e–Ær sono veri simultaneamente (diciamo che sono “uguali dal punto di vista fisico”), essi differiscono quando siamo in con-dizione di incertezza, in quanto siamo interessati al verificarsi di – solo nel-l’ipotesi cher sia vero. Ci`o si riflette sulla valutazione della probabilit`a. In particolare si intuisce come³¸–Ærž sia maggiore o uguale a ³¸– Œ rž , in quanto l’evento `e contemplato all’interno di una classe di ipotesi pi`u ristretta.

Un caso particolare immediato che mostra la diversa valutazione di proba-bilit`a nei due casi `e

³£r±Ær /Ü0N] (4.4)

valida per qualsiasi eventor , qualunque sia il suo valore di probabilit`a (anche nullo, nel senso chiarito nel paragrafo 2.7).

4.5 Regole di base della probabilit `a - assiomi

Abbiamo incontrato alcune regole a cui la valutazione della probabilit`a de-ve soddisfare, derivate dal concetto di scommessa coerente: la probabilit`a deve essere compresa fra zero e 1; vale 1 per l’evento certo e 0 per quello impossibile; vale la regola di somma per probabilit`a di eventi incompatibili.

Da queste regole, mediante le propriet`a formali degli eventi e degli in-siemi `e possibile derivare altre propriet`a cui la probabilit`a deve soddisfare.

`

E possibile dimostrare facilmente che queste regole di base sono soddisfatte automaticamente anche dalle valutazioni combinatorie e frequentiste.

Esiste un approccio molto formale alla probabilit`a in cui le tre regole di base sono assunte come assiomi e le propriet`a che ne seguono sono ricavate come teoremi. In questo approccio per`o la probabilit`a non `e definita come

concetto, cos`ı come anche l’evento `e soltanto un oggetto matematico. In questa

teoria la probabilit`a `e semplicemente un numero reale che soddisfi i tre assiomi dati dalle regole²:

Regola 1 (positivit `a): 7A’?³¸–¾ ’•0 ;

Regola 2 (certezza): ³¤‰µÜ0 ,³¤‰/!7 ; Regola 3 (unione): ³¸–<7p6–  ³¸–¥<(4"³¸–   , se–Ù< Œ –  ”`C

In particolare, la Regola 3 pu`o essere estesa ad un numero³ di eventi:

³¦¥ S § R½< – R£¨¬ S  R½< ³¸–µRÁ se–µR Œ –`´ ”©•9À ã ª– C (4.5)

2❄Al fine di smitizzare il pur storicamente importante approccio assiomatico preferiamo parlare semplicemente di “regole”, che ovviamente corrispondono agli assiomi. Gli assiomi 1 e 2 sono spesso presentati nelle forme come«­¬®Z¯v°

v

e«­¬±3¯¤y

s

, le quali ovviamente lasciano invariate tutte le propriet`a che ne discendono.

3❄L’estensione dell’unione a infiniti eventi `e delicata e controversa, ma inessenziale per la nostra trattazione.

Questa relazione `e nota con il nome di teorema delle probabilit`a totali. Da queste regole di base seguono alcune relazioni importanti che devono essere sempre soddisfatte dalle valutazioni della probabilit`a:

Propriet `a 1 :³¸–¾/é0Yº¿³ –Ó.

Propriet `a 2 : ³¸ëA`ä³¸ë Œ æ—½"'³¸ë Œ æ— . Questa propriet`a pu`o essere estesa ad una classe completa di eventi, ottenendo

³¸ëA³²¥ S § R½< úë Œ –µR·¨¬ S  R½< ³¸ë Œ – R· (4.6) come mostrato anche in figura 4.2, riquadro h).

Propriet `a 3 : Se l’eventoæ implica l’eventoë , cio`eæ

Š

ë , allora ³¸æ¥ ’ ³¸ëA. In particolare ne segue che

³¸æ Œ ëAà’ ³¸æ¥ ³¸æ Œ ëAà’ ³¸ëA ³¸æªp6ëA³ ³¸æ¥ ³¸æªp6ëA³ ³¸ëA

Propriet `a 4 : probabilit`a della somma logica nel caso generale:

³¸æ—p ëÓf³¸æ—4"³¸ëAeºž³¸æ Œ ëA9C (4.7) Ne segue che

³¸æªp6ëA`’d³¸æ¥z"³¸ëÓ9C (4.8) Nel caso di tre eventi la propriet`a diventa:

³¸æªpë´p‚â™  ³¸æ¥4"í³¸ëAz"³úâ

º ³¸æ Œ ëAGº¿³¸æ Œ â™Gº¿³¸ë Œ â

"—³¸æ Œ ë Œ â9] (4.9)

estendibile a eventi come

³ ¥ S § R½< –µR¨  S  R½< ³¸– R·Gº  R¶µL´ ³¸– R Œ –V´3 "  R¶µL´µ 2 ³¸–µR Œ –V´ Œ –m2Neº'è‹è‹è ºðº02 S ³¸–Ù< Œ –  Œ è‹è‹è Œ – Sñ9C (4.10) Questa formula `e chiamata principio di inclusione-esclusione a causa dell’alternanza dei segni.

4.5 Regole di base della probabilit`a - assiomi 71

Queste propriet`a sono abbastanza intuitive e si possono dimostrare facilmente utilizzando i diagrammi di Venn. La 4, in particolare, `e molto importante e, nella soluzione dei problemi, dovrebbe essere presa in considerazione prima della Regola 3, che pu`o essere vista come suo sottocaso valido quando³¸æ Œ ëAV®7 . Il motivo per cui si sottrae³¸æ Œ ëA a ¸³¸æ¥G"'³¸ëAg `e dovuto al fatto che, per dirlo alla buona, altrimenti l’elemento³¸æ

Œ

ëA verrebbe contato due volte. Si pu`o vedere in un semplice caso legato al gioco delle carte:

- Si consideri un mazzo di carte da gioco italiane con 4 semi e 10 valori per seme. Si vuole calcolare la probabilit`a di estrarre una Coppe (â ) o un Asso (æ ). Supponendo l’equiprobabilit`a (carte ben mischiate), le probabilit`a di una Coppe o di un Asso sono rispettivamente ³úâ6

<

² , ³¸æ—»

<

<· . `E chiaro che se si sommano semplicemente queste probabilit`a l’Asso di Coppe viene contato due volte ed `e per questo che bisogna sottrarre dalla somma la sua probabilit`a (³¸æ

Œ

â¿

<

²

 ), ottenendo come risultato³¸æªp6ëA

<·˜

²

 .

4.5.1 ❄Dimostrazioni delle propriet`a della probabilit`a

Come esercizio sull’algebra degli eventi dimostriamo le propriet`a descritte nel paragrafo precedente (con la stessa numerazione progressiva).

1. – ed– sono incompatibili e la loro unione vale‰ . Ne segue:

³¸–¸p –ß  ³¤‰ ¤Ü0 ³¸–ß4"³ –ß  0eC

2. Un qualsiasi evento ë pu`o essere scritto in generale come

ëÜë Œ ‰ ë Œ ¸æ—p æ—¤ì¸ë Œ æ¥3p îë Œ æ ï ] (4.11) in quanto esso pu`o essere vero sia quando `e vero ancheæ che quandoæ

`e falso.

Poich´eë `e stato suddiviso in due eventi fra loro incompatibili si ha:

³¸ëA³¸ë Œ æ¥z"³¸ë Œ æÙwC (4.12) 3. Si riparte dalla (4.11) osservando che, seæ implicaë , quando `e veroæ

`e vero ancheæ Œ ë . Si ottiene in questo caso:

ëìæ—pž¸ë Œ æ¥ (4.13)

(provare a visualizzare con un diagramma di Venn: ë `a costituito da tutti i punti diæ pi`u quelli non diæ ma che appartengono aë ). Essendo

æ e ¸ë Œ æ¥ eventi incompatibili si ha

³¸ëA³¸æ—z"'³¸ë Œ æ—zd³¸æ¥9] (4.14) in quanto³¸ë Œ æ— `e non negativa per la prima regola della probabilit`a.

4. L’unione logica di due eventi æ e ë pu`o essere espressa come unione logica di tre eventi fra loro incompatibili:

æ¹p6ëìé¸æ Œ ëÓ3p æ Œ ëA€pž¸æ Œ ëA9] (4.15) ossiaæªp ë `e vero quando `e vero soltanto uno di essi oppure sono veri entrambi. Tenendo conto anche della propriet`a 2 applicata a ciascuno dei due eventi relativamente all’altro, ossia

æ  Áæ Œ ëÓ€p î æ Œ ë ï ë  Áë Œ æ—3pdîúë Œ æiïA] si ottiene

³¸æªp6ëA  ³¸æ Œ ëÓz"³ æ Œ ëA "³¸æ Œ ëA ³¸æ—  ³¸æ Œ ëA "³¸æ Œ ëA

³¸ëÓ  ³¸ë Œ æ¥z"³¸ë Œ æ¥9C

Sottraendo membro a membro le ultime due equazioni dalla prima si arriva alla relazione da provare.

4.6 Relazione fra probabilit `a condizionata e congiunta