Si confonde la probabilit`a della singola sequenza con la probabilit`a

Elementi di calcolo combinatorio

R. Si confonde la probabilit`a della singola sequenza con la probabilit`a

!I%E.á3I%á.°KNE.á.J .

2. P. Una moneta regolare viene lanciata JN7 volte. E pi`u probabile la^` sequenza con 50 teste o la sequenza con testa e croce alternate?

R. Si tratta di r-disposizione di ®E oggetti (“T”, “C”) conJN7 . Il loro numero `e Ei

Â 0NC,0;H¾èñ07

i . Assumendo l’indipendenza dei lanci ogni sequenza ha la stessa probabilit`a (ÂMCFM.Mè%07

C <

3. P. Perch´e molti sono convinti che la sequenza che ha ilJN7/ di teste e il

JN7/ di croci sia pi`u probabile di quella con tutte teste?

R. Si confonde la probabilit`a della singola sequenza con la probabilit`a

di una qualsiasi sequenza che abbia metà teste e metà croci. Il numero totale di queste è dato da î

i >i ï 0NCFE.°è 07 < ²

. Queste sono in effetti l’11.2 % del totale, ma purtroppo per vincere bisogna indovinare quella giusta.

4. P. Calcolare la probabilit`a di estratto semplice, ambo, terna, quader-na e cinquiquader-na su uquader-na ruota del lotto (indipendentemente dall’ordine di estrazione).

R. Il lotto haÃôfáN7 “palline numerate” (evitiamo di chiamarle “nume-ri” per evitare confusione) delle quali ne vengono sorteggiate»ÜJ . Il numero di gruppi di elementi (conì0N]XE]XH]CCC per singolo estratto, ambo, terna, etc.) che si possono formare con leÃ palline `e:

áN7 @

5 10 15 20 23 30 41 46 57 70 ø (%) 2.7 11.7 25.3 41.1 50.7 70.6 90.3 94.8 99.0 99.9 Tabella 3.2: Probabilità che in un gruppo di persone almeno due abbiano il compleanno lo stesso giorno. Il calcolo è basato sull’equiprobabilità delle nascite e trascurando l’effetto degli anni bisestili

Di questi gruppi possibili, quelli favorevoli per vincere sono quelli che `e possibile formare con le 5 palline estratte. Ne segue

³%¤ î i 6 ï î = 6 ï J èèè ÁJ¥ºµ"02 áN7 èèè ÁáN7º µ"02 ] (3.14) da cui segue la formula ricorsiva

³ ³Ùº'02Gè °º áD0µº fE]XH]CCC3]XJ`] con³Ü02¤é0210;M . `

E interessante mostrare anche un altro modo di ragionare per ottenere lo stesso risultato: ci sono ?

áN7 J @

possibili cinquine. Di queste ce ne sono

áN7Ùº J¥º¿m@

che contengono le palline della scommessa (pari al numero di com-binazioni delle rimanenti áN7Óº' palline nelle JÓº posizioni che non interessano ai fini della scommessa). Ne segue

³ î = +C 6 i C 6 ï î = i ï ] (3.15)

che ovviamente d`a gli stessi risultati della (3.14).

5. P. Quanto vale la probabilit`a che in un gruppo di persone ce ne sia-no almesia-no due che hansia-no il compleansia-no lo stesso giorsia-no? (Si assuma una distribuzione uniforme nelle nascite nei 365 giorni dell’anno e si trascurino per semplicit`a i bisestili.)

R. Conviene partire dalla probabilit`a che tutte le persone abbiano com-pleanni diversi, ovvero che giorni estratti fra i 365 giorni dell’anno siano tutti differenti. Essa, data l’ipotesi di equiprobabilit`a, si riduce al calcolo del numero dei casi possibili (pari alle -disposizioni di ogget-ti) e a quello dei casi favorevoli (pari alle -disposizioni semplici di

3.6 Ricapitolando 59 oggetti): ³¸ 6 /Ü0Yº¿³ 6 0 º ½ 6 6 (3.16) 0 º H.°.J H.°3I èèè ÁH.°.J¥ºµ"02 H.°.J 6 0 º H.°.J H.°.J H.°3I H.°.J èèè H.°.Jºµ"!0 H.°.J C In tabella 3.2 `e riportata ³¸ 6

per alcuni valori di . Si tenga conto che in realtà le nascite non sono distribuite uniformemente, ma si veri-ficano più spesso in alcuni periodi dell’anno. Questo effetto tende a far aumentare la probabilità di coincidenze di compleanno (si immagini se, ad esempio, il 90 % delle nascite si verificasse concentrate in un solo mese e il restante 10 % negli altri mesi dell’anno).

3.6 Ricapitolando

Il calcolo combinatorio si basa sulla regola fondamentale del prodotto dei numeri di possibilit`a delle scelte successive.

I concetti principali del calcolo combinatorio sono

– -disposizioni di oggetti (con ripetizioni):

– -disposizioni semplici di oggetti (senza ripetizione), chiamato anche “permutazioni di elementi a ”:

½ 6 SL³ 6 ;9 º%:9 M – permutazioni di oggetti: ;9 M

– numero di combinazioni di oggetti presi a :

? @ @Sñâ 6 âVSDN 6 ;9 hº%:9ý<9 C Z

Si pu`o arrivare agli stessi concetti del calcolo combinatorio da diversi “punti di vista”: quello degli ordinamenti, quello delle occupazioni e quello delle estrazioni. A seconda del punto di vista pu`o cambiare il ruolo fra “oggetti fisici” e “posizioni”.

Questo capitolo costituisce una specie di parentesi e non `e essenziale per la comprensione del resto del testo.

3.7 Problemi

1. Un gruppo di 25 persone partecipa ad un veglio-ne di capodanno. Allo scoccare della mezzanot-te si stappano le bottiglie di champagne e tutti si scambiano gli auguri facendo tintillare i bicchie-ri. Quanti tintinnii si sentiranno in totale? (Sorvo-lando sul fatto essi che saranno coperti dal fragore dei botti. . . )

2. Il menù di una trattoria prevede 5 antipasti, 8 pri-mi, 6 secondi, 3 contorni, e 3 dolci. Una perso-na decide di provare tutti i possibili pranzi che la trattoria può offrire. Quante volte vi si dovrà recare?

3. Quanto vale la probabilit`a che estraendo a caso 4 lettere dell’alfabeto italiano si ottenga una pa-rola formata dalla sequenza consonante-vocale--consonante-vocale (tipo “mano”, “tiro”, etc). Si escludano, per ovvi motivi, le letteren eo . 4. Nel gioco del Superenalotto ogni scommessa

con-siste nel pronosticare 6 numeri. Nel caso che tutti i sei numeri si verifichino si raggiunge la vincita massima. Il prezzo di ciascuna scommessa è di 800 lire. È anche possibile giocare indicare sulla scheda più di 6 numeri. Quanto costa una scheda in cui sono segnati 10 numeri?

5. Formulare i problemi 1, 3, 4, 6 e 7 del capitolo 2 nei termini del calcolo combinatorio.

6. Viene proposto un sistema di targhe costituito da un gruppo di 2 lettere seguito da uno di 4 cifre de-cimali (ad esempio AB3456). Quante macchine sar`a possibile registrare?

7. Sul problema precedente: cosa cambia se le 4 ci-fre e le 2 lettere possono comparire in ogni posi-zione (ovvero anche 3A456B)?

8. Formulare il problema 20 del successivo capitolo 4 nei termini del calcolo combinatorio (l’anoma-lia di riferirsi ad un esercizio del capitolo succes-sivo `e giustificata dal carattere di complementa-rit`a di questo capitolo).

9. Calcolare le probabilit`a di fare estratto singolo (“ambata”), ambo, terna, quaterna e cinquina su una ruota. Sapendo che il premio pagato `e rispet-tivamente 11.232, 250, 4250,! ! e ! ! di volte la puntata (a cui va sottratto il 3 %), si cal-coli il rapporto fra speranza matematica e puntata per le diverse combinazioni di gioco.

10. Verificare che la formula (3.14) e (3.15) sono equi-valenti.

11. Quanto vale la probabilit`a di fare 13 al totocalcio con una sola colonna?

Capitolo 4

Nel documento Probabilit`a e incertezza di misura (pagine 69-73)