L'abate Bossut (1730 - 1814), prestigioso matematico francese che prese parte alla vita di numerose accademie, cimentò le sue grandi conoscenze matematiche nella risoluzione di svariati problemi, tra cui anche quello della statica dell'arco(10).
Egli sviluppò i due particolari problemi già incontrati esaminando i contributi dei suoi predecessori:
La ricerca della geometria (anche in termini di peso dei singoli conci) di una struttura voltata che ne garantisca l'equilibrio;
La determinazione dello spessore dei piedritti necessario a stabilizzarla. Tra i due, il primo problema è il più fecondo di applicazioni sino ad allora inedite.
Analizzando il primo problema, egli si rifà all'ipotesi di giunti ortogonali all'intradosso (abbracciando le teorie diffuse dalla Stereotomia), in assenza di attrito e coesione, introducendo però due nuove condizioni:
1. La presenza non solo di peso proprio, ma anche di eventuali altri sovraccarichi di intensità e direzione qualsiasi;
2. La simmetria dell'arco e degli stessi sovraccarichi rispetto alla verticale passante per la sezione in chiave.
Come già accennato le incognite sono rappresentate dagli spessori da assegnare ad ogni singolo concio dell'arco.
Analizziamo brevemente la formulazione e la soluzione9.
Sia ABCD.. la linea di intradosso e abcd.. quella di estradosso di un arco, con applicate forze F1, F2, .. agenti con intensità e retta d'azione note10.
Egli decompone le forze F1 e F2 applicate a due conci consecutivi secondo le normali ai
giunti ad essi adiacenti; in tal modo, per l'equilibrio, dovrà valere l'uguaglianza:
( I-13 )
9
Trattazione estratta da "La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico", p.342, E. Benvenuto, Sansoni, Firenze 1981 (164).
10 Bossut considera il peso proprio di ogni concio compreso nella F
CAPITOLO I Analisi di volte in muratura: dalle origini al '900
27
Figura I-20 - Schema per il calcolo del''equilibrio di un concio della generica volta, abate Bossut.
In realtà tale condizione proposta da Bossut non sarebbe sufficiente a garantire l'equilibrio, poiché sarebbe necessario imporre anche quello alla rotazione, per scrivere l'equazione del quale, però, sarebbe necessario conoscere il punto di applicazione delle due forze sul giunto. Tuttavia questa mancanza non genera un errore per i risultati successivi, poiché l'autore assimila l'arco ad una linea curva tangente in ogni suo punto alle forze di compressione.
Egli prosegue esplicitando l'equazione ( I-13 ) in funzione dei parametri geometrici dell'arco e della direzione delle forze esterne. Dal teorema dei seni:
( I-14 )
L'equazione ( I-13 ) diventa così:
( I-15 )
Esprimendo, poi, gli angoli α, β, γ in funzione dell'angolo che descrive la rotazione della linea di intradosso e dell'angolo θ che denota la direzione della forza esterna, si determina l'equazione seguente:
( I-16 )
Bussot osservò a questo punto che da questa equazione "conoscendo la figura
CAPITOLO I Analisi di volte in muratura: dalle origini al '900
28
F1, F2, si potranno conoscere i rapporti tra le medesime forze. Ad esempio, se l'intradosso
ABC è un semplice cerchio e ogni concio è semplicemente soggetto all'azione del proprio peso, se inoltre gli archi mn, n'p, ecc. sono concentrici e simili a quelli di intradosso, si potranno determinare, per semplice geometria elementare, i punti m, n', p', ecc.".
Figura I-21 - Soluzione elementare per arco a tutto sesto soggetto solo a peso proprio secondo l'abate Bossut.
Lo sviluppo più importante, però della sua trattazione è l'ulteriore passo che si accinge a fare a questo punto del problema: egli passa, dalla definizione dello stesso in termini finiti, a quella in termini differenziali.
Figura I-22 - Schema per lo sviluppo del calcolo differenziale del problema secondo l'abate Bossut.
L'arco è, ora, inteso come un complesso di infiniti conci infinitesimi che si dispongono secondo una linea generica, da determinare, appunto, in vista dell'equilibrio locale. Passando al limite, facendo cioè infinitesimi gli archi BC, CD ecc., tutti di lunghezza ds, risulta, per un arco generico BC:
CAPITOLO I Analisi di volte in muratura: dalle origini al '900
29 E per quello attiguo CD:
( I-18 )
E se r è il raggio di curvatura in BC e dr la sua variazione infinitesima nel passaggio da BC a CD, si ha:
( I-19 )
Esprimendo analogamente in termini parametrici gli altri elementi componenti l'equazione ( I-16 ) si ottiene l'equazione più generica per l'equilibrio del singolo concio:
( I-20 ) Bossut stesso affermò che questa equazione sta alla base di tutti i problemi che si possono porre in termini di equilibrio dei conci per l'equilibrio di un arco e proseguì le sue dissertazioni analizzando le due formulazioni del problema che si possono avere:
Trovare "la figura della volta quando si conosca la legge delle forze che pressano
i conci";
Trovare "la legge delle forze che debbano pressare i conci quando si conosca la
figura della volta".
La prima formulazione del problema è la più complicata ma anche più interessante per le applicazioni pratiche, rispetto a quella "inversa".
Dall'equazione ( I-20 ) l'autore trae, infatti, indicazioni utili per alcuni casi particolari di volte. Il primo caso è quello di un arco omogeneo ed uniforme, soggetto al proprio peso. Queste due ipotesi si traducono in una semplificazione dell'equazione appena vista per il caso generale, ed in particolare:
Arco omogeneo ed uniforme f = costante;
Solo soggetto a peso proprio θ = 0.
Come era prevedibile, data l'assenza di errori nella trattazione matematica dell'abate Bossut, l'applicazione di queste particolari ipotesi porta all'equazione della catenaria omogenea rovesciata.
Per verificare questa conclusione è però sufficiente riportare i passaggi relativi al secondo caso analizzato, cioè quello con carico f variabile in funzione dell'oridnata z. Vediamo i semplici passaggi necessari:
CAPITOLO I Analisi di volte in muratura: dalle origini al '900
30 ( I-21 )
per l'integrazione l'abate ricorre alla moltiplicazione dell'equazione per il termine
: ( I-22 ) ed integrando: ( I-23 ) con P = costante.
Se si assume z come variabile indipendente, valgono le tipiche relazioni sul raggio di curvatura e sul rapporto tra ascissa curvilinea dell'asse dell'arco e z,note in letteratura:
( I-24 ) dove l'apice indica la derivazione rispetto a z. La ( I-23 ) diventa, quindi:
( I-25 )
L'abate Bossut è così giunto a un'equazione a variabili separabili di facile integrazione e con le costanti determinabili
Il terzo caso riguarda un arco soggetto a pressione normale rispetto alla sua linea d'asse: ad esempio, un arco soggetto alla pressione di un fluido.
In tal caso l'ipotesi implica che l'angolo tra la retta d'azione delle forze e la verticale per il concio in chiave, coincida con l'angolo tra quest'ultima e le direzioni dei giunti tra i conci: ciò si traduce in un'altra semplificazione dell'equazione ( I-20 ), cioè .
Da cui:
Sostituendo nella equazione di equilibrio del generico concio si ottiene:
( I-26 ) Ma poiché l'equazione si riduce semplicemente a:
( I-27 ) Integrando:
CAPITOLO I Analisi di volte in muratura: dalle origini al '900
31
( I-28 )
Dove P è una costante. Si ritrova, comunque, come del resto era da attendersi, una relazione del tutto analoga a quella che governa l'equilibrio indefinito della fune.
Nell'ultima parte dell'opera viene analizzato il secondo problema che avevamo menzionato inizialmente, cioè quello del dimensionamento dei piedritti di una volta. Egli tuttavia considera come meccanismo di collasso quello a "cuneo" di De La Hire: una trattazione basata su tali ipotesi ormai superate non ha portato, ovviamente, a sviluppi di grande interesse.