Thrust Network Analysis: estensione grafica 3D dell’analisi limite

limite

Dal filone di analisi rigido-plastica, ed in particolare dalla sua applicazione grafica rappresentata dalla curva delle pressioni (che come abbiamo visto rimane sostanzialmente limitata allo studio di archi bidimensionali), deriva quello della “Thrust Network Analysis”, dell’analisi cioè di volte e cupole attraverso l’equilibrio di una rete di forze ad esse associate, generalmente proiettate su di una superficie target contenuta nello spessore della volta (Figura II-6).

Figura II-6 – Superficie target e soluzione best-fit per la volta dell’Abbazia di Sherborne, individuata da Block e Lachauer [Errore. L'origine riferimento non è stata trovata.].

Le origini del metodo possono essere attribuite a Dermot O'Dwyer (56) ha introdotto l'uso di reti funicolari 3D di forze, definite nel piano. Usando il procedimento di ottimizzazione, possono essere ottenute reti di sola compressione che siano in equilibrio con le forze esterne relative sia al peso proprio che ai carichi applicati, e che rientrino nella geometria della struttura. Limitando il problema di carico verticale, e mantenendo la disposizione delle reti fissa nel piano durante la risoluzione, le altezze nodali possono

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62 essere determinate attraverso una routine iterativa di ottimizzazione lineare passo-passo. La ricerca di O'Dwyer ha mostrato l'influenza della topologia delle reti scelte sulle soluzioni di equilibrio ottenibili, e ha introdotto le formulazioni matematiche delle diverse funzioni obiettivo rilevanti per la valutazione della muratura. Anche se la rete fissa in piano ancora rende risultati intrinsecamente conservativi, queste reti 3D forniscono una migliore comprensione del funzionamento delle volte rispetto ad analisi semplificate che combinano analisi bidimensionali della curva delle pressioni.

Una importante limitazione di questo procedimento era, comunque, la mancanza di un metodo generale per trattare l'indeterminatezza statica dell'equilibrio orizzontale di tali reti con proiezione orizzontale fissa. Questo equilibrio orizzontale doveva essere conosciuto, infatti, a priori per essere in grado di linearizzare il problema.

Oltre a ciò la soluzione dipendeva anche dal fornire valori di spinta a tutti i bordi e le applicazioni erano quindi limitate a reti, spesso simmetriche e semplici, per le quali le spinte potevano essere calcolate attraverso un'attenta ispezione della topologia di rete prescelta. E poiché le dipendenze dei valori di spinta non sono state formalizzate nell'approccio di O'Dwyer, queste variabili non possono essere incluse nel problema di ottimizzazione. Un secondo problema è che non ogni scelta di equilibrio orizzontale necessariamente porta ad una soluzione equilibrata nello spazio delle soluzioni, dato dalla sezione della volta.

Basandosi sul lavoro seminale di O'Dwyer, l'analisi della rete di spinta (TNA) ha affrontato la prima limitazione con l'introduzione di schemi di forza reciproci introdotti da

Maxwell nel 1864 (57) (Figura II-7), che descrivono i possibili equilibri orizzontali di reti

funicolari di compressione, come appunto le reti di spinta, sotto carico verticale (Block e

Ochsendorf (58), (59); Block (37)).

Figura II-7 -Relazione tra la rete di pressione nello spazio delle soluzioni (G), la sua proiezione planare (rete primaria

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63 Questi diagrammi consentono di calcolare, visualizzare e controllare esplicitamente l'equilibrio orizzontale, e quindi i gradi di indeterminatezza delle reti di spinta. Utilizzando le informazioni geometriche fornite da questi schemi, la TNA ha fornito un quadro generale per linearizzare le equazioni di equilibrio di O'Dwyer per qualsiasi topologia di rete, fornendo spinte equilibrate per tutti i bordi della rete.

Nel quadro originale della TNA, come presentato nei riferimenti di cui sopra, rimaneva comunque la necessità di trovare un algoritmo generale per identificare automaticamente, controllare o variare i gradi di indeterminatezza dell'equilibrio orizzontale delle reti di spinta con proiezione fissa. La manipolazione manuale dei diagrammi garantivano che tutte le soluzioni fossero in compressione, ma non è stato, sufficiente per trovare soluzioni di equilibrio specifiche, come a quelle di volte sottili in muratura a geometria complessa.

Un altro recente approccio per l'analisi limite 3D basato sulle reti funicolare è stato proposto da Andreu, Gil, e Roca(60),(61). Un approccio relativo alla TNA per la generazione di reti funicolari e per i casi di carico verticale è stata proposta da Fraternali (Fraternali e Rocchetta (62); Fraternali (63)), come una specifica estensione 3D del “metodo delle tensioni concentrate” (Fraternali, Angelillo, e Fortunato (64)). Block (65) ha dimostrato che le loro condizioni di equilibrio e l’intelaiatura globale della rete, ottenuti separando l'equilibrio orizzontale e verticale secondo l’approccio di Fraternali, presenta difficoltà rispetto alle singolarità delle condizioni al contorno e del carico, o rispetto a discontinuità nelle superfici di equilibrio, come crepe o aperture.

Più recentemente, il fondamento matematico di questo quadro, sulla base di TNA e del metodo delle tensioni concentrate, è stato formalizzata ed esteso con algoritmi risolutivi efficienti da Vouga et al. (66) per trovare particolari soluzioni di best-fit per le superfici bersaglio e poiché la loro strategia di risoluzione non è basata su un layout orizzontale a schema fisso, il loro metodo è in grado di catturare tratti affilati tipici di volte in muratura gotiche, come gli spigoli lungo le costole. Rimangono, comunque, problemi di convergenza.

Block e Lachauer (67) presentano una estensione non lineare della TNA. La differenza

fondamentale di tale approccio non lineare è che le soluzioni di equilibrio non sono vincolate da proiezioni orizzontali fisse, grazie a quelli che gli autori definiscono de “nuovi algoritmi risolutivi robusti ed efficienti” sviluppati per consentire di trovare reti di spinta di best-fit per le volte in muratura con geometrie complesse. Queste soluzioni forniscono

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64 buoni limiti inferiori sui fattori di sicurezza geometrici di queste strutture. Le implementazioni presentate nell’articolo possono essere viste come un incipit per una implementazione completamente in 3D dell'analisi di'equilibrio delle volte in muratura.

L'approccio, pur essendo facilmente utilizzabile per nuove strutture voltate con una perfetta geometria, non fessurate e supporti controllati, necessita di ulteriori ricerca e sviluppo per essere in grado valutare una costruzione storica reale, non perfetta, in muratura.

Gli esempi illustrati dimostrano che il risultato del metodo dipende fortemente dal layout (topologia e geometria) del diagramma di forze adottato.

Anche se i risultati possono essere generati velocemente, molti autori esprimono la necessità di una strategia generale per la generazione di opportuni diagrammi di forma, poiché ad oggi questi dipendono dall'intuizione dell'analista strutturale e, come dimostrato da Block e Lachauer, analisi di curvatura non sono sufficienti.

Una soluzione a quest’ultimo problema è da attribuire a Panozzo et al. (68) ma i layout così determinati producono errate approssimazioni della geometria, causando talvolta instabilità nel risolutore lineare, o sono semplicemente infattibili: è, cioè, impossibile trovare una soluzione di equilibrio in sola compressione per il modello fornito.

Una strategia generale per la generazione dei diagrammi dovrebbe, quindi, tener conto della geometria globale della volta, della tipologia del carico, così come delle proprietà locali della tessitura muraria, come la stereotomia della volta o le patologie strutturali osservate, date da crepe, linee di cerniera o fori.

In conclusione la TNA è caratterizzata da una notevole velocità nella determinazione di diverse soluzioni di equilibrio per volte molto sofisticate e ciò rende questo approccio indicato e utile per applicazioni pratiche, in cui i vincoli di tempo e budget spesso non consentono la modellazione e l'analisi non lineare agli elementi finiti o ad elementi discreti.

Nonostante ciò, per ottenere significativi risultati sulla stabilità e sulla capacità di carico delle strutture voltate in muratura, tramite la TNA, è necessario riuscire a:

 includere nel problema altri obiettivi di ottimizzazione, come l’individuazione degli stati di massima e minima spinta, il fattore di sicurezza geometrico e il carico di collasso, ma anche ad esempio un test di inclinazione globale per

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65 ottenere un limite superiore della stabilità di una struttura sotto forze orizzontali, come ad esempio quelle di un evento sismico (Block et al., (69));

 integrare alcuni limiti sulle soluzioni, come la limitazione delle spinte in base alla stabilità laterale dei pilastri, l'imposizione di vincoli rigidi (per esempio per vincolare soluzioni di equilibrio a passare attraverso le linee di cerniera osservate) e l'aggiunta del concetto di zona di spinta (Smith et al. (25)), che a sua volta potrebbe essere realizzato efficacemente mettendo vincoli sulle altezze nodali in combinazione ai valori di spinta, noti dal diagramma della reciproca forza;

 esaminare se, come nelle analisi dell’arco bidimensionale (Ochsendorf (35)), queste reti di spinta siano in grado di fornire informazioni sui possibili meccanismi di collasso per i problemi completamente in 3D.