Un criterio simile al Drucker-Prager e che può anche essere interpretato come una combinazione di quest’ultimo e di quello Mohr-Coulomb, è il criterio Willam-Warnke(109).
Questo criterio è nato per predire la rottura del calcestruzzo e di altri materiali coesivi ad attrito, come rocce e terreno
.
CAPITOLO II Analisi di volte in muratura: stato dell'arte
80 Formalmente esso è espresso in funzione dei tre invarianti della parte deviatorica del tensore degli sforzi di Cauchy:
Tre sono i parametri che devono essere determinati, prima di poter applicare questo legame: la resistenza a compressione monoassiale σc, la resistenza a trazione monoassiale
σt, la resistenza a compressione biassiale σb.
In termini espliciti il criterio Willam-Warnke si esprime come:
Dove λ è essa stessa una funzione che dipende da J2 e J3, e dai tre parametri del
materiale, mentre B dipende soltanto da questi ultimi. Essa può essere interpretata come una pressione di coesione.
In accordo con questo criterio, la prima fessurazione si determina quando la seguente equazione viene rispettata:
Con ρ e ϴ definite come:
Con σm tensione media, ρc lunghezza deviatorica per ϴ=60°, ρc lunghezza deviatorica
per ϴ=0° e τm = tensione media di taglio.
II.2.1.3.3 Confronto e limiti dei due criteri: esempi in letteratura
I due criteri sono utilizzati in alcuni programmi di modellazione commerciali anche per lo studio delle murature, quali Ansys e Abaqus, con le limitazioni già chiarite nei paragrafi precedenti e riassumibili nella non corretta rappresentazione dei meccanismi fessurativi della muratura, ovviamente imprescindibile per la corretta modellazione del materiale.
Molti confronti sono stati fatti in letteratura tra questi due legami, ma per lo più applicati a rotture di pannelli piani per scorrimento tra i giunti o comunque per taglio, che non sono predominanti nelle strutture ad arco o voltate.
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81 In un articolo, invece, pubblicato nel 2009 sulla rivista Materials and Structures, gli autori Pallarés F.J., Agüero A. e Ivorra S. (110) confrontano i due legami per lo studio della risposta sismica di una canna fumaria in muratura ad eventi sismici.
La sollecitazione predominante nell’analisi è quella flessionale, che sollecita la struttura ciclicamente, determinando tensioni di trazione e di compressione alternate ai due lati della canna fumaria.
Il confronto tra i due criteri viene effettuato relativamente alla formazione della prima frattura e al collasso.
Per quanto riguarda la prima fessurazione, essa avviene praticamente allo stesso istante di tempo per entrambi i modelli e nella stessa posizione, cioè nella zona basale della canna fumaria soggetta a trazione in quell’istante.
Figura II-11 – Tensioni longitudinali (asse verticale) della canna fumaria con plasticizzazione alla base
Successivamente però, i risultati divergono, poiché secondo il legame elastoplastico di Drucker-Prager il materiale mantiene una resistenza a trazione residua nella zona fessurata, cosa che invece non avviene con il Willam-Warnke.
Tenendo conto di questo, se la fessura successiva avviene in un'altra zona della struttura e con uno stato di sollecitazione tale che la resistenza a trazione della parte plasticizzata non sia richiesta, i risultati sono di nuovo in accordo.
Come si intuisce, però, allo stato ultimo, quando solitamente le zone plasticizzate/fessurate sono piuttosto estese, questo porta a valori molto discordanti,
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82 poiché, come è facile immaginare, la resistenza residua a trazione determina una sovrastima del carico di collasso.
In generale, questo criterio richiede un tempo inferiore per l’analisi rispetto al criterio di Willam-Warnke e può dare una buona comprensione del comportamento, tenendo conto dei limiti suddetti.
In sintesi, l'impiego di tali criteri plastici, come quello Drucker-Prager impiegato dagli autori, e utilizzato in molti pacchetti software, fornisce opportune approssimazioni dei campi tensione-deformazione della fino alla comparsa delle prime fessure, anche nel caso di materiali fragili come muratura, ma può non prevedere il corretto quadro fessurativo a rottura, e non è, quindi, affidabile per questo scopo.
Secondo il criterio di Willam-Warnke, quindi, la struttura presenta una modalità di guasto data dal ribaltamento a causa della diffusione delle fessure alla base.
Il criterio W-W è, quindi, considerato come criterio di riferimento in questo studio, in quanto tiene conto propriamente del fenomeno di fessurazione, modificando la matrice di rigidezza quando nascono le fessurazioni, e la modalità di collasso calcolata corrisponde bene con i modi di guasto osservati in reali canne fumarie che hanno sperimentato i terremoti.
Tuttavia questo legame, così come quello di Drucker-Prager, è caratterizzato da un criterio di rottura a rette inclinate, sulle orme del legame ad attrito di Mohr-Coulomb formulato per materiali con dilatanza (assente invece nella muratura).
Secondo tale legame, la resistenza del materiale allo slittamento sulla generica giacitura su cui si eserciti una compressione σ risulta essere
con ϕ angolo di attrito interno del materiale.
Dal cerchio di mohr relativo ad un generico stato di tensione tangente la superficie di snervamento si può esprimere il rapporto tra la tensione di rottura monoassiale a compressione σrc e quella a trazione σrt come
Se allora facciamo tendere a zero la resistenza a trazione, valore limite che ci aspettiamo per la muratura, otteniamo
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83 Le due rette del criterio di Coulomb, inclinate di ϕ rispetto all'orizzontale, si porterebbero sulla verticale ed il criterio si porterebbe, così, a quello della massima tensione principale nulla o no-tension (paragrafo seguente).
La resistenza di attrito interno diventa infinitamente grande e deve essere σ ≤ 0 con tensioni esclusivamente di compressione.
Anche Genna, Di Pasqua, Veroli e Ronca (111) confrontano alcuni legami precedentemente descritti per il continuo muratura, quale il Drucker-Prager e il modello con tension cracking e energia di frattura di Lourenço, insieme ad altri proposti dall’autore, come il De Felice modificato, il più noto Galileo-Rankine ed un legame no-tension ricavato da quest’ultimo.
La struttura analizzata è quella del corridoio del Monastero di San Faustino Maggiore a Brescia, lungo circa 87m e poggiante su diaframmi trasversali, collegati longitudinalmente da archi di luci molto diverse (Figura II-13).
Figura II-12 – Discretizzazione tridimensionale della parete del corridoio del monastero di San Faustino
Il modello tridimensionale è stato analizzato soltanto con materiale elastico lineare, dato il grande onere computazionale altrimenti richiesto. Tramite il confronto tra tale analisi è stato tarato il modello 2D equivalente (Figura II-13).
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Figura II-13 – Discretizzazione piana della parete del monastero di San Faustino
Dall’analisi, infine, di quest’ultimo è stata determinata la parte di struttura da analizzare, cioè quella formata dagli ultimi due archi a sinistra in Figura II-14 (quelli con luce maggiore) e la parete ad essi sovrastante.
Figura II-14 – Mesh FEM adottata per la porzione sinistra della parete del corridoio del Moanastero di San Fausitino
Questo modello è stato, quindi, analizzato con i legami costitutivi non lineari precedentemente specificati, giungendo a conclusioni non particolarmente calzanti per quanto riguarda il quadro fessurativo reale della struttura, che non sembra essere correttamente predetto dalla visualizzazione delle deformazioni plastiche (o anelastiche a seconda del legame costitutivo).
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Figura II-15 – Quadro fessurativo rilevato nella parete del corridoio del monastero di San Faustino
Figura II-16 – Direzione delle deformazioni plastiche principali ottenute come output dalle analisi con i legami: a) Galileo-Rankine, b) Drucker-Prager, c) Galileo Rnakine modificato, d) tension cracking
Queste problematiche saranno superate dal legame masonry-like presentato nel seguito ed implementato nel codice agli elementi finiti NOSA-ITACA.