Modellazione del materiale muratura: approcci continui, discreti e legami costitutivi

discreti e legami costitutivi.

Nell’ambito del primo approccio menzionato, nel quale si ricerca lo stato effettivo di sollecitazione della struttura, si sviluppano diversi filoni volti alla corretta modellazione del materiale. La presenza di vari modelli è chiaro indice della complessità del comportamento del materiale muratura e della altrettanta complessità incontrata dagli studiosi nel determinare un legame costitutivo che, da una parte, riesca a modellarla correttamente e che, dall’altra, sia abbastanza semplice da poter essere applicato nella risoluzione dei problemi al contorno, senza generare eccessiva complessità di calcolo.

Quest’ultimo tipo di analisi è stato sviluppato tramite modellazioni agli elementi finiti o agli elementi discreti, nelle quali, però, cambiano sia la modellazione del materiale come continuo o discreto, sia il legame costitutivo adottato per il continuo equivalente o per i blocchi e per la malta.

Le tecniche di modellazione maggiormente utilizzate nella pratica sono:

 Tecniche discrete

a. micro-modellazione di dettaglio; b. micro-modellazione semplificata;

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68 a. macro-modellazione;

b. omogeneizzazione.

La micro-modellazione consiste, in generale, nel considerare separatamente blocchi e giunti alla macro-scala mentre nella macro-modellazione per tecniche continue il materiale eterogeneo è sostituito da un materiale equivalente omogeneo, di solito a comportamento ortotropo, scarsamente resistente a trazione e con distinto comportamento a trazione e compressione. Entrambe le tecniche presentano vantaggi e svantaggi: la prima consente un’analisi dettagliata del comportamento dei singoli materiali costituenti ma richiede un elevato onere computazionale, la seconda consente analisi non lineari su interi edifici ma richiede la taratura dei numerosi parametri del modello attraverso campagne sperimentali mirate. In alternativa, le tecniche di omogeneizzazione consentono di considerare separatamente i singoli materiali costituenti alla sola meso- scala (cella elementare) e di sostituire alla macro-scala il materiale eterogeneo con un continuo omogeneizzato, le cui caratteristiche meccaniche sono dedotte alla meso-scala risolvendo opportuni problemi a spostamenti al bordo assegnati.

All’interno di queste tecniche di modellazione possono poi variare, come abbiamo già spiegato, i legami costitutivi adottati.

II.2.1.1

Tecniche di micromodellazione

La muratura è un materiale composito costituito di unità e giunti di malta, normalmente disposti in maniera periodica. Utilizzando i parametri del materiale ottenuti da esperimenti e la geometria reale di entrambi i componenti, vale a dire le unità (ad esempio, mattoni, blocchi o pietre) e i giunti, è possibile riprodurre numericamente il comportamento delle strutture in muratura.

Tuttavia, la rappresentazione di ogni unità e ogni giunto diventa impraticabile nel caso di strutture murarie reali comprendenti un gran numero di unità.

E’ possibile riconoscere due differenti approcci alla modellazione discreta della muratura: un approccio di dettaglio, dove i blocchi e i giunti di malta sono rappresentati attraverso elementi continui, mentre l’interfaccia malta/blocchi è modellata attraverso elementi discontinui; un approccio semplificato, dove ogni giunto, consistente nella malta e nelle due superfici di interfaccia, è condensato in un unico elemento di interfaccia,

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69 mentre i blocchi sono dimensionalmente espansi al fine di mantenere la geometria globale invariata (Figura II-8).

Figura II-8 – Schema degli approcci discreti di dettaglio e semplificato

Questo approccio permette di tenere in conto le caratteristiche deformative elastiche ed anelastiche sia dei blocchi che dei giunti di malta, consentendo di descrivere l’interazione tra il comportamento meccanico dei materiali costituenti. Questo tipo di modellazione, tuttavia, richiede un grande onere computazionale e può essere applicata in sole analisi di dettaglio. Essa è finalizzata soprattutto a fini di ricerca, soprattutto per analizzare alcuni meccanismi di danneggiamento della muratura nei quali l’interazione malta/blocchi è determinante. Il caso forse più significativo è quella della rottura a compressione per splitting, associata alla diversa deformabilità dei materiali, ovvero all’effetto del modulo di Poisson della malta. Per questo non ci siamo soffermati su questo primo approccio con il quale sono stati analizzati soltanto semplici pannelli murari e l’estendibilità allo studio di volte, ad oggi, è praticamente impossibile.

L’unico ambito in cui essa è utilizzabile è quello di studio della cella di partenza per la definizione di un continuo equivalente, come vedremo nel paragrafo relativo agli elementi finiti con il lavoro di Lourenço.

II.2.1.2

Tecniche di omogeneizzazione

L'alternativa è di descrivere il comportamento composito di murature in termini di sollecitazioni e deformazioni macro o medi, affinché il materiale possa essere assunto omogeneo. Questo problema può essere affrontato, essenzialmente, da due direzioni. Una possibile direzione è di raccogliere numerosi dati sperimentali su una cella base che possono essere usati con sicurezza nella definizione del continuo per le analisi. Si sottolinea che i risultati sono limitati alle condizioni in cui i dati sono ottenuto. Nuovi

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70 materiali e/o l'applicazione di un materiale noto in diverse condizioni di carico potrebbero richiedere un diverso insieme di programmi sperimentali costosi.

Un'altra direzione è quella, appunto, di cercare un approccio più fondamentale che ricorre a tecniche di omogeneizzazione. Questo approccio, che mira a descrivere il comportamento del composito dalla geometria e il comportamento dell'elemento volume rappresentativo (o cella base, vedi Figura II-9), ci concede una capacità predittiva.

Figura II-9 – Schema di cella base e procedura di omogeneizzazione, Lourenço

La formalizzazione della tecnica dell’omogeneizzazione avvenne ad opera di Bakhvalov

e Panasenko(71) e sta diventando sempre più popolare tra la comunità di studiosi della

muratura.

Data la difficile geometria della cella base muratura, non esiste in letteratura, però, una soluzione univocamente riconosciuta del problema di omogeneizzazione, e questo porta, in sostanza, a tre diverse linee di azione.

Un primo metodo piuttosto generale e rigoroso, almeno in via teorica, consiste nell’utilizzo di un continuo generalizzato alla Cosserat. In quest’ambito le prime proposte sono state formulate da Besdo (72) e Mühlhaus (73). Sebbene il continuo alla Cosserat sia stato ripreso recentemente da alcuni autori (Stefanou et al. (74) e (75)), limitandosi generalmente al campo lineare, recentemente sono state avanzate alcune proposte per l’estensione del modello anche al campo non lineare (Addessi(76)). Sono state inoltre condotte alcune simulazioni, mirate al confronto tra continuo alla Cosserat e alla Cauchy (Trovalusci e Masiani(77), Salerno e De Felice(78)).

Questa soluzione elegante ed efficiente possiede una certa intrinseca complessità matematica e non è stata adottata da molti ricercatori, pur essendo in grado di gestire

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71 bene l'interfaccia di malta e il reale comportamento discontinuo. Il passo verso l'applicazione pratica di tale approccio è ancora in fase di sviluppo.

Un secondo approccio (Anthoine(79),(80);. Urbanski et al(81)) è di applicare rigorosamente la teoria di omogeneizzazione per mezzi periodici alla cella base, cioè di eseguire una singola omogeneizzazione al passo, con adeguate condizioni al contorno, geometria esatta e sperimentazioni dirette condotte esclusivamente sulla cella elementare. La definizione delle caratteristiche equivalenti del modello continuo avviene quindi su tali dati. Tale approccio è sicuramente molto accurato, ma non consente di ottenere le proprietà da attribuire all’equivalente continuo in una forma chiusa.

La complessità della cella base muratura implica, infatti, una soluzione numerica del problema, che è stato ottenuto con il metodo degli elementi finiti.

La teoria è stata, però, utilizzata dagli autori citati per determinare dei macro-parametri di muratura e non per effettuare analisi a livello strutturale. Infatti, l'applicazione rigorosa della teoria omogeneizzazione al comportamento non lineare della complessa cella base di muratura implica risolvere il problema per tutte le possibili storie di carico macroscopiche, in quanto il principio di sovrapposizione degli effetti non si applica più. Pertanto, la determinazione completa del legame costitutivo omogeneizzato richiederebbe un numero infinito di calcoli.

Il terzo approccio può essere considerato come un '' approccio ingegneristico '', volto a sostituire la complessa geometria della cella base con una geometria semplificata in modo che sia possibile una soluzione in forma chiusa del problema di omogeneizzazione. Tenendo presente l'obiettivo di eseguire analisi a livello strutturale, Pande et al. (82),

Maier et al. (83) vi hanno introdotto funzioni al danneggiamento, mentre Pietruszczak e Niu (84) vi hanno introdotto un modello fratturante, seguiti da Lee et al. (85). Lourenço

(86) ha sviluppato ulteriormente la procedura, presentando una nuova formulazione matriciale che permette un'implementazione molto più chiara degli algoritmi di omogeneizzazione ed anche la relativamente semplice estensione al comportamento non lineare. Egli si avvale di un modello plastico. Uva e Salerno (87) introducono, invece, un modello con danno ed attrito.

In tutti questi casi l’approccio consta di due fasi: nella prima una fila di mattoni viene omogeneizzata con i giunti di malta verticali tra loro interposti, mentre nella seconda fase

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72 le file di mattoni vengono omogeneizzate le une con le altre. Questa procedura presenta tuttavia il limite di non tenere conto dell’effettiva tessitura muraria. Sono, quindi, stati introdotti ulteriori modelli che tengono conto di una valutazione più dettagliata dell’interazione tra le diverse componenti della cella base. Tali proposte sono dovute a

Lopez et al. (88), van der Plujim (89), e Zucchini e Lourenço(90) e (91).

Altri approcci, formulati daLuciano e Sacco (92)e (93), Gambarotta e Lagomarsino(94),

De Buhan e De Felice (95) ed altri si basano sull’osservazione che il collasso della muratura

avviene con il danneggiamento (a taglio o a fessurazione) dei giunti di malta.

Nel 2004 autori come Carbone e Codegone(96), avvalendosi dei principi variazionali, hanno introdotto altri approcci per la derivazione delle proprietà omogeneizzate, seppur limitando lo studio al campo elastico.

Le tecniche di omogeneizzazione, prima applicate al caso piano, sono inoltre state estese al campo tridimensionale, includendo pertanto le azioni fuori piano. Ad esempio

Cecchi, che aveva inizialmente formulato una proposta per il comportamento con Di Marco (97), con Rizzi (98), ha successivamente esteso tale formulazione con Sab (99) (100)

studiando il comportamento tridimensionale nel dettaglio con Milani e Tralli (101); un’altra proposta è infine dovuta a Chengqing e Hong (102).

Le tecniche di omogeneizzazione sono state inoltre estese al caso di murature non regolari, nelle quali cioè non è possibile individuare una cella base modulare (Cluni e

Gusella (103), Stefanou et al. (104)).

Si riportano nel seguito i legami costitutivi più noti in letteratura, ricavati tramite le tecniche di omogeneizzazione.