ampio del Weber (al quale sfuggiva l’importanza delle proprietà delle medie sotto
l’aspetto degli scostamenti)
13.
Un insieme di località di origine o destinazione dei trasporti, delle quali sono note le coordinate e le quantità da movimentare, è del tutto simile ad una distribuzione statistica di coppie di valori ponderati. Pertanto, se si ipotizzano tariffe uniformi e distanze secondo linee rette, il calcolo del punto baricentrico si effettua, con le regole viste in precedenza, in poco tempo e senza alcuna difficoltà anche per insiemi molto numerosi; invece, ricercare il valore mediano significa il ricorso a procedure iterative che, salvo casi particolari, conducono a soluzioni approssimate anche per insiemi costituiti da soltanto tre località.
Le procedure iterative di tipo analitico sono illustrate in altra parte del testo al quale si rinvia, mentre ora si riassume forse poco interessano, mentre il metodo grafico dell’Isard che, seppure alquanto macchinoso, ha specifica rilevanza in un discorso geografico dal momento che consente l’approfondimento dei concetti di isodapana e di curva sostitutiva, già prospettati in questo capitolo.
Il primo passo consiste nel prendere nuovamente in considerazione due località, il mercato A e la fonte di materia prima B e ipotizzare localizzazioni P esterne rispetto al segmento congiungente A e B lungo 20 km; le localizzazioni P sono individuate dalle distanze x rispetto al mercato e y nei riguardi della fonte della materia prima. Si consideri il punto P1 (definito dalle distanze x = 10.00 e y = 15.00) avente distanze complessive pari a 25.00 km; i punti per i quali risulta
x + y = 25.00
si dispongono, rispetto al segmento AB, su una curva particolare: l’ellisse che ha per fuochi A e B e somma delle distanze dei suoi punti, dai fuochi suddetti, pari a 25.00. Il risultato si può generalizzare asserendo che alla relazione
x + y = k
13
A tal proposito, pur senza entrare nel merito delle dimostrazioni (per le quali si rinvia ai manuali di statistica metodologica), è opportuno ricordare ancora una volta che la mediana, il valore centrale di una distribuzione statistica di dati, ordinati in senso crescente o decrescente, gode della proprietà di avere minima
la somma degli scostamenti dai termini della distribuzione; a sua volta, la media aritmetica ha la proprietà di
avere minima la somma dei quadrati degli scostamenti. Pertanto, entrambe le medie portano ad individuare configurazioni di minimo, ma molto diverse sono le condizioni di riferimento e i comportamenti spaziali: la media aritmetica è molto influenzata dai valori estremi, o periferici (in termini spaziali), la mediana da quelli in posizione centrale. Queste considerazioni restano valide sia se ai valori si associano dei pesi, sia se si considerano distribuzioni di coppie di valori.
si associa una curva dall’andamento ellittico per k > 20 (per k = 20 l’ellisse degenera nel segmento AB); facendo variare k, ad ogni nuovo valore di k si otterrà una diversa curva ellittica.
Quale l’importanza di una famiglia di tali ellissi? La risposta risiede nel fatto che queste curve non sono altro che isodistanti, interpretabili come isodapane se si ipotizzano
tariffe uniformi e uguali quantità da movimentare.
Si ricordi, a questo punto, che sul piano cartesiano definito dalle coordinate x =
distanza dal mercato e y = distanza dalla fonte di materia prima, la relazione analitica x + y = k ; da cui: y = k -x
produce al variare dei valori di k (per k > 20) una famiglia di rette parallele, le rette di sostituzione, che hanno lo stesso contenuto informativo delle ellissi prima considerate: ciascun punto di una particolare retta indica la combinazione di distanze parziali necessaria e sufficiente per originare una prefissata distanza totale, oppure (alle condizioni già precisate) la combinazione di costi parziali di trasporto in relazione ad un determinato costo totale.
Figura 36 Esempio di famiglia di rette di isocosto.
Per la costruzione dell’esempio è stata ipotizzata una distanza di 20 km tra il mercato e la fonte della materia prima e di dover trasportare una unità in peso di input ed altrettanto di output alla tariffa di 5 unità monetarie per unità di peso al km.
In conclusione: nel piano cartografico isodistanti e isodapane si presentano come una famiglia di ellissi, centrate sul segmento AB; sul piano cartesiano, avente per coordinate le distanze parziali o i costi parziali, come una famiglia di rette parallele, inclinate di - 45° che soddisfano la relazione x+y = k, a condizione che k sia uguale o maggiore della distanza AB.
Conseguito questo risultato, è agevole il passaggio alla fase successiva: quantità da trasportare diverse, o tariffe di trasporto diverse ma sempre proporzionali alle distanze.
Nel caso di quantità diverse da trasportare, a (dalla fabbrica al mercato) e b (dalla fonte della materia prima alla fabbrica), il costo totale di trasporto h con tariffe uniformi ed unitarie per unità di peso, risulta
ax +by = h; da cui y = h/b - (a/b)x
che, in termini discorsivi, si può esprimere in questi termini: prefissato un determinato costo complessivo di trasporto, le combinazioni di costi parziali corrispondenti si dispongono su una retta la cui inclinazione riflette il rapporto tra le quantità da
trasportare: essa è una retta di isocosto, immagine sul piano cartesiano di una isodapana
14, che non può assolutamente essere interpretata come una isodistante.
Figura 37 Curve di isocosto dello stesso livello complessivo e diversa inclinazione
Figura illustrativa di 2 rette di isocosto di ugual livello complessivo (100 in entrambi i casi), conseguenti a quantità differenti da trasportare: 2 sul mercato e 3 dalla fonte della materia prima per la retta disegnata con trattini; 2 sul mercato e 5 dalla fonte della materia prima per la retta disegnata con tratto continuo in neretto. Alle due rette di isocosto corrispondono le distanze s1 e s2.
Si considera, ora, il caso di uguali quantità da trasportare con tariffe diverse: cambia il simbolismo, ma non la configurazione delle curve di isocosto, che conservano la fisionomia di rette inclinate, ora in relazione al rapporto tra le tariffe. Infatti, indicando con c la tariffa di trasporto del prodotto finito e d la tariffa pertinente alla materia prima, la funzione di costo per un costo totale k si scrive:
cx + dy = k; oppure y = k/d - (c/d)x
del tutto simile alla precedente da un punto di vista analitico.
Le cose non cambiano, in sostanza, se si assumono quantità da trasportare e
tariffe diverse, purché direttamente proporzionali alle distanze, salvo una relazione più
ricca di costanti:
acx + bdy = k; da cui y = k/(bd) + (ac/bd)x
Sul piano territoriale, invece, è il caso di osservare la tendenza nel mondo reale alla compensazione tra le costanti, nel senso che minori quantità da trasportare dalla fabbrica al mercato, rispetto alle materie prime da far affluire alla fabbrica, possono scontare tariffe di trasporto più elevate, se non altro per le assicurazioni, in ragione della differenza di valore tra output e input.
Un sostanziale mutamento nelle curve di isocosto si ha con tariffe di trasporto decrescenti con le distanze, in quanto le relazioni diventano di tipo non lineare e piuttosto complicate sul piano algebrico; tuttavia, non sembra il caso di scendere in dettagli ulteriori — per i quali si rinvia all’esempio 5 e relative figure illustrative— che rischierebbero di distogliere l’attenzione dal tema centrale in esame, l’analisi sostitutiva. Si reintroduce, pertanto, il triangolo localizzatore e si rileva con l’Isard la grande difficoltà di un’analisi corretta, anche in un caso apparentemente semplice: un mercato A e le fonti di materie prime B e C. La difficoltà discende dal fatto che le localizzazioni devono essere apprezzate in uno spazio cartesiano tridimensionale, definito dalle
14L’isodapana assume la configurazione di un ovale di Cartesio (peraltro già richiamato e visualizzato con un esempio in questo stesso capitolo), molto difficoltosa ad esprimersi in termini analitici, richiedendo una funzione di quarto grado, che non è sembrato oppurtuno sviluppare in questa sede per evitare inutili tecnicismi matematici.
coordinate x (distanza dal mercato), y e z (distanze dalle fonti delle materie prime), sul quale tracciare le isodapane delle tre componenti del costo totale di trasporto.
Per aggirare l’ostacolo, l’autore del quale si discorre propone un procedimento grafico iterativo così riassumibile:
a) si sceglie un vertice dal quale iniziare la procedura e sia A (il mercato) tale vertice; b) si stabilisce una distanza costante da A rispetto alla quale individuare la soluzione ottimale, ad esempio 2 km e si traccia una circonferenza centrata in A con raggio 2 km; c) si restringe l’analisi all’arco di circonferenza compreso tra i lati AB e AC del triangolo;
d) si individua, con i criteri che si prospetteranno fra breve, la soluzione ottimale P2; e) si ripete la procedura per una nuova distanza costante, ad esempio 3 km e si individua la soluzione P3;
f) si prosegue iterando la operazioni sulla base delle esigenze di dettaglio di chi svolge l’analisi; siano P1, P2, ...., Pn le soluzioni relative alle distanze 1, 2, ..., n;
g) si sceglie tra le soluzioni P1, P2, ..., Pn quella che comporta il costo complessivo
minore: costo del trasporto dalla fabbrica al mercato A + costo complessivo del
trasporto dalle fonti delle materie prime al mercato.
Tornando al punto IV, si esplicitano i criteri di scelta della localizzazione ad una distanza prefissata dal vertice A con l’aiuto della figura xxx, ipotizzando un’industria che si avvale di 3 unità in peso della materia prima ubicata in B, di 4 unità della materia prima ubicata in C, per produrre 5 unità in peso da inoltrare sul mercato. Per semplificare ulteriormente le cose, si considerano soltanto le eventuali localizzazioni D, E, F e G, tutte alla distanza di 4 km dal mercato; inoltre, si assumono tariffe uniformi, proporzionali alle distanze (vedi il prospetto che segue nel testo per i dati analitici).
Figura 38 Confronto tra localizzazioni ad una distanza prefissata e costante dal mercato.
Il problema della localizzazione ottimale ad una prefissata distanza da uno dei vertici del triangolo localizzatore: alla distanza di 4 km dal vertice A, sono state individuate le potenziali localizzazioni D, E, F e G.
La prima operazione da compiere consiste nella misura delle distanze che intercorrono tra i punti D, E, F e G e i vertici B e C; per F, ad esempio, risulta FB = 6.3 km e FC = 3.8 km; per E: EB = 7.2 km e EC =2.4 km (non sono tracciati in figura i segmenti GC e DB per non sacrificare la leggibilità del disegno; essi sono lunghi, rispettivamente, 4.8 e 8.2 km). In tal modo si individuano le coordinate con le quali posizionare tali punti nel piano cartesiano raffigurato nel grafico della figura che segue.
Figura 39Le localizzazioni D E, F e G della figura precedente nel piano cartesiano delle distanze dalle fonti delle materie prime.
Figura 40 La soluzione ottimale della localizzazione tramite il raffronto delle curve di isocosto.
In tratto più spesso la retta di isocosto di livello minimo, corrispondente alla localizzazione in E, alle condizioni specificate nel testo.
Tabella A Prospetto analitico per la scelta della localizzazione ottimale tra quelle indicate, tutte alla distanza di quattro km dal mercato A, con tariffe uniformi e proporzionali alle distanze.
distanza da B distanza da C costo parziale di trasporto rispetto a B
costo parziale di trasporto rispetto a C
costo totale
luoghi km km quantità 3 quantità 4
D 8.20 2.00 24.60 8.00 32.60
E 7.20 2.40 21.60 9.60 31.20
F 6.30 3.80 18.90 15.20 34.10
G 6.00 4.80 18.00 19.20 37.20
Nel piano cartesiano definito dalle coordinate x’ (distanza dalla materia prima ubicata in B) e y’ (distanza della materia prima ubicata in C) si individuano i luoghi D, E, F, G (cerchietti pieni in figura xxx); successivamente si scrive la relazione generale delle rette di isocosto k per il trasporto delle quantità 3 sulla distanza x e 4 sulla distanza y:
3x + 4 y = k, dalla quale discende y = k/4 - (3/4) x
e si disegnano le 4 rette parallele, aventi coefficiente angolare - 3/4 (= - 0.75), che passano per D, E, F e G: il luogo, che nel grafico si trova sulla retta di isocosto più in basso, rappresenta la soluzione ottimale tra quelle prospettate. Dalla figura e dalla tabella si desume la soluzione del problema nel luogo E.