Le algebre di Clifford reali furono introdotte da William K. Clifford1 come una generalizzazione dei quaternioni. Esse hanno un ruolo fondamentale nella descrizione delle rappresentazioni lineari delle algebre di Lie ortogonali e sono quindi importanti per la fisica teorica e la geometria differenziale.
Le algebre di Clifford servono per descrivere, accanto alla rappresentazione standard delle algebre ortogonali (che diciamo vettoriali e rappresentano in fisica i bosoni di gauge, cio`e le forze nel modello standard), quelle spinoriali (in fisica rappresentano i fermioni, cio`e quark e leptoni).
Inizieremo con una descrizione elementare delle algebre di Clifford associate agli spazi reali euclidei, e studieremo poi, seguendo l’impostazione generale di Deligne e Varadarajan, quelle associate a spazi ortogonali generali.
8.1. Algebre di Clifford reali
Sia V uno spazio vettoriale reale, su cui sia stato fissato un prodotto scalare, V × V 3(v1, v2) → (v1|v2) ∈ R, con norma kvk = √(v|v) ≥ 0.
Definizione 8.1.1. L’algebra di Clifford C`(V) `e l’algebra associativa unitaria reale generata da V, modulo le relazioni
(8.1) v2+ kvk2 = 0, ∀v ∈ V.
In modo equivalente, possiamo definireC`(V) come il quoziente dell’algebra tensoriale T(V) rispetto all’ideale bilatero generato dagli elementiv ⊗ v+ kvk2, al variare div in V.
Per le formule di polarizzazione, la (8.1) `e equivalente a (8.2) v1v2+ v2v1+ 2(v1|v2)= 0, ∀v1, v2∈ V.
Osservazione 8.1.2. Se sostituissimo alle (8.1) le relazioni v2 = 0, otterremmo l’algebra di Grassmann dei tensori alternati. Pi`u in generale, possiamo considerare algebre definite dalle relazioniv2+ b(v, v) = 0 per una qualsiasi forma bilineare simmetrica b su V, ottenendo cos`ı una collezione di strutture che comprende sia le algebre di Grassmann che quelle di Clifford. In fisica, questa relazione si esprime dicendo che le algebre di Clifford sono una quantizzazione di quelle di Grassmann. Se V ha dimensione finita n, gli elementi e1, . . . , endi una sua base ortonormale verificano inC`(V) le relazioni
(8.3) e2i = −1, eiej = −ejei se 1 ≤ i , j ≤ n.
1Applications of Grassmann’s extensive algebra, Amer. Jour. Math. 1 (1878), pp. 350-358.
140 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI
QuindiC`(V) `e l’algebra associativa unitaria generata su R da n unit`a immaginarie e1, . . . , enche anti-commutano tra loro.
Le algebre di Clifford reali sono caratterizzate dalla propriet`a universale: Teorema 8.1.3. Un’algebra reale associativa e unitaria A `e isomorfa all’al-gebra di Clifford C`(V) se e soltanto se possiamo trovare un’applicazione lineare iniettivaı : V → A per cui valga la
(Propriet`a universale) V ı @@ @ @ @ @ @ φ //B A. ˜ φ >>~ ~ ~ ~
Ogni applicazione lineare φ : V → B di V in un’algebra associativa unitaria reale B, che verifichi
[φ(v)]2= −kvk2· 1B si estende in modo unico ad un omomorfismo
˜
φ: A → B di algebre associative unitarie reali, con
˜
φ(ı(v))= φ(v), ∀v ∈ V.
Dimostrazione. Sia B un’algebra reale, associativa e unitaria e φ : V → B un’applicazione lineare. Per la propriet`a universale del prodotto tensoriale, la φ si estende in modo unico ad un omomorfismo di algebre associative e unitarie reali Φ : T(V) → B. Il nucleo di Φ `e un ideale bilatero di T(V). Se ker Φ contiene tutti gli elementiv ⊗ v+ kvk2, allora laΦ definisce per passaggio al quoziente un omomorfismo diC`(V) in B.
Supponiamo ora che A sia un’algebra reale associativa e unitaria che goda della propriet`a universale. Possiamo allora definire omomorfismi α : A → C`(V) con α(ı(v))= v per ogni v ∈ V, utilizzando la propriet`a universale, e β : C`(V) → A con β(v) = ı(v) per la prima parte della dimostrazione. Poich´e α ◦ β : C`(V) → C`(V) `e l’identit`a, la α `e inversa sinistra di β. La β ◦ α : A → A `e un omomorfismo di algebre con β ◦ α ◦ ı= ı su V. Poich´e l’identit`a ha questa propriet`a, per l’unicit`a `e β ◦ α= idAe quindi α `e anche inversa destra di β. Ci`o dimostra che le due algebre
sono equivalenti.
Corollario 8.1.4. Se W `e un sottospazio di V, l’inclusione W ⊂ V ⊂ C`(V) si
estende ad un monomorfismo di algebreC`(W) ,→ C`(V).
L’algebra tensoriale T(V) `e Z-graduata. Poich´e gli elementi v ⊗ v + kvk2che generano il nucleo della proiezione π : T(V) → C`(V) sono somme di termini di grado pari, l’algebraC`(V) `e Z2-graduata. Poniamo
(8.4) C`(V) = C`0(V) ⊕C`1(V), con C`i
(V)= πM∞ h=0T
i+2h(V) . Gli elementi di grado pari formano una sottoalgebraC`0(V) diC`(V).
8.1. ALGEBRE DI CLIFFORD REALI 141 Proposizione 8.1.5. Se lo spazio vettoriale V ha dimensione n, allora la corri-spondente algebra di Clifford C`(V) ha dimensione 2n.
Se W `e un iperpiano di V, alloraC`0(V) ' C`(W) e C`(V) `e isomorfa, come algebra graduata, ad M(C`(W)) = ( ξ η − ¯η ¯ξ ! ξ, η ∈ C`(W) ) , con l’involuzione suC`(W) definita da
ξ0+ ξ1= ξ0− ξ1, ∀ξ0 ∈C`0(W), ∀ξ1 ∈C`1(W).
Dimostrazione. Fissiamo una base ortonormale e1, . . . , en−1, en di V con en ortogonale a W. Posto 1 = e1en, . . . , n−1= en−1en, abbiamo
2i = −1, ∀1 ≤ i < n, ij= −ji, ∀1 ≤ i < j < n.
Quindi la sottoalgebra diC`(V) generata da 1, . . . , n−1 `e l’algebra di Clifford di uno spazio Euclideo di dimensione n − 1. Essa coincide con C`0(V) perch´e ogni monomio di grado pari ei1· · · ei2h di C`(V), con 1 ≤ i1, . . . i2h ≤ n, `e anche un monomio in 1, . . . , n−1. L’isomorfismo diC`(W) su C`0(V) `e il prolungamento canonico dell’applicazione lineare
ψ: W 3w −→ w · en∈C`(V).
Poich´e l’applicazioneC`(V) 3 ξ → ξ·en∈C`(V) `e un’anti-involuzione lineare che scambiaC`0(V) e C`1(V), abbiamo dimRC`1(V) = dimRC`0(V) = dim C`R(W). Quindi, dimRC`(V) = 2·dimRC`(W). Poich´e C`(R0)= R, ne segue per ricorrenza che dimRC`(V) = 2dimRV.
L’applicazione lineare (indichiamo con 1W l’identit`a diC`(W))
φ: V = W ⊕ Ren3w+ ten−→ w + t1W
w − t1W
!
∈ M(C`(W))
soddisfa la condizione (φ(w+ ten))2 = −(kwk2+ t2)I2e quindi si prolunga in modo unico, per la propriet`a universale, ad un omomorfismo ˜φ diC`(V) in M(C`(W)). Si verifica facilmente che la ˜φ `e surgettiva2, e quindi un isomorfismo di algebre
perch´eC`(V) e M(C`(W)) hanno la stessa dimensione.
8.1.1. Classificazione delle algebre di Clifford reali. `E utile introdurre pre-liminarmente qualche notazione. Se e1, . . . , en`e una base ortonormale assegnata in Rn, indichiamo con
(8.5) ηn = e1· · · en∈C`(Rn
)
lo pseudoscalare corrispondente all’elemento di volume unitario. Valgono allora
η2n= (−1)n(n+1)/2= 1, se n ≡ 0, 3 mod 4, −1, se n ≡ 1, 2 mod 4, 2Infatti w w ! −1 1 ! = w − w !
. Da questo segue che l’immagine di ˜φ contiene tutte le matrici della forma ξ
¯ξ ! , e quindi anche le ξ ¯ξ ! 1 −1 ! = −¯ξ ξ ! , per ξ ∈ C`(W)
142 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI v · ηn+ ηn·v = 0, se n ≡ 0 mod 2, v · ηn− ηn·v = 0, se n ≡ 1 mod 2, ∀v ∈ V. Teorema 8.1.6. Valgono i seguenti isomorfismi di algebre
C`(R0 ) ' R, C`(R1 ) ' C, C`(R2) ' H, C`(R3) ' H ⊕ H, C`(R4 ) ' H(2), C`(R5 ) ' C4, C`(R6 ) ' R(8), C`(R7 ) ' R(8) ⊕ R(8), C`(R8 ) ' R(16), C`(Rn+8) ' R(16) ⊗RC`(Rn ), ∀n ∈ N. L’ultimo isomorfismo esprime la periodicit`a delle algebre di Clifford. Dimostrazione. 0. Se V = {0}, l’algebra di Clifford C`({0} `e il campo R. 1. Consideriamo l’applicazione φ1: R 3 x → i x ∈ C.
Poich´e (φ1(x))2 = −x2, la φ si estende ad un omomorfismo di algebre reali associative unitarie ˜φ1 : C`(R1) → C. La ˜φ1 `e surgettiva, perch´e l’immagine contiene 1 ed i, ed `e quindi un isomorfismo perch´e C`(R1) e C hanno la stessa dimensione reale 2.
2. Sia H il corpo non commutativo dei quaternioni e definiamo l’applicazione lineare
φ2: R2 3 (x, y) −→ x ·i + y · j ∈ H,
ovei, j , k sono tre unit`a immaginarie di H che anti-commutano tra loro.
Poich´e (φ2(x, y))2 = −(x2 + y2), la φ2 si estende ad un omomorfismo di al-gebre reali associative unitarie ˜φ2 : C`(R2) → H. Poich´e 1, i, j , k appartengono all’immagine di ˜φ2, la ˜φ2 `e surgettiva e quindi un isomorfismo perch´eC`(R2) ed H hanno la stessa dimensione 4.
3. Identifichiamo R3allo spazio V dei quaternioni puramente immaginari e consideriamo l’applicazione lineare
φ3: V 3v −→ (v, −v) ∈ H ⊕ H.
Poich´e (φ3(v))2 = −kvk2(1, 1), per la propriet`a universale la φ3 si estende ad un omomorfismo ˜φ3 :C`(R3) → H ⊕ H. Si verifica facilmente che la ˜φ `e surgettiva, conC`0
(R3) ' {(q, q) | q ∈ H} e C`1(R3) ' {(q, −q) | q ∈ H}, ed `e quindi un isomorfismo perch´eC`(R3) ed H ⊕ H hanno entrambe dimensione 8.
4. Identifichiamo R4ad H e consideriamo l’applicazione
φ4 : H 3 q −→ −¯q q ! ∈ H(2). Poich´e (8.6) q −¯q !2 = −kqk2· I2,
8.1. ALGEBRE DI CLIFFORD REALI 143 per la propriet`a universale l’applicazione lineare φ4 si estende ad un omomorfi-smo ˜φ4 : C`(R4) → H(2). Si verifica facilmente che ˜φ4 `e surgettivo e quindi un isomorfismo perch´e le due algebre hanno entrambe dimensione 16.
Infatti, l’immagine di ˜φ4contiene le matrici v v ! −1 1 ! = v −v !
per ogni quaternione immaginario v.
Da questo segue, come nel punto precedente, che l’immagine di ˜φ4contiene tutte le matrici q1 q2 ! , con q1, q2 ∈ H e perci`o anche le q1 q2 ! = q1 −q2 ! 1 −1 ! , con q1, q2∈ H.
5. Sia e1, e2, e3, e4una base ortonormale di R4. Con η4 = e1e2e3e4 definita da (8.5), consideriamo l’applicazione
φ5 : R5= R1
t ⊕ R4 3 (t,v) −→ (i · t) ⊗ η4+ 1 ⊗ v ∈ C ⊗RC`(R4). Poich´e η24 = 14ed anticommuta coi vettori di R4, otteniamo che
(φ5(t,v))2 = −(t2+ kvk2)1 ⊗ 14, ∀(t, v) ∈ R5.
La φ5si prolunga quindi in modo unico ad un omomorfismo diC`(R5) nel prodotto tensoriale C ⊗R C`(R4). Si verifica facilmente che l’omomorfismo `e surgettivo e quindi un isomorfismo perch´e le due algebre hanno la stessa dimensione 32. Osserviamo infine che, poich´eC`(R4) `e isomorfa ad H(2), che `e una forma reale di C(4), `e C ⊗ C`(R4) ' C ⊗RH(2) ' C(4).
6. Consideriamo il prodotto tensoriale C`(R2) ⊗R C`(R4) ' H ⊗R H(2). Poich´e η4 ∈ C`(R4) ha quadrato 14 ed anticommuta coi vettori, l’applicazione lineare
φ6: R6= R2
v ⊕ R4w3 (v, w ) −→ v ⊗ η4+ 12⊗w ∈C`(R2) ⊗RC`(R4) soddisfa
(φ6(v, w ))2 = v2⊗ 12+ v ⊗ (η4w )+ v ⊗ (w η4)+ 12⊗w2= −(kvk2+ kwk2)(12⊗ 16). Per la propriet`a universale la φ6 si estende ad un omomorfismo ˜φ6 diC`(R6) in C`(R2) ⊗RC`(R4). Poich´e esso `e surgettivo e le due algebre hanno la stessa dimen-sione 26 = 2224 = 64, la ˜φ6 `e un isomorfismo di algebre. Osserviamo infine che H ⊗RH(2) ' (H ⊗RH)(2) ' (R(4))(2) ' R(8).
7. Sia e1, e2, e3, e4, e5, e6 una base ortonormale di R6ed η6 = e1e2e3e4e5e6 l’elemento di volume diC`(R6). Abbiamo:
η26= −16, η6·v + v · η6= 0, (tη + v)2= −(t2+ kvk2)16, ∀v ∈ R6, ∀t ∈ R. Definiamo l’omomorfismo
φ7: R7= R6
144 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI
Poich´e [φt(v, t)]2 = −(kvk2+ t2) · (16, 16), la φ7 si estende in modo unico ad un omomorfismo ˜φ7 :C`(R7) →C`(R6) ⊕C`(R6). L’immagine di ˜φ7contiene
(v, −v) · (η6, −η6)= (v · η6, v · η6). e gli i = ei· η6generanoC`(R6), perch´e, se σ ∈ S6, allora eσ1 = ±σ2 · σ3 · σ4 · σ5· σ6.
Da queste osservazioni ricaviamo che l’immagine di ˜φ7 contiene tutte le coppie (α, α) con α inC`(R6). Allora contiene anche le coppie (α · η6, −α·η6), al variare di αinC`(R6), cio`e tutte le coppie (α, −α) con α ∈C`(R6) perch´e la moltiplicazione a destra per η6 `e un’operazione invertibile inC`(R6). Con questa identificazione,
C`0
(R7)= {(α, α) | α ∈ C`(R6)}, C`1
(R7)= {(α, −α) | α ∈ C`(R6)}. La dimensione diC`(R7) 'C`(R6) ⊕C`(R6) ' R(8) ⊕ R(8) `e 27 = 2 · 26 = 128.
8. Sia e1, e2, e3, e4una base ortonormale di R4ed η4 = e1e2e3e4 l’elemento di volume diC`(R4). Abbiamo η24 = 14, η4v+ v η4= 0, ∀v ∈ R4. L’applicazione lineare φ8 : R8= R4 ⊕ R43 (v, w ) −→ v ⊗ η4+ 14⊗w ∈C`(R4)⊗RC`(R4) soddisfa (φ8(v, w ))2= (v ⊗ η4+ 14⊗w )2= v2⊗ η24+ v ⊗ (w η4+ η4w )+ 1 ⊗ w2 = −(kvk2+ kwk2)(14⊗ 14).
Per la propriet`a universale, la φ8 si estende ad un omomorfismo ˜φ8 di C`(R8) nel prodotto tensorialeC`(R4)⊗RC`(R4), che `e surgettivo e quindi un isomorfismo perch´e le due algebre hanno la stessa dimensione 28= 2424= 256.
Infatti l’immagine di ˜φ8contiene gli 14⊗w per w ∈ R4e quindi 14⊗RC`(R4). Da questa segue che contiene anchev⊗R14= (v ⊗ η4) · (14⊗ η4) per ogniv ∈ R4e quindiC`(R4)⊗R14e dunqueC`(R4)⊗RC`(R4)= h(C`(R4)⊗R14) · (14⊗RC`(R4))i.
Osserviamo infine che (vedi il Lemma ??) C`(R4)⊗RC`(R4
) ' H(2)⊗RH(2) ' (H ⊗RH)(4) ' (R(4))(4) ' R(16). Periodicit`a. Sia e1, . . . , e8una base ortonormale di R8ed
η8= e1e2e3e4e5e6e7e8∈C`(R8)
il corrispondente pseudoscalare, che soddisfa η28= 18, η8·w+ w · η8= 0 per ogni w ∈ R8. Consideriamo l’applicazione lineare
(8.7) φ: R8⊕ Rn 3 (w , v) −→ w ⊗ 1n+ η8⊗v ∈C`(R8) ⊗RC`(Rn ), ove abbiamo indicato con 1nl’identit`a diC`(Rn). Abbiamo
(φ(w , v))2= w2⊗ 1n+ (w · η8+ η8·w ) ⊗ v+ η2 8⊗v2
8.2. ALGEBRA DI CLIFFORD DI UNO SPAZIO VETTORIALE QUADRATICO 145 La φ si estende quindi, per la propriet`a universale, ad un omomorfismo
(8.8) φ˜ :C`(Rn+8) →C`(R8) ⊗RC`(Rn
) ' R(16) ⊗RC`(Rn ).
L’immagine di ˜φ`e una sottoalgebra diC`(R8) ⊗RC`(Rn) che contieneC`(R8) ⊗ 1n ed η8⊗C`(Rn). Poich´e C`(R8) ⊗ 1n ed η ⊗C`(Rn) generano l’algebra prodotto tensorialeC`(R8) ⊗RC`(Rn), ne segue che ˜φ`e surgettiva e quindi un isomorfismo,
perch´e le due algebre hanno la stessa dimensione 2n+8.
Osservazione 8.1.7. L’algebra C`(R8) si pu`o costruire utilizzando le traslazio-ni a sitraslazio-nistra dell’algebra non associativa O degli ottotraslazio-niotraslazio-ni (vedi il Capitolo IX). Questi si possono definire a partire dai quaternioni, introducendo un’altra unit`a immaginaria `. `E O = H ⊕ (` · H) con la regola del prodotto:
(8.9) (q1+ ` · q2) · (q3+ ` · q4)= (q1q3− q4¯q2)+ ` · (¯q1q4+ q3q2), ∀q1, q2, q3, q4 ∈ H. Possiamo scegliere gli ottonioni
(8.10) 1, i, j , k , `, `i, `j , `k
come base ortonormale di R8 ' O. Facciamo corrispondere al vettore x, di com-ponenti (x0, . . . , x8) nella base (8.10) la matrice
(8.11) Lx= x0 −x1 −x2 −x3 −x4 −x5 −x6 −x7 x1 x0 −x3 x2 x5 −x4 x7 −x6 x2 x3 x0 −x1 x6 −x7 −x4 −x5 x3 −x2 x1 x0 x7 x6 −x5 −x4 x4 −x5 −x6 −x7 x0 x1 x2 x3 x5 x4 x7 −x5 −x1 x0 x3 −x2 x6 −x7 x4 −x5 −x2 −x3 x0 x1 x7 x6 −x5 x4 −x3 x2 −x1 x0
associata alla moltiplicazione a sinistra per l’ottonione corrispondente ad x. L’i-somorfismo di C`(R8) con R(16) si ottiene dalla propriet`a universale estendendo l’applicazione lineare
(8.12) R8' O 3 x −→ −L0| Lx
x 0
!
∈ R(16).
8.2. Algebra di Clifford di uno spazio vettoriale quadratico
Possiamo generalizzare la costruzione in §8.1, associando un’algebra di Clif-ford ad un qualsiasi spazio vettoriale quadratico (vedi e.g. [3]). Supporremo per semplicit`a che il campo k degli scalari abbia caratteristica zero.
Siano V uno spazio vettoriale di dimensione finita m su k e T(V) =L∞h=0Th(V) la sua algebra tensoriale. Le potenze tensoriali Th(V) sono definite per ricorrenza ponendo T0(V)= k, T1(V)= V e Th+1(V)= V ⊗ Th(V) per h ≥ 1. Ricordiamo che T(V) `e Z+-graduata e caratterizzata dalla propriet`a universale:
Proposizione 8.2.1. T(V) `e un’algebra associativa unitaria su k che contiene V come sottospazio vettoriale ed ogni applicazione lineare φ di V in un’algebra associativa unitaria A si estende in modo unico ad un omomorfismo di algebre
146 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI Una forma quadratica q su V `e una
(8.13) q : V → k tale che q0: V × V 3 (v1, v2) → q(v1+ v2) − q(v1) − q(v2) ∈ k sia k-bilineare3. Diciamo che q `e non degenere se lo `e q0, se cio`e per ogniv1 ∈ V possiamo trovare unv2 ∈ V tale che q(v1+ v2) , q(v2).
Definizione 8.2.2. Uno spazio vettoriale quadratico su k `e la coppia (V, q) di uno spazio vettoriale V su k e di una forma quadratica non degenere4su V.
Notazione 8.2.3. Sia Jq l’ideale bilatero di T(V) generato dagli elementi della formav ⊗ v+ q(v), al variare di v in V.
Definizione 8.2.4. L’algebra di Clifford C`q(V) dello spazio ortogonale (V, q) `e il quoziente T(V)/Jqdell’algebra tensoriale T(V), rispetto all’ideale bilatero Jq.
Poich´e T(V) `e associativa e unitaria, ancheC`q(V) `e associativa e unitaria. Indichiamo con
π : T(V) −→ C`q(V)= T(V)/Jq
la proiezione nel quoziente. La composizione
V ,→ T(V)−−→π C`q(V)
`e iniettiva e ci permette di considerare V come un sottospazio diC`q(V).
Come nel caso delle algebre di Clifford associate agli spazi euclidei, abbiamo: Proposizione 8.2.5 (propriet`a universale). L’algebra di Clifford C`q(V) `e un’al-gebra associativa unitaria caratterizzata dalla seguente propriet`a universale:
`
E V ⊂ C`q(V) ed ogni applicazione lineare φ : V → A di V in un’algebra associativa unitaria A, tale che [φ(v)]2 = −q(v) · 1A, si estende in modo unico ad un omomorfismo ˜φ:C`q(V) → A.
Dimostrazione. Un’applicazione lineare φ : V → A di V in un’algebra asso-ciativa unitaria si estende in modo unico ad un omomorfismo ˆφ : T(V) → A. La condizione che [φ(v)]2 = −q(v) · 1Aper ogniv ∈ V ci dice che Jq `e contenuto nel nucleo di ˆφ, che definisce quindi per passaggio al quoziente un omomorfismo ˜φdi C`q(V) in A.
Supponiamo ora che A sia un’algebra associativa unitaria che contenga V e go-da della propriet`a universale. Risultano allora definiti due omomorfismi di algebre φ : A → C`q(V) e ψ : C`q(V) → A con φ(v) = v e ψ(v) = v per ogni v ∈ V. Le composizioni φ ◦ ψ :C`q(V) → C`q(V) e ψ ◦ φ : A → A si restringono all’iden-tit`a su V e quindi per l’unicit`a del prolungamento dell’omomorfismo sono uguali all’identit`a. Perci`o φ e ψ, essendo omomorfismi uguali l’uno all’inverso dell’altro,
sono isomorfismi di algebre.
Notazione 8.2.6. Se v1, . . . , vk ∈ V, indichiamo conv1· · ·vk l’immagine me-diante π div1⊗· · ·⊗vkinC`q(V). In generale, indichiamo con ξ·η, o semplicemente con ξη, il prodotto di ξ, η ∈C`q(V).
3Osserviamo che, se k ha caratteristica zero, `eq0
(v1, v2)= dq(v1)(v2).
8.2. ALGEBRA DI CLIFFORD DI UNO SPAZIO VETTORIALE QUADRATICO 147 Utilizzando la polarizzazione, si ricava immediatamente la formula di anticom-mutazione5
(8.14) v1·v2+ v2·v1+ q0(v1, v2)= 0, ∀v1, v2∈ V. In particolare,v1·v2 = −v2·v1sev1ev2sono q-ortogonali.
Proposizione 8.2.7. L’algebra di Clifford C`q(V) `e Z2-graduata, mediante
(8.15) C`q(V)= C`0 q(V) ⊕C`1 q(V), con C`i q(V)= πM∞ h=0T 2h+i(V) . Dimostrazione. Consideriamo su T(V) la Z2-gradazione indotta dalla Z+ -gra-dazione. L’ideale Jq `e Z2-graduato, perch´e ammette un sistema di generatori di grado pari. Il quozienteC`q(V) risulta allora anch’esso Z2-graduato. Somma diretta di k-spazi vettoriali ortogonali. Se (V, qV) e (W, qW) sono due spazi vettoriali quadratici sullo stesso campo k, indichiamo con qV⊕Wla forma quadratica
qV⊕W(v+ w) = qV(v)+ qW(w), ∀v ∈ V, w ∈ W. La coppia (V ⊕ W, qV⊕W) `e ancora uno spazio vettoriale quadratico.
Basi e inclusioni delle algebre di Clifford.
Proposizione 8.2.8. Siano (V, qV) e (W, qW) due spazi vettoriali quadratici su k. Ogni isometria φ: (W, qW) → (V, qV) si prolunga in modo unico ad un monomorfi-smo ˜φ:C`qW(W) →C`qV(V).
Dimostrazione. Identificando W ad un sottospazio di V, otteniamo un’inclu-sione T(W) ,→ T(V). Quest’incluun’inclu-sione defisce per passaggio ai quozienti un’in-clusioneC`qW(W) ,→C`qV(V), perch´e JqV ∩ T(W)= JqW. Se V ha dimensione finita, possiamo identificare Tk(V) allo spazio delle forme k-multilineari sul duale V∗e ΛkV al sottospazio delle τ di Tk(V) che si annulla-no sulle k-uple (ζ1, . . . , ζk) di covettori linearmente dipendenti. Indichiamo con Λ∗V = Pk≥0ΛkVl’algebra di Grassmann di V. Ricordiamo che abbiamo supposto che k abbia caratteristica zero.
Teorema 8.2.9. La restrizione della proiezione nel quoziente definisce un iso-morfismo di spazi vettoriali
(8.16) π : Λ∗
V →C`q(V). In particolare,dimkC`q(V)= 2m, con m= dimkV.
Dimostrazione. Poich´e Jq∩Λ∗V= {0}, la restrizione di π : T(V) → C`q(V) a Λ∗
V `e iniettiva. Si verifica facilmente, utilizzando la formula di anticommutazione (8.14), che π :Λ∗V →C`q(V) `e anche surgettiva e quindi un isomorfismo lineare. 5Questa `e infatti conseguenza della (v1+ v2)(v1+ v2)+q(v1+ v2)= 0.
148 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI
Se e1, . . . , em `e una base di V ed I = (i1, i2, . . . , ik) una k-upla di interi con 1 ≤ ih≤ m, indicheremo con eIl’elemento ei1ei2· · · eik diC`q(V). Porremo ancora e∅ = 1.
Proposizione 8.2.10. Se e1, . . . , em `e una base di V, allora gli eIcon I = ∅, ed I = (i1, . . . , ik) con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m formano una base diC`q(V). Sia W un sottospazio anisotropo di V. La Proposizione 8.2.8 ci permette di identificare l’algebra di Clifford di (W, q|W), che indichiamo per semplicit`a con C`q(W), ad una sottoalgebra diC`q(V). Abbiamo in particolare
Proposizione 8.2.11. Se e1 `e un vettore anisotropo di(V, q) e W = e⊥ 1, allora (8.17) C`q(V)= C`q(W) ⊕ (e1·C`q(W)).
Dimostrazione. La tesi `e conseguenza del Teorema 8.2.9, perch´e Λ∗V = Λ∗W ⊕(e1∧Λ∗W).
8.2.1. Pseudo-scalari. Ricordiamo che abbiamo supposto k di caratteristica zero. Possiamo quindi identificareΛ∗Vcol sottospazio dei tensori alternati di T(V), e l’alternatore, definito, sui tensori di rango uno, da
ε(v1⊗ · · · ⊗vq)= v1∧ · · · ∧vq = 1 q! X σ∈Sq sgn(σ)vσ1⊗ · · · ⊗vσq, (8.18) `e una proiezione (8.19) ε : T(V) −→ Λ∗ (V).
Sia (V, q) uno spazio vettoriale quadratico di dimensione m su k.
Definizione 8.2.12. Chiamiamo pseudo-scalari le immagini, mediante la pro-iezione π : T(V) →C`q(V), degli elementi diΛmV.
Lemma 8.2.13. Gli pseudoscalari di C`q(V) sono tutti e soli i prodottiv1· · ·vm di m-uple di vettori due a due ortogonali di V.
Dimostrazione. Se e1, . . . , em `e una base ortogonale di (V, q) e σ una permuta-zione in Sm, allora
eσ1· · · eσm = sgn(σ) · e1· · · em.
Infatti, poich´e le trasposizioni (1, 2), (2, 3), . . . , (m−1, m) generano Sm, `e sufficiente verificare la formula quando si scambino due fattori successivi: in questo caso l’u-guaglianza segue immediatamente dalle formule di anticommutazione. Abbiamo allora π(e1∧ · · · ∧ em)= 1 m! X σ∈Sm sgn(σ)eσ1· · · eσm = e1· · · em.
Per completare la dimostrazione, basta verificare che gli pseudo-scalari sono tutti e soli i multipli di e1· · · em. Ci`o `e conseguenza della formula del determinante:
sev1, . . . , vmsono vettori di V ed A ∈ km×mla matrice delle loro componenti nella base e1, . . . , em, cio`e se (v1, . . . , vm)= (e1, . . . , em)A, allora
v1∧ · · · ∧vm= (det(A)) · e1∧ · · · ∧ em e quindi π(v1∧ · · · ∧vm)= det(A) · e1· · · em.
8.3. INVOLUZIONI, ANTI-INVOLUZIONI E CENTRO DELL’ALGEBRA DI CLIFFORD 149 Per la propriet`a universale, ogni a ∈ Oq(V) si estende ad un isomorfismo ˜a di C`q(V), che lascia fissi gli scalari e trasforma in s´e il sottospazio V. Per quanto abbiamo visto nella dimostrazione del Lemma 8.2.13, la ˜a lascia invariati o cam-bia di segno gli pseudo-scalari, a seconda che il suo determinante sia uguale ad uno o a meno uno. Gli pseudo-scalari devono la loro denominazione a questa propriet`a: come gli scalari formano un sottospazio di dimensione uno diC`q(V), e quindi si parametrizzano con gli elementi di k, ma non sono scalari perch´e possono cambiare di segno per un cambio di riferimento ortogonale.
Lemma 8.2.14. (1) Se e1, . . . , em`e una base ortogonale di(V, q), allora (8.20) (e1· · · em)2 = (−1)m(m−1)/2q(e1) · · · q(em) ∈ k∗.
(2) Gli pseudoscalari appartengono al centro diC`q(V) se e soltanto se V ha
dimensione dispari.
8.3. Involuzioni, anti-involuzioni e centro dell’algebra di Clifford Sulle algebre di Clifford sono definite alcune involuzioni canoniche.
Per la propriet`a universale, ogni simmetria q-ortogonale di V si estende in modo unico ad un’involuzione diC`q(V). In particolare, indicheremo con α l’involuzione corrispondente alla simmetria rispetto all’originev → (−v) di V.
Definizione 8.3.1. L’involuzione α di C`q(V) `e definita da
(8.21) α(ξ)= (−1)iξ, ∀ξ ∈C`i
q(V), i= 0, 1. Lemma 8.3.2. Per ogni v ∈ V anisotropo, abbiamo
(8.22) v · ξ= α(ξ) · v, ∀v ∈ V, ∀ξ ∈ C`q(v⊥).
Utilizzando la (8.22), otteniamo
Teorema 8.3.3. Il centro di C`q(V) `e • k se V ha dimensione pari,
• la somma diretta dei sottospazi degli scalari e degli pseudo-scalari se V ha dimensione dispari.
Dimostrazione. Un elemento ξ appartiene al centro di C`q(V) se e soltanto se commuta con tutti i vettori e1, . . . , em di una base ortogonale di (V, q). Fissato un indice i, scriviamo ξ= ξ0
i + ei· ξ00i con ξ0i, ξ00
i ∈C`q(e⊥i ). Abbiamo allora ei· ξ= ei· ξ0i− q(ei) · ξ00i , ξ ·ei = ei· α(ξ0i) − q(ei) · α(ξ00i ). Per l’unicit`a della decomposizione (8.17), ricaviamo che α(ξ0i)= ξ0
i ed α(ξ00i )= ξ00 i . Dunque ξ0i, ξ00
i ∈ C`0
q(e⊥i ) ⊂ C`0
q(V). Questo di dice che il numero di fattori ej con indice diverso da un qualsiasi indice i assegnato in ogni monomio kIeI non nullo nella decomposizione ξ = PkIeI deve essere pari. Ci`o `e possibile solo se ξ `e uno scalare, oppure la somma di uno scalare e di uno pseudoscalare quando la
150 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI
Lemma 8.3.4. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e ξ ∈ C`q(V) soddisfi
(8.23) v · ξ= α(ξ) · v, ∀v ∈ V,
`e che ξ sia uno scalare.
Dimostrazione. Ragioniamo come nella dimostrazione del Teorema 8.3.3. A partire da una base ortogonale e1, . . . , endi V, scriviamo un elemento ξ che soddisfi (8.23) nella forma ξ= ξ0 i+ ei· ξ00i , con ξ0i, ξ00 i ∈C`q(e⊥i ). Poich´e α(ξ)= α(ξ0 i) − ei· α(ξ00i ), abbiamo ei· ξ= ei· ξ0i − q(ei) · ξ00i , α(ξ) · ei = ei· ξ0i + q(ei)ξ00i .
Quindi ξ00i = 0 per ogni i e questo implica che, nell’espressione di ξ come somma ξ= PkIeIdi una combinazione lineare degli elementi della base canonica associata ad e1, . . . , em, si annullino tutti i coefficienti kIcon I , ∅ , cio`e che ξ ∈ k.
L’applicazione lineare ˜β : T(V) → T(V), definita sui tensori di rango uno da ˜β(v1⊗ · · · ⊗vk)= vk⊗ · · · ⊗v1, ∀k ∈ N, ∀v1, . . . , vk ∈ V,
`e un’anti-involuzione di T(V), che trasforma in s´e l’ideale Jq. Quindi definisce, per passaggio al quoziente, un’anti-involuzione dell’algebra di Clifford C`q(V).
Definizione 8.3.5. Indichiamo con β : C`q(V) →C`q(V) l’anti-involuzione di C`q(V) ottenuta da ˜β per passaggio al quoziente e con γ la composizione γ= α ◦ β.
Lemma 8.3.6. Abbiamo
β(π(v1∧ · · · ∧ vh))= π(vh∧ · · · ∧ v1), ∀v1, . . . , vh ∈ V. Lemma 8.3.7. L’involuzione α e le anti-involuzioni β e γ commutano tra loro
ed α ◦ β= β ◦ α = γ, α ◦ γ = γ ◦ α = β, β ◦ γ = β ◦ γ = α.
L’involuzione α e le anti-involuzioni β, γ ci permettono di decomporreC`q(V) nella somma diretta dei sottospazi formati dagli elementi che sono lasciati fissi e di quelli che sono trasformati nei loro opposti.
La Z2-gradazioneC`0
q(V) ⊕C`1
q(V)= C`q(V) `e la decomposizione associata ad α. La permutazione che scambia i con k+ 1 − i, per 1 ≤ i ≤ k, `e prodotto dihk
2 i permutazioni ed ha perci`o segnatura (−1)k(k−1)/2. Otteniamo perci`o, per β e γ,
Lemma 8.3.8. Abbiamo C`β,+ q (V)= {ξ ∈ C`q(V) | β(ξ)= ξ} = πX h≥0(Λ4hV ⊕Λ4h+1V) , C`β,−q (V)= {ξ ∈ C`q(V) | β(ξ)= −ξ} = πX h≥0(Λ4h+2V ⊕Λ4h+3V) , C`γ,+ q (V)= {ξ ∈ C`q(V) | γ(ξ)= ξ} = πXh≥0(Λ4hV ⊕Λ4h+3V) , C`γ,−q (V)= {ξ ∈ C`q(V) | γ(ξ)= −ξ} = πXh≥0(Λ4h+1V ⊕Λ4h+2V) .
8.4. GRUPPI ORTOGONALI E LORO ALGEBRE DI LIE 151 Se e1, . . . , em `e una base ortogonale di V, ed {eI} la corrispondente base di C`q(V), abbiamo (8.24)
β(1)= 1, γ(1) = 1, β(ei)= ei, γ(ei)= −ei, ∀i,
β(eI)= (−1)(h2)eI, γ(eI)= (−1)(h+12 )eI, ∀I = (i1, . . . , ih), h ≥ 2. Esempio 8.3.9. Le α, β e γ sono descritte, per C`(R) e C`(R2), dalle tabelle
1 i α 1 −i β 1 i γ 1 −i 1 i j k α 1 −i − j k β 1 i j −k γ 1 −i − j −k .
Osserviamo quindi che, sia nel caso dei numeri complessi che in quello dei quater-nioni, la γ coincide con il coniugio.
8.4. Gruppi ortogonali e loro algebre di Lie
Dato uno spazio ortogonale (V, q) di dimensione finita m su k, indichiamo con Oq(V)= {x ∈ GLk(V) | q(x(v))= q(v), ∀v ∈ V},
SOq(V)= {x ∈ Oq(V) | det(x)= 1},
soq(V)= {X ∈ slk(V) | q0(Xv, v)= 0, ∀v ∈ V}
i relativi gruppi ortogonale e speciale ortogonale e la loro algebra di Lie, formata dalle matrici q-antisimmetriche.
Se k = R e la forma q0 `e indefinita, Oq(V) ha quattro componenti connesse. Supponiamo q0abbia segnatura (p, q), con pq > 0. Distinguiamo i vettori non nulli Vdi V in positivi, negativi, isotropi a seconda che q(v) sia positivo, negativo, nullo. Scegliamo una base ortonormale e1, . . . , emdi V, con q definita positiva su V+= he1, . . . , epi e definita negativa su V− = hep+1, . . . , emi. Se a ∈ Oq(V), allora q0 `e definita positiva su a(V+) e definita negativa su a(V−). In particolare, V−∩ a(V+)= {0} e V+∩ a(V−)= {0} e quindi
a(e1)∧· · ·∧a(ep)∧ep+1∧· · ·∧em, 0, ed e1∧· · ·∧ep∧a(ep+1)∧· · ·∧a(em) , 0. Questa osservazione ci permette di definire i due sottogruppi normali
O+
q(V)= {a ∈ Oq(V) | (a(e1) ∧ · · · ∧ a(ep) ∧ ep+1∧ · · · ∧ em)/(e1∧ · · · ∧ em) > 0}, O−q(V)= {a ∈ Oq(V) | (e1∧ · · · ∧ ep∧ a(ep+1) ∧ · · · ∧ a(em))/(e1∧ · · · ∧ em) > 0}, Se rappresentiamo l’elemento a di Oq(V) come una matrice nella base ortonormale e1, . . ., em, i minori D+(a) formati dalle prime p righe e colonne e D−(a) dalle ultime q righe e colonne hanno entrambi determinate diverso da zero. Le a di O+
q(V) hanno D+(a) > 0, quelle di O−q(V) hanno D−(a) > 0. Quindi O+
q(V) `e il gruppo delle trasformazioni ortogonali che preservano l’o-rientazione dei sottospazi positivi massimali, O−q(V) quello delle trasformazioni ortogonali che preservano l’orientazione dei sottospazi negativi massimali.
Ciascuno dei sottogruppi SOq(V), O+
q(V), O−q(V) ha indice due in Oq(V) e ne `e un sottogruppo normale.
152 VIII. ALGEBRE DI CLIFFORD E SPINORI La componente connessa SO+
q(V) dell’identit`a di Oq(V) `e l’intersezione di una coppia qualsiasi di questi sottogruppi:
SO+
q(V)= O+q(V) ∩ SOq(V)= SO−
q(V)= O−
q(V) ∩ SOq(V)= O+q(V) ∩ O−q(V).
Definizione 8.4.1. Se v0∈ V `e un vettore anisotropo, l’applicazione
sv0 : V 3v −→ v − q 0(v, v0)
q(v0) v0∈ V
appartiene ad Oq(V) \ SOq(V) e si dice simmetria q-ortogonale di vettorev0. Osservazione 8.4.2. Se q0`e reale indefinita ev0positivo (risp. negativo), allora sv0 ∈ O−q(V) \ SOq(V) (risp. sv0 ∈ O+
q(V) \ SOq(V)).
Proposizione 8.4.3 (Cartan). Ogni trasformazione ortogonale `e prodotto di al pi`u m simmetrie rispetto a vettori anisotropi. (L’identit`a si considera, convenzio-nalmente, prodotto di0 simmetrie vettoriali.)
Dimostrazione. Ragioniamo per ricorrenza sulla dimensione m di V. Se m = 1 il gruppo Oq(V) contiene soltanto l’identit`a e la simmetria rispetto ad un vettore non nullo e quindi la tesi `e banalmente verificata. Supponiamo m > 1 e la tesi vera per spazi quadratici di dimensione minore di m. Sia a ∈ Oq(V). Se a fissa un vettore anisotropov0, si restringe ad una trasformazione ortogonale div0⊥, che per l’ipotesi induttiva `e prodotto di al pi`u m−1 simmetrie rispetto a vettori anisotropi div0⊥. Queste si estendono a simmetrie vettoriali di V che lasciano fisso il vettore v0e la cui composizione d`a a.
Se a non fissa nessun vettore anisotropo, ma vi `e un vettore anisotropov0tale chew0 = v0− a(v0) sia ancora anisotropo, allora sw0, lasciando fissov0+ a(v0) e trasformandow0in −w0, scambia tra lorov0ed a(v0). Quindi sw0◦ a lascia fisso il vettore anisotropov0ed `e, per la discussione precedente, prodotto di al pi`u m−1 simmetrie rispetto a vettori anisotropi. Quindi a = sw0 ◦ (sw0 ◦ a) `e prodotto di al pi`u m simmetrie rispetto a vettori anisotropi.
Rimane da considerare il caso in cui a non lasci fisso nessun vettore anisotropo e v − a(v) sia isotropo per ogni vettore anisotropo v. Poich´e i vettori anisotropi sono un aperto di Zariski di V, ne segue chev − a(v) `e isotropo per ogni v ∈ V e quindi W = {v −a(v) | v ∈ V} `e un sottospazio totalmente isotropo di V. Per ipotesi anche W0 = {v ∈ W | a(v) = v} `e totalmente isotropo. Poich´e W `e l’immagine e W0il nucleo di (idV − a), le dimensioni di W e di W0sono complementari. Dal momento che la dimensione di ciascun sottospazio isotropo non pu`o eccedere la met`a della dimensione di V, lo spazio V ha dimensione pari 2n e ciascuno dei W, W0, dimensione n e W = W⊥, W0 = W0⊥.
Abbiamo poi W ⊂ W0⊥ = W0, perch´e, se a(w )= w, q0(a(v) −v, w )= q0
(a(v), w ) − q0(v, w )= q0
(a(v), w ) − q0(a(v), a(w )) = q0
8.5. RAPPRESENTAZIONE SPINORIALE DELL’ALGEBRA ORTOGONALE 153 Quindi W e W0, avendo la stessa dimensione ed essendo contenuti l’uno nell’altro, coincidono. Essendo diversa dall’identit`a, a ha polinomio minimo (λ−1)2e quindi, in particolare, determinante 1.
Se v0 `e un qualsiasi vettore anisotropo, sv0 ◦ a ha allora determinante (−1) e,