Campi di vettori sulle sfere

Le algebre di Clifford, che introdurremo nel seguito, hanno importanti appli-cazioni sia in matematica che in fisica.

In questo capitolo introduttivo mostreremo come esse si associno in modo na-turale al problema dell’esistenza, sulle sfere euclidee Sⁿ, di sistemi di campi di vettori indipendenti privi di punti critici.

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E comunque interessante accennare anche al loro ruolo in meccanica quan-tistica. Tra la seconda met`a degli anni ’20 e l’inizio degli anni ’30 del secolo scorso, il fisico inglese Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) formul`o la sua teoria relativistica dell’elettrone, la cui validit`a fu confermata dalla scoperta suc-cessiva del positrone, da essa predetto. Tracciamone qui alcune idee fondamen-tali¹. Il problema di Dirac era di trovare un’equazione delle onde Dψ = λψ che fosse invariante rispetto al gruppo di Lorentz e compatibile con l’equazione di Klein-Gordonψ = λψ, ove  = (∂/∂x0)²−P3

i=1^(∂/∂xi)² `e l’operatore delle on-de in quattro variabili. Per il principio di causalit`a, D doveva essere un operatore del prim’ordine rispetto al tempo e, per l’invarianza rispetto al gruppo di Loren-tz, del prim’ordine anche rispetto alle altre coordinate. La soluzione di questo problema fu ottenuta considerando, invece della funzione d’onda complessa ψ, un n-vettoreΨ = (ψ1, . . . , ψn) di funzioni d’onda ed introducendo un nuovo operatore D = P3

i=0^γi· (∂/∂xi) in cui le γi fossero matrici n × n, con D² = diag (, . . . , ). Questa condizione si traduce per le matrici γi, in un sistema di equazioni algebriche γ_iγ_j+ γjγ_i = ±δi, j, che, come vedremo, caratterizzano, al variare dei segni e di n, le diverse algebre di Clifford reali.

Una propriet`a fondamentale della costruzione di Dirac `e il fatto che la trasfor-mazione delleΨ, associata ad una trasformazione di Lorentz, `e determinata solo a meno del segno. Ci`o `e conseguenza del fatto che leΨ sono gli elementi di una rap-presentazione del rivestimento a due fogli del gruppo di Lorentz, cio`e del gruppo spinoriale.

Ci`o corrisponde ad un fatto centrale della teoria delle rappresentazioni del gruppo ortogonale, che era stato scoperto e studiato in precedenza da Cartan e Weyl: nel caso del gruppo ortogonale SO(n), tutte le rappresentazioni della sua algebra di Lie sono essenzialmente generate dalla rappresentazione standard su Rⁿ (e le sue potenze esterne e simmetriche) e da una seconda rappresentazione che si

1vedi: H.Blaine Lawson, Jr, Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA, 1989.

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costruisce a partire dall’algebra generata dalle γi, cio`e dall’algebra di Clifford as-sociata alla forma quadratica che definisce il gruppo ortogonale, e che si chiama la rappresentazione spin. Questa non `e una rappresentazione del gruppo ortogonale, ma del suo rivestimento Spin(n). Oltre alle motivazioni fisiche appena descritte, la rappresentazione spin ha un ruolo centrale in molte questioni matematiche: oltre ai campi di vettori sulle sfere, di cui ci occupiamo in questo capitolo, entra in pro-blemi di immersioni di variet`a, nell’integralit`a di alcuni numeri caratteristici, nella trialit`a in dimensione otto, in questioni di esistenza di strutture complesse, nell’e-sistenza di metriche con curvatura scalare positiva, nella teoria dell’indice degli operatori ellittici sulle variet`a compatte, nell’introduzione dell’importante classe delle variet`a di spin, che sono oggetto dell’opera citata in nota.

7.1. Vettori tangenti unitarii sulle sfere

Sappiamo che, su S¹= {eıθ | θ ∈ R} ⊂ C, la derivata _∂θ^∂ definisce un campo di vettori unitarii. Dimostriamo innanzi tutto il seguente

Proposizione 7.1.1. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e esista un cam-po di vettori unitario sulla sferaSⁿ`e che n sia un numero dispari.

Dimostrazione. Ricordiamo l’identificazione TSⁿ= {(x, v) ∈ Sn

× Rⁿ⁺¹| (x|v)= 0} ⊂ Sn

× Rⁿ⁺¹.

Supponiamo che n= 2m − 1 sia un numero dispari. Possiamo allora considerare la sfera Snimmersa nello spazio complesso Cm' Rn+1_{. L’applicazione}

Sⁿ3 z → (z, i · z) ∈ T Sⁿ ⊂ Sⁿ× C^m `e un campo di vettori unitario su Sⁿ.

Supponiamo viceversa che vi sia su Sⁿun campo di vettori Sⁿ 3 x → v(x) ∈ Sⁿ, con (x|v(x)) = 0 per ogni x. Allora v(x) `e linearmente indipendente da x per ogni x ∈Sⁿe quindi

Sⁿ× [0, 1] 3 (x, t) −→ ft(x)= (1 − 2t) · x + 2p

t − t2· v(x) ∈ Sⁿ

`e un’omotopia inC (Sn, Sn) dell’identit`a con la mappa antipodale. Questa ha grado

(−1)ⁿ+1_{ed n deve quindi essere un numero dispari.} 

Osservazione 7.1.2. Sia m un intero e consideriamo la sfera S^4m−1 immersa nello spazio vettoriale H^m, Allora, per ogni q ∈ S² ⊂ R³ ' {q ∈ H | ¯q = −q} i campi Lq: S^4m−1 3 ξ → q · ξ ∈ S^4m−1ed Rq: S^4m−1 3 ξ → ξ · q ∈ S^4m−1, essendo q · ξe ξ · q ortogonali a ξ, sono campi di vettori unitari tangenti ad S^4m−1.

7.2. Moltiplicazione ortogonale

Definizione 7.2.1. Chiamiamo moltiplicazione ortogonale un’applicazione (7.1)              R^k× Rⁿ3 (ξ, x) −→ ξ × x ∈ Rⁿ, bilineare e tale che

7.2. MOLTIPLICAZIONE ORTOGONALE 137 Esempio 7.2.2. Il prodotto vettore in R³ `e un esempio di moltiplicazione orto-gonale, con n= k = 3.

Lemma 7.2.3. Sia (7.1) una moltiplicazione ortogonale. Allora (1) k ≤ n;

(2) per ogni ξ ∈ S^k−1, l’applicazione u_ξ : Rⁿ 3 x → ξ × x ∈ Rⁿdefinisce un elemento uξdel gruppo ortogonale O(n);

(3) per ogni x ∈ Sⁿ⁻¹, l’applicazioneıx : R^k 3 ξ → ξ × x ∈ Rⁿ `e un’immer-sione ortogonale di R^kin Rⁿ.

Ricordiamo che un’immersione ortogonale di R^k in Rⁿ `e un’applicazione lineare φ: R^k → Rⁿtale che(φ(ξ)|φ(η))_Rn = (ξ|η)_Rk.

Dimostrazione. Gli enunciati (2) e (3) seguono dalle formule di polarizzazio-ne, che ci dicono che una trasformazione lineare che preserva le lunghezze dei vettori `e un’immersione ortogonale. La (1) `e conseguenza della (3).  Lemma 7.2.4. Se (7.1) `e una moltiplicazione ortogonale e u ∈ O(n), allora anche

(7.2) _R^k× Rⁿ3 (ξ, x) −→ ξ ×u x= ξ × u(x) ∈ Rn

`e una moltiplicazione ortogonale. 

Definizione 7.2.5. Le due moltiplicazioni ortogonali (7.1) e (7.2) si dicono equivalenti.

Definizione 7.2.6. Chiamiamo normalizzata una moltiplicazione ortogonale (7.1) per cui

(7.3) e_k× x= x, ∀x ∈ Rn.

Lemma 7.2.7. Ogni moltiplicazione ortogonale `e equivalente ad una

moltipli-cazione ortogonale normalizzata. 

Proposizione 7.2.8. Se (7.1) `e una moltiplicazione ortogonale normalizzata, allora le ue₁(x), . . . , ue_k−1(x), per x ∈ Sⁿ⁻¹, sono(k − 1) campi di vettori unitarii,

due a due tra loro ortogonali, tangenti adSⁿ⁻¹. 

Teorema 7.2.9. L’insieme delle moltiplicazioni ortogonali R^k× Rⁿ→ Rⁿ `e in corrispondenza biunivoca con le(k − 1)-uple u₁, . . . , u_k−1 di elementi di O(n) che soddisfano le condizioni

u²_i = −id, ui◦ uj+ uj◦ ui= 0, ∀1 ≤ i , j < k. (7.4)

La corrispondenza si ottiene ponendo uk= id e

(7.5) e_i× x= ui(x), ∀x ∈ Rⁿ, 1 ≤ i ≤ k.

Dimostrazione. Data una moltiplicazione ortogonale normalizzata e defini-ti gli ui mediante la (7.5), per ogni (λ1, · · · , λk) ∈ S^k−1 l’applicazione uP

iλiu_i `e ortogonale. Quindi id=^X_iλ_iu_i^{ X} iλ_iu_i ∗ =^X_{1≤i, j≤k}λ_iλ_j· ui◦ u^∗_j

138 VII. CAMPI DI VETTORI SULLE SFERE =^Xk_i=1λ²_i



· id+X

1≤i< j≤kλ_iλ_j(ui◦ u^∗_j+ uj◦ u^∗_i). Da questa ricaviamo che

ui◦ u^∗_j + uj◦ u^∗_i = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ k Per j = k quest’uguaglianza d`a ui = −u∗

i = −u−1

i , e quindi u²_i = −id per ogni i= 1, 2, . . . , k − 1. Sostituendo u∗

i = −uiper 1 ≤ i < k, otteniamo le ui◦ uj+ uj◦ ui = 0, ∀1 ≤ i < j < k.

Viceversa, supponiamo date le u1, . . . , u_k−1ed usiamo le (7.5), insieme ad ek× x= x per ogni x, per definire una forma bilineare Rk

× Rⁿ 3 (ξ, x) → ξ × x ∈ Rⁿ. Utilizzando le ipotesi (7.4) sulle uisi verifica immediatamente che vale la kξ × xk= kξk · kxk, per ogni ξ ∈ Rk

ed x ∈ Rⁿ. 

Le (7.4) caratterizzano le regole di moltiplicazione dei generatori di un’algebra di Clifford e la loro azione su Rncome trasformazioni ortogonali `e una rappresenta-zione dell’algebra di Clifford. Il problema dell’esistenza di campi di vettori unitari tangenti alle sfere sono quindi naturalmente legati alle rappresentazioni ortogonali delle algebre di Clifford.

CAPITOLO VIII