Analisi dei valori medi

La Figura 4.13 riporta il confronto tra i valori medi dei contributi al bilancio della quantità di moto a distanze x dall’asse della turbina pari a 1𝐷, 2.5𝐷, 4𝐷 e 6𝐷, mentre in Tabella 4.4 sono riportati i valori medi alle stesse distanze per le due tipologie di profilo alare analizzate. Si ricorda che i contributi sono tutti adimensionalizzati rispetto a 𝐷 𝑈⁄ 02.

Le dimensioni dei piani su cui valutare il valore medio dei contributi a 𝑥 = 1𝐷 e a 𝑥 = 4𝐷 sono state scelte nel Capitolo 3: il piano a 𝑥 = 1𝐷 è caratterizzato da un’estensione pari a 10 ∙ 𝑐 sia lateralmente che verticalmente oltre l’ingombro della turbina, mentre il piano a 𝑥 = 4𝐷 si estende, sia lateralmente che verticalmente, per 15 ∙ 𝑐 oltre l’ingombro della turbina. Per verificare la presenza di un trend allontanandosi dall’asse della turbina viene analizzato anche un piano posto a 𝑥 = 2.5𝐷 e un piano posto a 𝑥 = 6𝐷. Per questi piani non viene effettuata l’analisi di sensitività all’estensione del piano, ma quest’ultima viene scelta scalando linearmente le estensioni del piano a 𝑥 = 1𝐷 e a 𝑥 = 4𝐷: il piano a 𝑥 = 2.5𝐷 si estende sia lateralmente che verticalmente per 12.5 ∙ 𝑐 oltre l’ingombro della turbina, mentre il piano a 𝑥 = 6𝐷 si estende oltre l’ingombro della turbina di una quota pari a 18.3 ∙ 𝑐 sia verticalmente che lateralmente.

100

Figura 4.13: Istogramma dei valori medi dei contributi al bilancio della quantità di moto per pale curvate verso l’esterno e pale curvate verso l’interno.

𝑥 = 1𝐷 𝑥 = 2.5𝐷 𝑥 = 4𝐷 𝑥 = 6𝐷 Convezione laterale _{−3.75𝐸 − 02 −1.33𝐸 − 02 −1.04𝐸 − 03 5.54𝐸 − 03} Convezione verticale 2.93𝐸 − 03 1.42𝐸 − 02 1.32𝐸 − 02 1.30𝐸 − 02 Gradiente pressione x _{−3.57𝐸 − 03 −3.64𝐸 − 02 −3.40𝐸 − 03 −1.25𝐸 − 02} Trasporto turbolento x 1.62𝐸 − 04 5.03𝐸 − 05 4.24𝐸 − 05 5.41𝐸 − 05 Trasporto turbolento y _{5.90𝐸 − 06 7.68𝐸 − 05 4.04𝐸 − 05 5.88𝐸 − 06} Trasporto turbolento z 2.00𝐸 − 04 9.11𝐸 − 05 2.67𝐸 − 05 −1.45𝐸 − 04 Diffusione viscosa _{6.79𝐸 − 08 6.17𝐸 − 08 2.51𝐸 − 08 −5.54𝐸 − 09} 𝑥 = 1𝐷 𝑥 = 2.5𝐷 𝑥 = 4𝐷 𝑥 = 6𝐷 Convezione laterale _{−2.61𝐸 − 02 −2.11𝐸 − 03 8.64𝐸 − 03 1.43𝐸 − 02} Convezione verticale _{−1.85𝐸 − 02 1.11𝐸 − 04 3.32𝐸 − 03 9.25𝐸 − 03} Gradiente pressione x _{4.41𝐸 − 03 −3.63𝐸 − 02 −5.84𝐸 − 03 −1.66𝐸 − 02} Trasporto turbolento x _{1.49𝐸 − 04 6.66𝐸 − 05 3.19𝐸 − 05 2.24𝐸 − 05} Trasporto turbolento y _{5.31𝐸 − 05 1.09𝐸 − 04 9.10𝐸 − 05 1.34𝐸 − 06} Trasporto turbolento z 1.15𝐸 − 04 2.38𝐸 − 05 7.64𝐸 − 06 1.13𝐸 − 06 Diffusione viscosa _{1.22𝐸 − 07 1.05𝐸 − 08 7.25𝐸 − 09 3.20𝐸 − 09}

Tabella 4.4: Valori medi dei contributi al bilancio della quantità di moto per pale curvate verso l’esterno e pale curvate verso l’interno.

Si ricorda che alla distanza dall’asse della turbina pari a 𝑥 = 6𝐷 le simulazioni non sono ancora arrivate a regime, quindi i valori medi ottenuti non sono corretti in assoluto, ma possono essere ritenuti validi per un confronto tra le due tipologie di profilo alare.

I contributi che registrano un valore medio positivo favoriscono il recupero energetico della scia dal momento che indicano un aumento (gradiente positivo) della componente x della quantità di moto, al contrario dei contributi il cui valore medio è negativo. È importante

-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01

0.015 AR2 Pale curvate_out

x=1D x=2.5D x=4D x=6D -0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01

0.015 AR2 Pale curvate_in

x=1D x=2.5D

x=4D x=6D

Pale curvate_in Pale curvate_out

101 specificare che il segno dei fenomeni di convezione non dipende solamente dal verso dei vettori della velocità osservato precedentemente. Infatti, il contributo di convezione laterale è il prodotto di due termini, −𝑣 ∙ 𝜕𝑢/𝜕𝑦, e il contributo di convezione verticale è −𝑤 ∙ 𝜕𝑢/𝜕𝑧. Per comprendere il segno di questi contributi è quindi necessario combinare il segno dei vettori della velocità e il segno della derivata della velocità in direzione x rispetto alla direzione y o alla direzione z, che si può intuire dal campo della velocità in direzione x sui piani verticali.

Confrontando i valori medi dei contributi per le due diverse tipologie di pale si osserva che nel caso di pale curvate verso l’esterno a 𝑥 = 1𝐷 il contributo di convezione verticale è positivo, mentre nel caso di pale curvate verso l’interno è negativo. Questo è concorde con i flussi indotti dai vortici e con il campo di velocità x per le due turbine: nel caso di pale curvate verso l’esterno le due coppie di vortici controrotanti agiscono attraverso la convezione verticale favorendo il trasporto di quantità di moto in scia; nel caso di pale curvate verso l’interno il grande vortice antiorario generato nella seconda parte del percorso downwind favorisce la riduzione della quantità di moto in scia attraverso il fenomeno di convezione verticale. La convezione laterale è negativa per entrambe le tipologie di pale, anche se è più grande nel caso di pale curvate verso l’interno. Anche questo è concorde con i flussi indotti dai vortici e con la distribuzione della velocità x sul piano. I valori di convezione laterale e convezione verticale confermano la forma della scia osservata precedentemente: nel caso di pale curvate verso l’esterno il maggior contributo di convezione verticale e il minor contributo di convezione laterale favoriscono lo sviluppo di una scia più bassa e più allargata sul lato sopravento (a causa della convezione laterale che porta il flusso fuori dalla scia, anziché dentro) rispetto alla scia generata nel caso di pale curvate verso l’interno.

Il contributo del gradiente di pressione in direzione x è negativo per le pale curvate verso l’esterno mentre è positivo per le pale verso l’interno. Ciò è dovuto alla forte dipendenza della pressione statica al passaggio delle pale che si registra a 𝑥 = 1𝐷.

I contributi di trasporto turbolento e di diffusione viscosa sono positivi e degli stessi ordini di grandezza indipendentemente dal tipo di profilo alare.

All’aumentare della distanza dall’asse della turbina nel caso di pale curvate verso l’esterno il contributo di convezione verticale è il contributo che permette maggiormente il recupero energetico della scia, contribuisce positivamente anche la convezione laterale ma in misura minore; nel caso di pale curvate verso l’interno il contributo principale che permette il

102 recupero energetico della scia è il contributo di convezione laterale, anche il contributo di convezione verticale contribuisce positivamente ma in misura minore. Anche in questo caso tali valori confermano la forma della scia osservata precedentemente.

Per entrambe le tipologie di pale il contributo del gradiente di pressione in direzione x contribuisce negativamente al recupero energetico della scia, e questo è confermato dall’analisi del rendering della pressione statica. Infatti, analizzando il campo di pressione statica su piani verticali e orizzontali si osserva che a 𝑥 = 2.5𝐷, 𝑥 = 4𝐷 e 𝑥 = 6𝐷 la pressione sta recuperando e quindi il contributo al bilancio della quantità di moto è negativo (in quanto è −𝜕𝑃/𝜕𝑥). Ad una distanza compresa tra 𝑥 = 4𝐷 e 𝑥 = 6𝐷 si registra una riduzione di pressione, ma successivamente viene di nuovo recuperata. Vale quindi la teoria del disco attuatore nonostante in questo caso il fluido sia reale (e quindi viscoso): a valle della turbina la pressione viene gradualmente recuperata fino a raggiungere il valore della pressione del flusso indisturbato a monte della turbina [63].

I contributi di trasporto turbolento sono maggiori nel caso di pale curvate verso l’esterno, ma sono comunque più piccoli di almeno un ordine di grandezza rispetto al contributo più importante per il recupero energetico della scia, ovvero la convezione verticale. Nel caso di pale curvate verso l’interno invece i contributi di trasporto turbolento sono più piccoli di almeno due ordini di grandezza rispetto al contributo più importante ai fini del recupero energetico, cioè la convezione laterale.

Il contributo di diffusione viscosa è invece trascurabile rispetto a tutti gli altri contributi sia nel caso di pale curvate verso l’esterno che nel caso di pale curvate verso l’interno.

In entrambi i casi per tutte le distanze analizzate si registra una predominanza dei fenomeni causati dal flusso medio rispetto ai fenomeni causati dalle fluttuazioni turbolente.

A 𝑥 = 6𝐷 il valore medio del contributo di convezione laterale è positivo. Tale valore non è giustificabile analizzando solamente le frecce della velocità: nonostante le frecce della velocità indichino un flusso uscente il valore medio del contributo di convezione laterale è positivo. Ciò si ritiene che sia dovuto al valore assunto da 𝜕𝑢/𝜕𝑦 a questa distanza dall’asse della turbina, osservabile dal campo di velocità in direzione x sul piano verticale.

In Tabella 4.5 viene riportato il valore medio del grado di recupero energetico della scia alle varie distanze dall’asse della turbina:

𝑥 = 1𝐷 𝑥 = 2.5𝐷 𝑥 = 4𝐷 𝑥 = 6𝐷

Pale curvate_out −3.78𝐸 − 02 −3.53𝐸 − 02 8.86𝐸 − 03 5.88𝐸 − 03 Pale curvate_in −3.99𝐸 − 02 −3.81𝐸 − 02 6.25𝐸 − 03 7.01𝐸 − 03 Tabella 4.5: Valori medi del grado di recupero della quantità di moto per pale curvate verso l’esterno

103 Il grado di recupero è stato calcolato come la somma di tutti i contributi al bilancio della quantità di moto e permette di capire se 𝑢 ∙ 𝜕𝑢/𝜕𝑥 sta aumentando (grado di recupero positivo) oppure diminuendo (grado di recupero negativo).

A 𝑥 = 1𝐷 e a 𝑥 = 2.5𝐷 il grado di recupero è negativo per entrambe le tipologie di profilo alare, anche se è maggiore nel caso di pale curvate verso l’esterno. A 𝑥 = 4𝐷 il grado di recupero energetico della scia è positivo per entrambe le tipologie di profilo alare, ma rimane più elevato per le pale curvate verso l’esterno. Nel passaggio da 𝑥 = 4𝐷 a 𝑥 = 6𝐷 si osserva che il grado di recupero per le pale curvate verso l’esterno diminuisce, mentre aumenta per le pale curvate verso l’interno. Ciò indica che quando le pale sono curvate verso l’esterno viene raggiunto un massimo valore del grado di recupero energetico che poi tende a ridursi all’aumentare della distanza dall’asse della turbina. Invece, il massimo valore del grado di recupero non è ancora stato raggiunto nel caso di pale curvate verso l’interno, quindi il processo di rienergizzazione della scia è ancora in evoluzione. Questo è concorde con le osservazioni effettuate analizzando l’area sottesa alle curve isolivello, ovvero che il recupero energetico della scia è rapido quando le pale sono curvate verso l’esterno. Inoltre, l’azione dei vortici ritardata rispetto alla distanza 𝑥 = 1𝐷 è congruente con il raggiungimento della minima velocità a distanze superiori rispetto a 𝑥 = 1𝐷.

Si conclude quindi che le pale curvate verso l’esterno sono in grado di favorire il recupero energetico della scia a distanze lungo x più piccole rispetto alle pale curvate verso l’interno.

Al fine di confrontare i risultati con quelli ottenuti da Bachant e Wosnik si riporta il grado di recupero energetico senza tener conto del contributo del gradiente di pressione in direzione x e del trasporto turbolento in direzione x (poiché gli autori hanno a disposizione misure sperimentali su un unico piano e non possono quindi ottenere le derivate rispetto all’asse x). In questo caso viene considerato interamente il contributo di diffusione viscosa, e non solamente i termini che non dipendono dalla derivata rispetto a x come effettuato da Bachant e Wosnik, poiché la UDF utilizzata non fornisce i termini del contributo di diffusione viscosa separatamente. Ciò può essere ritenuto valido perché il contributo di diffusione viscosa è trascurabile rispetto ai contributi generati dal flusso medio e dalle fluttuazioni turbolente.

𝑥 = 1𝐷 𝑥 = 2.5𝐷 𝑥 = 4𝐷 𝑥 = 6𝐷

Pale curvate_out −3.43𝐸 − 02 1.11𝐸 − 03 1.22𝐸 − 02 1.84𝐸 − 02 Pale curvate_in −4.44𝐸 − 02 −1.86𝐸 − 03 1.21𝐸 − 02 2.35𝐸 − 02 Tabella 4.6: Valori medi del grado di recupero della quantità di moto per pale curvate verso

104 Si osserva che sia per pale curvate verso l’esterno che per pale curvate verso l’interno il grado di recupero rimane negativo a 𝑥 = 1𝐷, a differenza di quanto osservato da Bachant e Wosnik per pale simmetriche. Questo si ritiene che sia una conseguenza della diversa solidità e del diverso aspect ratio delle turbine utilizzate. Infatti, nonostante a 𝑥 = 1𝐷 la scia sia nella zona di near wake sia per i casi qui analizzati sia per il caso studiato da Bachant e Wosnik, questa si trova in condizioni di sviluppo diverse a causa del diverso aspect ratio e della diversa solidità. Poiché in assenza del contributo del gradiente di pressione in direzione x i contributi più importanti sono i fenomeni di convezione, si osserva che a 𝑥 = 2.5𝐷 la somma dei contributi di convezione laterale e verticale favorisce il recupero energetico della scia nel caso di pale curvate verso l’esterno, contrariamente a quanto registrato nel caso di pale curvate verso l’interno.

È importante sottolineare che il coefficiente di potenza prodotto (𝐶_𝑃) al variare del tipo di profilo alare è molto simile nei vari casi (49.776% per le pale simmetriche, 49.085% per le pale curvate verso l’interno, 49.876% per le pale curvate verso l’esterno). Questo è importante perché a parità di 𝐶𝑃 le differenze che si registrano in scia sono dovute solamente alla diversa tipologia di profilo alare. In realtà le pale curvate verso l’esterno hanno un 𝐶𝑃 leggermente maggiore rispetto alle pale curvate verso l’interno, quindi il flusso viene frenato maggiormente per estrarre potenza, e nonostante questo il grado di recupero è maggiore rispetto alle pale curvate verso l’interno. Questo significa che i vortici alle punte indotti dalle pale curvate verso l’esterno favoriscono il recupero energetico della scia rispetto ai vortici alle punte generati dalle pale curvate verso l’interno.