Si affronta qui la naturale estensione alle tre dimensioni del precedente problema 2-D. Gli scopi sono i medesimi del caso precedente e in aggiunta si vuol fare un confronto tra i modelli SST e k- ω.
Si riportano due differenti definizioni del problema in modo da evidenziare il processo che ha portato alla convergenza del calcolo.
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Definizione della prima geometria
Come primo passo si è esteso il modello in maniera esatta.
Figura 29 - Prima geometria costruita
Ossia si è costruita un parallelepipedo, che rappresenta il dominio risolutivo, al centro della quale si è scavato un cilindro di raggio 𝑅𝑐 = 40 𝑚𝑚 ed altezza ℎ_𝑐𝑦𝑙 = 100 𝑚𝑚.
Trattandosi di un problema 3-D e ricordando quanto affrontato nella prima sezione del sottocapitolo precedente, si può rilassare la condizione sulla distanza tra il cilindro e le pareti esterne del dominio risolutivo.
Cioè la distanza minima tra le pareti laterali e il cilindro in questo caso è 𝑑𝑖 = 800 𝑚𝑚, mentre la distanza tra le pareti superiore e inferiore, sempre rispetto al cilindro, deve essere 𝑑𝑠𝑜𝑝 = 𝑑𝑠𝑜𝑡 =
1000 𝑚𝑚.
Si sono poi inseriti due altri cilindri ausiliari per il controllo della mesh, in maniera esattamente uguale al problema precedente e con le stesse dimensioni.
Infine si è inserito un parallelepipedo che si estende verso la zona posteriore del cilindro, in modo che contenga la prima parte della sua scia. Ciò consente di affinare la mesh al suo interno, per poter aumentarne la risoluzione e ottenere una migliore descrizione delle turbolenze anche nella scia; così da favorire la convergenza del problema. La lunghezza del parallelepipedo è stata scelta in maniera qualitativa per raggiungere una distanza dal cilindro di almeno una decina di volte il suo diametro, considerando che nelle corrispondenti simulazioni 2-D a tale distanza le perturbazioni della pressione risultano abbastanza attenuate, rispetto ai valori massimi. Nella zona sopravento e lateralmente al cilindro, invece si è scelta una distanza dal cilindro ausiliario esterno di controllo pari allo spessore di quest‟ultimo. Uno spessore minore avrebbe guidato una risoluzione più fine della mesh in questa zona del dominio rispetto a quella del cilindro interno. Riassumendo il parallelepipedo ha dimensioni:
Parametro Valore Descrizione
w_turbo 160 mm Profondità del parallelepipedo
h_turbo 180 mm Altezza del parallelepipedo
l_turbo 680 mm Lunghezza del parallelepipedo Tabella 5 – Parametri delle dimensioni del parallelepipedo di controllo della mesh
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Si sono impostate le medesime interfacce k-ε e SST, con le stesse condizioni al contorno del caso precedente.
Si riportano in Tabella 6 solo le geometrie a cui sono applicate, i parametri sono i medesimi di quelli in Tabella 4.
Condizione al contorno Geometria di applicazione Inlet Faccia con bordi rossi in Figura 29
Outlet Faccia con bordi gialli in Figura 29
Simmetry Faccia con bordi verdi in Figura 29
Wall Intera superficie del cilindro Tabella 6 – Geometrie di applicazione delle condizioni al contorno
Anche in questo caso sono state definite due mesh , una per la risoluzione del modello k-ε, l‟altra per la risoluzione dell‟SST, per adattarle meglio alle specifiche esigenze.
Sono entrambe costruite su più livelli “Free Tetrahedral” e un livello “Boundary Layer”. Se ne riporta un riassunto in Tabella 7:
Livello Dominio applicazione Dimensioni k-ε Dimensioni SST bound
Cilindro di controllo interno
Predefinite, “Finer” Custom , MaxS = 1.9 mm,
MinS = 0.004 mm turbo
Cilindro di controllo esterno
Predefinite, “Finer” Custom , MaxS = 4 mm,
MinS = 0.4 mm turbo2
Parallelepipedo di controllo Predefinite, “Normal” Predefinite, “Extra
fine”
resto Geometria rimanente Predefinite, “Coarser” Predefinite, “Fine”
Boundary Layer
Intera superficie del cilindro
NBL = 15
resto Default
NBL = 30;
Spessore primo layer: manual;
TFBL = 0.1 mm
Tabella 7 - Riassunto dei livelli della mesh. MaxS: dimensione massima degli elementi, MinS: dimensione minima degli elementi, NBL: numero dei boundary layers, TFBL: spessore del primo boundary layer
Studio sulla prima geometria
Lo studio è stato definito con due step: uno stazionario che risolve il k-ε con la relativa mesh e l‟altro stazionario con inizializzazione che risolve l‟SST con la relativa mesh. Quest‟ultimo prende come valori iniziali la soluzione dello step precedente.
Tutti i parametri sono lasciati di Default.
Risultati sulla prima geometria
Nonostante un raffinamento abbastanza spinto della mesh, il risolutore per il modello SST non converge, neanche per i più bassi valori di Re.
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A questo proposito occorre fare una considerazione che si è rivelata corretta su tutte le simulazioni eseguite: all‟aumentare del numero di Reynolds il problema mostra maggiori difficoltà di convergenza.
Generalmente un infittimento della mesh tende invece a facilitare la convergenza e, a volte, a compensare l‟aggravamento dovuto all‟aumento di Re. Tuttavia è necessario considerare che una mesh più fitta porta inevitabilmente ad un aumento della complessità computazionale. Infatti in un modello 3-D, soprattutto di dimensioni macroscopiche, il numero di gradi di libertà può aumentare a dismisura anche con un lieve aumento nella risoluzione della mesh. Ovviamente più sono i gradi di libertà, maggiore capacità di memoria verrà richiesta per il calcolo, maggiori sono i tempi di calcolo.
Dal punto di vista pratico, ciò si traduce banalmente in un limite non trascurabile legato alle capacità di memoria e di calcolo della macchina fisica a disposizione.
In conclusione, si è resa necessaria una ridefinizione del problema.
Definizione della seconda geometria
Come già più volte asserito, è cruciale una definizione della geometria che consenta di ridurre il più possibile i gradi di libertà. Una soluzione banale è quella di ridurre le dimensioni del dominio risolutivo. Le clausole ovvie sono quella di preservare l‟aderenza del modello alla realtà e, nel nostro caso, rispettare le distanze dell‟ostacolo dalle pareti.
Un metodo spesso utilizzato è quello di sfruttare le simmetrie geometriche del sistema. Le interfacce di COMSOL infatti consentono di definire dei piani di simmetria.
Nel caso in esame si è deciso di definire un piano di simmetria in corrispondenza della metà dell‟altezza del cilindro, così da ridurre il problema a circa la metà.
Figura 30 - Seconda geometria costruita
In Figura 30 è riportata la definizione della nuova geometria: il cilindro è appoggiato sul piano di simmetria inferiore. In sostanza il tutto è equivalente ad una struttura raddoppiata nella direzione -z, ossia ad un cilindro di lunghezza doppia inserito in una scatola, similmente al caso precedente.
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Si sono mantenuti i due cilindri ed il parallelepipedo di controllo della mesh con gli spessori invariati.
Il cilindro ha altezza ℎ_𝑐𝑦𝑙 = 200 𝑚𝑚.
Le distanze tra pareti laterali e superiore della scatola e il cilindro sono mantenute. Si riporta in Tabella 8 un riassunto dei parametri geometrici:
Paramet ro
Valore Descrizione
Rc 40 mm Raggio del cilindro
di 800 mm Distanza tra ingresso e parete del cilindro
du 800 mm Distanza tra uscita e parete del cilindro
dl 800 mm Distanza tra bordi laterali e parete del cilindro
dsop 1000 mm Distanza tra bordo superiore e parete del cilindro
Wbox di + du + 2Rc = 1680 mm Larghezza della scatola (lungo x) Hbox 2dl + 2Rc = 1680 mm Profondità della scatola (lungo y)
t_box dsop + h_cyl = 1200 mm Altezza della scatola (lungo z)
db
2 mm Spessore del dominio ausiliario per la mesh in prossimità della perete del cilindro
dm
20mm Spessore del secondo dominio ausiliario per la mesh
l_turbo
680 mm Lunghezza del parallelepipedo di controllo della mesh (lungo x)
w_turbo
160 mm Profondità del parallelepipedo di controllo della mesh (lungo y)
h_turbo
240 mm Altezza del parallelepipedo di controllo della mesh (lungo z)
Tabella 8 - Riassunto dei nuovi parametri geometrici Si è inoltre definita come parametro globale la velocità del flusso V0.
Come materiale si è usata l‟aria, presente nelle librerie di COMSOL. Questa contiene già le definizioni di densità e viscosità dinamica. Si è applicata a tutto il dominio risolutivo.
Definizione del modello
In questa seconda fase si sono definite le medesime due interface k-ε ed SST, con le stesse finalità dei casi precedenti. Le condizioni al contorno sono le medesime della prima geometria.
Si è inserita poi un‟interfaccia k-ω per poter fare un confronto con l‟SST.
Tutti e tre i modelli hanno le stesse condizioni al contorno, e sono impostati per fluido incomprimibile. Nell‟interfaccia SST si è impostato come Wall treatment l‟opzione Low-Re, che forza il modello a non usare le wall function.
In Tabella 9 è riportato un riassunto con le eventuali note per specificare i parametri importanti; ciò che non è specificato è da considerarsi di default
Condizione al contorno
Geometria di applicazione note
Inlet Faccia con bordi rossi in Figura 30 Boundary condition: velocity Normal velocity inflow con U0 = V0
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Outlet Faccia con bordi gialli in Figura 30 Boundary condition: velocity Pressure p0 = 1 atm
Suppress Backflow
Simmetry Facce con bordi verdi in Figura 30
Wall Intera superficie del cilindro Wall condition: no slip Tabella 9 - Condizioni al contorno per la nuova geometria
La temperatura di riferimento impostata è T = 293.15 K ; densità e viscosità dinamica sono impostate “da materiale”.
Mesh
Si sono definite tre mesh distinte, tutte con quattro livelli “Free Tetrahedral” ed un “Boundary Layer”.
La necessità di un‟ulteriore mesh è dettata da problemi di convergenza al valore più alto di velocità simulato, corrispondente a Re = 14500. Si è reso necessario un raffinamento della mesh per riuscire a far convergere il problema anche a questa velocità, ma per non aggravare il carico computazionale negli altri casi si è optato di applicare il raffinamento solo al caso con l numero di Reynoldds più alto.
Riassumendo: due mesh (Mesh k-ε e Mesh SST) sono usate in maniera classica, cioè per la risoluzione di k-ε e SST; la terza (Mesh 14.5K) è usata per risolvere il modello SST alla velocità corrispondente a Re = 14500.
Il modello k-ω è risolto con la Mesh SST.
Si riportano in Tabella 10 le dimensioni dei livelli delle mesh k-ε e SST, mentre in Tabella 11 le dimensione per i livelli della mesh 14.5K.
Tutte le mesh sono ottimizzate per la fluidodinamica.
Livello Dominio applicazione Dimensioni k-ε Dimensioni SST bound
Cilindro di controllo interno
Predefinite, “Finer” Custom , MaxS = 2 mm,
MinS = 0.05 mm turbo
Cilindro di controllo esterno
Predefinite, “Finer” Custom , MaxS = 5 mm,
MinS = 0.5 mm turbo2 Parallelepipedo di
controllo
Predefinite, “Normal” Predefinite, “Fine”
resto Geometria rimanente Predefinite, “Coarser” Predefinite, “Fine”
Boundary
Layer Intera superficie del cilindro
NBL = 15
resto Default
NBL = 30
Spessore primo layer: manual;
TFBL = 0.2 mm
Tabella 10 - Riassunto dei livelli delle mesh k-ε e SST. MaxS: dimensione massima degli elementi, MinS: dimensione minima degli elementi, NBL: numero dei boundary layers, TFBL: spessore del primo boundary layer
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Livello Dominio applicazione Dimensioni 14.5K bound
Cilindro di controllo interno Custom , MaxS = 1 mm,
MinS = 0.04 mm turbo
Cilindro di controllo esterno Custom , MaxS = 2 mm,
MinS = 0.2 mm turbo2 Parallelepipedo di controllo Predefinite, “Finer”
resto Geometria rimanente Predefinite, “Fine”
Boundary Layer
Intera superficie del cilindro
NBL = 40
Spessore primo layer: manual;
TFBL = 0.1 mm
Tabella 11 - Riassunto dei livelli delle mesh 14.5K. MaxS: dimensione massima degli elementi, MinS: dimensione minima degli elementi, NBL: numero dei boundary layers, TFBL: spessore del primo boundary layer
Studio
Riassumiamo gli scopi di questa sessione di simulazione.
Si vuole confrontare l‟andamento simulato del coefficiente di pressione su una sezione trasversale del cilindro rispetto a quello in letteratura, per più numeri di Reynolds, usando sia il modello SST che il modello k- ω;
In particolar modo si sono simulati:
tre valori di velocità per l‟SST: V0 = 0.53, 1.59, 2.72 m/s, corrispondenti a Re = 2900, 8500, 14500;
un valore di velocità per il k- ω: V0 = 0.53 m/s, corrispondente a Re = 2900. Si sono definiti tre studi.
Il primo per la risoluzione per primi due valori di V0, composto dei seguenti tre step: step 1: stazionario per la risoluzione di k-ε, con la Mesh k-ε.
step 2: inizializzazione della Wall Distance per l‟SST (designato in automatico), con la Mesh SST e come valori iniziali la soluzione del k-ε
step 3: stazionario per la risoluzione di SST, con la Mesh SST e valori iniziali prelevati dalla soluzione dello step 2. Si è impostato su questo lo Sweep parametrico ausiliario con la lista dei primi due valori di V0.
Il secondo studio per la risoluzione del valore V0 = 2.72 m/s (Re = 14500), composto di due step, di cui uno è quello automatico di inizializzazione. Come valori iniziali si è impostata la soluzione per V0 = 1.59 m/s dello studio precedente. Utilizza la Mesh 14.5K.
Il terzo studio per la risoluzione del k-ω, composto da un solo step stazionario. Usa come valori iniziali la soluzione per V0 = 0.53 m/s del primo studio.
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Risultati e discussione:
Si riportano di seguito i risultati ottenuti dai due modelli, SST e k-ω, delle distribuzioni di velocità e pressione per alcuni valori di V0.
Figura 31 -Risultati della distribuzione di velocità a V0 = 0.53 m/s (Re = 2900) per due modelli (a) SST e (b) k-ω
Figura 32 - Risultati della distribuzione di pressione a V0 = 0.53 m/s (Re = 2900) per due modelli (a) SST e (b) k-ω
Per la temperatura impostata, T = 293.15K, i valori di densità e viscosità dinamica derivate dal materiale corrispondono a:
𝜌 = 1.205 𝐾𝑔/𝑚3
𝜇 = 1.81 ∙ 10−5 𝐾𝑔/𝑚3
Le figure 31 e 32 riportano il confronto tra i risultati delle distribuzioni di velocità e pressione ottenute utilizzando i due modelli SST (a) e k-ω (b). Il confronto è effettuato a parità di numero di Reynolds: Re = 2900, corrispondente alla velocità V0 = 0.53 m/s.
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Si può notare qualitativamente una discreta differenza tra i due modelli, soprattutto nella regione sottovento del cilindro sia per la pressione che per la velocità.
Un aspetto che si può rilevare è la maggiore uniformità nel caso k-ω della velocità lungo l‟asse del cilindro in questa zona di maggiore turbolenza. Inoltre, sempre nel caso k-ω, sul piano x-y si nota una maggior gradualità dell‟andamento della pressione nella zona sottovento.
Si è poi valutato l‟andamento dei coefficienti di pressione per i vari numeri di Reynolds dichiarati, in entrambi i modelli. Si sono raccolti i dati lungo la semicirconferenza della sezione trasversale della superficie laterale del cilindro tra il punto di ristagno ed il punto diametralmente opposto.
I dati sono raccolti a varie altezze del cilindro: alla base, ad ¼ dell‟altezza, a metà altezza e a ¾ dell‟altezza per mostrare il differente andamento lungo l‟asse del cilindro. Infine si sono messi a confronto con quelli di letteratura. È bene precisare, ricordando quanto detto in merito alla scelta del piano di simmetria, che la base del cilindro cui si fa riferimento, cioè quello rappresentato dalla seconda geometria, corrisponde in realtà alla metà dell‟altezza del cilindro di cui si vuol dare descrizione. Ciò vale in proporzione anche per le altre altezze riportate. In ogni caso per semplicità le altezze saranno tutte riferite alla base del cilindro geometricamente raffigurato. I risultati così ottenuti sono riportati in Figura 33: (a), (b) e (c) mostrano l‟andamento del Cp ottenuto con il modello SST ai rispettivi numeri di Reynolds Re = 2900, Re = 8500, Re = 14500, corrispondenti alle velocità V0 = 0.53 m/s, V0 = 1.59 m/s, V0 = 2.72 m/s; (d) riporta l‟andamento del Cp ottenuto con il modello k-ω per Re = 2900, corrispondente a V0 = 0.53 m/s. I dati sono graficati in funzione della posizione sull‟arco della semicirconferenza
Figura 33 - Andamento del coefficiente di pressione Cp prelevato cilindro lungo la semicirconferenza che va dal punto di ristagno al suo opposto, sulla sezione trasversale della superficie laterale del cilindro. Sono presentati i dati per varie altezze: alla base del cilindro (h0), a ¼ dell’altezza (h/4), a metà altezza (h/2) e a ¾ dell’atezza (h3/4), insieme ai dati di letteratura. Sono raccolti per vari numeri di Reynolds risultati dai due modelli: (a) modello SST, ad Re = 2900 corrispondente a V0 = 0.53 m/s, (b) modello SST, ad Re = 8500 corrispondente a V0 = 1.59 m/s, (c) modello SST, ad Re = 14.5K corrispondente a V0 = 2.71 m/s, (d) modello k-ω, ad Re = 2900 corrispondente a V0 = 0.53 m/s.
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In prima istanza si può osservare la variabilità degli andamenti rispetto all‟altezza della sezione del cilindro, soprattutto del punto di minimo, nei modelli SST. Sembrerebbe, però, che le code dei profili tendano a convergere per le sezioni a metà e a ¾ dell‟asse del cilindro. La variabilità più accentuata si riscontra per Re = 8500.
Non si rilevano differenze sostanziali tra le curve simulate dal modello k-ω, in accordo a quanto già osservato qualitativamente.
In secondo luogo si può osservare, come nel caso 2-D, che il modello SST approssima meglio i dati di letteratura per Re = 2900, in particolare fino al punto di minimo; le code dei dati simulati rimangono sempre più alte di quelle dei dati sperimentali.
Si nota una discreta convergenza tra le curve sperimentali ad Re = 14500, ma una discreta discrasia rispetto alla curva di letteratura.
Comparando i due modelli ad Re = 2900 si denota una maggiore fedeltà dell‟SST ai dati di letteratura.
In conclusione si può dire che, come già affermato nel modello 2-D, l‟interfaccia SST garantisce migliore fedeltà ai dati disponibili in letteratura intorno a valori di numeri di Reynolds Re ~ 2900. Pertanto è ragionevole utilizzarlo agli scopi che abbiamo prefissato.
In ogni caso, data la discrasia tra le code dei profili simulati e quelli sperimentali, ci aspettiamo che le pressioni diametrali risultanti siano generalmente sottostimate, soprattutto all‟aumentare delle velocità.
Inoltre, dato che i risultati più aderenti all‟aspettativa sono quelli prelevati a ¾ dell‟altezza del cilindro, nel modello dell‟anemometro in regime di pressione, si posizioneranno i fori a tale altezza.