Si vuole a questo punto introdurre la struttura dell‟anemometro in regime fluidodinamico per valutarne l‟andamento della pressione all‟interno dei canali e verificare le ipotesi delineate nel capitolo 2.
Premessa. Scelta del modello 3-D
Occorre fare una breve disamina riguardante le motivazioni che hanno indotto all‟utilizzo del modello 3-D al posto del corrispettivo 2-D.
Come descritto in precedenza, infatti, un modello 2-D comporterebbe un carico computazionale in buona dose inferiore, permettendo una più facile e veloce convergenza del problema. D‟altra parte, però, occorre considerare il significato fisico di una simulazione 2-D della struttura di interesse: si consideri la geometria in Figura 34.
Risulta essere una buona schematizzazione in due dimensioni della sezione anemometrica fluidodinamica, ma ovviamente non permette di rappresentare la terza dimensione delle camere e dei canali. In sostanza, cioè, il sistema così descritto equivale ad un cilindro di lunghezza infinita dotato di canali e camere anch‟essi di altezza interna infinita. Ossia il problema così definito non è ben descritto: non può tenere conto del fatto che i canali introducono aria nella camera attraverso una sezione di dimensioni inferiori all‟altezza interna delle camere.
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Data, comunque, la rapidità di convergenza tipica dei modelli 2-D, si è voluta fare una breve indagine per capire se l‟errore introdotto potesse essere considerato accettabile agli scopi delle nostre analisi.
Figura 34 - Descrizione 2-D della sezione anemometrica in regime fluidodinamico
Si è eseguita una simulazione parametrica con la direzione del vento della geometria di Figura 34. Interfacce, condizioni al contorno e studi usati sono i medesimi della simulazione 2-D trattata sopra, tranne che per la definizione delle pareti anche sui bordi interne dei canali e delle camere. Si mostra in Figura 35 il dettaglio della distribuzione di pressione nelle camere ottenute a parità di velocità del flusso: in (a) per il modello 2-D, in (b) per il modello 3-D.
Figura 35 - Particolare della distribuzione di pressione nelle camere dell’anemometro in regime fluidodinamico (a) su una sezione x-y a metà altezza della camera nel modello 3-D e (b) nel modello 2-D
Si può notare una decisa disuniformità della pressione nel caso 2-D.
Con l‟intento di quantificare meglio la differenza, si riportano in Figura 36 i grafici degli andamenti (a) lungo x e (b) lungo y delle pressioni interne alla camera nei due casi; le linee di taglio per il prelievo dei dati sono tate prese nelle medesime posizioni relative in entrambi i casi. Come accennato, questi risultati sono causa del fatto che non tenendo conto in modo appropriato del volume interno delle camere, la distribuzione di pressione interna appare influenzata dai flussi introdotti dai canali in dose maggiore rispetto alla realtà.
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Figura 36 - Confronto degli andamenti della pressione all’interno delle camere dell’anemometro fluidodinamico nei modelli 2-D (curve nere) e 3-D (curve rosse) (a) lungo x e (b) lungo y
In altri termini il volume delle camere opera una sorta di media spaziale delle pressioni e ciò permette di considerarlo un nodo di somma dei flussi analogo ad un nodo di somma di correnti in una rete elettrica a parametri concentrati, così come trattato nel capitolo 2. Le disuniformità di pressione mostrate dai risultati del modello 2-D non consentirebbero questa approssimazione, che invece si rivela verificata sia nelle simulazioni 3-D, sia nei dati sperimentali [15].
Nella sezione dei risultati si riporta anche il confronto tra gli andamenti delle pressioni differenziali tra le due camere con il variare della direzione del vento (Figura 44).
In conclusione si può affermare che il modello 2-D non è adatto agli scopi prefissati, in quanto aggiunge errori non trascurabili.
Ecco perché è necessaria una modellazione tridimensionale del problema.
Detto ciò, si precisa che non interessano gli effetti dovuti alla terminazione del cilindro. Ossia lo scopo è quello di modellare un cilindro di lunghezza infinita, riducendo però al minimo le dimensioni del dominio risolutivo. Infatti introducendo canali percorsi da un flusso aumenta la complessità del problema fluidodinamico, quindi aumentano le risorse computazionali richieste, soprattutto in relazione alla memoria.
Lo sforzo, cioè, è quello di definire un problema risolvibile con le macchine a disposizione. Si è poi analizzata la differenza di pressione tra le due camere al variare della direzione del vento. La geometria descrive una sola delle due sezioni dell‟anemometro RF descritto nel capitolo 2.
Definizione della geometria 3-D
Il dominio risolutivo è costituito da una scatola contenente aria, nella quale è stato definito un cilindro. All‟interno del cilindro, e collegati alla sua superficie laterale, sono costruiti i canali, i quali dalla parte interna comunicano con le camere, così come descritto nel capitolo 2 in Figura 9. Una volta definite le geometrie della struttura anemometrica, le relative pareti sono ottenute per sottrazione della stessa dal dominio risolutivo.
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Figura 37 - Geometria del cilindro con sezione anemometrica RF. In dettaglio la sezione anemometrica.
Il cilindro si estende per tutta l‟altezza della scatola; i bordi che interseca sono definiti come piani di simmetria. In questa maniera si cerca di modellare un cilindro infinito, o almeno che si estende per il triplo della sua altezza.
Si sono costruiti poi altri due cilindri concentrici di controllo della mesh, con le medesime funzioni descritte nei sottocapitoli precedenti e se ne è aggiunto un altro, di raggio pari ad Rc. Quest‟ultimo consentirà di definire canali e camere come domini separati dal resto della scatola in modo da riuscire ad adattarvi al meglio la mesh.
Non si è definito il parallelepipedo per le turbolenze. Si riportano in Tabella 12 i parametri geometrici:
Paramet ro
Valore Descrizione
Rc 10 mm Raggio del cilindro
Wbox 2Rc + 40Rc = 420 mm Larghezza della scatola (lungo x)
Hbox 2Rc + 40Rc = 420 mm Profondità della scatola (lungo y)
t_box 100 mm Altezza della scatola (lungo z)
h_cyl 100 mm Altezza del cilindro
dmb
0.5 mm Spessore del dominio ausiliario per la mesh in prossimità della perete del cilindro
dme
8 mm Spessore del secondo dominio ausiliario per la mesh
La0 4 mm Lunghezza del canale centrale
La1 La0/cos(45°) = 5.6569 mm Lunghezza dei canali a 45°
Dch 1 mm Diametro dei canali
t_c 3 mm Altezza interna delle camere
h_pc
50 mm Altezza della posizione dei fori sull‟asse del cilindro
theta
parametrico Rotazione della sezione anemometrica, cioè direzione del vento
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Un‟accortezza da seguire nella costruzione di geometrie complesse è quella di evitare spigoli molto corti o che coinvolgono angoli molto acuti. Infatti in questi punti la mesh è vincolata a costruire elementi molto piccoli. Le conseguenze sono che nel caso peggiore il risolutore non riesce a trovare soluzione, nel caso migliore si ottiene una mesh molto fitta nei punti di spigolo. Questo ovviamente ne comporta un aumento del numero degli elementi, che si traduce in un aggravio della complessità computazionale.
Per ovviare al problema, si è provveduto a raccordare gli spigoli acuti con archi di circonferenza e cercando di rimuovere quelli non strettamente necessari alla corretta definizione del problema. Per simulare la rotazione della direzione del vento, un modo semplice è applicare una rotazione alla sezione anemometrica di angolo definito dal parametro theta.
Infatti COMSOL consente di eseguire simulazioni parametriche su parametri geometrici.
Grazie alla scelta delle convenzioni delineate nel capitolo 2, theta rappresenta esattamente la rotazione della direzione del vento intorno al cilindro.
Il materiale scelto è aria, disponibile nelle librerie di COMSOL ed è applicato a tutto il dominio risolutivo.
Definizione del modello
Anche in questo caso si sono impostate due interfacce, una k-ε per la risoluzione delle condizioni iniziali della seconda, la SST. Entrambe sono definite per fluido incomprimibile.
Pressione e temperatura di riferimento impostati sono pref = 1 atm e Tref = 293.15 K.
La temperatura del fluido impostata è T = Tref = 293.15 K.
Densità e viscosità dinamica sono state definite da materiale. La velocità del vento è definita con il parametro V0.
Le condizioni al contorno sono le medesime del precedente sottocapitolo; se ne riporta un riassunto in Tabella 13, con le eventuali note per i parametri ritenuti importanti. Ciò che non è specificato è da ritenersi di default.
Condizione al contorno
Geometria di applicazione note
Inlet Faccia con bordi rossi in Figura 30 Boundary condition: velocity Normal velocity inflow con U0 = V0
Outlet Faccia con bordi gialli in Figura 30 Boundary condition: velocity Pressure p0 = 1 atm
Suppress Backflow
Simmetry Facce con bordi verdi in Figura 30
Wall Intera superficie del cilindro, dei canali e delle camere
Wall condition: no slip Tabella 13 - Riassunto delle condizioni al contorno per la simulazione dell’anemometro RF
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Mesh
Si sono definite due mesh, ognuna costituita di quattro livelli Free Tetrahedral ed un livello Boundary Layer.
La prima per la risoluzione del modello k-ε, l‟altra per la risoluzione del SST.
Come accennato si è deciso di dedicare un livello specifico ai domini relativi a canali e camere per consentirne un adattamento dedicato.
Il Boundary Layer è definito sulla superficie laterale del cilindro e sulle superfici interne dei canali.
Tutti i livelli sono ottimizzati per la fluidodinamica.
Si riporta in il riassunto dei livelli di mesh con relativi parametri e domini di applicazione.
Livello Dominio applicazione Dimensioni k-ε Dimensioni SST canali
Canali e camere Custom,
MinS = 0.6 mm
Custom,
MinS = 0.6 mm bound Cilindro di controllo
interno
Predefinita, “Fine” Predefinita, “Extra fine”
corona Cilindro di controllo esterno
Predefinita, “Finer” Predefinite, “Finer”
resto
Geometria rimanente Predefinita, “Extra
coarse”
Predefinite, “Extra
coarse” Boundary
Layer
Intera superficie del cilindro
NBL = 8
resto Default
NBL = 15
resto Default
Tabella 14 - Riassunto dei livelli delle mesh k-ε e SST. MaxS: dimensione massima degli elementi, MinS: dimensione minima degli elementi, NBL: numero dei boundary layers, TFBL: spessore del primo boundary layer
Studio
Si sono definiti due studi separati: uno dedicato alla risoluzione del solo modello k-ε, costituito da un singolo step stazionario; l‟altro dedicato al solo modello SST, composto da due step, uno stazionario e uno di inizializzazione.
La soluzione di k-ε è impostata come condizione iniziale nella risoluzione di SST.
Dedicare due studi distinti, uno per ogni modello consente una migliore gestione delle simulazioni. Infatti il modello k-ε risulta tipicamente di facile e veloce convergenza, ma impiega un certo tempo, che per strutture 3-D non è trascurabile.
Dato poi che la sua soluzione ha solo funzioni di inizializzazione, è inutile doverlo risolvere ogni volta. Lo studio separato permette inoltre di mantenerne la soluzione, che altrimenti andrebbe persa ad ogni avvio del calcolo.
Così, a meno di non apportare drastiche modifiche alla geometria tra una simulazione e l‟altra, si deve risolvere k-ε una volta sola.
Si sono svolte le seguenti simulazioni:
V0 = 0.9, 2.18, 3.5, 5.3 m/s, corrispondenti a Re = 1198, 2900, 4660, 7057; con direzione del vento parallela al canale centrale (theta = 0);
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theta parametrico nell‟intervallo [0, 180°] con step di 10° a V0 = 3.5 m/s, corrispondente a Re = 4660.
Risultati e discussione:
I valori di densità e viscosità dinamica derivanti dalle definizioni del materiale sono: 𝜌 = 1.2044 𝐾𝑔/𝑚3
𝜇 = 1.81 ∙ 10−5 𝐾𝑔/𝑚3
Si riportano alcune immagini della distribuzione di pressione nell‟intorno della struttura:
Figura 38 - Distribuzione della pressione sulla sezione della struttura anemometrica RF a (a) V0 = 0.9 m/s (Re = 1198) e (b) V0 = 5.3 m/s (Re = 7057)
In Figura 38 è riportata la distribuzione della pressione sulla sezione della struttura anemometrica in regime fluidodinamico per due valori di velocità: (a) V0 = 0.9 m/s, corrispondente a Re = 1198 e (b) V0 = 5.3 m/s, corrispondente a Re = 7057.
Si fa notare l‟influenza dei canali, soprattutto quello a 45° sulla distribuzione di pressione lungo la superficie esterna del cilindro per entrambi i valori di V0.
In Figura 39, invece, è riportata la distribuzione di velocità sulla medesima sezione alle velocità (a) V0 = 0.9 m/s, corrispondente a Re = 1198 e (b) V0 = 5.3 m/s, corrispondente a Re = 7057. Si nota il flusso all‟interno dei canali e della camera.
Figura 39 - Distribuzione della velocità sulla sezione della struttura anemometrica RF a (a) V0 = 0.9 m/s (Re = 1198) e (b) V0 = 5.3 m/s (Re = 7057)
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Dalle simulazioni a V0 = 2.18, 3.5, 5.3 m/s, corrispondenti a Re = 2900, 4660, 7057 si sono raccolti i dati presentati nell‟ultima sezione del capitolo 2.
Si aggiunge qui un‟altra considerazione a riguardo.
Figura 40 - Andamento della pressione lungo l’asse del canale centrale della struttura anemometrica RF alle velocità (a) V0 = 0.9 m/s e (b) V0 = 5.3 m/s
In Figura 40 sono riportati gli andamenti della pressione lungo l‟asse dei canali centrali della struttura anemometrica qui simulata, per due velocità del vento: (a) V0 = 0.9 m/s e (b) V0 = 5.3 m/s.
Si è già discusso nel capitolo 2 dei problemi legati al gradiente non costante della pressione nei canali.
A chiosa di quanto già detto, si può aggiungere che i dati raccolti mostrano un evidente
accentuarsi della non linearità della pressione nei canali con l‟aumento della velocità del vento. Dalla simulazione parametrica con theta, invece, si sono raccolti i valori della differenza tra le pressioni interne alle camere. In particolare si sono ricavate le pressioni medie sulle pareti inferiori interne delle camere; quelle, cioè, su cui vengono procurati i fori per la misura nel prototipo reale.
I dati, graficati in funzione di theta, sono mostrati in Figura 41.
Figura 41 - Andamento della differenza di pressione normalizzata rispetto alla pressione dinamica nelle camere dell’anemometro RF in funzione della direzione del vento θ. La linea tratteggiata rappresenta l’andamento del coseno ideale. Le simulazioni sono svolte alla velocità di 3.5 m/s, corrispondente a Re = 4660
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Sovrapposta ai dati, la linea tratteggiata rappresenta l‟andamento del coseno ideale. Le pressioni differenziali sono riportate normalizzate rispetto alla pressione dinamica 𝜌𝑉0
2
2 .
Si evidenzia che l‟andamento segue abbastanza l‟andamento cosinusoidale, ma presenta un certo scostamento a 𝜃 ≈ 20°.
Si riportano anche, in Figura 42, le distribuzioni di pressione (colonna (a)) e velocità (colonna (b)) per vari valori di direzione del vento θ. Si può notare come cambiano i flussi e le pressioni all‟interno dei canali al variare della direzione del vento.
Figura 42 - Distribuzione della pressione (colonna (a)) e della velocità (colonna (b)) per diversi valori di θ
Infine, per traslazione si sono calcolati i valori ottenibili da una struttura identica, perpendicolare a quella simulata. In questa maniera si sono ottenuti i dati corrispondenti sia a 𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 , che a
𝑝𝑌 𝜃, 𝑢 .
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Figura 43 - Angolo misurato (a) e relative errore assoluto (b), calcolati dai dati della struttura anemometrica RF alla velocità di 3.5 m/s. I dati sono graficati in funzione della direzione del vento theta.
I risultati sono mostrati in Figura 43. Confrontandoli con quelli sperimentali riportati in [15], e considerando che si tratta di risultati simulati con un modello di cui abbiamo già discusso il limiti e che sono stati ricostruiti a partire da una sola sezione, comunque sembrano ragionevoli. Ovviamente si stanno trascurando tutte le non idealità legate alla non perfetta simmetria tra i profili di pressione misurati dalle due sezioni x e y. Quindi gli errori così ottenuti sono sicuramente sottostimati.
È ovvio che queste ultime considerazioni hanno solo valore qualitativo.
In conclusione si riporta in Figura 44 il confronto tra gli andamenti della differenza di pressione tra le camere rispetto ala direzione del vento ottenuti con i modelli 2-D e 3-D. La curva nera rappresenta i risultati mediati sulle pareti interne alla camera, mentre quella blu rappresenta i risultati presi in un punto centrale alla camere, entrambi nel caso 2-D. La curva rossa rappresenta i dati presentati in Figura 41, cioè quelli relativi al caso 3-D. La linea tratteggiata è l‟andamento del coseno.
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È evidente che le simulazioni 2-D introducono un errore non trascurabile, come si vede dallo spostamento dei massimi e dei minimi sia in ascissa che in valore assunto rispetto al caso 3-D. In particolare l‟errore introdotto dalla schematizzazione bidimensionale produce risultati peggiori di quelli sperimentali [23].
Ciò detto conferma il che il modello 2-D è inutilizzabile agli scopi prefissati.