Come prima fase ci si è concentrati su una struttura molto semplificata, allo scopo di mettere alla prova il modello e cercarne una validazione con i dati di letteratura.
Le simulazioni fluidodinamiche, infatti, sono estremamente dispendiose dal punto di vista delle risorse computazionali richieste, in particolar modo di memoria. Richieste che possono anche espandersi notevolmente a fronte di un lieve aumento della complessità del problema. In generale questo tipo di simulazioni impiegano un tempo abbastanza lungo per la convergenza e la stessa è tutt‟altro che garantita.
È quindi necessaria una prima fase per poter mettere a punto la definizione della struttura, delle interfacce, delle condizioni al contorno e della mesh in modo che il problema riesca a trovare convergenza e che fornisca risultati ragionevoli.
Definizione della geometria
La simulazione viene eseguita su un cilindro che ricalchi quello dell‟anemometro RP, quindi di diametro 𝐷𝑅𝑃 = 80 𝑚𝑚.
Si è definito un rettangolo, che costituisce il dominio in cui verrà risolto il flusso, dalla quale è stato scavato un cilindro (cerchio in 2-D) di raggio 𝑅𝑐 = 40 𝑚𝑚.
Sono state poi costruite due circonferenze concentriche al cilindro per ottenere due domini aggiuntivi ausiliari su cui costruire una mesh dalle dimensioni differenziate.
Infatti i modelli turbolenti Low-Re, quale l‟SST, richiedono una mesh relativamente fitta nelle vicinanze delle pareti e ovunque queste inducano effetti di smorzamento delle turbolenze [19]. D‟altra parte, però, un infittimento della mesh aumenta il numero dei gradi di libertà del problema, quindi un aumento della richiesta di memoria e di tempi di elaborazione. È importante
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quindi garantire una mesh abbastanza fitta solo dove richiesta per la convergenza del modello e/o per raggiungere la risoluzione desiderata nei risultati.
La definizione di domini ausiliari permette di guidare la mesh.
Figura 19 - Geometria simulata
Anche la scelta della dimensione laterale del rettangolo è importante per una buona definizione del problema. Infatti da un lato occorre un rettangolo abbastanza grande in modo che le sue pareti non influenzino la soluzione del flusso nella zona di interesse; dall‟altro non deve essere troppo grande per non aggravare le esigenze di risorse computazionali.
Nelle documentazioni ufficiali di COMSOL [22] si trova il valore minimo della distanza dei bordi esterni del dominio risolutivo dall‟ostacolo:
10 volte le dimensioni dell‟ostacolo nei modelli 3-D 100 volte le dimensioni dell‟ostacolo nei modelli 2-D
Quindi, dato il diametro del cilindro, occorre una distanza pari a 𝑑𝑖 = 800 𝑚𝑚 tra le sue pareti e
il bordo esterno del dominio risolutivo. Distanza da rispettare per ogni lato del dominio. Si riportano in Tabella 3 i parametri geometrici definiti in COMSOL:
Parametro Valore Descrizione
Rc 40 mm Raggio del cilindro
di 8000 mm Distanza tra ingresso e parete del cilindro
40
dl 8000 mm Distanza tra bordi laterali e parete del cilindro
Wbox di + du + 2Rc
= 16080 mm
Larghezza della scatola
Hbox 2dl + 2Rc = 16080 mm Altezza scatola
dm1 1.2 mm Spessore del dominio ausiliario per la mesh in
prossimità della perete del cilindro (corona blu in Figura 19)
dm 30mm Spessore del secondo dominio ausiliario per la
mesh (corona rossa in Figura 19) Tabella 3 - Parametri geometrici della geometria 2-D
Nel dominio risolutivo (area colorate in Figura 19) è stato definito come materiale aria (“air”) prelevato dalle librerie di COMSOL.
Al suo interno contiene le espressioni di densità e viscosità dinamica. I parametri sono lasciati di default.
Definizione del modello
Si sono definite due interfacce: una k-ε e una SST.
La soluzione della prima è inadatta di per se ai nostri scopi, dato che k-ε non risolve il boundary- layer intorno al cilindro, cioè proprio la regione di nostro interesse. Viene utilizzata, però, come condizioni iniziali per l‟inizializzazione dell‟SST.
Infatti quest‟ultimo modello, come già accennato, mostra generalmente una difficile convergenza. L‟utilizzo di condizioni iniziali non troppo lontane dalla soluzione la favorisce.
I modelli sono entrambi definiti su tutto il dominio risolutivo (aree colorate in Figura 19) ed impostati per fluido incomprimibile.
Entrambi hanno le medesime condizioni al contorno, si riportano in Tabella 4:
Condizione al contorno
Domini di definizione Parametri impostati Fluid
properties
Tutto il dominio risolutivo Temperatura 293.15 K
Densità e viscosità dinamica definita da materiale
Rimanente: default
Initial Values
Tutto il dominio risolutivo in SST definiti come valori iniziali le variabili dipendenti di k- ε
Resto lasciato di default
Wall Boundary corrispondenti alle pareti del cilindro
(definizione automatica)
Wall condition: no slip Resto di default
Inlet Bordo rosso in Figura 19 Velocità definita come “Normal inflow velocity” e come valore di U0, impostato il
parametro globale V0 Resto di default
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Outlet Bordo giallo in Figura 19 Boundary Condition: Pressure p0 = 0 Pa
spuntato “Suppress Backflow” Resto di default
Symmetry Bordi verdi in Figura 19 Tutto di default
Tabella 4 - Riassunto schematico delle condizioni al contorno delle due interfacce k-ε e una SST per la simulazione 2-D
È utile giustificare alcune impostazioni.
È importante selezionare l‟opzione “Pressure” come “boundary condition” dell‟uscita, infatti un problema ben definito deve avere Inlet e Outlet definiti uno come “velocità” e l‟altro come “pressione”, non importa in che ordine, ma devono essere complementari [19].
La pressione impostata in Outlet non è cruciale; l‟accortezza per garantire una migliore convergenza è di spuntare l‟opzione “Suppress Backflow” che impone al flusso di non “rientrare” dall‟uscita a causa di una pressione interna minore di quella definita.
Mesh
Si sono definite due mesh distinte: una per la risoluzione del modello k-ε, l‟altra per la risoluzione del modello SST.
Il modello k-ε, infatti, non richiede mesh molto raffinate per la convergenza; inoltre, dato che la sua soluzione serve solo come inizializzazione dell‟altra interfaccia, non necessita di risoluzioni eccessive. Il modello SST, invece, ha bisogno di una mesh generalmente abbastanza fine per poter convergere, come già esplicitato in precedenza.
Segue che è utile un adattamento separato per i due modelli.
Entrambe le mesh hanno la stessa struttura: sono composte da due livelli “Free triangular”. Una è applicata ai domini di controllo (rosso e blu in Figura 19), l‟altra alla rimanente geometria. Inoltre è stato definito un boundary layer sulle pareti del cilindro. Quest‟ultimo serve a guidare il risolutore nel generare una mesh strutturata in prossimità della parete, cioè costituita da elementi rettangolari con due lati perpendicolari alla parete stessa. Lo spessore dei rettangoli si riduce con l‟avvicinarsi alla superficie. Questo garantisce una migliore risoluzione nella zona a basso numero di Reynolds, favorendo la convergenza dei modelli Low-Re.
Figura 20 - Dettaglio sul boundary layer della Mesh1 Riassumendo:
42 Mesh1:
mesh_ext: applicata ai domini di controllo della mesh, ottimizzata per la fluidodinamica, di dimensione custom con Maximum element size = 2 mm mesh_box: applicata al resto della geometria, ottimizzata per la fluidodinamica,
dimensione predefinita “Normal”
boundary layer: applicato alle pareti del cilindro, Numero di boundary layers = 15; stretching factor = 1.2; Spessore primo stato (manuale) = 2 mm
Mesh2:
mesh_ext: applicata ai domini di controllo della mesh, ottimizzata per la fluidodinamica, di dimensione custom con Maximum element size = 0.8 mm mesh_box: applicata al resto della geometria, ottimizzata per la fluidodinamica,
dimensione predefinita “Normal”
boundary layer: applicato alle pareti del cilindro, Numero di boundary layers = 25; stretching factor = 1.2; Spessore primo stato (manuale) = 0.8 mm
Figura 21 - (a) e (c) Mesh1 per la risoluzione di k-ε, globale e dettaglio; (b) e (d) mesh2 per la risoluzione di SST, globale e dettaglio
L‟affinamento dei parametri è il risultato di un procedimento semi euristico che ha preso le mosse a partire dalle impostazioni di default.
Una considerazione generale riguarda il fatto che lo spessore del dominio di controllo della mesh incide sulla risoluzione finale di quest‟ultima, dato che ovviamente le dimensioni del dominio vincolano alcuni parametri del risolutore automatico per il meshing.
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Studio
Si sono usati i risolutori di predefiniti.
Più in dettaglio, si sono impostati due “Study step” stazionari: uno che risolve per il modello k-ε partendo da condizioni iniziali nulle, l‟altro che risolve per l‟SST.
Quest‟ultimo prevede anche uno step aggiuntivo per l‟inizializzazione della “wall distance”; viene stabilito automaticamente scegliendo tra gli studi a disposizione lo “Stazionario con inizializzazione”.
In questo secondo passo di studio si sono impostati come valori iniziali delle variabili dipendenti quelli della soluzione dello step precedente.
Si sono poi impostate le mesh da usare come descritto nella sezione precedente.
Risultati e discussione
Si è svolta una simulazione parametrica rispetto alla velocità del vento (parametro globale „V0‟). I valori scelti sono quelli relativi ai numeri di Reynolds per cui si hanno a disposizione i dati di letteratura.
In particolare si sono eseguite simulazioni per Re = 250, 1240, 8500, 4 ∙ 104, che, per il cilindro scelto, alla temperatura dell‟aria T = 20 °C, corrispondono alle velocità V0 = 0.047, 0.23, 0.54, 1.59, 7.71 m/s.
Figura 22 - Distribuzioni dell (a) pressione e (b) velocità intorno al cilindro per V0=0.54 m/s (Re=250)
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Nelle figure 22 e 23 sono riportate le distribuzioni di pressione (a) e velocità (b) attorno al cilindro per Re = 250 e Re = 4 ∙ 104 rispettivamente. È da notare come vari la distribuzione di
pressione tra questi due valori di numeri di Reynolds, nonostante entrambi i flussi si trovino in regime turbolento.
Ciò non deve stupire. Ricordiamo infatti che, come trattato ad inizio capitolo, tra questi due valori di Re si sperimenta una transizione di regime turbolento. Questo aspetto mette ancora in luce la variabilità dell‟andamento del profilo di pressione superficiale in funzione di Re.
Come già accennato sopra, per rendere confrontabili i dati con quelli di letteratura occorre definire il coefficiente di pressione 𝐶𝑃:
𝐶𝑃 = 𝑝 − 𝑝∞ 𝜌𝑢2
2
Dove in questo caso 𝑢2corrisponde a V02 e 𝜌 = 1.205𝐾𝑔/𝑚3
.
I grafici seguenti riportano gli andamenti del Cp lungo la semicirconferenza superiore, in funzione della posizione sull‟arco:
Figura 24 - Confronto tra dati di letteratura e risultati simulativi di Cp sulla semicirconferenza superiore, per Re=250 (V0=0.047 m/s)
Figura 25 - Confronto tra dati di letteratura e risultati simulativi di Cp sulla semicirconferenza superiore, per Re=1240 (V0=0.23 m/s)
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Figura 26 - Confronto tra dati di letteratura e risultati simulativi di Cp sulla semicirconferenza superiore, per Re=2900 (V0=0.54 m/s)
Figura 27 - Confronto tra dati di letteratura e risultati simulativi di Cp sulla semicirconferenza superiore, per Re=8500 (V0=1.59 m/s)
Figura 28 - Confronto tra dati di letteratura e risultati simulativi di Cp sulla semicirconferenza superiore, per Re=40000 (V0=7.71 m/s)
Dai dati riportati nelle figure 24, 25, 26, 27 e 28 si evince che il modello risulta generalmente fedele entro la prima parte della curva (circa 60°, riportando i valori della posizione sull‟arco in
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angolo) ai dati sperimentali, dopodiché tende a discostarsi. Evidente soprattutto per numeri di Reynolds abbastanza al di sopra e al di sotto del migliaio.
In generale il punto di minimo delle curve simulate corrisponde con quello delle curve di letteratura, tranne nel caso Re = 4 ∙ 104, in cui risulta lievemente spostato in avanti lungo l‟arco.
I minimi delle curve simulate, poi, sono sempre maggiori dei corrispondenti di letteratura, tranne nel caso Re = 4 ∙ 104.
La coda delle curve simulate, infine, rimane sempre più alta rispetto ai dati di letteratura.
Fatte queste considerazioni, si può dire che il modello approssima abbastanza bene i dati sperimentali nell‟intorno di Re = 2900, valore utile ai nostri scopi; nel resto dei casi la “forma” della curva è abbastanza corrispondente al reale, ma è innegabile la discrasia a partire dal punto di minimo fino al resto della coda.
In sostanza, quindi, il modello non approssima bene la realtà nella parte del flusso dal punto di distacco in poi.
Il caso con Re = 4 ∙ 104 è quello per cui le curve simulate si discostano maggiormente dai dati
sperimentali e in cui e si inverte anche la differenza tra i minimi. Si nota anche uno scostamento rispetto alle altre riportate.
Tutto ciò potrebbe essere spiegato dal fatto che, come visto nella parte introduttiva di questo capitolo, per questo valore di numeri di Reynolds si sta andando verso la transizione tra i due regimi turbolenti ad alto Re, transizione che nel modello potrebbe risultare anticipata.
In tutti i casi occorre aspettarsi che le simulazioni sottostimino le pressioni diametrali, soprattutto per velocità maggiori di 1 m/s. Comunque, data la permanenza della “forma” globale delle curve, ci si aspetta che ciò non comporti eccessive variazioni nella loro composizione armonica; ipotesi rafforzata dal fatto che, come già descritto nel capitolo 2 e ribadito più volte, la componente più importante oltre alla fondamentale è la 3a, la quale non mostra una grande fluttuazione al variare di Re. Ossia al variare del suo andamento.
In conclusione: consideriamo l‟interfaccia SST accettabile per gli scopi di questo lavoro.
Inoltre, come nota di metodo, procederemo sempre con due step risolutivi: il primo k-ε risolve per le condizioni iniziali del secondo SST.
Detto ciò, occorre precisare che per modellare le strutture descritte è più ragionevole utilizzare modelli 3-D. Quindi il prossimo passo è quello di estendere la definizione del problema alle 3 dimensioni.