Analisi e sviluppo di un anemometro direzionale basato su sensori MEMS di pressione differenziale

Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica

Analisi e sviluppo di un anemometro

direzionale basato su sensori MEMS di

pressione differenziale

Relatori:

Candidato:

Prof. Massimo Piotto

Simone Ricciardi

Prof. Paolo Bruschi

Ing. Andrea Ria

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Indice

Introduzione ... 4

Capitolo 1. Anemometri direzionali: stato dell'arte ... 6

Meccanici ... 6

Ultrasonici e Laser Doppler ... 7

Termici ... 8

Anemometri a pressione ... 10

Capitolo 2. Anemometro direzionale:descrizione del funzionamento e

architettura proposta ... 14

Descrizione del funzionamento ... 14

Approssimazione tramite combinazione lineare (DPA: diametric pressure averaging) . 16 Combinazione lineare in regime fluidodinamico ... 20

Criticità prestazionali dell’approccio fluidodinamico ... 26

Criticità funzionali dell‟approccio fluidodinamico ... 27

Capitolo 3. Analisi fluidodinamica delle strutture: simulazioni CFD ... 34

Regime del flusso e scelta dell’interfaccia... 34

Stima del regime di flusso ... 34

Interfacce “turbolent flow” ... 36

Simulazione 2-D. Andamento della pressione attorno ad un cilindro immerso in

un flusso stazionario. ... 38

Definizione della geometria ... 38

Definizione del modello ... 40

Mesh ... 41

Studio ... 43

Risultati e discussione ... 43

Simulazione 3-D. Andameno della pressione su cilindro immerso in un flusso

stazionario... 46

Definizione della prima geometria ... 47

3

Risultati sulla prima geometria ... 48

Definizione della seconda geometria ... 49

Definizione del modello ... 50

Mesh ... 51

Studio ... 52

Risultati e discussione: ... 53

Simulazione 3-D. Andamento della pressione all’interno dei canali

dell’anemometro in regime fluidodinamico. ... 55

Premessa. Scelta del modello 3-D ... 55

Definizione della geometria 3-D ... 57

Definizione del modello ... 59

Mesh ... 60

Studio ... 60

Risultati e discussione: ... 61

Simulazione 3-D. Analisi dell’anemometro in regime di pressione e stima delle

prestazioni... 65

Definizione della geometria ... 65

Definizione del modello ... 66

Mesh ... 67

Studi ... 68

Risultati e discussioni ... 68

Capitolo 4. Progettazione del prototipo e misure sperimentali ... 76

Descrizione del sistema anemometrico ... 76

Cilindro di misura ... 77

Sensori di pressione e criteri di scelta ... 78

Microcontrollore (MCU) e software di controllo ... 93

Apparato sperimentale e misure ... 98

Misura con singolo sensore di pressione ... 99

Misura con quattro sensori di pressione ... 103

Conclusioni ... 107

Introduzione

La misura del vento riveste un ruolo molto importante per molte applicazioni. Viene naturale pensare in prima istanza alla capillarità con cui sono ormai diffuse stazioni per il monitoraggio meteorologico, sia nelle città che in ambiente rurale. Una rete diffusa che va dai semplici scopi amatoriali alla raccolta dati per l‟istruzione dei modelli previsionali meteo. Ma non solo, si pensi alla necessità di accurate rilevazioni meteo, con particolare attenzione al vento, in particolari ambienti quali gli aeroporti. Si pensi poi alle strade e al contributo alla sicurezza che può apportare la conoscenza dell‟intensità e della direzione del vento sui viadotti. Lo stesso monitoraggio delle strutture di ponti e viadotti ha bisogno di un‟accurata rivelazione del vento. Di pari passo oggi si sta diffondendo sempre più un‟agricoltura cosiddetta intelligente, che fonda il suo approccio sulle misurazioni meteorologiche localizzate presso le coltivazioni. La conoscenza dell‟andamento del vento, insieme ad umidità e temperatura, permette da una parte di migliorare l‟efficienza delle tecniche irrigue e dall‟altra di affinare le capacità di previsione del sopraggiungere delle malattie e, quindi, di comprimere l‟uso di fitofarmaci. Sono chiari i benefici ambientali della spinta ad un sempre minor utilizzo di acqua e fitofarmaci, in un‟epoca contrassegnata da uno straordinario impatto antropico sull‟ambiente.

Ancora, si può richiamare l‟importanza della misura accurata del vento nei sistemi di guida autonoma per velivoli, veicoli, natanti; ma anche più in generale come supporto alla navigazione sia aeronautica che nautica.

In tutti i campi di applicazione citati, gli anemometri si trovano a dover funzionare in ambiente esterno, caratterizzato da polveri, precipitazioni meteo, spruzzi d‟acqua: fattori che richiedono ai dispositivi buona robustezza. È molto importante anche il mantenimento delle prestazioni nel tempo e la possibilità di ridurre al minimo la manutenzione.

Per questi motivi sono generalmente preferibili dispositivi a stato solido. Le parti meccaniche in movimento, infatti, sono generalmente molto sensibili all‟invecchiamento soprattutto in ambiente esterno.

Allo stato dell‟arte esistono alcune soluzioni basate sulla misurazione di pressioni o di flussi su di un cilindro. Nel Capitolo 1, dopo una rapida panoramica delle proposte in letteratura, si prende a riferimento un anemometro interessante da molti punti di vista, in primis la compattezza, il cui principio di funzionamento si fonda su una misura delle differenze di pressione agli estremi di vari diametri di un cilindro e sulla loro combinazione per mezzo di una conversione in flussi. I principali vantaggi sono l‟esistenza di un metodo generale per la determinazione di intensità e direzione del vento e la necessità di due soli sensori di flusso. Si individuano comunque alcune criticità di questo approccio, cosiddetto “fluidodinamico”, di combinazione delle pressioni diametrali; in primo luogo la non buona fedeltà sperimentale ai risultati teorici, ma, non ultima, la relativa fragilità legata allo scorrimento di flussi in canali molto sensibili alle ostruzioni.

Dopo aver preso in analisi nel Capitolo 2 la tecnica, detta “Diametric Pressure Averaging” (DPA) su cui si basa l‟anemometro di riferimento, si avanzano delle ipotesi sulle cause delle dette criticità e se ne propone come soluzione un diverso approccio all‟utilizzo della tecnica DPA: si conviene di muovere verso una misura diretta delle pressioni diametrali con sensori di pressione MEMS differenziali ed eseguire le combinazioni numericamente. Questo comporta un aumento

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del numero di sensori necessari, ma si dimostra che con una accorta scelta dei diametri si riesce ad ottenere una riduzione dell‟aggravio.

Si esegue, quindi, un‟analisi fluidodinamica per verificare la fondatezza delle ipotesi addotte sulle criticità dell‟approccio fluidodinamico e per dare una valutazione più approfondita della soluzione proposta. Per questo si sviluppano simulazioni CFD (Computed Fluid Dynamics) con un programma di calcolo agli elementi finiti (COMSOL Multiphysics), le cui descrizioni sono oggetto del Capitolo 3. La complessità dell‟analisi fluidodinamica di regimi turbolenti richiede a tal scopo un‟attenta valutazione dei modelli forniti dal software, una loro previa validazione e un‟attenta valutazione della correttezza descrittiva del problema, senza trascurare la risolvibilità numerica con le macchine di calcolo a disposizione.

Infine nel Capitolo 4 si affronta la progettazione di un prototipo dell‟anemometro proposto per la sua validazione sperimentale e la sua caratterizzazione. Si prendono le mosse dall‟analisi dei sensori MEMS di pressione presenti sul mercato, i loro limiti e come essi incidono sulle prestazioni della misura anemometrica. Si descrive poi la costruzione di un prototipo preliminare, di un apparato sperimentale per le misure e i relativi risultati.

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Capitolo 1

Anemometri direzionali: stato dell'arte

In questo capitolo si prendono in rassegna le possibili soluzioni per misure anemometriche, soffermandoci in particolare, su quelle direzionali, ossia quelle che permettono la misurazione di intensità e direzione del vento.

Come direzione si intende quella ridotta a sole due dimensioni.

Meccanici

Come prima possibilità, si fa cenno ai sistemi meccanici.

Sfruttano la forza generata dalla pressione dinamica del flusso dell'aria agente sulle superfici di oggetti immersi in essa.

La categoria senz'altro più cospicua è quella degli anemometri a coppette, composti da un rotore al quale sono collegate oggetti a forma (semisferica) di coppette, disposti in modo che la forza dinamica agente su di esse costituisca una coppia sull'albero dello stesso. In Figura 1 ne è rappresentato un esempio commerciale.

In questo modo si ottiene una rotazione della girante di velocità angolare sostanzialmente proporzionale alla componente trasversale al suo asse della velocità del flusso che la investe. Basati sullo stesso principio esistono anche anemometri ad elica: il rotore dei quali è costituito da un'elica. Questi saranno sensibili essenzialmente alla componente parallela al suo asse.

Per la misura elettronica della velocità del vento, basterà pertanto rivelare la velocità angolare della girante.

I meccanismi descritti non sono da soli sufficienti alla misurazione direzionale, cioè consentono solo la rivelazione dell'intensità del vento, ossia il modulo del vettore della velocità del flusso. Per ottenere la direzione, ovvero le componenti della velocità sul piano, occorre introdurre un ulteriore elemento meccanico. Si usa una banderuola montata su di un'asse girevole.

Questo tenderà a disporsi nella direzione del flusso, la quale potrà quindi essere rivelata misurando l'angolo di rotazione dell'asse.

Gli anemometri a "ventola" sfruttano questo meccanismo per disporre altresì l'elica con l'asse parallela alla direzione del flusso.

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Tali sistemi hanno senz'altro a loro favore la complessiva semplicità e il basso consumo energetico, ma soffrono di alcuni problemi sia di natura strutturale che prestazionale.

Innanzitutto, sono fortemente soggetti all'usura, soprattutto in ambienti salmastri o "sporchi", e al congelamento; nonché abbastanza delicati dal punto di vista meccanico.

Inoltre, sono caratterizzati da una soglia di velocità sotto la quale lo strumento è insensibile; ciò è dovuto in buona parte ad attriti meccanici [1].

Ulteriore svantaggio è l'elevata inerzia meccanica del sistema, per cui la velocità misurata non sarà esattamente il valore istantaneo, ma una sua media temporale.

Tutto ciò si riassume nel fatto che alle basse velocità, la misura è poco attendibile. In alcune applicazioni, come il monitoraggio per la produzione di energia elettrica da fonte eolica può rappresentare un problema [2].

Si deve inoltre dire che tali sistemi sono generalmente ingombranti e non scalabili.

Ultrasonici e Laser Doppler

Molto più sensibili, con maggior risoluzione frequenziale ed atti a misurazioni direzionali anche su 3 dimensioni sono invece un'altra classe di anemometri, quelli ultrasonici.

Sono costituiti da diverse coppie trasduttore-rivelatore ad ultrasuoni, posti relativamente in specifiche posizioni. Se ne riporta in Figura 2 un esempio commerciale.

Andando a misurare il tempo di volo o lo scostamento in frequenza delle onde acustiche tra le varie coppie, si possono ricavare le componenti nelle tre dimensioni della velocità del flusso [3]. Il principale svantaggio di tali sistemi è l'elevato costo legato alla componentistica elettronica necessaria ed alla complessità dell'elaborazione dei segnali e della calibrazione.

Dato che la configurazione geometrica dei trasduttori-rivelatori, cruciale per il buon funzionamento, è mantenuta da supporti meccanici tipicamente poco resistenti a sforzi, non sono da trascurare, neanche la generale delicatezza, e l'ingombro di questi oggetti.

Figura 2 - Esempio di anemometro ultrasonico commerciale (Young)

Altra categoria è quella degli anemometri laser doppler (LDA: laser doppler anemometry). Il principio su cui si basano è la misurazione dello scostamento della lunghezza d'onda della luce diffusa dalle particelle in movimento all'interno del flusso: un raggio laser illumina una porzione del fluido di cui si vuole misurare la velocità; la luce risultante dallo scattering con le particelle

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che viaggiano nel fluido viene prelevata e ne viene confrontata la lunghezza d'onda rispetto a quella del raggio incidente. Lo scostamento, dovuto all'effetto Doppler, risulta in relazione con la velocità delle particelle e pertanto del fluido [4]. Esistono varie architetture che consentono di misurarlo e con esso ricavare la velocità del fluido [5]. Questi sistemi permettono una misura particolarmente accurata dei flussi, ma data la loro complessità, ingombro, delicatezza e difficoltà di miniaturizzazione, sono adatti soprattutto a misurazioni di turbolenze e di flussi complessi nei laboratori.

Termici

Altri sostituti ai meccanici sono gli anemometri termici.

Basano il loro funzionamento sulla perturbazione indotta dal flusso del fluido allo scambio di calore verso l'ambiente di un elemento riscaldato.

Come è noto, la quantità di calore scambiato con l'esterno, difatti, avviene, oltre che per conduzione ed irraggiamento (che rappresentano delle perdite indesiderate), anche per convezione. Quest'ultima componente è dipendente dal flusso in cui l'elemento è immerso. In particolare, esiste una certa relazione, modellata con la legge di King [6], tra calore scambiato, differenza di temperatura tra riscaldatore e fluido e velocità del fluido.

Nella versione tipica, sono costituiti da un elemento riscaldato, ad esempio un filo conduttore percorso da corrente ed un elemento sensore di temperatura che misura la temperatura del fluido. Sono detti anemometri a "filo-caldo" o a "film-caldo, rispettivamente se il riscaldatore esposto al fluido è un filo conduttore oppure un film conduttore depositato una superficie.

Il riscaldatore, percorso da corrente, si riscalderà per effetto Joule stabilendo una certa differenza di temperatura tra esso e l'ambiente. Differenza dipendente dalla velocità del fluido. Chiaramente la resistenza elettrica del riscaldatore varia in funzione della sua temperatura, quindi ci si riconduce ad una misura di resistenza.

Le strategie di misura possono essere tipicamente due: a differenza di temperatura costante, che necessita un sistema in retroazione negativa che stabilizza la differenza di temperatura tra l‟elemento riscaldante e il fluido; rivelando la compensazione dinamica, si ricava la potenza dissipata e quindi la velocità del fluido. Oppure a potenza costante, ottenuta tipicamente mantenendo la corrente costante e compensando la tensione ai capi del riscaldatore per mantenere la potenza. Misurando la tensione si può ricavarne la resistenza e quindi la temperatura, ossia la velocità del fluido.

Il riscaldatore, come accennato, può essere un filo molto sottile, ad esempio di platino, oppure un film sottile depositato sulla punta di una sonda.

Data la differente sensibilità della dissipazione di calore, rispetto alle componenti trasversali e longitudinali al filo della velocità, si possono usare delle configurazioni di più fili per ottenere anche misure bidimensionali o tridimensionali. [6]

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Sono sonde molto sensibili e, grazie alla loro elevata larghezza di banda, permettono di effettuare misurazioni precise di turbolenze. In Figura 3 ne sono rappresentate alcune configurazioni. Nelle soluzioni più economiche può esser anche un termistore. Quest'ultima soluzione comporta da una parte una sensibile riduzione della larghezza di banda del sistema di misura, a causa dell'inerzia termica dei termistori e dall'altra una maggiore difficoltà di compensazione, a causa della forte non linearità della relazione temperatura-resistenza. [7]

Data la necessità di avere un filo molto sottile o comunque termistori molto piccoli per ridurne l'inerzia termica, risulta ovvio che questo tipo di sonde sono particolarmente delicate e non utilizzabili per ambito meteorologico o in ambienti "sporchi".

Anemometri termici a film caldo si prestano ad essere anche ricoperti con rivestimenti, rendendoli adatti anche a misurazioni meteorologiche, nonché possono essere accoppiati in un unico sensore per poter rivelare allo stesso tempo intensità e verso della velocità del vento. È possibile, poi, utilizzare due di queste coppie, ponendole perpendicolarmente tra loro per ottenere misure in 2 dimensioni.

Per misurazioni meteorologiche occorre però una buona calibrazione che permetta di eliminare gli effetti particolarmente impattanti dovuti alle precipitazioni. [8]

Un aspetto particolarmente interessante è che gli anemometri termici sono adatti ad essere miniaturizzati ed integrati su silicio con tecnologie MEMS.

Utilizzando particolari tecniche si riesce ad abbattere anche di due ordini di grandezza il consumo di potenza, il quale rappresenta un discreto punto debole di questi oggetti, soprattutto nelle sempre crescenti applicazioni alimentate a batteria.

Inoltre, hanno una migliore sensibilità ed un minore tempo di risposta, nonché il vantaggio di integrare l'elettronica di lettura o parte sullo stesso chip o nello stesso package.

Esiste poi la possibilità di esporre al fluido il retro del chip, lasciando protetta la parte di sensing. [9]

Oltre al principio filo/film caldo precedentemente descritto,se ne possono sfruttare anche altri che consentono di rivelare anche il verso del flusso.

Ad esempio il principio calorimetrico: sfruttando una configurazione in cui al centro si trova posizionato un riscaldatore eai lati, simmetricamente , due sensori di temperatura, si può misurare la perturbazione alla simmetria del profilo di temperatura sul chip nell'intorno del riscaldatore causato dal flusso. In sostanza dalla differenza di temperatura tra i due sensori si può ricavare velocità e direzione del flusso. Esiste un limite alla velocità massima misurabile, inversamente proporzionale alla distanza tra riscaldatore e sensore, oltre la quale si ottiene una saturazione. Ulteriore tecnica è quella che sfrutta il principio del tempo di volo: un riscaldatore emette un impulso termico che, trasportato dal flusso, raggiunge il sensore dopo un certo tempo (tempo di volo) posto ad una data distanza. Il rapporto tra distanza e tempo di volo è la velocità del fluido. Questi appena descritti sono particolarmente adatti a realizzazioni di tipo MEMS.

Come elementi sensori si possono sfruttare sia effetti termoresistivi usando termistori, sia termoelettrici impiegando termopile, sia termoelettronici usando giunzioni p-n; tutte soluzioni ben integrabili.

Scegliendo particolari configurazioni spaziali di riscaldatori-sensori si riescono ad ottenere misure direzionali in 2 dimensioni del vento.

Esiste in letteratura una discreta quantità di strutture basate su queste tecniche per la misura del vento, anche per applicazioni meteorologiche. [10]

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Anemometri a pressione

Per rivelare la velocità dei fluidi è anche possibile far ricorso a misure di pressione.

Uno dei più diffusi anemometri di questa concezione è senz'altro il tubo di Pitot. È uno strumento abbastanza preciso, diffuso soprattutto per la misura di velocità sugli aerei, ma anche ad esempio come riferimento nelle gallerie del vento.

La pressione totale di un fluido in movimento è composta da una componente dinamica proporzionale al quadrato della velocità del fluido:

𝑝_𝑡𝑜𝑡 = 𝑝_{𝑠𝑡𝑎𝑡} +1

2𝜌𝑢2 ( 1 )

dove 𝑝_𝑡𝑜𝑡 : pressione totale 𝑝_{𝑠𝑡𝑎𝑡}: pressione statica 𝜌: densità del fluido 𝑢: velocità del fluido

Il tubo di Pitot viene disposto con l'asse nella direzione del flusso; ha una presa frontale, controvento, che preleva la pressione totale e una presa laterale in prossimità dell'apertura frontale che preleva la pressione statica. Facendo la differenza tra le due pressioni, totale e statica, ad esempio con un sensore di pressione differenziale, si ottiene direttamente la pressione dinamica, da cui la velocità.

Ciò è vero nell'ipotesi in cui componente statica della pressione totale sia esattamente quella misurata. Nella realtà, a causa di come si sviluppa il flusso in corrispondenza della testa del tubo, questo non è più vero e sono introdotti ulteriori contributi sulla componente statica misurata in testa. Lo strumento necessita pertanto di una calibrazione. [11]

Altra tecnica ancora, quella oggetto del presente lavoro di tesi, sfrutta la conoscenza del profilo di pressione che si viene a formare sulla superficie laterale di un cilindro (o di una sfera) investito da un fluido.

Un ampio settore di studi si è occupato di studiare e di misurare la distribuzione della pressione che si instaura sulla superficie di diversi oggetti, tra i quali sfere e cilindri in vari regimi fluidodinamici; conoscenze necessarie ad esempio alla caratterizzazione e alla progettazione meccanica delle strutture sottoposte all'azione del vento. [12]

Sulla base di questi risultati è possibile ricavare la direzione in 2 dimensioni e il modulo della velocità del vento che lo investe prelevando valori di pressione sulla superficie laterale di un cilindro in punti noti di una sua sezione perpendicolare al suo asse.

Con lo stesso principio si può ottenere una rivelazione direzionale 3-D utilizzando una sfera. In una sfera, nell‟intorno del punto di ristagno del fluido, ossia nel punto in cui la velocità del fluido è nulla, la distribuzione di pressione in funzione dell‟angolo rispetto a tale punto è approssimabile con:

𝑝 𝑛 = 𝑝_𝑠+𝑞

4 9 𝑠 ∙ 𝑛 2− 5 ( 2 )

dove 𝑝_𝑠è la pressione statica, 𝑞 è la pressione dinamica, 𝒔 è la normale alla superficie nel punto di ristagno, 𝑝 𝑛 è la pressione sul punto della superficie con normale 𝑛.

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L‟approssimazione è valida entro circa 60° intorno al punto di ristagno.

Un metodo sfruttato per la misura è quella di inserire dei fori sulla superficie della sfera a distanza inferiore di 60°, misurarne la pressione con sensori di pressione, individuare i fori più vicini al punto di ristagno, i quali si trovano entro l‟intervallo di validità dell‟approssimazione. Dalle pressioni misurate si può quindi ricavare univocamente la posizione del punto di ristagno, ossia la direzione del vento, nonché il modulo della sua velocità. [13]

Una strategia simile si può applicare su un cilindro:

si prenda la pressione differenziale 𝑝𝐷(θ) su un diametro del cilindro inclinata di un angolo θ

rispetto al diametro insistente nel punto di ristagno (Figura 4),

Figura 4 - Pressione 𝐏𝐃(𝛉) sul diametro di un cilindro

allora

𝐶_𝑃𝐷 θ =₁𝑃𝐷(θ) 2 𝜌𝑢∞2

= 𝐴𝑐𝑜𝑠2_{θ + B, θ ∈ [0°, 45°]}

( 3 )

dove 1₂𝜌𝑢∞2 è la pressione dinamica del fluido, A e B sono fattori di correzione ricavabili con

procedure di fitting su misure note. Quindi la strategia è:

 costruire fori sulla superficie laterale del cilindro, su una sua sezione perpendicolare all‟asse, a distanza di 45° tra loro;

 misurare la pressione differenziale tra i fori opposti per mezzo di 4 sensori di pressione;  individuare i due punti più vicini al punto di ristagno;

 facendo uso delle pressioni differenziali misuratevi, ricavare θ e quindi il modulo della velocità 𝑢_∞. [14]

Questa soluzione è interessante, ma ha bisogno una procedura di calibrazione per l‟individuazione dei coefficienti di correzione e presenta una procedura di elaborazione un po‟ macchinosa per la necessità di individuare preliminarmente i due fori più vicini al punto di ristagno.

Inoltre necessita di quattro sensori di pressione differenziale, ciò comporta un certo costo sia monetario che energetico.

Un approccio diverso consiste nel convertire le pressioni sulla superficie laterale del cilindro in un flusso e misurare questo con sensore di flusso.

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Prendiamo un diametro di una sezione trasversale del cilindro che formi un angolo θ rispetto alla direzione di incidenza del vento.

Figura 5 -(a) Convenzioni per la definizione di p(ϕ); (b) canale inserito

Con le convenzioni mostrate in Figura 5 (a), tra i due punti opposti si stabilirà una pressione differenziale 𝑝𝐷(𝜃) = 𝑝 𝜃 − 𝑝(𝜃 + 𝜋). Questa sarà tra l‟altro proporzionale alla pressione

dinamica, perciò funzione della velocità del vento.

Pertanto costruendo un canale tra questi due punti, si stabilisce all‟interno di esso un flusso 𝑄_𝑥 proporzionale, almeno in prima approssimazione, a 𝑝𝐷(𝜃).

Siccome il flusso ha un massimo positivo per 𝜃 = 0, uno zero per 𝜃 = 𝜋/2 e un massimo negativo per 𝜃 = 𝜋, usando due canali perpendicolari si potrebbe pensare di usare 𝑄_𝑥 e 𝑄𝑦 per

ottenere la direzione 𝜃 e l‟intensità 𝑢 del vento.

Il problema che si riscontra è che la funzione 𝑝_𝐷(𝜃) non è monotona, quindi non è possibile con due soli canali ricavare in maniera univoca 𝜃.

Una soluzione proposta [15] è quella di utilizzare più canali per fare in modo di “equalizzare” la funzione 𝑝𝐷(𝜃), in modo da rende 𝑄𝑥(𝜃) monotona.

Figura 6 - Sezione trasversale con gli ulteriori canali proposti nella soluzione

Come rappresentato in Figura 6 vengono costruiti ulteriori canali C1 e C3 nella sezione sopravento e

C5 e C5 nella zona sottovento. I fori individuano le direzioni indicate con x” e x’ distanziate di angolo α e –α rispetto alla direzione x su cui giacciono i canali centrali C2 e C7. Il setto C4 collega l‟intersezione dei canali sopravento con l‟analoga sottovento.

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Supponendo i canali tutti identici, tranne C4 e ipotizzando i flussi all‟interno di essi proporzionali alle differenze di pressione ai loro capi, quindi schematizzabili con conduttanze fluidodinamiche, è stato vagliato un intervallo di valori di α compreso tra 0 e π/2.

Si trova che per α=40°, il flusso che scorre nel setto C4 ha la forma ha un andamento cosinusoidale rispetto a 𝜃.

Vengono allora utilizzate due sezioni di questo genere, una lungo x e l‟altra perpendicolare, lungo y.

In questa maniera si ottengono due flussi 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 l‟uno cosinusoidale, l‟altro sinusoidale, dai

quali è possibile ricavare 𝜃 con semplici relazioni trigonometriche.

Inoltre, dato che i flussi dipendono anche dalla velocità del vento u, è possibile ricavarne il valore.

In un altro lavoro [16] è stata dimostrata una formalizzazione matematica semianalitica per la progettazione dei canali, ossia della loro conduttanza fluidodinamica equivalente, del loro numero e della loro posizione α.

Questa soluzione è molto interessante, dato che consente di utilizzare due soli flussimetri per eseguire una misura anemometrica direzionale 2-D, con risparmio sia energetico, sia monetario, sia di spazio. Permette inoltre di evitare la pesante elaborazione dei segnali che viene implementata in [14], ed individua un metodo generale basato semplici combinazioni lineari. A partire da questa soluzione e dal suo modello analitico, si sviluppa il progetto dell‟anemometro proposto in questo lavoro di tesi.

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Capitolo 2

Anemometro direzionale:descrizione del funzionamento

e architettura proposta

In questo capitolo si approfondisce il funzionamento dell‟anemometro in regime fluidodinamico proposto in [15], facendo uso del modello analitico presentato in [16]. Se ne delineano poi le criticità e se ne descrive la soluzione proposta e la relativa architettura.

Descrizione del funzionamento

Si consideri un cilindro, immerso in un flusso di aria uniforme e con direzione perpendicolare al suo asse.

Come accennato nel capitolo 1, il cilindro introduce una perturbazione nel campo delle velocità locali del flusso stesso. La caratteristica della perturbazione è fortemente dipendente dal numero di Reynolds, definito come:

𝑅_𝑒 =𝜌𝑢∞𝐷

𝜇 ( 4 )

dove 𝜌 è la densità del fluido e 𝜇 la sua viscosità dinamica, 𝐷 è il diametro del cilindro e 𝑢_∞ è il modulo della velocità del fluido indisturbato, che di seguito sarà indicato semplicemente con u. La perturbazione si può estendere anche a distanze pari a diverse volte il diametro del cilindro, soprattutto nella parte posteriore, ossia nella scia che si forma sottovento.

Sulla superficie laterale del cilindro, pertanto, si ingenera una distribuzione di pressione che si discosta da quella statica del fluido. Così come la perturbazione del flusso, anche questa distribuzione è fortemente dipendente da 𝑅_𝑒.

Figura 7 - Sezione trasversale del cilindro con le convenzioni utilizzate: v vettore della velocità del flusso, 0 punto di ristagno del fluido, ps pressione nel punto sulla superficie laterale del cilindro ad angolo ϕ rispetto all’asse x.

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Si consideri Figura 7, che rappresenta la sezione trasversale del cilindro su cui incide un flusso avente vettore di velocità v; il punto di ristagno è rappresentato con 0 e l‟angolo di v rispetto all‟asse di riferimento x è indicato con θ.

Si prenda in considerazione il valore di pressione nel punto a distanza angolare ϕ dall‟asse x; si avrà 𝑝_𝑆(𝜙, 𝜃, 𝑢) funzione, appunto, di 𝜙, 𝜃 e u.

In realtà, però, la pressione locale dipenderà, oltre che da u solo dalla distanza dal punto di ristagno 0, distanza angolare pari a 𝛽 = 𝜙 − 𝜃. Segue che si può ridurre 𝑝_𝑆 alla funzione di due sole variabili: 𝑝₀ 𝜙 − 𝜃, 𝑢 = 𝑝0(𝛽, 𝑢).

Con questa trasformazione si ottiene che:

𝑝𝑆 𝜙, 𝜃, 𝑢 = 𝑝0 𝜙 − 𝜃, 𝑢 = 𝑝0(𝛽, 𝑢) ( 5 )

Come accennato in precedenza l‟anemometro in regime fluidodinamico basa il funzionamento sulla misurazione del flusso che si instaura in un canale costruito su un diametro della sezione; flusso sostenuto dalla differenza di pressione ai suoi capi.

Si prenda perciò in esame la differenza di pressione tra due punti diametralmente opposti, detta “pressione di diametro” o “pressione diametrale”:

𝑝_𝐷𝑆 𝜙, 𝜃, 𝑢 = 𝑝_𝑆 𝜙, 𝜃, 𝑢 − 𝑝_𝑆 𝜙 + 𝜋, 𝜃, 𝑢 ( 6 ) o, riferendosi al punto di ristagno:

𝑝_𝐷0 𝛽, 𝑢 = 𝑝0 𝛽, 𝑢 − 𝑝0 𝛽 + 𝜋, 𝑢 ( 7 )

Con queste convenzioni si vede che l‟asse x si trova a distanza 𝛽 = −𝜃 dal punto di ristagno; analogamente si può considerare un asse y perpendicolare ad x, per il quale 𝛽 = −𝜃 + 𝜋/2. Le pressioni diametrali lungo x e y saranno esprimibili come:

𝑝𝐷𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝐷0 −𝜃, 𝑢 = 𝑝𝐷0 𝜃, 𝑢

𝑝_𝐷𝑌 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝐷0 −𝜃 + 𝜋/2, 𝑢 = 𝑝𝐷0 𝜃 − 𝜋/2, 𝑢

( 8 ) ( 9 )

In [16] sono riassunti gli andamenti di 𝑝0 e 𝑝𝐷0 normalizzate rispetto alla pressione dinamica,

cioè rispetto a 𝜌𝑢2_{/2, in funzione di 𝛽 e per vari valori del numero di Reynolds 𝑅}

𝑒. Se ne riporta

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Figura 8 - (a) Andamento della pressione normalizzata e (b) andamento della pressione diametrale normalizzata, per vari valori di Re

Come già accennato nel precedente capitolo, appare che per 𝑅_𝑒 > 100 la funzione 𝑝_𝐷0 non è più monotona nell‟intervallo [0, π]; lo stesso varrà per 𝑝𝐷𝑋 e 𝑝𝐷𝑌.

Ciò preclude alla possibilità di determinare univocamente l‟angolo di incidenza del flusso 𝜃, e quindi u, a partire dai valori di 𝑝_𝐷𝑋 e 𝑝_𝐷𝑌, ossia dai valori di 𝑄_𝑥 e 𝑄_𝑦 che si instaurerebbero nei canali rispettivamente lungo x e lungo y.

L‟idea è che se 𝑝_𝐷0 𝛽, 𝑢 fosse proporzionale a 𝑐𝑜𝑠 𝛽 , si potrebbero ottenere 𝜃 e u con semplici relazioni trigonometriche.

Ciò non accade a causa della composizione spettrale di 𝑝𝐷0 𝛽 , ossia per colpa delle armoniche

di ordine superiore alla fondamentale nel suo spettro valutato in [-π, π].

Si noti che 𝑝_𝐷0 𝛽 è alternativa rispetto a 𝛽, perciò saranno presenti solo le armoniche di ordine dispari.

Dall‟analisi spettrale di 𝑝_𝐷0 𝛽 rispetto a 𝛽 risulta che la composizione dipende fortemente da 𝑅𝑒, ma in ogni caso la componente decisamente più influente è la 3a armonica, la cui ampiezza

invece non varia molto con 𝑅_𝑒.

Approssimazione tramite combinazione lineare (DPA: diametric pressure averaging)

Riassumendo, occorre un metodo per cancellare le armoniche superiori alla fondamentale, con particolare attenzione alla 3a armonica.

Come mostrato empiricamente per l‟anemometro fluidodinamico, questo obiettivo si può raggiungere per mezzo della combinazione lineare di più pressioni diametrali.

Si considerino diametri simmetrici rispetto all‟asse x e si indichino con 𝜙𝑖, con i = 0,…, N, gli

angoli di ogni diametro rispetto a x.

In totale avremo 2𝑁 + 1 diametri spaziati rispetto a x dei seguenti angoli: {𝜙₀, ±𝜙₁, ±𝜙₂, ⋯ , ±𝜙_𝑁}

17

Combinando linearmente le pressioni diametrali così individuate, si ottiene:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤_𝑖𝑝_𝐷𝑆(𝜙_𝑖, 𝜃, 𝑢)

𝑁 𝑖=−𝑁

( 10 )

dove 𝑤_𝑖 sono i pesi di ogni pressione diametrale, di valore arbitrario, ma positivo, tali per cui 𝑤_−𝑖= 𝑤_𝑖 e 𝜙_−𝑖 = −𝜙_𝑖.

Utilizzando l‟espressione equivalente di 𝑝_𝐷0, si ricava anche: 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤𝑖𝑝𝐷0(𝜙𝑖− 𝜃, 𝑢)

𝑁 𝑖=−𝑁

( 11 )

Si può considerare 𝑝𝐷0 𝜃, 𝑢 alla stregua di un segnale espandibile in serie di Fourier. Infatti

rispetta il criterio di Dirichlet, ossia è assolutamente integrabile sul periodo, è continua e derivabile rispetto a 𝜃 nel periodo. Inoltre è pari, per cui può essere espansa in serie di soli coseni [17].

Prendiamo in considerazione quindi gli sviluppi rispetto a 𝜃 in serie di Fourier di 𝑝𝐷0(𝜃, 𝑢) e

𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 , indicandone con 𝐴𝑘(𝑢) e 𝐵𝑘(𝑢) i coefficienti rispettivamente di 𝑝𝐷0(𝜃, 𝑢) e 𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 .

Si otterranno: 𝑝_𝐷0 𝜃, 𝑢 = 𝐴_𝑘(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜃) ∞ 𝑘=1,3,5,… 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝐵_𝑘(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜃) ∞ 𝑘=1,3,5,… ( 12 ) ( 13 )

È da notare che, come esposto in precedenza, sono non nulle solo le armoniche di ordine dispari, pertanto la prima di ordine superiore alla fondamentale sarà la 3a. Inoltre i coefficienti saranno funzioni del modulo della velocità del vento u.

Si può quindi ricavare la relazione tra 𝐴_𝑘(𝑢) e 𝐵_𝑘(𝑢):

𝐵_𝑘(𝑢) = 𝐴_𝑘(𝑢) 𝑤_𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜙_𝑖)

𝑁 𝑖=−𝑁

( 14 )

È possibile pertanto, con la scelta di una combinazione opportuna dei pesi 𝑤𝑖e degli angoli 𝜙𝑖

ottenere l‟abbattimento di un certo numero di coefficienti 𝐵𝑘(𝑢), con 𝑘 > 1, ottenendo

un‟approssimazione cosinusoidale di 𝑃_𝑋 𝜃, 𝑢 .

Interessa quindi l‟ampiezza della fondamentale, che sarà data da:

𝐵1(𝑢) = 𝐴1(𝑢) 𝑤𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜙𝑖) 𝑁

𝑖=−𝑁

( 15 )

18

In altri termini la soluzione ideale consisterebbe nell‟annullare tutti i coefficienti di ordine superiore a 1, ossia ottenere

𝑤_𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜙_𝑖)

𝑁 𝑖=−𝑁

= 0 𝑝𝑒𝑟 𝑘 = 3,5,7, …

Chiaramente, avendo a disposizione N angoli ed N pesi arbitrari, se ne otterrà soltanto un parziale annullamento. Ne deriva, quindi, un‟approssimazione cosinusoidale tanto più fedele, quanto maggiore sarà N, ovvero quante più pressioni diametrali saranno combinate. È chiaro che occorrerebbe 𝑁 → ∞ per produrre una 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 perfettamente proporzionale a cos⁡(𝜃).

In ogni caso, come già osservato, l‟armonica preponderante, oltre alla fondamentale, è la 3a

. Segue che già con 𝑁 = 1, cioè combinando 3 pressioni diametrali, si possono in linea teorica ottenere risultati interessanti.

Rimane comunque un limite teorico alle prestazioni del sistema dovuto al contenuto armonico ineliminabile.

Per quanto riguarda la scelta dei 𝑤𝑖 e 𝜙𝑖, si può far riferimento a due casi particolari: pesi

uniformi (uniform weights: UW) ed angoli arbitrari (detto anche ad “angoli pesati”); oppure spaziatura degli angoli uniforme (uniform diameter spacing: UDS) e pesi arbitrari (detto anche a “canali pesati”).

Nel primo caso (UW) si può dimostrare una relazione analitica che consente di annullare i coefficienti di tutte le armoniche sopra la fondamentale fino alla 2𝑁 + 1 -esima, imponendo 𝐵_𝑘 = 0 per 𝑘 = 3,5, … ,2𝑁 − 1.

In particolare, ad esempio, per annullare la terza armonica con 𝑁 = 1, esistono due soluzioni ottime: 𝜙_𝑖𝑎 = 40° e 𝜙_𝑖𝑏 = 80°.

Nell‟altro caso, quello a canali pesati (UDS) i pesi 𝑤_𝑖 non sono uniformi. Gli angoli invece sono distribuiti uniformemente in [0, 𝜋 2 ].

Introducendo un nuovo intero M, si posso esprimere gli angoli come:

𝜙𝑖= 𝑖

𝜋

2𝑀 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑀 ( 16 )

Quindi, ricordando che in generale 𝑤−𝑖 = 𝑤𝑖 e 𝜙−𝑖= −𝜙𝑖, si può riscrivere l‟espressione di

𝑃𝑋 𝜃, 𝑢 del caso generale, sostituendo l‟espressione particolare dei 𝜙𝑖:

𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤𝑖𝑝𝐷0(𝑖 𝜋 2𝑀− 𝜃, 𝑢) 𝑀 𝑖=−𝑀 ( 17 )

Una possibile scelta dei coefficienti è la seguente:

𝑤_𝑖 = 𝑤₀cos 𝜙_𝑖 = 𝑤₀cos 𝑖 𝜋

2𝑀 ( 18 )

19

Si può sostituire questa scelta di pesi nell‟espressione di 𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 , ottenendo:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤₀ 𝑝_𝐷0(𝑖 𝜋 2𝑀− 𝜃, 𝑢) 𝑀 𝑖=−𝑀 cos 𝑖 𝜋 2𝑀 ( 19 )

Si può dimostrare che la sommatoria è un‟approssimazione dell‟integrale della funzione 𝑝_𝐷0(𝜙 − 𝜃, 𝑢) cos 𝜙 sull‟intervallo [− 𝜋 2 , 𝜋 2 ] calcolata su una serie di punti discreti distanziati tra loro di 𝜋 2 𝑀.

Quindi si può scrivere:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 ≅ 𝑤0 2𝑀 𝜋 𝑝𝐷0(𝜙 − 𝜃, 𝑢) cos 𝜙 𝜋 2 −𝜋 2 𝑑𝜙 ( 20 )

A questo punto si può sostituire l‟espansione in serie di Fourier di 𝑝_𝐷0(𝜙 − 𝜃, 𝑢), ottenendo:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 ≅ 𝑤0 2𝑀 𝜋 𝐴𝑘(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜙 − 𝑘𝜃) ∞ 𝑘=1,3,5,… cos 𝜙 𝜋 2 −𝜋 2 𝑑𝜙 ( 21 )

Si può dimostrare infine che:

𝐴𝑘(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜙 − 𝑘𝜃) ∞ 𝑘=1,3,5,… cos 𝜙 𝜋 2 −𝜋 2 𝑑𝜙 =𝜋 2𝐴1(𝑢)cos⁡(𝜃) ( 22 ) Quindi si può riscrivere 𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 come:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 ≅ 𝑤₀𝑀𝐴₁(𝑢)cos⁡(𝜃) ( 23 )

Si può osservare che in questa maniera si è ottenuta una 𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 proporzionale ad un coseno.

Chiaramente si tratta di un‟approssimazione, tanto migliore quanto maggiore sarà il numero M, cioè il numero di pressioni diametrali combinate. Infatti tanto maggiore è M, tanto migliore sarà l‟approssimazione dell‟integrale con la sommatoria.

È da far notare che i punti da cui prelevare la pressione saranno 2𝑀 + 1, ma in realtà quelli per 𝑖 = ±𝑀, cioè con 𝜙𝑖 = ±𝜋/2 danno un contributo nullo, dato che i loro pesi sono nulli, allora,

richiamando l‟intero 𝑁 = 𝑀 − 1, si può riscrivere:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤0 𝑝𝐷0 𝑖 𝜋 2(𝑁 + 1)− 𝜃, 𝑢 𝑁 𝑖=−𝑁 cos 𝑖 𝜋 2(𝑁 + 1) ( 24 )

In cui N è il medesimo del caso generale.

20

È utile dare un‟altra spiegazione all‟equazione sopra trattata, cioè:

𝑝_𝐷0(𝜙 − 𝜃, 𝑢) cos 𝜙

𝜋 2 −𝜋 2

𝑑𝜙 =𝜋

2𝐴1(𝑢)cos⁡(𝜃) ( 25 )

Si ricorda che 𝑝_𝐷0(𝜙 − 𝜃, 𝑢) è un segnale alternativo, per cui i coefficienti della serie di Fourier possono essere calcolati integrando su un mezzo periodo. Inoltre occorre precisare che 𝑝𝐷0(𝜙 −

𝜃, 𝑢) ha subito una traslazione di 𝜃, per cui non è più pari, quindi a rigore contiene anche le componenti sinusoidali. Ma il termine a sinistra rappresenta proprio l‟espressione del coefficiente del coseno della componente fondamentale, che è proporzionale proprio a 𝐴₁(𝑢)cos⁡(𝜃).

Occorre ricordare che tramite la combinazione lineare appena descritta si ottiene una 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 in prima approssimazione cosinusoidale, ma da sola non basta per poter discriminare univocamente 𝜃 e u. Occorre un‟altra sezione analoga ma perpendicolare a questa, che permetta di ricavare 𝑝_𝑌 𝜃, 𝑢 . È con la coppia 𝑝𝑋, 𝑝𝑌, proporzionali l‟una al coseno, l‟altra al seno, che si possono

determinare in maniera semplice 𝜃 e u.

Ergo in totale le pressioni diametrali da rivelare sono 2(2𝑁 + 1), ossia solo per abbattere la 3a armonica occorre rivelare 6 pressioni diametrali.

Combinazione lineare in regime fluidodinamico

L‟approccio utilizzato in [15] per implementare le somme descritte consiste nell‟eseguirle nel regime fluidodinamico.

Si consideri la sezione x: vengono costruiti due set di canali simmetrici rispetto a y che collegano la superficie laterale del cilindro con due camere 𝐻₁ e 𝐻₂. Ogni canale è connesso alla superficie laterale in un punto individuato dal relativo 𝜙_𝑖.

Figura 9 - Rappresentazione della sezione trasversale del cilindro dell’anemometro fluidodinamico a canali pesati (UDS), con N=1

21

In Figura 9 è rappresentata la sezione trasversale del cilindro dell‟anemometro fluidodinamico a canali pesati (UDS) con N=1.

Facendo uso delle scelte descritte sopra, si avranno 𝜙1= 45° e 𝜙−1= −45°.

Costruendo canali con un diametro di pochi millimetri, si ipotizza che all‟interno di ognuno di essi si instauri un flusso laminare, determinato dalla differenza di pressione ∆𝑃 tra la superficie esterna e la relativa camera interna, di portata volumetrica Q proporzionale a ∆𝑃.

Sotto questa ipotesi è quindi lecito ricondursi ad un‟analogia elettrica, per cui ogni canale è schematizzabile con una conduttanza:

𝐺_𝑖 = 𝑄

∆𝑃 ( 26 )

Quindi la struttura di Figura 9 può essere rappresentata come una rete resistiva del tipo rappresentato in Figura 10.

Figura 10 – Rete elettrica equivalente dell’anemometro fluidodinamico a canali pesati (UDS) con N=1

In particolare la conduttanza associata ad ogni canale può essere derivata dalla formula di Hagen-Poiseuille per il flusso laminare [18]:

𝐺_𝑖 = 𝑄𝑖 ∆𝑃_𝑖= 𝜌 𝜋 128 𝐷_𝑒4 𝜇𝐿_𝑖 ( 27 )

dove 𝐿𝑖 è la lunghezza del canale, 𝐷𝑒, definito come 𝐷𝑒 = 4𝐴/𝑃 con A e P rispettivamente area e

perimetro della sezione del canale, è il diametro equivalente del canale; 𝜌 è la densità dell‟aria e 𝜇 la sua viscosità dinamica.

Per ogni canale si possono scegliere come parametri di progetto la lunghezza e il diametro equivalente per definirne la conduttanza equivalente.

Andando a risolvere la rete di Figura 10, si ottiene l‟espressione delle pressioni nelle due cavità H1 e H2: 𝑝𝐻1− 𝑝𝐻2 = 𝐺_𝑖 𝐺_𝑇 𝑁 𝑖=−𝑁 𝑝𝑆 𝜙𝑖, 𝜃, 𝑢 − 𝐺_𝑖 𝐺_𝑇 𝑁 𝑖=−𝑁 𝑝𝑆 𝜙𝑖+ 𝜋, 𝜃, 𝑢 ( 28 )

22 𝐺_𝑇 = 𝐺_𝑖

𝑁 𝑖=−𝑁

( 29 )

Si possono rimettere in ordine i termini delle sommatorie, ottenendo: 𝑝_𝐻1− 𝑝_𝐻2= 𝐺𝑖 𝐺_𝑇 𝑁 𝑖=−𝑁 𝑝_𝐷𝑆 𝜙𝑖, 𝜃, 𝑢 ( 30 ) Che definendo 𝑤𝑖 = 𝐺_𝑖 𝐺𝑇 ( 31 ) è equivalente proprio a: 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤_𝑖𝑝_𝐷𝑆(𝜙_𝑖, 𝜃, 𝑢) 𝑁 𝑖=−𝑁 ( 32 ) Ossia: 𝑝_𝐻1− 𝑝_𝐻2= 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤𝑖𝑝𝐷𝑆(𝜙𝑖, 𝜃, 𝑢) 𝑁 𝑖=−𝑁 ( 33 )

Ecco che si può ottenere la combinazione lineare con la struttura fluidodinamica illustrata.

Riassumendo, a fronte di un‟opportuna scelta delle geometrie o delle spaziature angolari dei canali, la pressione differenziale 𝑝_𝐻1− 𝑝_𝐻2 risulta circa proporzionale, entro i limiti descritti, a 𝐴1(𝑢)cos⁡(𝜃).

Inserendo poi un‟analoga sezione orientata lungo l‟asse y, si ottiene una differenza di pressioni circa proporzionale a 𝐴1(𝑢)sen⁡(𝜃).

In altri termini, inserendo una sezione x e una sezione y ruotata di 90°, otterremo due pressioni differenziali, rispettivamente 𝑝𝑋 𝜃, 𝑢 e 𝑝𝑌 𝜃, 𝑢 , che saranno legate dalla relazione

𝑝𝑌 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝑋 𝜋/2 − 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝑋 𝜃 − 𝜋/2, 𝑢 ( 34 )

e con l‟approssimazione descritta, potranno essere scritte come: 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝑀𝐴𝑋 𝑢 cos⁡(𝜃)

𝑝𝑌 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝑀𝐴𝑋 𝑢 sen⁡(𝜃) ( 35 )

Per cui, a partire da queste, si possono stimare l‟angolo 𝜃_𝑚 e l‟ampiezza 𝑝_𝑀𝐴𝑋 𝑢 con: 𝜃_𝑚 = arctan⁡(𝑝_𝑋, 𝑝_𝑌)

𝑝𝑀𝐴𝑋 = 𝑝𝑋2+ 𝑝𝑌2

( 36 ) ( 37 ) Segue che nel caso UW, dato che servono pesi uniformi, basta costruire tutti i canali identici, sia di diametro che di lunghezza, e i parametri di progetto sono il set di angoli di spaziatura dei fori. Invece nel caso UDS invece occorre impostare i pesi, secondo il criterio descritto sopra, cioè:

23

𝐺_𝑖 = 𝐺₀cos 𝜙_𝑖 ( 38 )

Dove 𝐺₀ è la conduttanza del canale centrale, cioè quello con 𝜙_𝑖 = 0.

Ciò può essere fatto, come già accennato, modulando la lunghezza e/o la sezione dei canali. Dal punto di vista pratico è senz‟altro preferibile agire sulla lunghezza, piuttosto che sul diametro della sezione. Infatti nella realizzazione pratica dell‟oggetto risulta difficile il controllo fine del diametro del foro; è molto più semplice invece costruire canali identici tra loro, soprattutto in riferimento alla sezione. Tanto più che il diametro del foro contribuisce proporzionalmente con la sua quarta potenza al valore della conduttanza. Segue che la sensibilità all‟errore di fabbricazione sulla sezione del foro è decisamente elevato. Costruendo invece canali di sezione identica è l‟errore di matching tra di questi a ripercuotersi sulla conduttanza, errore generalmente di minore entità.

Si sceglie quindi come parametro di progetto delle conduttanze, ossia dei pesi, la lunghezza. Quindi, utilizzando la formula per la conduttanza esposta sopra, si può ricavare l‟espressione delle lunghezze dei canali:

𝐿𝑖 =

𝐿₀

cos 𝜙𝑖 ( 39 )

dove 𝐿₀ è la lunghezza del canale centrale.

È possibile calcolare il valore di 𝑤₀ricordando che 𝜙_𝑖= 𝑖 𝜋

2𝑀 , 𝐺𝑇 = 𝐺𝑖 𝑁 𝑖=−𝑁 : 𝐺_𝑇 = 𝐺₀ cos 𝑖 𝜋 2𝑀 ≅ 𝑁 𝑖=−𝑁 𝐺₀2𝑀 𝜋 cos 𝜙 𝜋 2 −𝜋 2 𝑑𝜙 ( 40 )

dove si utilizza l‟approssimazione della sommatoria con l‟integrale, con le stesse considerazioni fatte in precedenza. Ricordando che 𝑤₀= 𝐺0 𝐺𝑇 , si può ricavare 𝑤₀≅ 𝜋 4𝑀 ( 41 )

Ricordando, poi che 𝐵₁è l‟ampiezza della fondamentale di 𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 , si può ricavare che 𝐵₁≅𝜋

4𝐴1 ( 42 )

Ricordiamo ora che 𝐴₁ è l‟ampiezza della fondamentale di 𝑝_𝐷0 𝜃, 𝑢 .

I risultati dell‟analisi spettrale di 𝑝𝐷0 𝜃, 𝑢 , riportati in [16] mostrano che il rapporto tra 𝐴1 e la

pressione dinamica (ossia 𝐴1/(𝜌𝑢

2

2 )) non varia molto al variare di diversi ordini di grandezza del

numero di Reynolds, perciò si può considerare 𝐴₁ circa proporzionale alla pressione dinamica. Quindi il rapporto 𝐵1/𝐴1 rappresenta una sorta di fattore di attenuazione tra la pressione

diametrale massima e la pressione massima misurata 𝑝_𝑋, che coincide con 𝑝_𝑀𝐴𝑋.

Rimane comunque una dipendenza di 𝐴₁ rispetto al numero di Reynolds, e di conseguenza di 𝐵₁. Ciò si ripercuote sul rapporto tra 𝑝_𝑀𝐴𝑋 e la pressione dinamica.

24

Nell‟articolo [16] a cui si sta facendo riferimento sono riportati i risultati del calcolo di 𝑝𝑀𝐴𝑋/(𝜌𝑢

2

2 ) mediati su 360° di intervallo di direzioni del vento, utilizzando i dati di letteratura per

𝑝_𝑆 𝜃, 𝑢 , per vari numeri di Reynolds, in diverse configurazioni UW e UDS. Si riportano nel grafico di Figura 11.

Figura 11 - Pmax normalizzata rispetto alla pressione dinamica in funzione di Re.

Comunque il comportamento di 𝑝_𝑀𝐴𝑋 può essere approssimato con quello della pressione dinamica e ciò è giustificato dai dati sperimentali.

In seguito se ne darà anche una prova con dati simulativi.

In sostanza, quindi, consideriamo 𝑝𝑀𝐴𝑋 circa proporzionale a 𝜌𝑢

2

2 . Per cui si può stimare la

velocità come:

𝑢_𝑚 = 2𝑝𝑀𝐴𝑋

𝜌 ( 43 )

L‟errore massimo complessivo sulla velocità dato da questa approssimazione è stato calcolato e rimane sotto il 15%. In ogni caso è possibile eseguire un‟operazione di fitting per ottenere migliori risultati.

25

Figura 12 - (a) Errore sull’angolo, (b) oscillazioni di pMAX in funzione di N, per le configurazioni UW e UDS. Le barre

rappresentano lo span dell’errore al variare di Re tra 30 e 40x103

In Figura 12 sono riportati i risultati degli errori teorici sull‟angolo e le oscillazioni di 𝑝𝑀𝐴𝑋 in

funzione di N, per entrambe le configurazioni.

L‟errore sull‟angolo è l‟errore massimo assoluto su tutto l‟intervallo di 360° di direzione del vento.

Sia l‟errore sull‟angolo che le oscillazioni di 𝑝𝑀𝐴𝑋 dipendono da Re. Le barre indicano lo span tra

il caso peggiore e il caso migliore per Re che varia tra 30 e 40 ∙ 103_.

L‟errore teorico, si ricorda, è dovuto al non annullamento totale delle armoniche di 𝑝𝐷0.

In Figura 13 sono rappresentati i risultati dell‟errore sull‟angolo e delle oscillazioni di 𝑝_𝑀𝐴𝑋 rispetto alla direzione del vento per entrambe le configurazioni:

26

Criticità prestazionali dell’approccio fluidodinamico

Il prototipo che si basa su questa tecnica, proposto in [15], mette però in mostra alcune criticità. È costruito secondo la configurazione UW con N=1 e ricorre alla misura del flusso indotto in un‟ulteriore canale che connette le due camere, così come descritto nel capitolo 1.

Si mostra che sia l‟errore sull‟angolo, sia l‟ampiezza delle oscillazioni di 𝑝𝑀𝐴𝑋 risultano essere

maggiori di quelle stimate nell‟analisi teorica. In particolare l‟errore sulla stima dell‟angolo della direzione del vento, supera in valore massimo i 5°, a fronte di un errore stimato massimo di 2°. Sono state addotte varie ipotesi alla spiegazione di questa discrepanza, una di queste riguarda la formazione del flusso all‟interno dei canali.

Si è visto che solo sotto l‟ipotesi per cui all‟interno dei canali si innesca un flusso laminare, questi possono essere rappresentati come conduttanze fluidodinamiche.

Infatti con un flusso laminare il gradiente di pressione lungo il canale è costante. Si può così ricondurci all‟analogia elettrica e trattare la relazione tra caduta di pressione e portata interna come l‟analogo della legge di Ohm.

Questa ipotesi è di solito valida in canali lunghi e stretti. Nel caso in oggetto, però, nonostante il fattore di forma tra lunghezza e diametro sia abbastanza grande, le lunghezze sono dell‟ordine dei pochi millimetri.

Per di più il flusso si ipotizza laminare all‟interno dei canali, ma sarà difficile sostenere l‟ipotesi alle imboccature. C‟è inoltre da dire che la pressione viene prelevata sulla superficie del cilindro, sulla quale, almeno per numeri Re>100, il regime di flusso sarà generalmente turbolento. È ragionevole supporre che delle turbolenze si propaghino anche all‟interno dei canali

Ancor più, gli spigoli tra la superficie esterna del cilindro e quella interna dei canali è probabile che inneschino turbolenze che si propagano anche al loro interno.

Quindi il dubbio è che la zona turbolenta ai bordi dei canali si estenda all‟interno degli stessi abbastanza da non essere più trascurabile.

In tal caso la caduta di pressione ∆𝑃 non cade tutta ai capi della zona laminare, risulta così fallace la stima della conduttanza fluidodinamica.

Per vagliare dette ipotesi si sono svolte delle simulazioni con il software di multi fisica basato sul calcolo agli elementi finiti, COMSOL Multiphysics. Questo strumento mette a disposizione un modulo per i modelli computazionali fluidodinamici (CFD: computational fluid dynamics), che abbiamo applicato alla struttura rappresentata in Figura 9.

I dettagli del lavoro simulativo saranno riportati nel capitolo 3. Qui si riportano solo alcuni risultati, a prova della spiegazione addotta alle criticità appena descritte.

27

In Figura 14 sono riportati i dati simulativi relativi ai profili di pressione lungo l‟asse dei canali 0 e 1 (struttura con 𝑁 = 1 , 𝜙0= 0° e 𝜙1 = 45°, in configurazione UDS; diametro del cilindro

20mm, 𝜌 = 1.2044 𝐾𝑔/𝑚3_{) per velocità del vento di 3.5m/s e 5.3m/s, corrispondenti a numeri di}

Reynolds rispettivamente 𝑅𝑒 = 4660 e 𝑅𝑒 = 7057.

È evidente che il profilo di pressione è tutt‟altro che lineare. In particolare nel canale 0 per velocità di 5.3 m/s (b), si nota che la caduta di pressione ai capi della parte iniziale e della parte finale è più dellà metà della caduta totale.

Quindi è evidente che non è possibile considerare il gradiente di pressione costante lungo l‟asse dei canali, ossia la loro conduttanza equivalente non sarà esprimibile secondo il modello ipotizzato.

Inoltre, ci si aspetta che la direzione di incidenza del vento abbia influenza sul profilo di pressione stesso, cioè che la conduttanza equivalente dipenda dall‟angolo di incidenza del vento: ulteriore fattore di non idealità.

Quanto detto può spiegare la discrasia apparsa sperimentalmente rispetto alle prestazioni teoriche della tecnica DPA in regime fluidodinamico.

Criticità funzionali dell‟approccio fluidodinamico

Altro aspetto riguarda la robustezza dell‟anemometro in regime fluidodinamico come sensore meteorologico.

Infatti, come descritto, il suo funzionamento si basa sull‟instaurazione di flussi d‟aria all‟interno di canali. È ovvio che se esposto a precipitazioni meteorologiche, a polvere, fango e agli altri elementi di “sporcizia” caratteristici degli ambienti esterni, i canali possono facilmente ostruirsi. Figura 14 - Simulazioni dei profili della pressione lungo l’asse dei canali: (a) e (b) canale 0 ( a 0°) alle velocità rispettivamente di 3.5m/s e 5.3m/s; (c) e (d) canale 1 (a 45°) alle velocità rispettivamente di 3.5m/s e 5.3m/s. Il cilindro ha diametro 20mm.

28

Proprio perché, oltre ad ostruzioni superficiali dei fori, coinvolgono un flusso al loro interno che trasporta con se queste “sporcizie”.

Si è visto quanto sia sensibile la conduttanza equivalente dei canali rispetto alle variazioni della loro sezione, quindi si capisce quanto l‟oggetto sia sensibile anche alle minime ostruzioni.

Per le ragioni già affrontate, comunque, la tecnica DPA rimane interessante come metodo generale per la determinazione di direzione e intensità del vento.

Detto ciò, la soluzione proposta consiste nell‟eseguire la combinazione delle pressioni diametrali, senza ricorrere all‟approccio fluidodinamico.

Cioè si prelevano le pressioni diametrali tramite coppie canali che comunicano con la superficie laterale del cilindro tramite coppie di fori diametralmente opposti giacenti su una sua sezione trasversale del cilindro, spaziati di angoli definiti dalla tecnica DPA.

Ad ogni coppia diametrale di canali (cioè di fori) è collegato un sensore di pressione differenziale che quindi ne rivela la relativa pressione diametrale.

La combinazione numerica viene poi eseguita via software tramite un microcontrollore, utilizzando i pesi 𝑤_𝑖 definiti dalla tecnica DPA.

Dato che i pesi sono facilmente impostabili via software, si decide di operare secondo quella che corrisponde alla configurazione UDS, quindi ad angoli equispaziati.

Come esposto in precedenza occorre un numero non trascurabile di sensori (cioè 2(2𝑁 + 1)), quindi si decide di operare con il numero minimo di canali, ovvero con 𝑁 = 1.

Segue che già con la scelta minima, occorrerebberoo due sezioni x e y, ognuna delle quali impiegherebbe 3 sensori, necessiteremmo di un totale di 6 sensori di pressione differenziale. Si può osservare però che con 𝑁 = 1, gli angoli saranno dati da:

𝜙_𝑖 = 𝑖𝜋

4 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 0, 1 ( 44 )

Allora la proposta è di inserire anche il canale con 𝜙₂=𝜋

2 , così da ottenere 4 pressioni diametrali

equispaziate di 45° ed unire le due sezioni in una sola.

In Figura 14 è riportata la rappresentazione della sezione trasversale del cilindro proposto in questo lavoro di tesi.

29

I canali proseguono in verticale fino alla base del cilindro. A questi vengono collegati i tubi che portano alle porte dei sensori differenziali.

Sono rappresentate in figura anche le convenzioni per indicare le pressioni diametrali e i loro versi. Chiameremo: 𝑝₀= 𝑃₀₊− 𝑃₀₋ 𝑝1= 𝑃1+− 𝑃1− 𝑝₂= 𝑃₂₊− 𝑃₂₋ 𝑝₃= 𝑃₃₊− 𝑃₃₋ ( 45 )

Il diametro del cilindro è 𝐷𝑐= 80 𝑚𝑚 e il diametro dei fori è 𝑑ℎ = 2 𝑚𝑚; 𝜙1=𝜋₄.

Grazie a questa scelta si possono utilizzare le pressioni 𝑝₀, 𝑝₁, −𝑝₃ per ricavare 𝑝_𝑋 e 𝑝₂, 𝑝₁, 𝑝₃ per ricavare 𝑝_𝑌.

In particolare, ricordando il metodo DPA, si possono calcolare:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑤₀𝑝₀ 𝜃, 𝑢 + 𝑤₁𝑝₁ 𝜃, 𝑢 − 𝑤₁𝑝₃ 𝜃, 𝑢

𝑝_𝑌 𝜃, 𝑢 = 𝑤0𝑝2 𝜃, 𝑢 + 𝑤1𝑝1 𝜃, 𝑢 + 𝑤1𝑝3(𝜃, 𝑢) ( 46 )

Con

𝑤₁= 𝑤₀cos 𝜋

4 ( 47 )

Dove 𝑤₀ è un parametro libero.

Come visto nella trattazione precedente si ottiene:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 ≅ 𝑤0𝑀𝐴1 𝑢 cos⁡(𝜃) ( 48 )

Nel caso in oggetto 𝑀 = 2, quindi scegliendo 𝑤₀= 1

𝑀= 1/2, si ricava:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 ≅ 𝐴1 𝑢 cos⁡(𝜃)

𝑝𝑌 𝜃, 𝑢 ≅ 𝐴1 𝑢 sen(𝜃) ( 49 )

Che possono essere riscritte come:

𝑝_𝑋 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝑀𝐴𝑋 𝑢 cos⁡(𝜃)

𝑝_𝑌 𝜃, 𝑢 = 𝑝𝑀𝐴𝑋 𝑢 sen⁡(𝜃) ( 50 )

Quindi si possono ottenere la stima dell‟angolo e 𝑝𝑀𝐴𝑋:

𝜃𝑚 = arctan⁡(𝑝𝑋, 𝑝𝑌)

𝑝_𝑀𝐴𝑋 = 𝑝_𝑋2_{+ 𝑝} 𝑌2

30

Con queste definizioni 𝑝𝑀𝐴𝑋 ≅ 𝐴1 𝑢 . Ricordando che 𝐴1 𝑢 è l‟ampiezza della fondamentale di

𝑝_𝐷0 𝜃, 𝑢 , cioè in questo caso di 𝑝₀ 𝜃, 𝑢 , e adducendo le medesime considerazioni fatte in precedenza sull‟andamento di 𝐴₁ 𝑢 , la si può approssimare con la pressione dimanica:

𝐴₁ 𝑢 ≅ 𝜌𝑢2

2 ( 51 )

Da cui si può ricavare la stima della velocità:

𝑢_𝑚 = 2𝑝𝑀𝐴𝑋 𝜌

Si ottengono così gli stessi risultati teorici dell‟anemometro in regime fluidodinamico analizzato in precedenza. Anche in questo caso, per ottenere una stima migliore della velocità si può pensare ad una calibrazione più accurata di 𝑝_𝑀𝐴𝑋 𝑢 . In tal caso 𝑤₀ può rappresentare un parametro di calibrazione.

Occorre a questo punto giustificare questo diverso modo di procedere.

Innanzitutto occorre dar conto del fatto che si fa un passo indietro per quanto riguarda il numero di sensori, infatti non sono più sufficienti 2 soli sensori di pressione (o di flusso); però la scelta di inserire nella sezione x anche i canali lungo y (cioè con 𝜙2=𝜋₂) e di usare le stesse pressioni

diametrali una volta per il calcolo di 𝑝𝑋 e l‟altra per il calcolo di 𝑝𝑌 consente di risparmiare la

separazione fisica tra le due; ossia non servono più 2 2𝑁 + 1 , ma solo 2 𝑁 + 1 sensori. Ma il vantaggio chiave di questa soluzione è appunto di dover rivelare pressioni e non più flussi. Questo da un lato consente di superare le ipotesi sul flusso all‟interno dei canali, permettendo di raggiungere prestazioni più vicine ai limiti teorici della tecnica DPA, dall‟altro rende maggiormente tollerante la misura alle loro ostruzioni.

Infatti la misura di pressione avviene con sensori a membrana che non consentono il passaggio di fluido tra le loro porte, quindi all‟interno dei canali non scorre alcun flusso. Il fluido interno non fa altro che porsi in equilibrio con la pressione esterna e questo avviene senza problemi anche in caso di parziale ostruzione dei fori.

Inoltre la misura è insensibile, almeno in linea di principio, alle variazioni di sezione dei canali, ciò permette di rilassare la richiesta sugli errori di matching tra di loro.

Ancor più, non essendoci flusso rilevante tra esterno ed interno dei canali, diminuisce la probabilità che entri “sporcizia” all‟interno. A tale proposito, i canali possono essere costruiti non con l‟asse parallelo alla sezione, bensì spioventi, in modo da ridurre la probabilità che possano entrare gocce d‟acqua dovute ad esempio alle precipitazioni atmosferiche e permettere di far uscire per gravità eventuale particolato insediatovisi.

In ogni caso, per quanto detto, ci si aspetta che una lieve ostruzione dovuta ad una goccia di acqua o a qualche altro fluido non troppo viscoso possa comportare soltanto una degradazione delle prestazioni, in quanto le pressioni esterne ed interne all‟ostruzione tenderanno sempre a porsi in condizioni di equilibrio, magari dopo un po‟ di tempo e ad una pressione interna lievemente diversa da quella esterna. Nel caso dell‟approccio fluidodinamico, soprattutto se con sensore di flusso, ciò comporterebbe invece un guasto definitivo.

Come ultimo punto si può accennare anche al fatto che per aumentare ancora la robustezza si potrebbe vagliare l‟ipotesi di riempire i canali con un gel. Così, rimarrebbero sempre protetti nelle parti interne.

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In ultimo, c‟è da notare un altro aspetto sulle non idealità della soluzione fluidodinamica, cioè l‟influenza dei fori sul profilo di pressione lungo la sezione della superficie laterale del cilindro. È bene precisare che nel fare le seguenti considerazioni si adducono ragionamenti qualitativi e non matematicamente rigorosi.

Tutte le analisi svolte fin ora presuppongono di prelevare pressioni di profili noti in letteratura, trascurando le perturbazioni introdotte dai fori.

Ci si aspetta però che in corrispondenza e nei dintorni di questi si abbiano delle distorsioni sul profilo.

Detto ciò, ci si può aspettare un comportamento peggiore in tal senso dell‟anemometro in regime fluidodinamico. Infatti tramite i fori scorre un flusso, che contribuirà, in aggiunta all‟interruzione locale della continuità della superficie laterale del cilindro, a perturbare localmente il profilo. Questo contributo sarà invece nullo, almeno in linea di principio, nella soluzione proposta.

Per dare sostegno a queste affermazioni, si riportano in Figura 16 alcuni risultati delle simulazioni che saranno trattate in dettaglio nel capitolo 3.

Per rendere i risultati confrontabili si definisce il coefficiente di pressione 𝐶_𝑃 come lo scostamento della pressione locale, rispetto a quella del fluido non perturbato, normalizzato rispetto alla pressione dinamica:

𝐶𝑃 =

𝑝 − 𝑝_∞ 𝜌𝑢2

2

( 52 )

Altra accortezza per rendere confrontabili i risultati è quella di effettuare le simulazioni per il medesimo numero di Reynolds, dato che come già detto è proprio Re a stabilire il regime del flusso.

La Figura 16 riporta il coefficiente di pressione lungo la semicirconferenza della sezione trasversale del cilindro all‟altezza dei fori e nei suoi dintorni: in (a) i risultati per l‟anemometro in regime fluidodinamico, ad una velocità di 3.5 m/s (Re=4660) e in (b) i risultati per l‟anemometro proposto a velocità di 0.87 m/s (Re=4660).

Se per ognuna delle due strutture si prende a riferimento l‟andamento per la sezione più distante dai fori, si può notare che la struttura in regime fluidodinamico porta una perturbazione molto più accentuata del 𝐶_𝑃, cioè del profilo di pressione intorno al cilindro all‟altezza dei fori, ossia dove viene effettivamente prelevato il valore di pressione.

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Figura 16 - Coefficiente di pressione in corrispondenza ed in prossimità dei fori per: (a) anemometro in regime fluidodinamico (b) anemometro proposto. Entrambe le simulazioni sono effettuate per Re=4660.

Un‟ulteriore prova della perturbazione introdotta dalla presenza dei canali sulla misura reale del profilo è portata dai grafici mostrati in Figura 17 .

Si mettono a confronto gli andamenti del coefficiente di pressione rilevati dai canali rispetto a quelli simulati in posizione indisturbata.

Più in dettaglio, in (a) si possono osservare i valori del coefficiente di pressione, mediati sui bordi dei fori 0 e 1, al variare della direzione del vento (curve rossa e blu, rispettivamente), messi a confronto con l‟andamento del Cp indisturbato sulla superficie laterale del cilindro.

In (b), invece, sono riportati i valori del coefficiente di pressione prelevati dai canali 0 e 1 al variare della direzione del vento (curve rossa e blu, rispettivamente) a confronto con l‟andamento del Cp indisturbato sulla superficie laterale del cilindro.

Entrambi i grafici sono stati ottenuti nelle medesime condizioni di quelli precedentemente riportati in Figura 16.

Dal confronto emerge che, nel caso dell‟anemometro in regime di pressione, la pressioni rilevate dai canali seguono più fedelmente l‟andamento del Cp, rispetto a quello in regime fluidodinamico.

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Pertanto ci si aspetta che l‟errore introdotto dai canali stessi affligga in dose minore la misura finale.