Asimmetria e forma di distribuzione dei fenomeni

§ 1. — Dalla conoscenza della media, della mediana, della » moda » e dei quartili, e da quella dei « momenti » intorno alla media, può lo studioso ricavare concetto e misura della asimmetria di una seriazione, e quindi, in ge-nerale, può ricavare l'indice e il coefficiente della

asimme-tria nella distribuzione di un fenomeno quantitativo.

Le manifestazioni di un fenomeno, in altri termini, di-sposte in seriazione, si distribuiscono in modo più o meno simmetrico, o, se si vuole, in modo più o meno asimmetrico ? Anche tale caratteristica è una di quelle che serve a de-scrivere e a studiare il fenomeno in quistione; per ogni di-stribuzione di questo o quel fenomeno si può dare misura della sua asimmetria, e misura tanto assoluta (indice di asim-metria) quanto relativa ( c o e f f i c i e n t e di asimasim-metria). Il co-mune modo di osservare e giudicare i fenomeni conosce il concetto di media (aritmetica) di un fenomeno, e anche quello di massimo e minimo, e persino, — sebbene in modo molto grossolano e spesso errato, — quello di tipo e quello di variabilità; ma non possiede affatto, di solito, nè sospetta, quello di asimmetria. Concetto, del resto, il quale ci è quasi per intero fornito dall'esame statistico della distribuzione di un fenomeno.

§ 2. — Si è detto, più sopra, potersi le seriazioni classi-ficarsi in varie maniere : continue e non continue; aperte e chiuse; con modulo uguale o non; plurimodali (e cioè con più

norme, o i< mode ») e unimodali (e cioè con una sola norma o <i moda ii). Le plurimodali potrebbonsi poi sottoclassificart In: vere plurimodali e false plurimodali a seconda della na-tura delle « mode » laterali o secondarie. Delle unimodali diremo ora potersi esse, per l'appunto, suddividersi in:

simmetriche; più o meno asimmetriche; fortemente asim-metriche; classificazione che può condurci, perciò, a vedere

nei fenomeni di cui possediamo le distribuzioni, sia meni di distribuzione rigorosamente simmetrica, sia feno-meni con gradazione intermedia. Ma che cosa è, precisamente, simmetria nella distribuzione dei fenomeni ?

§ ó. — Data una seriazione, se la media aritmetica, la mediana e la <i moda » coincidono esattamente, si dirà che la seriazione è simmetrica : la sua rappresentazione grafica, infatti, è simmetricamente distribuita intorno all'ordinata massima la quale, cade sulla grandezza che coincide con la media e la mediana (vedi la Fig. 18 in cui la -lettera M indica la media, T la « moda » e 1/2 la mediana). Tale ordinatf massima bipartisce il poligono di frequenza o la curva che ne è il limite, in due parti uguali. Il quartile inferiore, inol-ire, si trova, al di sotto della mediana, a una distanza che è precisamente uguale a quella che separa la mediana stessa dal quartile superiore.

Un evidente caso di seriazione simmetrica è quello offerto

Fig. 18. - Esempio di distribuzione simmetrica

o asimmetrica di un fenomeno.

dalla seriazione che può ricavarsi sviluppando il binomio

(p + q)n quando p sia uguale a q. Distribuzione che prende il

nome di curva di Gauss, quando p = q e si faccia n sempre più grande, o curva binomiale, o normale, o, inesattamente,

del Quételet, o anche degli errori. Per la definizione e l'è-, sanie di essa si vedrà più oltre. Sia, infatti, la seguente se-riazione che risponde alle caratteristiche or ora indicate e che costituisce lo sviluppo del binomio (a + b)8 È fa-cile osservare che in tale seriazione la media, la mediana

T A B E L L A X X X I X G r a n d e z z e F r e q u e n z e D a 1 a m e n o

0

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e la moda coincidono. Esse cadono, tutte su 5,5. La moda teorica, calcolata per mezzo di 3 M ,L A— 2M dà ugualmente, co-me era da prevedere, 5,5. I due quartili cadono su 4,5 e 6,5 che sono ugualmente distanti dalla mediana. Le frequenze di-scendono, da un lato e dall'altro del poligono che si potreb-be disegnare grazie a tale seriazione, in modo perfettamente simmetrico. Per certo, nei fenomeni del mondo inorganico e in quelli del mondo organico e superorganico non è facile, cosa trovarne spesso che si distribuiscano proprio in modo assolutamente uguale a quello presentato dalla curva di cui sopra; parecchi, tuttavia, a quella curva si avvicinano noltissimo; e da quella possono essere convenientemente rappresentati. Possono quindi essi considerarsi come

meni di distribuzione simmetrica gaussiana, o normale, o binomiale propriamente detta.

§ 4. — Se, contrariamente a quel che ora si vide, media, mediana, e « moda » non coincidono, la seriazione invece cii presentarsi in forma simmetrica si presenterà in forma asim-metrica.

Ne segue che una prima e semplice misura della asim-metria di una seriazione sarà data dall'esame della distanza che passa tra la media e la « moda », o tra la media e la mediana. Non è sempre facile localizzare in modo preciso la « moda ». Tuttavia, come già sappiamo, nei casi in cui la seriazione non sia troppo asimmetrica, si potrà cal-colare la <i moda » teorica calcolando così: Moda teorica = 3 Mediana — 2 Media. E quindi, nello studio dell'asimmetria sarà facile trovare la differenza, ora tra la media aritmetica e la « moda » empirica; ora, e meglio, tra la media aritme-tica e la K moda » teorica (calcolata). Ma più facile cosa rie-scirà calcolare la differenza tra la media aritmetica e la mediana, la quale ultima, più sicuramente può essere lo-calizzata.

Si avrà allora, secondo i casi quale misura dell'asimme-tria: M — Mria oppure M — M,m. Tale differenza pertanto non dà che lina misura assoluta della asimmetria; essa ha da essere messa in rapporto con qualche valore della seria-zione stessa se vuole giungere a misura relativa della asim-metria, ossia a un coefficiente di asimmetria. Sarà, tale ele-mento, la deviazione media, che indicheremo genericamente con d. La quale deviazione media sarà, secondo i casi, ora la deviazione media dalla moda, ora la deviazione media dalla mediana, oppure, senz'altro, la deviazione qtìadratica media, o sigma. Il coefficiente di asimmetria sarà dunque

, t . M — Strf„

dato da i = in cui d rappresenta la deviazione me-li

M — Mna. . ,

dia dalla « moda »; oppure da j , = j in cui d rappre-senta la deviazione media dalla mediana; oppure, ancora.

M — M

forma' più usata, da — — . Vedremo più in là gli esempi di questo modo di calcolo (1).

(1) Per mezzo (lei rapporto Ira Media - Morta teorica, ria un lato e sigma, dall'altro, sono stali studiali dai naturalisti i coefficienti di