§ 1. — Tra i primi valori segnaletici da ricercarsi, o calcolarsi, quando si voglia studiare il modo di essere o di variare di un fenomeno, è la » grandezza tipica » del feno-meno stesso.
Composte in seriazione le manifestazioni del fenomeno in quistione, come si è indicato al paragrafo 20 del prece-dente capitolo,- si dirà grandezza tipica del fenomeno quella grandezza che si presenta più frequentemente. Quella gran-dezza, cioè, su cui cade, o che abbraccia, il maggior nu-mero di frequenze. Chi voglia studiare, ad esempio, in qual modo si presenti un gruppo professionale determinato in quanto al numero di figli di ogni componente il gruppo stesso, si chiederà: quanti individui, nel gruppo totale dei professionisti esaminati, non hanno figli; quanti ne hanno 1; quanti 2; quanti 3, e via dicendo, e giungerà in siffatto modo a determinare la grandezza tipica. Il gruppo di lavoratori delle miniere in Italia, esaminato nel 1907 in una inchiesta dell'Ufficio del Lavoro, si distribuisce, a questo proposito, così: 4.526 con 0 figli; 4.617 con 1 figlio; 4.954 con 2 figli; 4.188 con 3 figli; 3.158 con 4 figli; 3.633 con 5 figli e più (1). Si dirà, quindi, che la grandezza tipica del fenomeno osser-vato (stato di famiglia riguardante il numero di figli) è
(1) 7 lavoratori delle miniere, pubblicazione dell'Ufficio del Lavoro, Roma, 1897, parte I, p. 3.
rappresentata, almeno nella seriazione grezza così composta, dall'operaio minatore con 2 figli.
Si faccia esame della composizione della famiglia in un gruppo di popolazione 6 ci si chiegga, per quel gruppo, quante famiglie (nel senso statistico della parola) compo-ste di 1 individuo, quante di 2, quante di 3, e via dicendo. Per la popolazione operaia della città di Milano, secondo un'inchiesta compiuta nel 1903 su 271.494 operai d'ogni ge-nere ripartiti in 75.321 famiglie, la seriazione composta dalle ottenute cifre, così risulta: Famiglie composte di 1 individuo: 938 (per 10.000 famiglie),; di 2 individui 2.308; di 3 individui, 2.204; di 4 individui 1.801; di 5 individui, 1.222; di 6 individui, 745; di 7 individui 412; di 8 individui, 214; di 9 individui, 93; di 10 individui, 42; di 11 individui, 15; di 12 individui, 4; di 13 e più, 2 (1). Si dirà quindi, — se le cifre dell'inchiesta sono degne di fiducia, — che per numero di componenti, la famiglia tipica operaia milanese è di 2 indi-vidui.
Raccolte, una a una, le manifestazioni del fenomeno, dalla loro composizione in seriazione risulta spesso, imme-diatamente, la grandezza tipica. Una seriazione si espone in tabella numerica formata da due colonne; nella prima si scrivono le grandezze, nella seconda le frequenze corri-spondenti. In un gruppo speciale di delinquenti recidivi, ITI 100 ammoniti, per esempio, quale è il tipo» più frequente per numero di condanne precedentemente subite ? La se-riazione, in due colonne, si presenterà come segue, quale,ri-sulta da un nostro esame particolareggiato di 100 ammoniti, da noi compiuto a Roma, nel 1897 (2). E immediatamente mostrerà che il « tipo » del fenomeno studiato è offerto dal recidivo che ha già subito 4 condanne.
(1) Le condizioni generali della classe operaia in Milano, ecc., pub-blicazione (lellTfficio del Lavoro della Società Umanitaria, Milano, 1907, pp. 15 e 17.
( 2 ) A. NICEFORO, l recidivi e gli istituii penali sulla recidiva, in
«Foro penale». Roma, 1897.—Vedi anche una nostra Memoria in «Ar-chivio di psichiatria» ecc.. Torino, 1898, fase. I-II, e i capitoli dedicati agli ammoniti e ai delinquenti professionali in: A. NICEFORO, La tran-sformación del delito, Madrid, 1 9 0 2 . pp. 78-13-1 e A. NICEFORO e S . S I G H E I . E ,
TABELLA I .
Delinquenti sottoposti all' ammonizione,
distribuiti secondo il numero di condanne precedentemente subite.
N. di condanne precedentemente subite (grandezze) N. di delinquenti (frequenze) 0 ì — 2 1 1 3 1 5 4 2 4 5 1 1 6 8 7 . 6 8 6 9 4 1 0 3 1 1 2 1 2 5 1 3 e p i ù '5 di 1 0 0
Altro ed ultimo esempio dal quale, anche, si vedrà a quanti variati campi di esame il metodo può essere appli-cato : quanti individui si trovano che, nel disegno digitale del pollice (a destra), disegno che di tanta importanza è nell'identificazione, giudiziaria o no, presentano 1 linea, quanti 2 linee, quanti 3 linee e così di seguito ? La ricerca fu fatta da chi scrive spogliando 272 indicazioni del Regi-stro di identificazione di Madrid, ottenendo le seguenti ci-fre : con 1 linea, 2 individui; con 2 linee 1 individuo; con 3 linee, 2 individui, e successivamente, individui 3, 3, 3, 7, 5, 9, 7, 15, 11, 12, 12, 16, 30, 16, 19, 16, 20, 14, 14, 8, 5, 6, 7, 6, 3. La massima frequenza è 30 che cade sulla grandezza di
(1) Di cui, 1 delinquente con 13 condanne; 1 con 15. i con 16; 1 con 17; 1 con 18.
16 linee. Si dirà, quindi, che la categoria tipica del disegno digitale del pollice destro è, — in quanto al numero di li-nee, — il disegno di 16 linee (1).
§ 2. — Questo concetto di grandezza tipica o « tipo » del fenomeno, — vale forse la pena di far ciò osservare ? — è diverso da quello a cui si ricorre quando, per rappresen-tare il « tipo )) del fenomeno ci si serve della media arit-metica. La famiglia operaia milanese dianzi considerata è rappresentata tipicamente dalla famiglia composta da 2 individui; ma la media aritmetica avrebbe dato una com-posizione media tra 3 e 4 individui per famiglia. Il << tipo » dell'ammonito, in quanto alle precedenti condanne, è quello che è già stato condannato 4 volte; ma il numero medio di condanne, nel gruppo di 100 ammoniti considerati, è tra le 5 e le 6 condanne per individuo. E va dicendo. Qui, invero, noi cerchiamo del fenomeno, non la sua manifestazione media (nel senso di media aritmetica) ma la sua manifestazione ti-pica, ossia più frequente.
Nel <i guardare » un fenomeno quantitativo, tuttavia, sempre si arrestava, e ci si arresta, di solito, allorché non si ha qualche familiarità col metodo statistico, alla media aritmetica, in luogo di considerare il fenomeno in seriazione e nel suo valore tipico. Anzi, nel campo di non poche ricerche, pur essenzialmente condotte con metodo statistico, ha do-vuto passare molto tempo perchè gli studiosi si convinces-sero che il nostro modo di esame delle misure è di gran lunga preferibile al semplice enunciato della media aritmetica. E alludiamo a territori di studio in cui il metodo statistico primeggia, come accade in quel ramo dell'antropologia, ove tanto domina la misura, che va sotto il nome di antropo-metria. Quivi, ancora nel 1863 il Bertillon padre (Adolphe) domandava, in una seduta della Società d'Antropologia di Parigi (16 aprile) che i risultati delle misure antropologi-che fossero sempre esposti per mezzo della seriazione, e ciò sebbene fin dal 1835 la prima edizione della Physique sociale
(1) Per maggiori particolari su onesto tema e per l'utilità che da questa nostra seriazione potrebbe ricavare la pratica dell'identifica-zione personale, sia penale che civile, vedi la nostra opera: La misura
del Quételet esponesse già numerose trattazioni di dati an-tropometrici in seriazione; — in Italia soltanto nel 1880, e per opera del Morselli, si cominciò ad imporre, negli studi antropologici, la seriazione; — nel Regno Unito, il « Jour-nal of the Anthropological Institute » non vede che nel suo
quarto volume, cioè nel 1875, la trattazione di dati antropo-metrici per mezzo della seriazione; — in Germania, le prime annate dell' « Archiv fiir Anthropologie », non trattano i dati antropometrici che con semplici classificazioni di me-die aritmetiche (articoli del Welcker, dello lloelder, del Ko-pernicki, nelle annate dell' « Archiv », 1866, 1867, 1872) e sol-tanto dopo, cominceranno ad apparire timidamente brevi esposizioni di misure per mezzo delle seriazioni. Nè si creda che, da quel tempo a oggi, sia venuto Veramente estenden-dosi l'uso di esporre ed esaminare i risultati di studi an-tropometrici, e anche di psicostatistica, per mezzo di seria-zioni; no davvero, chè moltissimi autori si contentano an-cor oggi di pubblicare i risultati quantitativi delle loro os-servazioni soltanto sotto forma di medie aritmetiche, ag-giungendovi qualche volta, ad abundantiam, il valore mas-simo e il valore minimo da cui ogni media fu ricavata. Ren-dono in tal guisa inutilizzabile, il più delle volte, il loro lavoro.
§ 3. — Evidente traduzione grafica di una seriazione e della grandezza tipica del fenomeno, si avrebbe se, disegnata una banda rettangolare orizzontale, divisa, per mezzo di linee verticali, in tanti rettangoli uguali, in ognuno di tali rettangoli si collocassero tanti punti 'quante sono le frequenze che cadono su ogni grandezza. Ogni successivo rettangolo, ben si intende, rappresenterebbe ogni successiva grandezza della seriazione. Abbiamo altrove studiato, con assai particolari, la lunghezza degli epigrammi di Marziale, mostrando dapprima l'importanza che ha, in estetica, la lun-ghezza del componimento poetico; e poi, la preoccupazione, più volte manifestata, che quel poeta aveva circa la lunghezza dei suoi epigrammi, e facendo infine vedere, con una seriazio-ne, che gli epigrammi di Marziale vanno da una lunghezza minima di 1 distico a una massima di 13 (1). Ora, se siffatta
seriazione venisse tradotta graficamente nel modo che si è detto, si dovrebbero collocare, nel primo rettangolo (quanti epigrammi di 1 distico ?) 205 punti; nel secondo (quanti epigrammi di 2 distici ?) 167 punti, e cosi di seguito, per i successivi rettangoli: 129 punti; 140; 98; 54; 30; 15; 8; 1; 6; 3; 2. Il rettangolo più denso di punti è il primo, che si ri-ferisce alla grandezza tipica di 1 distico. Lunghezza brevis-sima, come si vede, chè più corti epigrammi, in distici, non si potrebbero davvero comporre.
Grandezza tipica del fenomeno, dunque, o anche,
cate-goria tipica, che è pur chiamata valore massimo, o punto ili densità massima, o « moda » (empirica) o punto caratteri stico del fenomeno (1).
§ 4. — La traduzione grafica di una seriazione, quale or ora l'abbiamo indicata, prende il nome di diagramma u
pun-ti; ma più esatto, e più comodo, per tali traduzioni grafiche
— dalle quali, tra l'altro, si ha immediata visione della grandezza tipica, — è il diagramma a linee. Esso si ottiene collocando le grandezze su una linea orizzontale (linea delle ascisse) e innalzando sovra ognuna di tali grandezze una perpendicolare, (ordinata), di altezza proporzionale al nu mero di frequenze che essa sta a rappresentare. In tali rappresentazioni (diagrammi a linee, o lineari) la categoria tipica del fenomeno; o moda empirica, giace sulla linea delle ascisse, ed è il punto, o grandezza, su cui cade la perpendi-colare (ordinata) di maggiore altezza; quella perpendiperpendi-colare, cioè, che esprime la maggiore densità delle frequenze e che si chiama ordinala massima. Le sommità di tutte le perpen-dicolari, tuttavia, sono riunite da una spezzata il cui anda-mento mostra in che modo decrescono, o crescono le fre-quenze considerate.
Qui ci si conceda brevissima digressione, per ricordare le elementari nozioni su cui si basano tali rappresentazioni
(1) Tale valore 6 stato chiamato, anche, « gruppo tipico », da ENRICO MORSELLI, nella sua Critica e riforma del metodo in antropologia, in « An-nali di Statistica », Roma, 1880, p. 4 dell'estratto. Si noti che già 11 RETIUS, misurando le lunghezze e le larghezze di 16 crani lapponi, si fermo a esporre i dati sotto forma di seriazione e attirò, anzi, l'attenzione del lettore su la misura più frequente, ma chiamandola « media », mentre invece si tratta del nostro punto di densità massima. Edizione postuma tedesca, Elhnologische Schri/ten, Stockolm, 1864, in-folio, pp. 16-17.
grafiche. Disegniamo le due rette X X , e Y Y, che si tagliano ad angolo retto nel punto O. Le chiameremo assi coordi-nati cartesiani, e precisamente asse delle ascisse la linea X X , e asse delle ordinate la linea Y Yj.
X
—Fig. 1.—Formazione dei diagrammi lineari.
Chiameremo, inoltre, coordinate di un punto qualsiasi del piano ove giacciano gli assi coordinati, le due perpen-dicolari y e x che si abbassano dal punto stesso alle rette X Xi e Y Y , . E diremo, allora, che la perpendicolare x
è l'ascissa del punto in questione; e che la perpendicolare ij è l'ordinata di quel punto. Si avrà, dunque : a) date le coor-dinate di un punto, si può determinare tale punto, e in un solo modo; b) dato un punto, nel piano, si possono deter-minare le sue coordinate, e in un solo modo. Per tal guisa, date le coordinate x = — 4 e y = 3, il punto da esse de-terminato sarà Z. Dato, invece, il punto R, le sue coordinate saranno date dalle due perpendicolari che cadono l'una sul valore 2 dell'asse delle Y e l'altra sul valore 3 dell'asse delle X. Come si vede, dei quattro quadranti, quello YOXj ha le ascisse e le ordinate positive; quello YO> ha le ascisse negative e le ordinate positive; il quadrante X, OY, ha le ascisse positive e le ordinate negative; quello XOY', ha le ascis-se e le ordinate negative. Il quadrante Y'OX, è quello che di solito serve alle rappresentazioni grafiche delle seriazioni, come quelle di cui qui parliamo e parleremo.
§ 5. — Seguitando nella digressione: a seconda dei casi, le y, ossia le frequenze, saranno graficamente tradotte in diversi modi, e cioè: 1) Con altrettante perpendicolari
[ordi-nate); perpendicolari o ordinate che cadono sulle grandezze
ri-spettive, ma che possono anche essere soppresse col sosti-tuire un punto alla sommità di ognuna di esse, e col riu-nire poi tutti i punti con una linea spezzata. In ogni caso, il diagramma va sotto il nome di poligono di frequenza. 2) Con altrettanti rettangoli le cui basi riposino sulla linea delle ascisse e le cui altezze rappresentino le frequenze (nel caso in cui gli intervalli di classe siano uguali) di ogni classe. In questo caso il diagramma va sotto il nome di
istogramma. Se ne troveranno, più lungi, esempi. 3) Con
altrettante ordinate che cadano, ciascuna, sulla metà della base di ogni rettangolo che si sarebbe costruito. Ogni or-dinata avrà l'altezza di ognuno dei rettangoli che si sa-rebbe costruito (nel caso in cui l'intervallo di classe della seriazione sia uguale). Per mezzo di tale rappresentazione, l'istogramma è sostituito da un poligono di frequenza.
Il primo modo di rappresentazione grafica si adopera allorché le grandezze della seriazione, come nei casi in fino a qui addotti ad esempio, siano discontinue; il secondo
e terzo modo si adoperano quando le grandezze della se-riazione siano continue, ed ogni classe della scala di mi-sure, quindi, sia costituita non da una sola grandezza di-scontinua ma da due limiti (superiore e inferiore) di misure.
Speciali accorgimenti sono da tenersi presenti ogni qualvolta, nel procedere alla rappresentazione grafica per mezzo di rettangoli, si abbia a che fare con seriazioni in cui gli intervalli di classe siano tra essi disuguali; del che si discorrerà a suo tempo.
Diremo, infine, che se alla linea spezzata del poligono di frequenza si sostituisce una curva, — con procedimenti grafici, o aritmetici, o algebrici, — quella curva si chiamerà
curva teorica di distribuzione del fenomeno. Anche la
sem-plice linea spezzata si suole qualche volta indicare col nome di curva di distribuzione, ma ben si comprende che si ha da sottintendere, in tal caso, che si tratta di curva empirica.
§ 6. — Le seriazioni testé messe sotto gli occhi del let-tore sono formate con grandezze discontinue. Ne forme-remo ora una con grandezze continue, e mostreforme-remo, an-cora una volta che esempi del modo e dell'utilità di formare distribuzioni di frequenze, possono raccogliersi nelle più diverse categorie di fatti. Si considerino i numerosi e mi-nuscoli pianeti (planetoidi) circolanti tra Marte e Giove. Se ne contano, sotto tale titolo, 714 nell'Annuaire
astronomi-que del 1915 (pag. 153), epoca in cui scrivevamo il presente
pa-ragrafo (1). E per ognuno di tali planetoidi, VAnnuaire dà la
(1) In tali cataloghi, la distanza di ogni planetoide dal Sole è in-dicata con una cifra che esprime tale attributo in funzione della di-stanza della Terra dal Sole; così, la didi-stanza 2,13 del planetoide Me-dusa dal Sole indica essere MeMe-dusa lontana dal Sole poco più di 2 volte la Terra. Questa massa di planetoidi comincia di qua dall'orbita di Marte e si stende fino di là. dall'orbita di Giove (da 1,458 a 5,278; Marte si trova a 1,524; e Giove a 5,203). Queste distanze, in tal modo notate tra le tante che potevano calcolarsi per ogni planetoide in corsa lungo la sua orbita, sono ottenute prendendo quella che risulta dalla media tra la distanza massima (afelio) e la distanza minima (perielio). Il catalogo dei piccoli pianeti pubblicato dal « Kgl. astron. Rechen-Insti-tut », Berlin, 1910, dà 845 piccoli pianeti (di cui 19 non ancora nume-rati) con orbita ellittica, e fa menzione di 51 con orbita circolare.
distanza a cui esso si trova dal Sole. Ora, da tale elenco di successive cifre, quali sono offerte dai cataloghi stessi, non appare, nè può apparire, alcuna regola circa la distribu-zione delle distanze. Ma trasformiamo l'elenco delle distanze in una seriazione composta secondo un'ampiezza di classe, o intervallo di classe, o modulo, che proceda, p. es. di 0,100 in 0,100; cominciando quindi, la scala delle grandezze con la di-stanza: da 1,400 a meno di 1,500, e proseguendo così: da 1,500 a meno di 1,600; da 1,600 a meno di 1,700, ecc. Troveremo le seguenti frequenze: 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 13, 31, 50,49, 59, 85,
148, 48, 42, 63, 110, 10, 10, 9, 11, 2, 1, 0, 0, 5, 0, 0, 1, 4. 11 (<tipo », quindi, di planetoidi, in quanto alla distanza dal
Sole, è dato dalla grandezza (distanza) su cui cade la maggiore frequenza, che è di 118 e dunque sulla distanza 2,700 -2,800 (1). Punti di addensamento laterale, come si vede, si osservano anche sulle distanze 3,100 - 3,200 e di 3,400 - 3,500; ma di questo non facciamo qui che cenno, poiché dei punti laterali di addensamento o « grandezze tipiche secondarie »
si parlerà di proposito al capitolo che segue il presente (2). § 7. — Si badi : lo studioso, come si è già fatto osservare or ora in nota, quando compone una seriazione può in vario modo formare l'intervallo di classe. E cioè: 1) può for-marlo più o meno ampio; 2) e può iniziarlo in un punto
(1) Le due lacune che si trovano in fondo alla seriazione, nella suc-cessione delle frequenze, e cioè zero frequenze di fronte alle grandezze 3,700- 3,800 ecc., sono dovute all'influenza delle perturbazioni esercitate da Giove le quali si oppongono a che 1 planetoidi possano circolare ai sottomultipli delle rivoluzioni :11 Giove. Altre lacune analoghe esi-stono, ma non appaiono nella nostra seriazione; si mostrerebbero se l'ampiezza della classe (0,100) fosse più ristretta. Per scoprirle occorre consultare il catalogo nominativo da cui abbiamo fatto lo spoglio. Op-pure, occorrerebbe formare la seriazione con un intervallo di classe minore di 0,100. La qual cosa già. indica che l'ampiezza della classe che si sceglie per costruire la seriazione, esercita influsso per mettere o no in evidenza questa o quella particolarità del fatto che la seria-zione rappresenta.
(2) Quanto alla spiegazione del secondo punto di densità che la nostra seriazione mette in evidenza, (110 planetoidi alla distanza 3,100-3,200) quche astronomo, cui ci siamo rivolti, ci dichiarò non potersi avanzare al-cuna giustificata ipotesi capace di spiegare la presenza di siffatto se-condo punto di densità.
piuttosto che in un altro della seriazione stessa. Ci ferme-renio rapidamente e sull'uno e sull'altro caso.
§ 8. — Di solito, nel comporre una seriazione, se la di-stribuzione delle frequenze, già fatta con intervallo di classe
piuttosto ristretto, non rivela l'ordine, si allarghi, con TABELLA I I .
.l'unto di fusione dei carpi semplici.
Numero c\i corpi semplici Gradi di temperatura che hanno il punto di
fu-sione qui a lianco fino a 250 sotto 0 2 l 11 da 250 sotto 0 a, 0 9 $ 11 da 0 a 250 12 i 13 da 250 a 500 6 j da 500 a 750 5 i 12 da 750 a 1000 7 ) da 1000 a 1250 3 t 7 da 1250 a 1500 4 j 7 da 1500 a 1750 4 ) g da 1750 a 2000 4 > da da 2000 2250 a a 2500 2250 03.) ( 3 da 2500 a 2750 1 2 da 2750 a 3000 1 ) da 3000 a 3250 1 * 1 da 3250 a 3500
o S
1 Totale 62 | 62successive prove, l'intervallo di classe, e può; allora, appa-rire l'ordine. Lloperare, invero, con modulo troppo ristretto può portare a nascondere l'ordine, o forma generale, con cui la seriazione dovrebbe apparire, proprio come la troppo minuta osservazione delle foglie di un albero, fa perdere la
visione della foresta. Ma, per contro, troppo allargare l'in-tervallo di classe può nascondere, in questo o quel punto dalla seriazione, particolarità, che, invece, è bene mettere in evidenza.
Esempio del caso in cui l'allargamento dell'intervallo di classe mette in evidenza l'ordine della distribuzione delle frequenze, che prima non appariva. Costruiremo una seria-zione prendendo gli elementi dal mondo inorganico, ove, di solito, si crede non possano farsi applicazioni del nostro metodo. Il punto di fusione dei corpi semplici è dato, per i vari corpi, negli elenchi delle cosi dette « Tavole di costanti »; per esempio da quelle pubblicate dall' Annuaire du Bureau
des longitudes (pour l'année 1914, Paris, pag. 356). Abbiamo
voluto fare lo spoglio, anche con lo scopo di vedere quali fossero le forme che prendono le distribuzioni dei caratteri misurabili dei fenomeni del mondo inorganico, dei valori di questi punti di fusione, tralasciando alcune determinazioni incerte per pochi corpi, e abbiamo ottenuto la seriazione della Tabella II.
Come si vede, se si forma la seriazione prendendo un intervallo di classe di 250 (gradi di temperatura) si ottiene, nella successione delle frequenze, una distribuzione che ap