Assemblaggio, Soluzione e Convergenza

Il passaggio dal sistema di riferimento locale al sistema di riferimento struttura è effettuato per ogni elemento costituente la mesh e, al termine di tale processo, il contributo di rigidezza di ogni singolo elemento

confluisce nella matrice di rigidezza del sistema completo. Tale processo prende il nome di assemblaggio della matrice di rigidezza globale. Nell’assemblaggio è estremamente importante che ogni singolo contributo venga inserito nella posizione corretta; questo è assicurato dalla matrice di connectivity la quale contiene informazioni relative alla numerazione dei nodi di ogni elemento rispetto alla posizione della struttura totale.

Prima di poter effettuare l’assemblaggio, è necessario che siano soddisfatte due condizioni:

• congruenza degli spostamenti sia all’interno del singolo elemento che nel passaggio tra due elementi adiacenti;

• equilibrio ai nodi tra azioni interne ed esterne;

Si noti che la congruenza degli spostamenti non è un problema all’interno del singolo elemento poiché essa è assicurata dalla continuità delle funzioni di forma.

Operando, quindi, in maniera tale da avere congruenza degli spostamenti ed equilibrio ai nodi è possibile espandere la matrice di rigidezza del singolo elemento tramite la matrice di connectivity in maniera tale che essa abbia dimensioni compatibili al vettore degli spostamenti nodali e a quello dei carichi nodali

equivalenti. Si sommano, a questo punto, le componenti di rigidezza relative ai medesimi gradi di libertà dei diversi elementi e di determina la struttura finale della matrice di rigidezza dell’intera struttura.

La costruzione della matrice di massa avviene esattamente nella stessa maniera e, determinate sia la matrice di massa che quella di rigidezza per combinazione è possibile determinare, come esposto in precedenza, la matrice di smorzamento.

Il sistema così ottenuto non è ancora risolvibile in quanto singolare: l’assenza di vincoli fa sì che la struttura sia soggetta, sotto i carichi rappresentati dal vettore dei carichi nodali equivalenti, ad un moto di corpo rigido che non produce deformazione, per cui, coerentemente, l’energia di deformazione è nulla. Vincolando la struttura si arriva alla scrittura del sistema:

{{𝑭}

{𝑹}} = [[𝑴_𝑳𝑳] [𝑴_𝑳𝑽] [𝑴_𝑽𝑳] [𝑴_𝑽𝑽]] {{𝒒_𝑳̈ }

{𝒒_𝑽̈ }} + [[𝑪_𝑳𝑳] [𝑪_𝑳𝑽] [𝑪_𝑽𝑳] [𝑪_𝑽𝑽]] {{𝒒_𝑳̇ }

{𝒒_𝑽̇ }} + [[𝑲_𝑳𝑳] [𝑲_𝑳𝑽] [𝑲_𝑽𝑳] [𝑲_𝑽𝑽]] {{𝒒_𝑳}

{𝒒_𝑽}} ( 113

40 essendo:

• {𝑭}: vettore delle forze nodali relative ai gradi di libertà non vincolati;

• {𝑹}: vettore delle reazioni vincolari;

• {𝒒_𝑳̈ }: vettore delle accelerazioni nodali relative ai gradi di libertà non vincolati;

• {𝒒_𝑽̈ }: vettore delle accelerazioni nodali relative ai gradi di libertà vincolati;

• {𝒒_𝑳̇ }: vettore delle velocità nodali relative ai gradi di libertà non vincolati;

• {𝒒_𝑽̇ }: vettore delle velocità nodali relative ai gradi di libertà vincolati;

• {𝒒_𝑳}: vettore dei gradi di libertà nodali non vincolati;

• {𝒒_𝑽}: vettore dei gradi di libertà nodali vincolati;

• [𝑴_𝑳𝑳], [𝑪_𝑳𝑳] e [𝑲_𝑳𝑳]: sottomatrici di massa, smorzamento e rigidezza che competono ai gradi di libertà non vincolati;

• [𝑴_𝑽𝑽], [𝑪_𝑽𝑽] e [𝑲_𝑽𝑽]: sottomatrici di massa, smorzamento e rigidezza che competono ai gradi di libertà vincolati;

• [𝑴_𝑳𝑽] = [𝑴_𝑽𝑳]^𝑻, [𝑪_𝑳𝑽] = [𝑪_𝑽𝑳]^𝑻 e [𝑲_𝑳𝑽] = [𝑲_𝑽𝑳]^𝑻: sottomatrici di massa, smorzamento e rigidezza miste;

Il sistema rappresentato da ( 113 può essere risolto, andando così a determinare {𝑹}, {𝒒_𝑳}, {𝒒_𝑳̇ } e {𝒒_𝑳̈ }. Noti gli spostamenti nodali è possibile, mediante ( 103, ( 104 e ( 105, determinare i campi di spostamento, deformazione e tensione in ogni punto della struttura.

Si noti che la soluzione ottenuta attraverso il FEM risulta approssimata per diversi motivi:

1. nella scelta delle funzioni di forma può capitare che la congruenza degli spostamenti risulti verificata all’interno dei singoli elementi (requisito automaticamente soddisfatto se le funzioni di forma scelte sono continue) ma violata localmente nei punti, nelle linee e nelle superfici che demarcano un elemento dall’altro;

2. concentrando le forze nei nodi, l’equilibrio sarà sicuramente soddisfatto in forma globale (cioè l’intera struttura è certamente in equilibrio) ma può accadere che localmente (all’interno o nell’intorno di singoli elementi) esso non risulti verificato;

3. la scelta delle funzioni di forma condiziona precisione del calcolo e, conseguentemente, la taglia della mesh;

4. la scomposizione del problema con metodi ad elementi finiti è, come già detto, equivalente alla minimizzazione del potenziale totale in uno spazio discreto generato dalle N funzioni di forma, invece che continuo. Tale discrepanza fa sì che la rigidezza della struttura schematizzata FEM risulti superiore a quella effettiva della struttura reale, pertanto, a parità di carico esterno, il FEM restituirà spostamenti (e quindi anche deformazioni e stress) leggermente sottostimati;

Accanto a questi aspetti, sempre presenti indipendentemente da ogni altro parametro, ci sono ancora da considerare:

• errori di modellazione:

▪ errore legato al modello teorico su cui è basato il singolo elemento;

▪ errore di approssimazione geometrica, derivante dall’approssimazione di una geometria con una serie di elementi di forma prestabilita;

• errore numerico;

Si noti che, in linea generale, errori di modellazione ed errore numerico rappresentano qualcosa su cui è possibile avere un controllo più o meno diretto. Scegliendo opportunamente il tipo di elemento e

incrementando il numero degli stessi, gli errori di modellazione possono essere ridotti; allo stesso tempo, però, un numero di elementi più elevato si traduce in un maggior numero di equazioni da risolvere, con conseguente propagazione di errori di natura numerica. Inoltre, le matrici di massa, smorzamento e rigidezza sono definite attraverso integrali che vengono svolti in maniera numerica facendo uso di formule di

41 quadratura di Gauss. Nelle formule di quadratura di Gauss, si definisce un certo numero di punti detti di Gauss sui quali costruire un’approssimazione polinomiale della funzione integranda; se 𝑛 è il numero di tali punti, sarà possibile integrare esattamente al più un polinomio di grado 2𝑛 − 1. È pratica estremamente comune nei software FEM commerciali ridurre il numero di punti di Gauss con l’obiettivo di ridurre i tempi di calcolo (procedura di sotto-integrazione o integrazione ridotta). Tale procedura, però, risulta essere molto dannosa poiché introduce ulteriore errore numerico nel modello e, al limite, può generare il fenomeno dei meccanismi o hourglass (Figura 13) cioè modi di deformazione di corpo rigido a zero energia, non fisici, che possono generare ulteriore errore numerico. Oltre a questo, una sotto-integrazione troppo spinta può portare la matrice di rigidezza a diventare singolare (e quindi non invertibile), per cui il sistema discreto non ammetterà più soluzione univoca anche nel sistema di riferimento globale.

Figura 13:Mesh di elementi QUAD con problema di meccanismi, [12]

Si noti che, avendo fissato un numero di gradi di libertà finito (le incognite nodali), il minimo reale del funzionale potenziale totale non potrà essere raggiunto. Al crescere del numero di elementi è, però, auspicabile che la soluzione fornita dal FEM si avvicini a quella reale, cioè il metodo deve essere convergente. La convergenza è garantita dal rispetto dei seguenti requisiti:

• le funzioni di forma devono essere tali da non generare deformazione nel caso in cui gli spostamenti nodali siano dovuti a movimenti di corpo rigido;

• le funzioni di forma devono essere tali da ammettere uno stato di deformazione costante;

• lo stato di deformazione deve mantenersi finito nel passaggio tra elementi adiacenti;

Tali requisiti risultano essere automaticamente soddisfatti nel caso in cui si scelga, come funzioni di forma, un sistema di ordine m completo.

Supponendo, quindi, che i requisiti appena enunciati siano rispettati, detti:

• ℎ: dimensione dell’elemento (lunghezza nel caso di elementi 1D, area nel caso di elementi 2D o volume nel caso di elementi 3D);

• 𝑝: ordine del polinomio costituente le funzioni di forma;

L’ordine di convergenza sarà:

• campo di spostamenti: 𝑂(ℎ^𝑝+1);

• campo di deformazione e campo di tensione: 𝑂(ℎ^{𝑝−𝑚+1});

• energia: 𝑂(ℎ^{2(𝑝−𝑚+1)});

Risulta, pertanto, evidente che convergerà per prima l’energia, poi il campo di spostamenti ed infine quelli di deformazione e tensione.

Quanto appena detto è valido in assenza di punti di singolarità i cui effetti sul modello possono essere imprevedibili.

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