2.7 Osservazioni e approfondimenti
2.7.2 Assioma di completezza e densità
Come più volte segnalato nel testo, l’assioma di completezza gioca un ruolo cruciale tra le proprietà dei reali. Il fatto che l’insieme dei razionali non soddisfi questo assioma è un handicap molto grave. Per valutarne a fondo l’importanza si consideri la costruzione grafica che segue.
Su una retta r si prenda un segmento AB, costituente l’unità di misura e, su di esso, si costruisca il quadrato ABCD: se sulla retta r ci sono solo i punti P tali che AP abbia misura razionale rispetto all’unità scelta, il circolo di centro A e passante per D non interseca la retta r stessa in nessun punto. Questo fatto è palesemente insoddisfacente per gli scopi applicativi.
b A r b B b C b D γ
In sostanza possiamo esprimere geometricamente la mancanza di completezza di Q dicendo che se su una retta piazziamo solo i punti che hanno ascissa razionale, rispetto a un prefissata unità di misura, rimangono sulla retta stessa moltissime “lacune”. Tuttavia il fatto che Q sia denso in R fa si che queste lacune siano “puntiformi”: non ci può essere nessun segmento, per quanto piccolo, della retta in cui non ci sono punti con ascissa razionale. Anche se ingrandiamo con una potentissima lente un piccolo tratto della retta le lacune “non si allargano”.
La non completezza di Q si può anche visualizzare con la costruzione che segue. Nel piano cartesiano segnamo l’insieme di tutti i punti con entrambe le coordinate razionali. Immaginiamo di “piantare”, verticalmente al piano, una palizzata (con pali privi di spessore) mettendo un palo su ognuno dei punti segnati. È chiaro che si otterrà una palizzata fittissima e apparentemente impenetrabile. Ebbene se spariamo un proiettile (puntiforme) dall’origine secondo la direzione che forma un angolo di 60° con il semiasse positivo delle x, questo proiettile procederà in linea retta senza incontrare alcun palo! Infatti il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di ogni punto P su cui sono piantati i pali è razionale e questo rapporto fornisce, come è noto, la tangente trigonometrica dell’angolo tra la semiretta OP e il semiasse positivo delle ascisse: se l’angolo è di 60°, però, questa tangente è irrazionale (vale √3).
2.8 Esercizi
Esercizio 2.1. Provare, mediante esempi, che la somma e il prodotto di due numeri irrazionali possono essere razionali.
Esercizio 2.2. Dimostrare che √3 +√2 /∈ Q.
2 Numeri reali Introduzione al Calcolo differenziale
Esercizio 2.3. Dimostrare che (√3
2)2∈ Q./
Esercizio 2.4. Dimostrare che se a e b sono due razionali positivi tali che√a +√b ∈ Q, allora anche √ab ∈ Q.
Esercizio 2.5. Provare mediante un esempio che se a e b sono due razionali positivi tali che √ab ∈ Q non è detto che √a +√b ∈ Q.
Esercizio 2.6. Dimostrare che√2 +√3 +√5 /∈ Q. Esercizio 2.7. Dimostrare che√2 +√33 /∈ Q. Esercizio 2.8. Dimostrare che
a = √
3 √
5 ∈ Q ./ Risoluzione. Se a fosse razionale si dovrebbe avere
a = √ 3 √ 5 = m n ,
con m ed n che possiamo supporre primi fra di loro. Ma allora 3n2 = 5m2.
Dunque n deve essere divisibile per 5 ed m per 3: n = 5p, m = 3q. Ne segue 3 · 52p2 = 5 · 32q2,
cioè
5p2 = 3q2.
Esattamente come prima possiamo concludere che p deve essere divisibile per 3 e q per 5: p = 3h, q = 5k. Infine abbiamo
n = 5p = 5 · 3h, m = 3q = 3 · 5k .
Questo comporta che m ed n hanno almeno il fattore 15 in comune, contro l’ipotesi che fossero primi tra di loro.
Esercizio 2.9. Come è noto, dato un numero reale x si chiama valore assoluto o modulo di x il numero |x| così definito:
|x| =
®
x, se x ≥ 0; −x, se x < 0.
Si verifichino le seguenti proprietà del valore assoluto (a e b sono numeri reali qualunque): – |a| ≥ 0; – |a| = 0 se e solo se a = 0; – |a| = |−a|; – |ab| = |a| |b|; – |a + b| ≤ |a| + |b|; – ||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|;
Introduzione al Calcolo differenziale 2.8 Esercizi
– |a| < b ⇔ −b < a < b (b > 0); – |a| > b ⇔ (a < −b) ∨ (a > b) (b > 0.
Esercizio 2.10. Del seguente insieme A si trovino i punti di accumulazione e di frontiera; si dica se è aperto, chiuso, né aperto né chiuso.
A = ß n n + 1 n ∈ N ™ .
Esercizio 2.11. Si indichi con A l’insieme delle soluzioni della seguente disequazione:
»
|2x + 1| − 1 ≥ x − 3 .
Si determinino i punti di accumulazione, di frontiera, interni di A; si dica se A è aperto, chiuso, né aperto né chiuso.
Esercizio 2.12. Si indichi con A l’insieme delle soluzioni della seguente disequazione:
x3− x2 ≥ 0 .
Si determinino i punti di accumulazione, di frontiera, interni, isolati di A; si dica se A è aperto, chiuso, né aperto né chiuso.
Esercizio 2.13. Si dimostri che un punto x0 è di accumulazione per un insieme A se e
solo se in ogni intorno di x0 cade almeno un punto di A diverso da x0 stesso.
Risoluzione. Se x0 è di accumulazione per A allora in ogni intorno di x0 cadono infiniti punti di A e dunque ne cadrà almeno uno diverso da x0 stesso.
Supponiamo viceversa che in ogni intorno di x0 cada almeno un punto di A diverso da x0
stesso e proviamo che x0 è di accumulazione per A. Per far questo supponiamo per assurdo
che x0 non sia di accumulazione per A: allora esiste almeno un intorno di x0 nel quale non
cade un numero infinito di punti di A, ovvero o non ne cade nessuno, o un numero finito. Che non ne cada nessuno è da escludere perchè, per ipotesi, ne cade almeno uno diverso da x0; se ne cadesse un numero finito indichiamo con x1 quello più vicino a x0, ma diverso
da x0. Indichiamo con x01 il simmetrico di x1 rispetto a x0. Allora nell’intorno ]x01, x1[
(oppure ]x1, x01[) non cade alcun punto di A diverso da x0, ma questo è contro l’ipotesi.
Esercizio 2.14. Si dica chi è l’insieme dei punti di accumulazione per l’insieme Q. E l’insieme dei punti di frontiera? E l’interno di Q? E l’insieme dei punti esterni?
3 Alcune funzioni elementari
3.1 Generalità
In questo corso, come già osservato nella pagina11, saremo prevalentemente interessati allo studio delle proprietà delle funzioni funzioni reali di variabile reale, ovvero di funzioni che hanno come dominio un sottoinsieme dell’insieme dei reali e come codominio l’insieme dei reali. La maggior parte delle funzioni saranno inoltre assegnate fornendo un complesso di regole di calcolo che, a partire da un valore di x, restituiscono un valore di f(x). In questi casi, salvo diversa specificazione, sottintenderemo che il dominio sia il massimo sottoinsieme di R nel quale le regole date sono applicabili: lo chiameremo anche dominio naturale. Sempre salvo esplicito avviso del contrario, sottintenderemo che il codominio sia tutto R. Invitiamo anche il lettore a rileggere quanto scritto nella pagina 11a proposito della notazione utilizzata per le funzioni.
Le funzioni che più ci interesseranno saranno quelle costruite utilizzando regole di calcolo “elementari”, in un senso che diventerà via via più chiaro; per ora citiamo le operazioni definite su R, le estrazioni di radice, le funzioni trigonometriche, le funzioni potenza ed esponenziale. Alcune di queste saranno anche considerate con un certo dettaglio nelle pagine che seguono. Tutte queste funzioni saranno dette elementari.
Nel seguito del corso studieremo altre regole di calcolo che ci permetteranno di costruire funzioni (che in genere non saranno più chiamate elementari); qui segnaliamo la possibilità di costruire funzioni non elementari utilizzando definizioni cosiddette composite o a tratti, come nell’esempio che segue.
Esempio. La funzione signum, denotata con sgn è definita(1) come segue:
sgn : R → R , x 7→ sgn(x) = 1, se x > 0; 0, se x = 0; −1, se x < 0.
Per le funzioni reali di variabile reale, come già osservato nella pagina14, il grafico è spesso costituito da uno o più rami di curva, nel senso intuitivo del termine, e lo studio delle sue caratteristiche costituisce uno degli scopi di questo corso.
Per le funzioni biunivoche, e quindi invertibili, la costruzione del grafico dell’inversa di una funzione f è particolarmente semplice. Si tratta sostanzialmente di osservare che la funzione f “mappa” la x nella y, l’inversa fa la mappatura opposta, “rimandando indietro le frecce”. Se decidessimo di tracciare il grafico di f con il dominio sull’asse delle ascisse e il codominio su quello delle ordinate (convenzione usuale), e usassimo la convenzione opposta per l’inversa, i grafici sarebbero ovviamente identici. È chiaro che si tratta di una convenzione nom praticabile: poiché l’inversa dell’inversa è la funzione originaria, quale
1Per completezza segnaliamo che quella qui proposta è la definizione più comune, adottata per esempio in
tutti i software di calcolo simbolico, ma non è l’unica possibile; alcuni preferiscono non assegnarle alcun valore in corrispondenza di x = 0.
3 Alcune funzioni elementari Introduzione al Calcolo differenziale
delle due avrebbe il diritto di essere considerata la funzione originaria e quale l’inversa? Se allora vogliamo scegliere una volta per tutte una convenzione (dominio sull’asse delle ascisse e codominio su quello delle ordinate), e se abbiamo tracciato il grafico di una funzione biunivoca, per avere il grafico dell’inversa basterà scambiare l’asse delle ascisse con quello delle ordinate, ovvero fare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Esempio. Sia f : [0, +∞[→ [0, +∞[, definita da f(x) = x2. Si tratta di una funzione chiaramente biunivoca e quindi invertibile. La sua inversa f−1: [0, +∞[→ [0, +∞[ è
notoriamente definita da f−1(x) =√x e i due grafici sono qui di seguito rappresentati.
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Si presti però particolare attenzione al fatto che la simmetria è anche una simmetria geometrica, come nel caso appena considerato, se si usa la stessa unità di misura sui due assi, mentre se si usano unità di misura diverse sugli assi questo fatto si perde. Si riveda lo stesso esempio di prima in una situazione di questo tipo.
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