8.6 Il principio di sostituzione degli infiniti
8.7.1 Ordine rispetto a un campione
Richiamiamo la definizione di ordine di un infinitesimo o di un infinito rispetto a un campione.
Definizione 8.20. Siano f e g due infinitesimi o due infiniti simultanei in un punto x0. Se esiste α > 0 tale che
(8.9) lim
x→x0
|f (x)|
|g(x)|α = l > 0 ,
si dice che f ha ordine α rispetto a g. L’infinito o infinitesimo g si dice anche un campione. Naturalmente l’ordine di un infinitesimo o infinito dipende dal campione scelto. Per esempio la funzione f(x) = 1 − cos x è infinitesima di ordine 2 in 0 rispetto a x, mentre è infinitesima di ordine2/3 rispetto a sin3x, sempre in 0. Si ha infatti:
lim x→0 |1 − cos x| |x|2 = 1 2 > 0 , x→0lim |1 − cos x| sin 3x 2/3 = limx→0 |1 − cos x| sin 2x = 1 2 > 0 .
Si noti che, a causa del teorema sul limite del modulo di una funzione, se ha senso ed esiste il limite
(8.10) lim
x→x0
f (x)
g(x)α = m 6= 0
esiste anche il limite (8.9) e si ha l = |m|. Però il limite (8.10) potrebbe non avere senso (per esempio con α non intero e g(x) < 0) oppure potrebbe non esistere, pur esistendo
Introduzione al Calcolo differenziale 8.7 Osservazioni e approfondimenti
il limite (8.9). Si può quindi ragionare negli esempi “senza il valore assoluto”, se tutto funziona, altrimenti bisogna prendere i valori assoluti, come vuole la definizione 8.20.
Purtroppo questa definizione non permette sempre di assegnare un ordine a un infinitesimo o a un infinito rispetto a un determinato campione. Proponiamo alcuni esempi relativi sia a infiniti che infinitesimi.
Esempio. Le funzioni f(x) = ex e g(x) = x sono infinite per x → +∞, ma non esiste un ordine di f rispetto a g (o di g rispetto a f). Infatti, come è noto,
lim
x→+∞
ex
xα = +∞ , ∀α ∈ R +.
Si può esprimere questo risultato affermando che ex è, per x → +∞, infinito di ordine
superiore a xα per ogni α, ovvero di ordine superiore ad α, per ogni α, rispetto a x. Si usa
anche dire che un infinito come questo ha un ordine soprareale in +∞ rispetto a x. Si tenga anche ben presente che ex può avere un ordine, in +∞, rispetto a un campione
diverso: per esempio rispetto al campione e2x ha ordine1/2.
Esempio. Le funzioni f(x) = ln x e g(x) = x sono infinite per x → +∞, ma non esiste un ordine di f rispetto a g (o di g rispetto a f). Infatti, come è noto,
lim
x→+∞
ln x
xα = 0 , ∀α ∈ R +.
Si può esprimere questo risultato affermando che ln x è, per x → +∞, infinito di ordine inferiore a xα per ogni α, ovvero di ordine inferiore ad α, per ogni α, rispetto a x. Si usa
anche dire che un infinito come questo ha un ordine sottoreale in +∞ rispetto a x. Si tenga anche ben presente che ln x può avere un ordine, in +∞, rispetto a un campione diverso: per esempio rispetto al campione ln(x2) ha ordine 1.
Esempio. Le funzioni f(x) = e−xe g(x) =1/xsono infinitesime per x → +∞, ma non esiste
un ordine di f rispetto a g. Infatti lim x→+∞ e−x 1 xα = lim x→+∞ xα ex = 0 , ∀α ∈ R +.
Si può esprimere questo risultato affermando che e−x è, per x → +∞, infinitesimo di ordine
superiore a (1/x)α per ogni α, ovvero di ordine superiore ad α, per ogni α, rispetto a1/x. Si
usa anche dire che un infinitesimo come questo ha un ordine soprareale in +∞ rispetto a
1/x.
Esempio. Le funzioni f(x) = x ln x e g(x) = x sono infinitesime in 0 (ovviamente per f ha senso solo il limite destro in 0), ma non esiste ordine di f rispetto a g. Infatti
lim
x→0+
x ln x
xα = limx→0+x
1−αln x ;
e possiamo osservare che
– se 0 < α < 1 si tratta di un limite fondamentale (che si presenta nella forma 0 · ∞) che vale 0;
– se α = 1 coincide col limite di ln x in 0+, che vale −∞;
– se α > 1 si ottiene la forma +∞ · (−∞) e quindi il limite è −∞.
8 Infiniti e infinitesimi Introduzione al Calcolo differenziale
Possiamo esprimere questo fatto affermando che x ln x è, per x → 0, infinitesimo di ordine superiore a xα, per ogni α < 1, e di ordine inferiore a xα, per ogni α ≥ 1. Si può anche
affermare, ma l’espressione richiede una certa cautela interpretativa, che x ln x ha, per x → 0, ordine superiore a ogni reale minore di 1 e inferiore a ogni reale maggiore o uguale a 1, rispetto a x. La cautela è legata al fatto che non esistono reali siffatti. Si usa dire che un infinitesimo come questo ha un ordine infrareale in 0, rispetto all’infinitesimo campione x.
In ogni caso al di là della nomenclatura utilizzata occorre avere ben chiaro il problema che la ricerca dell’ordine di un infinito o infinitesimo rispetto a un campione non ha sempre soluzione.
Campioni “standard”
Nella pratica si conviene spesso di assumere tacitamente alcuni infiniti o infinitesimi come campioni “standard” e, quando non si fanno ulteriori precisazioni, si sottintende che l’ordine sia riferito a questi campioni standard. Precisamente si conviene spesso che
– per x → ±∞, l’infinito campione sia x, e l’infinitesimo campione sia1/x;
– per x → x0, l’infinito campione sia 1/(x − x0), e l’infinitesimo campione sia x − x0.
Si presti però particolare attenzione al testo degli esercizi, controllando se invece è stato scelto un campione diverso.
Infiniti e infinitesimi in diversi punti
Anche se è quasi ovvio, merita di essere segnalato il fatto che una funzione può essere infinita o infinitesima in corrispondenza di diversi punti: per esempio la funzione
f (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − n)
è infinitesima in corrispondenza dei naturali 0, 1, 2, . . . , n.
È altresì importante segnalare che la stessa funzione può essere infinita o infinitesima di ordine diverso rispetto ai campioni standard nei diversi punti (ovviamente i campioni standard cambiano da punto a punto). Per esempio la funzione
f (x) = (x − 1)3(x − 2)5
è infinitesima di ordine 3 rispetto al campione x − 1 in 1, e infinitesima di ordine 5 rispetto al campione x − 2 in 2.
8.8 Esercizi
Esercizio 8.1. Calcolare il seguente limite, usando i principi di sostituzione di infiniti o infinitesimi. lim x→0+ sin x + tg2x + x √ x + sin x + x2+ tg3x.
Esercizio 8.2. Calcolare il seguente limite, usando i principi di sostituzione di infiniti o infinitesimi.
lim
x→0
sin x + x2− tg x 2 tg2x + (ex− 1)3 .
Introduzione al Calcolo differenziale 8.8 Esercizi
Esercizio 8.3. Calcolare il seguente limite, usando i principi di sostituzione di infiniti o infinitesimi.
lim
x→0
sin x −x/2+ x3
tg x − 1 + cos x.
Esercizio 8.4. Calcolare il seguente limite, usando i principi di sostituzione di infiniti o infinitesimi.
lim
x→+∞
x − ex+ ln x + sin x x4+ 2ex+ 1 − cos x.
Esercizio 8.5. Calcolare il seguente limite, usando i principi di sostituzione di infiniti o infinitesimi.
lim
x→+∞
ln x5+ x + sin x x2− ln x7+ 5x .
Esercizio 8.6. Verificare che la seguente funzione è infinitesima in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a 1/x.
f (x) = x
2+√x
x3 .
Esercizio 8.7. Verificare che la seguente funzione è infinitesima in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a 1/x.
f (x) = arctg 1 x2 .
Esercizio 8.8. Verificare che la seguente funzione è infinitesima in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a 1/x.
f (x) =px2− 1 −px2+ 1 .
Esercizio 8.9. Verificare che la seguente funzione è infinita in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a x. f (x) = x2 Å 2 +sin x x ã .
Esercizio 8.10. Verificare che la seguente funzione è infinita in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a x.
f (x) = x2(2 + sin2x) .
Esercizio 8.11. Verificare che la seguente funzione è infinita in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a x.
f (x) = x4 Å ln x + 1 x ã .
Esercizio 8.12. Verificare che la seguente funzione è infinita in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a x.
f (x) = x
2
ln(1 + x).
8 Infiniti e infinitesimi Introduzione al Calcolo differenziale
Esercizio 8.13. Verificare che la seguente funzione è infinita in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a x.
f (x) = x
x2+ 1
x − 3 .
Esercizio 8.14. Verificare che la seguente funzione è infinita in +∞ e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a ln x.
f (x) = ln(ex+ 2) .
Esercizio 8.15. Verificare che la seguente funzione è infinitesima in 0 e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a x.
f (x) = x
4+ sin3x
ln x .
Esercizio 8.16. Verificare che la seguente funzione è infinitesima in 0 e calcolarne, se possibile, l’ordine rispetto a»|sin x|.
f (x) = x
2+ sin3x
9 Polinomi di Taylor - Convessità
9.1 Derivate successive
Se una funzione è derivabile in un insieme A, come già osservato possiamo considerare la funzione derivata f0: A → R e possiamo chiederci se questa funzione è a sua volta derivabile
(magari in un sottoinsieme di A). Se si, diremo la nuova funzione che così si viene a costruire derivata seconda e così via fin quando è possibile. Le funzioni via via ottenute si chiamano derivate successive e si indicano con i simboli
f00, f000, fiv, . . . , f(n).
Naturalmente l’esistenza della derivata seconda richiede come condizione necessaria che la derivata prima sia continua, e così via per le successive. Può comunque succedere che una funzione sia derivabile, ma che la sua derivata non sia continua, oppure che sia continua ma che non sia ulteriormente derivabile e lo stesso per le derivate successive. A questo proposito si dà la seguente definizione.
Definizione 9.1. Una funzione si dice di classe Cn se è derivabile fino alla derivata n-esima e quest’ultima è continua (naturalmente sono continue, in quanto derivabili, anche le precedenti). Se la funzione è semplicemente continua si dice di classe C0.