La definizione di limite è basata sul concetto di intorno, cha abbiamo dato nella pagina31. È utile anche rivedere la definizione di intorno di ±∞ (vedi la definizione2.20, nella pagina 31). Ricordiamo poi che un numero reale x0 si dice di accumulazione per un insieme A se in
ogni intorno di x0 cadono infiniti punti di A. Poiché in ogni intorno di +∞ cadono sempre
infiniti punti di un insieme che sia superiormente illimitato (la cosa è quasi ovvia, ma la si può comunque provare per esercizio), diremo spesso, con un certo abuso di linguaggio, che +∞è un punto di accumulazione per un insieme superiormente illimitato. Analogo discorso per −∞ nel caso di insiemi inferiormente illimitati. Si tenga però sempre ben presente che ±∞ non sono numeri reali, e quindi non corrispondono ad alcun punto della retta.
In alcune questioni avremo bisogno anche del concetto di intorno di ∞ (infinito senza segno). Daremo pertanto la seguente definizione.
Definizione 4.2. Si dice intorno di ∞ l’unione di due arbitrari intorni, uno di +∞ e uno di −∞.
4 Limiti e continuità per le funzioni reali di variabile reale Introduzione al Calcolo differenziale
Avendo dato questa definizione potremo, con ancora maggior abuso di linguaggio, dire a volte che ∞ è un “punto” di accumulazione per un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente(1).
Definizione 4.3 (Definizione generale di limite). Sia data una funzione f : A ⊆ R → R e sia x0 un punto di accumulazione per A, con eventualmente x0 anche ∈ { +∞, −∞, ∞ }. Diremo che l, con eventualmente l anche ∈ { +∞, −∞, ∞ }, è il limite di f per x tendente a x0 se fissato comunque un intorno Ul di l è possibile in corrispondenza trovare un intorno Ix0 di x0 tale che i valori della funzione calcolati in tutti i punti di Ix0,tranne eventualmente
x0 stesso, cadano nel prefissato intorno Ul di l. In formule
∀Ul∃Ix0 tale che ∀x ∈ Ix0 \ {x0} si abbia f (x) ∈ Ul.
In questo caso si scrive lim
x→x0
f (x) = l o anche f(x) → l se x → x0.
Si noti come la definizione appena data non fornisca alcuna informazione su come calcolare il limite l, ma semplicemente un metodo per verificare se un certo l è oppure no il limite di una funzione quando x tende a x0.
Si noti altresì che, in questa definizione, il valore che la funzione assume in corrispondenza di x0 non ha alcun interesse, anzi, in x0 la funzione potrebbe benissimo non essere definita.
Per evidenziare questo fatto qualcuno usa la scrittura seguente lim
x→x0
x6=x0
f (x) = l ;
questa scrittura sarebbe quanto mai opportuna, ma troppo pesante da implementare, per cui non la useremo.
Vediamo su un esempio che cosa significa questa definizione. Esempio. Si verifichi se è vero oppure no che
lim
x→1
x − 1 x + 1 = 0 .
La verifica, secondo la definizione, deve procedere con i seguenti passi.
1. Si fissa arbitrariamente un intorno del numero 0 (cioè di l). Per fare questo si deve considerare un intervallo aperto che contenga il numero a: basterà prendere un intervallo ]a, b[ con a < 0 < b.
2. Si controlla se è possibile oppure no trovare un intorno di 1, cioè un intervallo del tipo ]c, d[con c < 1 < d, tale che l’immagine tramite f di tutti i punti di questo intorno, tranne al più 1 stesso, cadano in ]a, b[. Per fare questo basterà risolvere la doppia disequazione a < f(x) < b.
3. Si tirano le conclusioni:
a) se tra le soluzioni della doppia disequazione c’è un intorno di 1, allora la scrittura di limite è verificata;
1Segnaliamo che la scelta di considerare sia la coppia ±∞ che il semplice ∞ non è condivisa da tutti:
in molti casi si preferisce adottare solo una delle due definizioni. Tuttavia, come vedremo, esistono situazioni in cui è conveniente avere adottato entrambe le definizioni.
Introduzione al Calcolo differenziale 4.2 La definizione di limite
b) se tra le soluzioni della doppia disequazione non c’è un intorno di 1, allora la scrittura di limite non è verificata.
Dal punto di vista tecnico, dunque, tutto si riassume nel risolvere la doppia disequazione a < f (x) < b. Procediamo, tenendo conto che a < 0 < b.
a < f (x) < b ⇔ a < x − 1 x + 1 < b ⇔ x−1 x+1 > a x−1 x+1 < b ⇔ x−1 x+1 > a x−1 x+1 < b
Ora osserviamo che siamo interessati a trovare un intorno di 1, dunque possiamo tranquilla- mente supporre x > −1, di modo che il denominatore x + 1 delle frazioni è sempre positivo, cosa che ci facilita notevolmente i calcoli.
x−1 x+1 > a x−1 x+1 < b ⇔ ® x − 1 > ax + a x − 1 < bx + b ⇔ ® x(1 − a) > 1 + a x(1 − b) < 1 + b
A questo punto possiamo risolvere banalmente la prima disequazione dividendo per 1 − a che è sicuramente positivo, in quanto a < 0. Per la seconda supponiamo intanto b < 1, il che ci permette di risolverla facilmente dividendo per 1 − b. Otteniamo
®
x > 1+a1−a x < 1+b1−b Per concludere basta osservare che
1 + a 1 − a < 1 ∧ 1 + b 1 − b > 1 , da cui 1 + a 1 − a < x < 1 + b 1 − b.
E questo è un intorno di 1. Se fosse stato b ≥ 1 la seconda disequazione sarebbe stata sempre vera e la soluzione del sistema sarebbe stata
x > 1 + a 1 − a,
che costituisce ancora un intorno di 1 (questa volta superiormente illimitato, mentre prima era limitato). Dunque la scrittura di limite è corretta.
È utile rendersi conto graficamente del senso della verifica eseguita. 1 −1 1 2 3 4 5 b a b b b c b d Luciano Battaia 63
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Risulta anche graficamente evidente che l’immagine di un qualunque punto del segmento ]c, d[appartiene al segmento ]a, b[.
La circostanza evidenziata nel grafico può essere espressa con un linguaggio ancora più significativo dal punto di vista geometrico come segue.
Il limite per x tendente a x0 di f è l se fissato arbitrariamente un intorno
Ul di l sull’asse delle ordinate, è possibile trovare un intorno Ix0 di x0 sull’asse
delle ascisse in modo tale che la porzione di “curva grafico” della funzione f che insiste sopra questo intorno Ix0 si proietta orizzontalmente sull’asse delle
ordinate entro l’intorno Ul scelto, il che comporta che quella porzione risulta
tutta interna alla striscia di piano delimitata dalle rette che hanno equazione y = ae y = b.
Si noti che si può sempre supporre che l’intorno di l sia “piccolo quanto si vuole”: se tutto funziona per gli intorni “piccoli”, a maggior ragione funzionerà per gli intorni “grandi”.
Risulta naturalmente evidente che il tipo di intorno da fissare per l dipende da l: se l ∈ R l’intorno potrà essere un segmento, come nell’esempio che abbiamo prima considerato; se l ∈ { ±∞, ∞ } allora l’intorno dovrà essere una semiretta opportuna o l’unione di due semirette. Analogo discorso per l’intorno di x0 che bisogna individuare. Nel caso che sia
l che x0 siano numeri reali (e in questo caso si parla di limite finito per x che tende a
un valore finito), è tradizione scegliere gli intorni di l centrati su l e con raggio che viene abitualmente indicato con ε, mentre per gli intorni di x0 è tradizione cercare intorni centrati
su x0 e con un raggio che viene abitualmente indicato con δ. Con queste convenzioni la
definizione di limite finito per x tendente a un valore finito può essere riformulata come segue.
Definizione 4.4 (Limite finito per x tendente a un valore finito). Sia data una funzione f : A ⊆ R → R e sia x0 un punto di accumulazione per A, con x0∈ R. Diremo che l, con
l ∈ R, è il limite di f per x tendente a x0 se, fissato comunque un ε > 0, è possibile in
corrispondenza ad esso trovare un δε> 0 tale che
∀x ∈ A tale che |x − x0| < δε si abbia |f (x) − l| < ε.
Questa definizione è anche nota con il nome di definizione dell’ε − δ. Agli effetti pratici, in particolare nelle verifiche dei limiti e nelle dimostrazioni di molti teoremi, è quasi sempre conveniente, nel caso di limiti finiti, scegliere gli intorni di l centrati su l, mentre di solito è più conveniente lasciare completa arbitrarietà per gli intorni di x0.
Anzi si può addirittura provare il seguente teorema, che facilita notevolmente i calcoli nelle dimostrazioni di molti teoremi.
Teorema 4.5. Si ha
(4.1) lim
x→x0f (x) = l ∈ R
se e solo se
(4.2) ∀ε > 0 esiste un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U \ {x0}, |f (x) − l| < kε dove k è un numero reale positivo.
Introduzione al Calcolo differenziale 4.2 La definizione di limite
Dimostrazione. Se è vera la (4.1) allora, per definizione, si ha
∀ε > 0 esiste un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U \ {x0}, |f (x) − l| < ε
e questa è proprio la (4.2), con k = 1.
Viceversa, se è vera la (4.2), si fissi ε > 0 e si consideri ε0 =ε/k. Poiché ε0 è, al pari di ε,
arbitrario, sempre per la (4.2), esisterà un intorno U0 di x
0 tale che
∀x ∈ U0\ {x0}, |f (x) − l| < kε0 = kε k = ε , ma questa è proprio la prova che vale la (4.1).
In molte situazioni ha interesse esaminare il comportamento di una funzione nei pressi di un dato punto di accumulazione x0 del suo dominio, ma rimanendo “sulla destra” oppure
“sulla sinistra” di x0 stesso. Per fare questo è sufficiente sostituire un intorno destro
o, rispettivamente, sinistro di x0 al generico intorno presente nella definizione di limite.
Precisamente si possono dare le seguenti definizioni.
Definizione 4.6 (Limite destro e sinistro). Sia data una funzione f : A ⊆ R → R e sia x0
un punto di accumulazione per A, con eventualmente x0 anche ∈ { +∞, −∞, ∞ }. Diremo
che l, con eventualmente l anche ∈ { +∞, −∞, ∞ }, è il limite destro (rispettivamente limite sinistro di f per x tendente a x0 se fissato comunque un intorno Ul di l è possibile
in corrispondenza trovare un intorno destro Ix+
0 (rispettivamente sinistro I
−
x0) di x0 tale
che i valori della funzione calcolati in tutti i punti di Ix+
0 (rispettivamente I
−
x0), tranne
eventualmente x0 stesso, cadano nel prefissato intorno Ul di l.
In questo caso si scrive, rispettivamente, lim
x→x+0
f (x) = l , lim
x→x−0
f (x) = l .
Si dimostri per esercizio il seguente teorema.
Teorema 4.7. Se x0 è di accumulazione per il dominio di una funzione f , si ha lim x→x0f (x) = l se e solo se lim x→x−0 f (x) = l ∧ lim x→x+0 f (x) = l .
Si osservi che il concetto di limite destro e sinistro può essere espresso in termini di restrizioni di una funzione. Precisamente il limite destro è il limite della restrizione della funzione agli x > x0, il limite sinistro è il limite della restrizione della funzione agli x < x0.
A questo proposito si possono dimostrare le seguenti generalizzazioni del precedente teorema. Teorema 4.8. Se per una funzione f : A ⊆ R → R si ha(2)
lim
x→x0
f (x) = l
2
Poiché il concetto di limite ha senso solo per un punto di accumulazione del dominio di una funzione, nel seguito ometteremo di precisare ogni volta questo fatto.
Ometteremo anche, perché evidente, di scrivere ogni volta che le x su cui si calcolano le funzioni devono appartenere, oltreché ai vari intorni via via introdotti, anche al dominio delle funzioni stesse.
4 Limiti e continuità per le funzioni reali di variabile reale Introduzione al Calcolo differenziale
e se B è un sottoinsieme di A avente ancora x0 come punto di accumulazione, allora lim
x→x0
f |B(x) = l
Teorema 4.9. Se i limiti delle restrizioni di una funzione a due sottoinsiemi diversi del dominio sono diversi, allora la funzione non ha limite per x tendente a x0.