Si dice che una funzione definita in un intervallo I ha la proprietà di Darboux(2) se presi
due punti x1e x2 in I e considerato un y compreso tra f(x1)e f(x2)(o tra f(x2) e f(x1))
esiste sempre un x appartenente a I tale che f(x) = y. Detto in altri termini la funzione assume tutti i valori compresi tra due suoi valori qualunque.
In base al teorema di connessione, ogni funzione continua su un intervallo ha la proprietà di Darboux. Ma anche funzioni discontinue possono avere la proprietà di Darboux. Un esempio è fornito dalla funzione
f (x) = x sin1 x, se x 6= 0 , 0, se x = 0 .
È chiaro che il grafico di una funzione con questa proprietà non può avere “salti”, ovvero punti in cui il limite sinistro e destro esistono entrambi finiti ma diversi; se per esempio ci fosse un punto x0 in cui
lim
x→x−0 f (x) = l ∈ R
∧ lim
x→x+0 f (x) = m ∈ R ,
l 6= m ,
allora restringendo la funzione a un intorno opportuno di x0 essa avrebbe un’immagine con
una lacuna intermedia tra l ed m: basta per questo prendere un intorno di l e uno di m che siano disgiunti e applicare la definizione di limite.
È importante il fatto che la funzione derivata di una funzione derivabile su un intervallo ha la proprietà di Darboux, come afferma il seguente teorema.
Teorema 7.19 (Proprietà di Darboux per le funzioni derivabili). Sia f ua funzione derivabile in un intervallo I e siano x1< x2 due punti di I tali che f0(x1) < f0(x2 (oppure
f0(x1) > f0(x2). Preso allora un punto y compreso tra f0(x1) e f0(x2, esiste sempre almeno
un punto c compreso tra x1 e x2 tale che f0(c) = y.
Questo teorema ha come conseguenza che la derivata di una funzione derivabile su un intervallo non può avere “salti”, e quindi una funzione definita su un intervallo e che presenta qualche salto non può essere la derivata di nessuna funzione definita sullo stesso intervallo (cioè non può avere primitive nell’intervallo).
Per esempio la funzione f(x) = sgn(x) non può essere la derivata di nessuna funzione definita su tutto R. Per contro la funzione f(x) =x/|x| che ha come dominio R \ {0}, può
essere la derivata di una funzione (f(x) non è definita su un intervallo). In effetti questa funzione è la derivata della funzione g(x) = |x|, che è derivabile, ma in R \ {0}, che non è un intervallo.
Questa propietà ci consente di affermare quanto segue. Se una funzione è continua in un intervallo I ed è derivabile in tutto I tranne un punto x0, e se il limite sinistro e destro della
derivata in corrispondenza di x0 sono finiti e diversi, la funzione non può essere derivabile
in x0. Si tratta di una proprietà largamente usata nel controllare la derivabilità di una
funzione senza calcolare il limite del rapporto incrementale. Per esempio la funzione f (x) =
®
−x, se x ≤ 0 sin x, se x > 0
Introduzione al Calcolo differenziale 7.5 Esercizi
ha, per x 6= 0, la derivata seguente f (x) =
®
−1, se x < 0 cos x, se x > 0
e quindi non può essere derivabile in 0, perché il limite sinistro e destro di questa derivata per x tendente a 0 sono finiti e diversi (rispettivamente −1 e 1).
7.5 Esercizi
Esercizio 7.1. Tracciare il grafico della funzione f (x) = sgn(arcsin(x)) e dedurne se nel punto x0 = 0 la funzione è crescente o decrescente oppure se ha un massimo o minimo
relativo.
Esercizio 7.2. Tracciare il grafico della funzione f (x) = sgn(arccos(x)) e dedurne se nel punto x0 = 1 la funzione è crescente o decrescente oppure se ha un massimo o minimo relativo.
Esercizio 7.3. Dopo aver trovato il dominio naturale, trovare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni. 1. f (x) = x 3+ 2x2− 1 x2+ x . 2. f (x) = 2ln x x + 3x − π. 3. f (x) = ex+ ln(−x). 4. f (x) = ex+ 3x − 1. 5. f (x) = ln(e2x+ 3). 6. f (x) = x + sin x. 7. f (x) = 2x +sin x x + e. 8. f (x) = x +√x. 9. f (x) = x 2+√x x . 10. f (x) = e sin x x .
Esercizio 7.4. Dire se esiste una funzione f : [0, 1] → R, derivabile e tale che f (0) = 0, f (1) = 2, f0(x) < 2, ∀x ∈ [0, 1] .
Esercizio 7.5. Calcolare la derivata di f (x) = arcsin x + arccos x. Che cosa si può dedurre della funzione f (x)?
7 Proprietà locali - Funzioni derivabili in un intervallo Introduzione al Calcolo differenziale
Esercizio 7.6. Calcolare la derivata di
f (x) = arctgx − 1
x + arctg x x − 1. Che cosa si può dedurre della funzione f (x)?
Esercizio 7.7. Calcolare la derivata di
f (x) = arctg1 + x 1 − x. Che cosa si può dedurre della funzione f (x)?
Esercizio 7.8. Per le seguenti funzioni verificare se è applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo indicato e, in caso affermativo, trovare tutti i punti “c” di cui tratta il teorema.
1. f (x) = x8+ x6+ π , I = [−1, 1]. 2. f (x) = 1
x, I = [1, 2].
3. f (x) =√x2+ 1 , I = [−1, 1].
4. f (x) =√x , I = [1, 3].
Esercizio 7.9. Calcolare, applicando opportunamente la regola di l’Hôpital, i seguenti limiti (gli ultimi tre limiti potrebbero anche essere calcolati, più velocemente, con tecniche elementari o basate sui limiti notevoli: per esercizio si può fare il calcolo anche in questo secondo modo, per un utile confronto).
1. lim x→0 x − sin x x3 . 2. lim x→0 esin x− ex x − sin x. 3. lim x→0 sin x ln(1 + x). 4. lim x→0+ln(x) ln(x + 1). 5. lim x→+∞(1 + e −x)x.
Esercizio 7.10. Verificare che l’applicazione delle regola di l’Hôpital al seguente limite porta in un vicolo cieco. Calcolare poi il limite per altra via.
lim
x→+∞
ln(2x+ 3x)
x .
Esercizio 7.11. Applicare la regola di l’Hôpital al seguente limite
lim
x→0+
e−1/x
Introduzione al Calcolo differenziale 7.5 Esercizi
constatando che si finisce in un vicolo cieco. Riapplicare la regola scrivendo la funzione nella forma
1/x
e1/x,
constatando che si raggiunge subito il risultato.
Calcolare lo stesso limite anche operando la sostituzione 1/x = t e usando poi i limiti
notevoli.
Esercizio 7.12. Utilizzando il teorema sul limite della derivata, verificare che le seguenti funzioni sono derivabili in x0 = 0, dopo averne provato la continuità.
1. f (x) = ® x, se x ≤ 0 sin x, se x > 0 . 2. f (x) = ® x2+ 1, se x ≤ 0 cos x, se x > 0 . 3. f (x) = x4sin1 x, se x 6= 0 0, se x = 0 .
Esercizio 7.13. Verificare che la seguente funzione è derivabile in x0 = 0, ma che il teorema sul limite della derivata non è applicabile.
f (x) = x2sin1 x, se x 6= 0 0, se x = 0 .
Esercizio 7.14. Discutere, al variare del parametro α, la continuità e derivabilità della seguente funzione
®
|x|αln |x| , se x 6= 0
0, se x = 0 .
Esercizio 7.15. Dire per quali a, b, c ∈ R la funzione
®
ax2+ bx + c, se − 1 < x < 1 ln |x| , se x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
risulta continua e derivabile su tutto R.
Esercizio 7.16. Dire per quali a, b ∈ R la funzione
®
a2sin x + b2cos x, se x < 0
ln(x + 2), se x ≥ 0
risulta continua e derivabile su tutto R.
8 Infiniti e infinitesimi
In questo capitolo introdurremo due concetti molto utili nelle applicazioni e nel calcolo dei limiti, precisamente quelli di infinitesimo e di infinito. Ci sono molte possibili scelte per introdurre questi concetti: ci limiteremo ad una di queste, segnalando subito che non si tratta della scelta più generale, ma comunque sufficiente per i nostri scopi. La maggior parte dei teoremi di questo capitolo sono semplici riscritture di noti teoremi sui limiti: per questo quasi tutte sono lasciate per esercizio.
8.1 Infinitesimi e loro confronto
Definizione 8.1. Una funzione f si dice infinitesima in x0 o per x tendente a x0 (anche ∞) se
lim
x→x0f (x) = 0 .
Naturalmente x0 deve essere di accumulazione per il dominio della funzione.
Definizione 8.2. Due funzioni f e g entrambe infinitesime in x0 si dicono infinitesimi
simultanei in x0.
Esempi.
– Le funzioni 1 − cos x e x2 sono infinitesimi simultanei in 0.
– Le funzioni1/xe ex sono infinitesimi simultanei in −∞.
– Le funzioni ln x e x − 1 sono infinitesimi simultanei in 1.
Nel seguito avremo quasi sempre a che fare con infinitesimi che siano definitivamente diversi da 0ovvero tali che esista un intorno di x0, privato di x0, dove f(x) 6= 0. Tutte le
volte che sarà necessario sottintenderemo questa ipotesi, che semplifica notevolmente la teoria.
Definizione 8.3. Siano f e g due infinitesimi simultanei in x0. Se
(8.1) lim x→x0 f (x) g(x) = l > 0
diremo che f e g hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Se
(8.2) lim x→x0 f (x) g(x) = 0
diremo che f ha ordine di infinitesimo superiore a g o che f è un infinitesimo di ordine superiore a g. Se (8.3) lim x→x0 f (x) g(x) = +∞ 129
8 Infiniti e infinitesimi Introduzione al Calcolo differenziale
diremo che f ha ordine di infinitesimo inferiore a g o che f è un infinitesimo di ordine inferiore a g.
Se nessuna delle tre eventualità si presenta, diremo che f e g sono infinitesimi non confrontabili.
Tenendo conto del teorema sul limite del modulo (teorema4.19 nella pagina72), si può anche calcolare il limite del rapporto delle due funzioni: nel caso questo limite esista si può subito concludere, se non esiste si calcolerà invece il limite del modulo del rapporto. Osservazione 8.4. È bene chiarire con un linguaggio significativo, anche se un po’ azzardato,
il significato dell’espressione “infinitesimo di ordine superiore”. Se riesaminiamo la definizione appena data, vediamo che f è di ordine superiore a g sef/gtende a zero. Poiché una frazione
è “tanto più piccola quanto più il numeratore è piccolo nei confronti del denominatore”, se ne deduce che dire “f è di ordine superiore a g” equivale a dire “f è infinitamente più piccola di g”.
Esempi.
– Le funzioni sin x e x hanno lo stesso ordine di infinitesimo in 0. – La funzione x − sin x ha ordine di infinitesimo superiore a x in 0.
– Le funzioni x − sin x e x3 hanno lo stesso ordine di infinitesimo in 0 (si calcoli il limite
del loro rapporto con l’Hôpital).
– La funzione ex− 1ha ordine di infinitesimo minore di x2 in 0.
– Le funzioni ln x2 e x − 1 hanno lo stesso ordine di infinitesimo in 1.
– La funzione e−x ha ordine di infinitesimo superiore a 1/
xn in +∞, per qualunque n ∈ N+.
– Le funzioni x (sin(1/x) + 2) e x sono infinitesimi non confrontabili in 0. Si noti che
andrebbero bene come esempio di infinitesimi non confrontabili anche le funzioni x sin(1/x) e x: abbiamo aggiunto il 2 per avere entrambe le funzioni definitivamente
diverse da zero. In molti dei teoremi che seguono la condizione che le funzioni siano definitivamente diverse da zero è essenziale e per questo è bene limitarsi solo a questo tipo di infinitesimi.
Si possono provare facilmente, usando i teoremi sui limiti, le seguenti proprietà, se f, g, h sono infinitesimi simultanei in x0.
1. f ha lo stesso ordine di infinitesimo di f.
2. Se f ha lo stesso ordine di g e g ha lo stesso ordine di h, allora f ha lo stesso ordine di h.
3. Se f ha ordine superiore a g e g ha ordine superiore a h, allora f ha ordine superiore ad h.
4. Se f ha lo stesso ordine di g e g ha ordine superiore a h, allora f ha ordine superiore ad h.
È molto utile nelle applicazioni il seguente teorema che riguarda somme e prodotti di infinitesimi. La dimostrazione, come per quasi tutti gli altri teoremi di questo capitolo, è una semplice applicazione dei teoremi sui limiti ed è lasciata per esercizio.
Teorema 8.5. Siano f e g due infinitesimi simultanei in x0.
– Se f ha ordine inferiore a g, allora f ± g ha lo stesso ordine di f .
– Se f e g hanno lo stesso ordine, allora f ± g ha ordine non minore dell’ordine comune. – Il prodotto f · g ha ordine superiore sia a f che a g.
Introduzione al Calcolo differenziale 8.2 Ordine di infinitesimo rispetto a un campione
Invitiamo soprattutto a prestare attenzione al secondo caso, segnalando l’esempio che segue.
Esempio. Le funzioni sin x e x hanno lo stesso ordine in 0. La funzione sin x + x ha ancora lo stesso ordine, mentre la funzione sin x − x ha ordine superiore a entrambe.