L’Attacco di Slater

La strategia generale del mio attacco al dialeteismo, benché atipica, non è del tutto nuova: essa è stata in parte anticipata da Slater e da Béziau.266 Io esporrò e valuterò le argomentazioni di entrambi, per scoprirne le differenze rispetto alla mia argomentazione e mostrare in che modo tali differenze determinano l’insuccesso delle loro argomentazioni e, per contrasto, il successo della mia.

L’argomentazione di Slater l’ho già presentata nella sezione 3.4, e qui la riporto. Ogni semantica di ogni logica paraconsistente ha valutazioni inconsistenti che assegnano sia a sia a ¬il valore vero, per qualche . Se ci sono valutazioni inconsistenti che assegnano sia a sia a ¬il valore vero allora e ¬ possono essere entrambi veri. Ma e ¬sono contraddittori, perciò non possono essere entrambi veri. Quindi non può esserci una logica paraconsistente – dato che è essenziale per una logica paraconsistente che e ¬ possano essere entrambi veri, in quanto ogni semantica di una logica paraconsistente ha valutazioni inconsistenti, le quali a loro volta implicano che e ¬ possano essere entrambi veri.

Nella sezione 3.4 ho mostrato che l’argomentazione di Slater, progettata come un attacco alla logica paraconsistente in quanto tale – e questo in effetti è il modo in cui Slater la progetta – non funziona, sia a causa dell’assunzione secondo cui ogni semantica di ogni logica paraconsistente ha valutazioni inconsistenti, che è stata respinta da Brown e Paoli, i quali argomentano che una logica paraconsistente può essere dotata

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di una semantica che fa a meno di valutazioni inconsistenti, sia a causa dell’assunzione secondo cui le valutazioni inconsistenti della semantica di una logica paraconsistente implicano che e ¬ possano essere entrambi veri, che è stata respinta da Restall, il quale argomenta che le valutazioni inconsistenti della semantica di una logica paraconsistente possono legittimamente rappresentare impossibilità. Tuttavia, l’argomentazione di Slater può essere ricalibrata come un attacco a una logica paraconsistente dialeteica, cioè a una logica paraconsistente abbinata al dialeteismo come sua logica sottostante, e in particolare a quella logica paraconsistente dialeteica che è LP.267 Infatti, da un lato la semantica di LP ha valutazioni inconsistenti, quindi la prima assunzione dell’argomentazione di Slater è vera relativamente a LP, e dall’altro queste valutazioni inconsistenti rappresentano possibilità, perché LP è pensata appositamente per dar conto di contraddizioni che sono vere e dunque, per l’implicazione dall’esse al posse, di contraddizioni che possono essere vere, quindi anche la seconda assunzione dell’argomentazione di Slater è vera relativamente a LP.

Reimpostata contro LP, l’argomentazione di Slater può poi essere elaborata come segue. La semantica di LP ha valutazioni inconsistenti che assegnano sia a sia a ¬il valore vero, per qualche . Se ci sono valutazioni inconsistenti che assegnano sia a sia a ¬il valore vero allora e ¬ possono essere entrambi veri. Ma due enunciati contraddittori non possono essere entrambi veri, quindi in LP e ¬ non possono essere contraddittori – proprio perché possono essere entrambi veri.268 Da qui si può concludere che e ¬ non possono costituire una contraddizione, né tantomeno una contraddizione vera.

Priest dà una risposta laconica a questa argomentazione, recuperando e ampliando, in difesa di LP, le osservazioni che egli stesso, insieme a Routley, ha svolto in funzione critica verso la logica paraconsistente di Da Costa.269 Se è una verità logica e˄è una falsità logica allora esono contraddittori. In LP   ¬è una verità logica e  ˄ ¬ è una falsità logica – dato che (PNC1) è una verità logica e la

267

Ho discusso la distinzione fra paraconsistenza e paraconsistenza dialeteica nella sezione 2.6.

268

Cfr. G. Restall (1997), p. 156.

269

Ho presentato la critica di Priest e Routley alla logica paraconsistente di Da Costa nella sezione 2.5.

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negazione rovescia vero-funzionalmente i valori di verità. In particolare, il fatto che  ˄ ¬ sia una falsità logica mostra che e ¬ non possono essere entrambi veri. Quindi in LP e ¬ sono contraddittori. Il fatto che in LP e ¬ possano essere entrambi veri non mostra che e ¬ non sono contraddittori – che e ¬ siano contraddittori è già fuori questione per via del fatto che non possono essere entrambi veri, né entrambi falsi. Il fatto che in LP e ¬ possano essere entrambi veri mostra solo che due enunciati che non possono essere entrambi veri, possono essere entrambi veri, e cioè mostra che due enunciati che costituiscono una contraddizione possono costituire una contraddizione vera.270 Naturalmente, che due enunciati non possano e possano essere entrambi veri è a sua volta una contraddizione, che però non è altro che una variante della contraddizione fra ¬( ˄ ¬ e (˄ ¬generata da una contraddizione vera della forma basica  ˄ ¬ data la verità logica di ¬( ˄ ¬

Restall argomenta che la risposta di Priest è corretta, ma parziale. Egli sostiene che Priest ha ragione nell’affermare che, poiché in LP  ¬è una verità logica e  ˄ ¬ è una falsità logica, e ¬ sono contraddittori. Ma sostiene che anche Slater ha ragione nell’affermare che, poiché in LP e ¬ possono essere entrambi veri, e ¬ non possono essere contraddittori: il fatto che in LP e ¬ possano essere entrambi veri, al contrario di quanto ritiene Priest, incide sulla sussistenza della relazione di contraddittorietà fra e ¬per quanto questa sia già assicurata dal fatto che in LP   ¬è una verità logica e  ˄ ¬ è una falsità logica.

Restall lo prova come segue. Se è una verità logica allora è necessariamente vero, e se  è una falsità logica allora è necessariamente falso. Poiché in LP   ¬è una verità logica e  ˄ ¬ è una falsità logica,  ¬è necessariamente vero e

 ˄ ¬ è necessariamente falso. Rappresentando con “□” la necessità di  vale □(

 ¬˄ □¬( ˄ ¬La necessità della negazione è equivalente alla negazione della possibilità. Rappresentando con “◊” la possibilità di , vale □(  ¬˄ ¬◊( ˄ ¬Poiché in LP e ¬ possono essere entrambi veri, vale ◊( ˄ ¬ Da ◊( ˄ ¬segue ◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬per (I˅)Da ◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬segue

270

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¬¬◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬per introduzione della doppia negazione.271 Da ¬¬◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬segue ¬(¬◊( ˄ ¬˄ □(  ¬per l’inferenza ¬¬  ¬|= ¬(¬ ˄ . Infine, da ¬(¬◊( ˄ ¬˄ □(  ¬segue ¬(□(  ¬˄ ¬◊( ˄ ¬per la commutatività della congiunzione.272Ora, ¬(□( ¬˄ ¬◊( ˄ ¬è la negazione di □( ¬˄ ¬◊( ˄ ¬e se il fatto che in LP valga □(  ¬˄ ¬◊( ˄ ¬implica che e ¬ sono contraddittori, il fatto che in LP valga ¬(□(  ¬˄ ¬◊( ˄ ¬deve implicare che e ¬ non sono contraddittori.273

Restall nota che c’è anche un altro modo per provare che in LP e ¬ non sono contraddittori in conseguenza del fatto che vale ◊( ˄ ¬ – cioè in conseguenza del fatto che e ¬ possono essere entrambi veri. Da ◊( ˄ ¬segue ◊(¬¬ ˄ ¬per

(I¬¬). Da ◊(¬¬ ˄ ¬segue ◊(¬ ˄ ¬¬per la commutatività della congiunzione. Da ◊(¬ ˄ ¬¬segue ¬(¬→ ¬per l’inferenza ◊( ˄ ¬|= ¬(→ che è

271

Regola di introduzione della doppia negazione:

(I¬¬):





¬¬

272

Il passaggio da ◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬a ¬¬◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬via (I¬¬) è superfluo per arrivare a ¬(□( ¬˄ ¬◊( ˄ ¬Una strategia più essenziale è passare da ◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬ a ¬(¬◊( ˄ ¬˄ ¬¬□(  ¬per l’inferenza  |= ¬(¬ ˄ ¬e poi a ¬(¬◊( ˄ ¬˄ □( ¬per (E¬¬), da cui ¬(□( ¬˄ ¬◊( ˄ ¬per la commutatività della congiunzione.

Restall non fa ricorso esplicito a (E¬¬), come invece io faccio, quindi può sembrare che nel complesso la sua strategia sia tanto economica quanto la mia, ma (E¬¬) è incapsulata nell’inferenza ¬¬  ¬|= ¬(¬ ˄  cui Restall si appella per passare da ¬¬◊( ˄ ¬˅ ¬□(  ¬a ¬(¬◊( ˄ ¬˄ □(  ¬Infatti, ¬¬  ¬implica immediatamente

¬(¬¬¬ ˄ ¬¬in virtù dell’inferenza   |= ¬(¬ ˄ ¬e solo mediatamente ¬(¬ ˄

,per (E¬¬) applicata sia a ¬¬¬sia a ¬¬

273

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valida in LP. Da ¬(¬→ ¬segue ¬(¬↔ ¬.274 Ora, una condizione almeno necessaria affinché un enunciato possa essere considerato la negazione di un enunciato ,è che ↔ ¬Poiché da ◊( ˄ ¬segue ¬(¬↔ ¬, in LP ¬non è la negazione di , e poiché due enunciati contraddittori sono uno la negazione dell’altro,

e ¬ non sono contraddittori.

Ciò mostra, secondo Restall, che in LP e ¬ sono e non sono contraddittori, che in LP e ¬ costituiscono e non costituiscono una contraddizione, e che in LP e ¬ possono e non possono costituire una contraddizione vera. Chiaramente queste sono tutte contraddizioni. Ma se non c’è una ragione specifica per ritenere che queste contraddizioni in particolare debbano essere rigettate, LP rimane incolume, e quindi

274

Restall non spiega in che modo da ¬(¬→ ¬ si può derivare ¬(¬↔ ¬, ecolmare la lacuna è meno ovvio di quanto forse può sembrare. Di primo acchito, si potrebbe pensare di ragionare per assurdo così: ipotizziamo ¬↔ ¬Da ¬↔ ¬segue (¬→ ¬˄ (¬→ ¬per l’equivalenza (↔ ↔ ((→ ˄ (→ . Da (¬→ ¬˄ (¬→ ¬segue (¬→ ¬per (E˄). Da (¬→ ¬e ¬(¬→ ¬segue (¬→ ¬˄ ¬(¬→ ¬per (I˄). Per (I→), (¬↔ ¬→ ((¬→ ¬˄ ¬(¬→ ¬e per (RA) si deriva ¬(¬↔ ¬Ma questa strategia non è percorribile, perché (RA) non è valida in LP.

Allora si potrebbe pensare di ragionare così: ipotizziamo ¬↔ ¬Da ¬↔ ¬segue (¬→ ¬˄ (¬→ ¬per l’equivalenza (↔ ↔ ((→ ˄ (→ . Da (¬→ ¬˄ (¬→ ¬segue (¬→ ¬per (E˄). Per (I→), (¬↔ ¬→ (¬→ ¬eda (¬↔ ¬→ (¬→ ¬e ¬(¬→ ¬si deriva ¬(¬↔ ¬per (MT). Ma nemmeno questa strategia è percorribile, perché nemmeno (MT) è valido in LP.

Tuttavia, rimangono almeno due modi per derivare ¬(¬↔ ¬da ¬(¬→ ¬che sono legittimati da LP. Il primo, più convoluto, è questo. Ipotizziamo ¬↔ ¬Da ¬↔ ¬segue (¬→ ¬˄ (¬→ ¬per l’equivalenza (↔ ↔ ((→ ˄ (→ . Da (¬→ ¬˄ (¬→ ¬segue (¬→ ¬per (E˄). Per (I→), (¬↔ ¬→ (¬→ ¬Per contrapposizione, ¬(¬→ ¬→ ¬(¬↔ ¬, e da ¬(¬→ ¬→ ¬(¬↔ ¬e

¬(¬→ ¬si deriva ¬(¬↔ ¬per (MP).

Il secondo, e più immediato, è questo. Da ¬(¬→ ¬segue ¬(¬→ ¬ ¬(¬→ ¬per (I). Da ¬(¬→ ¬ ¬(¬→ ¬segue ¬((¬→ ¬˄ (¬→ ¬per l’inferenza ¬ ¬|= ¬( ˄ , e da ¬((¬→ ¬˄ (¬→ ¬si deriva ¬(¬↔ ¬per l’equivalenza fra (¬→ ¬˄ (¬→ ¬e ¬↔ ¬

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rimane incolume la tesi dialeteista che ci sono contraddizioni vere. Questa non è cancellata dalla prova che in LP e ¬ non possono costituire una contraddizione vera: vi è semplicemente affiancata.275 Priest, immaginando che venga prodotta una prova dialeteicamente valida che non ci possono essere contraddizioni vere, sostiene, in sintonia con Restall, che questa non sarebbe sufficiente a rimuovere la tesi dialeteista che ci sono contraddizioni vere, proprio come in generale, dalla prospettiva di una logica paraconsistente dialeteica, una prova dialeteicamente valida di ¬non è sufficiente a rimuovere .L’eventuale prova dialeteicamente valida che non ci possono essere contraddizioni vere non farebbe altro che aggiungersi alla tesi dialeteista che ci sono contraddizioni vere – almeno finché non venisse prodotta una prova, ulteriore alla prova dialeteicamente valida che non ci possono essere contraddizioni vere, che quest’ultima è tale da escludere l’accettazione della tesi dialeteista che ci sono contraddizioni vere.276