Geometria Affine
2. Calcolo baricentrico
2.1. Definizione-Teorema (somme pesate o baricentriche di punti). Dati m punti
P1, . . . , Pm∈A e m coefficienti α1, . . . , αm∈C tali cheP
iαi=1, il punto definito dalla formula P :=
Q+P
iαi(Pi−Q) risulta indipendente dal punto “di base” Q arbitrariamente scelto, e si pu`o dunque scrivere come P :=P
iαiPi (“somma pesata di punti” o “somma baricentrica di punti”: la somma dei punti `e definita solo se i coefficienti hanno somma 1). Il punto P si dice il baricentro del sistema dei punti P1, . . . , Pm∈A con i pesi rispettivi α1, . . . , αm∈C.
Dimostrazione. Se Q0 `e qualsiasi altro punto, e P0 := Q0+P
iαi(Pi−Q0), allora la differenza P −P0 `e (Q−Q0) +P
iαi(Q0−Q) = 0 (nota bene: vale che (P + v) − (Q + w) = (P − Q) + v − w,
uguaglianza tra vettori: perch´e?).
2.1.1. Le combinazioni pesate di m punti descrivono il sottospazio affine generato da quei punti; si tratta di un sottospazio di dimensione m − 1 se i punti sono in posizione generale. Ci`o si vede facilmente osservando cheP
iαiPi= P0+P
iαi(Pi−P0) descrive esattamente P0∨P1∨· · ·∨Pr= P0+ hPi−P0i. In particolare: le combinazioni pesate di due punti distinti descrivono la retta congiungente i due punti; le combinazioni pesate di tre punti non allineati descrivono il piano congiungente i tre punti (esplicitare bene).
2.1.2. Propriet`a distributiva dei baricentri. Data una famiglia di punti Pi,j con i = 0, . . . , m e j = 0, . . . , r, una famiglia di pesi αi,j con i = 0, . . . , m e j = 0, . . . , r tali che P
jαi,j = 1 per ogni i, ed una ulteriore famiglia di pesi βk con k = 0, . . . , m tali cheP
kβk= 1 allora risulta X i βi(X j αi,jPi,j) =X i,j (βiαi,j)Pi,j
(nel senso che entrambe le espressioni hanno senso, in particolare P
i,jβiαi,j = 1, e i due punti coincidono).
2.1.3. Stenografia. Nel seguito verr`a spontaneo fare alcuni passaggi “algebrici” che portano da una formula con significato affine ad un’altra formula con significato affine, ma in cui i passaggi intermedi “non hanno senso”. Per esempio: per quattro punti A, B, C, D in uno spazio affine, le uguaglianze A − B = D − C (tra vettori) e 1
2A + 1 2C = 1
2B + 1
2D (tra punti) hanno entrambe significato (se il campo non ha caratteristica 2) e sono equivalenti tra loro, ma passare dall’una all’altra con passaggi algebrici del tipo A + C = B + D e ”dividere per 2” d`a espressioni che non hanno senso per gli spazi affini (ma hanno senso pensando A, B, C, D come vettori, e per fare questo bisogna aver scelto un punto ”origine” nello spazio affine, e questa scelta `e arbitraria).
Morale: le espressioni tra vettori che hanno senso in quanto punti di uno spazio affine sono quelle invarianti per traslazione (come la definizione di baricentro), ma per dimostrare che due espressioni di questo tipo sono uguali, possiamo trattarle come uguaglianze tra vettori!
Per esercizio si dimostrino le seguenti uguaglianze sia usando le definizioni (cio`e con passaggi che abbiano tutti senso nello spazio affine) sia sportivamente:
(1) A − B = (A − C) + (C − B) (applicati al punto B danno lo stesso risultato); (2) A − B = −(B − A) (la differenza tra i due vettori d`a il vettore nullo);
(3) (A + v) − (B + w) = (A − B) + v − w (applicati al punto B + w danno lo stesso risultato); (4) se α + β = 1 allora (αA + βB) − (αC + βD) = α(A − C) + β(B − D);
(5) se il campo non ha caratteristica 2, allora vale A − B = D − C se e solo se vale 1 2A + 1
2C =
1 2B +1
2D.
2.2. Proposizione (caratterizzazione baricentrica dei sottospazi affini). Un
sottinsieme L di A `e un sottospazio affine se e solo se `e stabile per somme pesate di punti, ovvero sse quando contiene due punti contiene la retta generata (combinazioni pesate di due punti).
2.3. Definizione (Coordinate baricentriche). Dato un riferimento affine P0, P1, . . . , Pn
nello spazio affine A, ogni altro punto P si scrive unicamente come combinazione baricentrica P = P iαiPicon αi∈ C eP iαi= 1. La (n+1)-upla ordinata α0 .. . αn !
si dice delle coordinate baricentriche
di P nel riferimento dato. `E una facile osservazione che allora la n-upla
α1
.. .
αn
!
`e quella delle coordinate cartesiane affini di P in quel riferimento, e che α0= 1 −P
i>0αi.
2.3.1. Condizioni di allineamento di punti in coordinate baricentriche. Dati tre punti in un piano affine, e fissato un riferimento affine su quel piano, i tre punti dati sono allineati se e solo se il determinante della matrice delle loro coordinate baricentriche si annulla. In generale, la condizione per m + 1 punti di essere in posizione generale si esprime in coordinate baricentriche tramite il rango della matrice formata dalle coordinate dei punti (rango massimo).
2.3.2. Sottospazi affini in coordinate baricentriche. Scelto un riferimento affine, le coordinate baricentriche dei punti soddisfano sempre alla condizione che la somma sia 1, cio`e alla equazione lineare non omogenea P1
i=0Xi = 1. Si vede quasi subito che ogni sottospazio affine pu`o essere descritto usando questa equazione e un sistema di equazioni omogeneo nelle coordinate bari-centriche, che si ottiene dalle equazioni cartesiane (lineari non necessariamente omogenee) sostituendo i termini costanti c con cP1
i=0Xi. Queste si dicono equazioni del sottospazio affine nelle coordinate baricentriche di quel riferimento.
Ad esempio, per rette in un piano affine, le equazioni in coordinate baricentriche sono (a parte quella comune di somma 1) equazioni omogenee nelle tre coordinate, e la condizione per tre rette di essere in un fascio `e che si annulli il determinante della matrice del sistema delle tre equazioni.
2.4. Definizione (combinazioni convesse reali di punti: m-edri). Nel caso C = R, possiamo descrivere il segmento tra P1e P2come le combinazioni pesate dei due punti con i combinatori α1, α2∈[0, 1]; il triangolo di vertici P1, P2e P3tramite le combinazioni pesate con α1, α2, α3∈[0, 1]; in generale l’inviluppo convesso di m punti si rappresenta tramite le combinazioniP
iαiPiconP
iαi= 1 e 0 6 αi 6 1 per ogni i. L’inviluppo convesso di m punti in posizione generale si dice un m-edro (segmento per m = 2, triangolo per m = 3, tetraedro per m = 4).
Q P ++ −+ +− αP +βQ (α+β=1) P Q R αP +βQ+γR (α+β+γ=1) +++ ++− +−+ −++ +−− −+− −−+ P Q R S αP +βQ+γR+δS (α+β+γ+δ=1) 2.4.1. Osservazione. Si noti che la scelta di un n-edro (n + 1 punti in posizione generale) in uno spazio affine reale di dimensione n permette di dividere lo spazio affine stesso in 2n− 1 zone definite dalla sequenza dei segni (positivi o negativi) delle coordinate baricentriche (le zone sono in numero di 3, 7, 15, 31, 63... in dimensione rispettivamente 1, 2, 3, 4, 5, ...).
2.5. Definizione-Teorema (baricentri). Il punto medio del segmento tra P1 e P2 `e il punto 12P1+12P2.
Il baricentro del triangolo di vertici P1, P2e P3(punti non allineati) `e il punto B = 13P1+13P2+13P3
e appartiene alle rette congiungenti ogni vertice Pi col punto medio Mi del lato opposto; risulta che B =13Pi+23Mi (per ogni i).
Il baricentro del tetraedro di vertici P1, P2, P3 e P4 (punti non complanari) `e il punto B =
1
4P1+14P2+14P3+14P4e appartiene alle rette congiungenti ogni vertice Picol baricentro Bidel triangolo opposto, e risulta che B =14Pi+34Bi (per ogni i).
Dati m punti P1, . . . , Pm in posizione generale, il baricentro dell’m-edro costituito da quei punti `e il punto B =m1P1+ · · · +m1Pm, e appartiene alle rette congiungenti ogni vertice Picol baricentro Bi
dell’(m−1)-edro opposto (quello generato dagli altri vertici), e risulta B =m1Pi+m−1m Bi(per ogni i).
Dimostrazione. Facile esercizio.
Q P 1 2P +1 2Q P Q R 1 2P +1 2Q 1 2P +1 2R 1 2Q+1 2R 1 3P +1 3Q+1 3R P Q R S
2.5.1. Osservazione. Si osservi che la nozione di punto medio e in generale di baricentro non ha, a priori, a che fare con le distanze; noi non abbiamo ancora definito cosa siano le distanze tra punti. La definizione di baricentro dipende solo dalla struttura affine, vale a dire dall’azione dello spazio vettoriale, e dal fatto che i vettori possono essere moltiplicati per gli scalari 12,13, . . . ,n1, . . . (siamo in R, o comunque in corpi di caratteristica 0, in cui ogni intero `e invertibile; cosa succede di queste nozioni in corpi di caratteristica positiva, o in corpi non ordinabili?).
2.5.2. Dato un simplesso formato da n+1 punti in posizione generale, i baricentri delle sue facce (gli n+1 n-simplessi ottenuti dimenticando uno alla volta ciascuno dei punti) formano un (n + 1)-simplesso in qualche modo “simile” al precedente, i cui punti si ottengono applicando la matrice
1
n(Σei)(Σei)t−1
nIn+1(di ordine n+1, con zero nella diagonale principale, 1/n nelle altre posizioni). Viceversa, dato un (n+1)-simplesso `e sempre possibile determinarne un altro di cui quello dato `e il simplesso dei baricentri delle facce: si nota facilmente che esso si ottiene applicando la matrice (Σei)(Σei)t− nIn+1(di ordine n+1, con 1 − n nella diagonale principale, 1 nelle altre posizioni), che `e quindi l’inversa della matrice precedente...
Si noti la matrice (Σei)(Σei)t, che `e quella di rango 1 avente tutte le entrate uguali ad 1... 2.5.3. Problema: quadrangoli e parallelogrammi. Un quadrangolo piano `e il dato di quattro punti distinti ordinati P1, P2, P3, P4 su un piano affine, e delle quattro rette che congiungono punti successivi nell’ordine ciclico.
Un quadrangolo piano P1, P2, P3, P4 si dice un parallelogramma se P2−P1 = P3−P4. In questo caso vale anche che P3−P2= P4−P1, cio`e anche P2, P3, P4, P1`e un parallelogramma.
Supponiamo che la caratteristica di C si diversa da 2: allora P1, P2, P3, P4 `e un parallelogramma se e solo se P1+P3
2 =P2+P4
2 (cio`e: se e solo se le diagonali si incontrano nei loro punti medi!).
Come si caratterizzano invece i parallelogrammi in caratteristica 2? Risposta divertente: un quadrangolo `e parallelogramma se e solo se ogni vertice `e baricentro degli altri tre...
2.5.4. Problema. Dati quattro punti P1, P2, P3, P4 in An(R), si consideri un quadrilatero (non necessariamente piano) da essi formato (basta scegliere un ordine tra i quattro punti); allora i baricentri dei quattro lati formano un parallelogramma, quindi in particolare sono complanari. Quanti di questi piani si possono ottenere a partire da quattro fissati punti?
2.5.5. Problema: quadrilateri piani completi. Un quadrilatero piano completo Q del piano affine A2
(C) `e la figura costituita da quattro rette ri, i = 1, 2, 3, 4 a due a due non parallele, e a tre a tre non appartenenti ad uno stesso fascio. Le rette ri, i = 1, 2, 3, 4 sono dette i lati di Q; i sei punti d’intersezione Pij = ri∩ rj, ove 1 6 i < j 6 4 sono detti i vertici; due vertici si dicono opposti se non appartengono ad uno stesso lato; le rette che congiungono una coppia di vertici opposti si
dicono diagonali. I punti di intersezione delle diagonali si dicono i punti diagonali. Si faccia il disegno della figura seguendo la descrizione, e si mostri che i punti medi delle tre diagonali (cio`e dei segmenti delimitati dalle coppie di vertici opposti) sono allineati.
Usando coordinate baricentriche nel riferimento P12, P13, P23 abbiamo P12=10 0 , P13=01 0 , P23=00 1 , P14=1−αα 0 , P24= 1−β 0 β , P34= 0γ 1−γ , e l’allineamento dei punti P14, P24, P34`e dato dalla condizione
det 0 1−β α γ 0 1−α 1−γ β 0 = 0 . D’altra parte l’allineamento dei punti medi
1 2P12+12P34= 12 1γ 1−γ , 12P13+12P24= 12 1−β 1 β , 12P23+12P14=121−αα 1 , e il loro allineamento `e dato dalla condizione
det 1 1−β α γ 1 1−α 1−γ β 1 = det 0 −β α−1 γ−1 0 −α −γ β−1 0 = 0 (che `e verificata per l’osservazione precedente).
Si vede facilmente che diversi quadrilateri piani completi hanno lo stesso triangolo diagonale. `E vero che il quadrilatero `e determinato dal triangolo diagonale e da un suo lato?
2.5.6. Problema: quadrangoli piani completi. La nozione precedente non `e da confondere con quella di quadrangolo piano completo, che `e formato da quattro punti in posizione generale (vertici), dalle sei rette (lati) che si ottengono congiungendo vertici, dai tre punti diagonali che si ottengono intersecando lati opposti (che supponiamo non paralleli), e dalle tre rette diagonali che congiungono punti diagonali.
Anche qui conviene fare un disegno, e si vede facilmente che diversi quadrangoli piani completi hanno lo stesso triangolo diagonale. `E vero che il quadrangolo `e determinato dal triangolo diagonale e da un suo vertice?
♠ 2.6. Definizione (rapporto semplice). Dati tre punti allineati X, A, B ∈ A, se X = λA+µB con λ+µ=1, definiamo
(A B X) := −µ λ .
Se ξ, α, β ∈ C sono le coordinate di A, B, X in un riferimento sulla retta che li contiene, allora (A B X) = ξ − α
ξ − β
(“rapporto tra le distanze”, anche se la terminologia `e abusiva, visto che non abbiamo ancora definito una nozione di distanza: `e tuttavia interessante notare che in Geometria Affine abbiamo un termine che tiene conto del rapporto tra termini che saranno definiti solo in Geometria Euclidea, a meno del segno).
Verifichiamo la seconda formula: siano P0 e P1 il riferimento scelto. Allora X = P0+ ξ(P1−P0), A = P0+ α(P1−P0), B = P0+ β(P1−P0). e possiamo ricavare
X = λA + µB = P0+ (λα+µβ)(P1−P0).
Quindi dall’uguaglianza ξ = λα+µβ insieme alla condizione λ + µ = 1, troviamo λ = α−βξ−β e µ = α−βα−ξ, da cui la formula voluta.
2.6.1. Osservazione sulla notazione. In molti testi classici vi sono notazioni diverse per il rapporto semplice: quello che qui indichiamo con (A B X) pu`e essere indicato con [X; A, B] o (X; A, B) per indicare che si usano i punti A, B come riferimento e le coordinate baricentriche di X in quel riferimento.
2.6.2. Un modo pi`u semplice, forse, per pensare al rapporto semplice `e il seguente: se X, A, B sono allineati, allora i vettori X−B e X−A sono dipendenti, e possiamo “definire” il loro “quoziente”
X−A
dipendenti (definire un “quoziente” per vettori qualsiasi in R2 porta alla struttura di C, per vettori in R3porta alla struttura dei quaternioni di Hamilton...)
Ebbene: siccome da X = λA+µB segue che X−B = λ(A−B) e X−A = −µ(A−B), abbiamo che il rapporto semplice `e proprio il quoziente di vettori
(A B X) = X−A
X−B (com’era prevedibile dalla formula in coordinate).
2.6.3. X `e il punto medio tra A e B sse (A B X) = −1.
2.6.4. Azione delle permutazioni. Il gruppo delle permutazioni su tre elementi (gruppo di ordine 6) agisce sull’ordine dei tre punti di un rapporto semplice dando sei possibili valori. Dati tre punti allineati A, B, C ∈ A, se (A B C) = %, allora:
(A B C) = % (B C A) =% − 1 % (C A B) = 1 1 − % (B A C) = 1 % (C B A) = % % − 1 (A C B) = 1 − %
(si lasciano le verifiche per esercizio). Come piccolo esercizio di teoria dei gruppi si pu`o notare che le sei funzioni razionali di % date da
%, 1 %, 1 − %, 1 1 − %, % % − 1, % − 1 % ,
formano un gruppo sotto l’operazione di composizione, e che tale gruppo `e isomorfo al gruppo delle permutazioni su tre oggetti. Lo stesso gruppo pu`o essere visto come sottogruppo delle trasformazioni di Moebius, o come sottogruppo delle matrici GL2(K)/ ± 1 formato dalle matrici
1 0 0 1 , 0 1 1 0 , 1 0 1 −1 , 1 −1 1 0 , −1 1 0 1 , 0 1 −1 1 , (serve che il campo K abbia caratteristica diversa da 2 e 3?).
2.6.5. Qualche combinazione.
Dati quattro punti allineati A, B, C, D ∈ A, abbiamo che (A B C) = (A D C)(D B C). Da questo, o direttamente, segue anche la relazione tra (A B X) e (A0B0 X): si ha
(A B X)(B B0X) = (A A0X)(A0B0 X) (che `e (A B0 X)).
Date due coppie di punti allineati A, B e X, Y risulta (A B X)(X Y B) = (A B Y )(X Y A), ovvero
(A B X)(B A Y )(X Y B)(Y X A) = 1. Date due terne di punti allineati A, B, C e X, Y, Z risulta
(A B Z)(C A Y )(B C X)(X Y C)(Z X B)(Z Y A) = 1.
♠ 2.7. Teorema (Ceva e Menelao). Sia dato un triangolo di vertici i punti A, B, C (non allineati); siano A0, B0, C0 tre punti rispettivamente sulle rette B ∨ C, A ∨ C, A ∨ B; allora:
(Menelao) A0, B0, C0 sono allineati se e solo se (A B C0)(B C A0)(C A B0)=1; (Ceva) A ∨ A0, B ∨ B0, C ∨ C0 sono in un fascio sse (A B C0)(B C A0)(C A B0)=−1.
A B C A0 B0 C0 A B C A0 B 0 C0 A B C A0 B0 C0
Dimostrazione. Siano A0 = αB + α0C, B0= βA + β0C, C0= γA + γ0B (con α + α0= β + β0= γ + γ0= 1), da cui (B C A0) = −α0/α, (C A B0) = −β/β0, (A B C0) = −γ0/γ.
Le coordinate baricentriche dei punti A0, B0, C0 nel sistema di riferimento dato da A, B, C sono date daα0 α0 , β 0 β0 ,γγ0 0
, rispettivamente, quindi i tre punti sono allineati se e solo se
det 0 β γ α 0 γ0 α0 β0 0 = αβ0γ + α0βγ0= 0 che equivale a αα0ββ0 γ0 γ = −1, come si voleva.
Le equazioni in coordinate baricentriche delle rette A ∨ A0, B ∨ B0, C ∨ C0 sono date dalle righe (0 α0 −α) , (β0 0 −β) , (γ0 −γ 0) , rispettivamente quindi le tre rette sono in un fascio se e solo se
det 0 α0 −α β0 0 −β γ0 −γ 0 = αβ0γ − α0βγ0= 0 che equivale a αα0ββ0 γ0 γ = 1, come si voleva.
2.7.1. Si osservi che il rapporto semplice nel campo reale `e positivo o negativo a seconda che il terzo punto sia esterno o interno ai primi due.
Quindi, come conseguenza del teorema di Menelao, si vede che se una retta taglia due lati di un triangolo in punti interni, deve tagliare il terzo lato in un punto esterno; cio`e non `e possibile che una retta tagli tre lati di un triangolo in punti interni ai lati, o anche uno solo.
Cosa si pu`o dire invece dal teorema di Ceva?
2.7.2. Nella situazione di Menelao, calcolare il rapporto semplice (A0 B0 C0) (in termini per esempio dei rapporti semplici usati nel teorema). Ha senso fare la stessa domanda nella situazione di Ceva, cio`e esiste un rapporto semplice tra tre rette di un fascio (attenzione: distinguere i casi di fasci propri e paralleli)?
2.7.3. Generalizzazioni. Generalizzare il teorema di Menelao per poligoni piani con n vertici: scegliendo un punto su ogni lato, sotto quale condizione questi punti risultano allineati?
Generalizzare il teorema di Menelao agli spazi affini di dimensione n: dato un riferimento affine P0, . . . , Pn, e un punto Ri in ogni retta Pi∨ Pi+1 (usando Pn+1= P0), sotto quali condizioni i punti Ri stanno su un iperpiano?
2.8. Problema: teorema di (iper)Talete. Dati tre iperpiani π0, π1, π2 paralleli a due a due distinti in uno spazio affine, e due rette r, s trasverse agli iperpiani, siano P0, P1, P2 e Q0, Q1, Q2
rispettivamente i punti di intersezione delle rette con i tre iperpiani.
π0 π1
π2
r
s
Allora abbiamo che (P0P1P2) = (Q0Q1Q2) ovvero che P2−P0
P1−P0 = Q2−Q0
Q1−Q0 .
Vale il viceversa, cio’`e `e vero che tre iperpiani distinti sono paralleli se e solo se per tutte le (per quante?) rette trasverse il rapporto semplice dei punti di intersezione `e costante?
Si osservi in particolare che il teorema di Talete `e affermazione puramente affine, cio`e non richiede nozioni di distanza o metrica.
2.8.1. E utile affrontare il problema sia in termini di calcolo vettoriale, o di calcolo baricentrico,` sia in termini di coordinate scegliendo un riferimento in cui iperpiani e rette abbiamo equazioni facili...
Per esempio si pu`o scegliere un riferimento in cui i tre piani paralleli abbiano equazioni cartesiane X1 = 0, X1 = 1, X1 = a e vedere che per ogni retta trasversa abbiamo punti per cui le coordinate X1sono rispettivamente 0, 1, a, e quindi rapporto semplice sempre (a − 0)/(a − 1) indipendente dalla retta.
Oppure, supponendo le rette r, s sghembe, possiamo ridurre il problema allo spazio di dimensione 3 generato dalle due rette, e usare i punti P0, P1, Q0, Q1 come riferimento, e imporre la condizione che il vettore differenza tra P2 = λ0P0+ λ1P1 (con λ0+ λ1 = 1, quindi (P0 P1 P2) = −λ1/λ0) e Q2= µ0Q0+ µ1Q1 (con µ0+ µ1= 1) appartenga allo spazio generato da P0− Q0e P1− Q1.
2.8.2. E possibile, e come, ridursi al caso classico del piano affine (tre rette parallele tagliate` da due trasversali...)?
2.8.3. Discutere in particolare il caso di due iperpiani paralleli tagliati dalle rette di una stella (di centro un punto esterno agli iperpiani). In questo caso vi `e anche una proporzionalit`a che riguarda i segmenti tagliati su ciascuno dei piani (questioni di triangoli simili).
2.9. Problema: teorema di Desargues affine. Dati due triangoli di vertici A, B, C e A0, B0, C0 in un spazio affine, se i lati omologhi sono paralleli (cio`e X ∨ Y `e parallelo a X0∨ Y0 per ogni X ∈ {A, B, C}), allora le rette per vertici omologhi A ∨ A0, B ∨ B0, C ∨ C0 sono in un fascio (proprio, cio`e sono concorrenti in un punto, oppure improprio, cio`e sono parallele).
Cosa si pu`o dire del viceversa? Per esempio: se le rette per vertici omologhi sono in un fascio, e due coppie di lati omologhi sono paralleli, allora anche la terza coppia lo `e...
2.9.1. Si pu`o dimostrare usando Talete?
2.9.2. Usando coordinate cartesiane, possiamo dimostrare che se due coppie di lati omologhi sono paralleli, allora la terza coppia lo `e se e solo se i triangoli sono prospettivi: possiamo usare un triangolo come riferimento affine, quindi A = 00, B = 1
0, C = 0
1, poi A0= xy, B0= xy0, C0 = yx0
(abbiamo imposto il parallelismo dei lati AB, A0B0e AC, A0C0). Ora la condizione di parallelismo per la terza coppia di lati `e det−1 y−y1 x0−x0
= 0, mentre la condizione di fascio per le tre rette sui vertici omologhi `e det
0 y −x
y −y x0−1 x y0−1 −x
= 0 (le tre righe sono le equazioni cartesiane delle tre rette), e si vede subito che si riducono entrambe a x0− x = y0− y, e quindi sono equivalenti.
2.9.3. In Geometria Proiettiva si vedr`a il vero teorema di Desargue, molto pi`u semplice ed elegante.
2.10. Problema: teorema di Pappo affine. Date due rette incidenti in un piano affine, e tre punti A, B, C e A0, B0, C0 su ciascuna retta, distinti tra loro e dal punto di intersezione, abbiamo che: se A ∨ C0 `e parallela a C ∨ A0 e A ∨ B0 `e parallela a B ∨ A0, allora anche B ∨ C0 `e parallela a C ∨ B0.
2.10.1. Cosa si pu`o invece dire se le coppie di rette evidenziate si intersecano?
2.10.2. Anche in questo caso, in Geometria Proiettiva si vedr`a il vero teorema di Pappo, molto pi`u semplice ed elegante.
♠♠ 2.11. Problema: assiomatica baricentrica per lo spazio affine. Trovare una
assiomatica per lo spazio affine (su un corpo di caratteristica diversa da 2) in cui l’operazione definita sia il calcolo baricentrico tra coppie di punti. Per esempio, definire lo spazio affine come un insieme A dotato di una mappa C × A × A → A che ad ogni (α, P, Q) con α ∈ C e P, Q ∈ A associa αP + α0Q punto di A (α0= 1 − α), soggetta ad alcune condizioni, quali:
(0) 1P + 0Q = P e 0P + 1Q = Q (azione di 1 e 0); (1) αP + α0Q = α0Q + αP (commutativit`a);
(2) distributivit`a sui punti β(αP + α0Q) + β0(γP + γ0Q) = (αβ + β0γ)P + (α0β + β0γ0)Q; (3) distributivit`a sui pesi β(αP + α0Q) + β0(αR + α0S) = α(βP + β0R) + α0(βQ + β0S);
(4) omogeneit`a: per ogni A, B, C ∈ A e per ogni α, β ∈ C esiste unico X ∈ A tale che αA + α0B = βC + β0X (automaticamente per tale X risulta X = 1
β0(αA + α0B) −ββ0C);
da cui poi ricavare la struttura di spazio vettoriale V delle traslazioni (come definire i vettori? classi di equivalenza di coppie di punti: V = (A × A)/ ∼ con (A, B) ∼ (B, C) se e solo se 1
2A +1 2B =1
2C +1 2D, questione di parallelogrammi, cio`e D = B + C − A = 2(12B +12C) − A... poi le operazioni...) e l’azione piena e fedele di V su A.