Spazi affini

1.1. Definizione (spazio affine). Uno spazio affine di dimensione n su un corpo C con spazio delle traslazioni V (spazio vettoriale di dimensione n su C) `e un insieme A (i cui elementi vengono detti punti) dotato di una azione di V:

A × V −→ A : (P, v) 7→ P +v soggetti ai seguenti assiomi:

(A1) nullitariet`a: P + 0 = P (per ogni P ∈ A);

(A2) associativit`a: (P + v) + w = P + (v + w) (per ogni P ∈ A e per ogni v, w ∈ V );

(A3) differenza di punti: per ogni coppia di punti P, Q ∈ A esiste un unico vettore v ∈ V tale che P + v = Q. (l’unico vettore v si scrive v = Q−P , sicch´e possiamo parlare di “differenza tra punti”).

1.1.1. Si osservi che (A3) chiede esistenza ed unicit`a del vettore v; in particolare da (A3) e (A1) segue che P + v = P (per qualche P ) implica v = 0. Dunque per ogni P vale che: P + v = P se e solo se v = 0.

Pi`u in generale si ha che P + v = P + w implica v = w e similmente P + v = Q + v implica P = Q. Questo permette di usare la simbologia algebrica con una certa sportivit`a: per esempio `e vero che (P + v) − (Q + w) = (P −Q) + v − w nel senso che entrambe le espressioni hanno senso (sono vettori) e che sono uguali, ma per dimostrare l’uguaglianza non si pu`o scrivere che sono uguali a P + v − Q − w che non ha significato; ma si pu`o vedere che sommate al punto Q + w danno lo stesso punto come risultato...

1.1.2. Di solito si riassume la definizione dicendo che A `e un insieme dotato di una azione fedele e transitiva di uno spazio vettoriale V , ove:

azione significa la funzione + : A × V → A nullitaria ed associativa; fedele significa: P + v = P (se e) solo se v = 0;

transitiva significa: per ogni coppia di punti P, Q ∈ A esiste un vettore v ∈ V tale che P + v = Q (la fedelt`a fa s`ı che v sia unico).

1.1.3. In modo equivalente si pu`o definire uno spazio affine di dimensione n su un corpo C con spazio delle traslazioni V come un insieme dotato di una mappa “differenza di punti”

A × A −→ V : (P, Q) 7→ Q−P

(A⁰1) P −P = 0 (per ogni P ∈ A);

(A⁰2) (Q−P ) + (P −R) = Q−R (per ogni P, Q, R ∈ A);

(A⁰3) per ogni punto P ∈ A e per ogni vettore v ∈ V esiste un unico punto Q ∈ A tale che v = Q−P . 1.1.4. Si noti che fissato arbitrariamente un punto P di A, l’applicazione insiemistica V → A che manda v in P + v `e una biiezione, la cui inversa A → V `e l’applicazione che manda Q in Q−P .

Quindi uno spazio affine `e sempre insiemisticamente in biiezione con il suo spazio vettoriale delle traslazioni, ma la biiezione non `e canonica: per ogni scelta arbitraria di un punto si ha una biiezione diversa. In un certo senso lo spazio affine pu`o essere visto come uno spazio vettoriale in cui si sono “dimenticate” alcune strutture (in particolare si dimentica che lo 0 `e un vettore con propriet`a particolari: negli spazi affini non vi sono punti privilegiati da usare come origine).

1.1.5. Ogni spazio vettoriale V `e uno spazio affine su s´e stesso (cio`e con spazio delle traslazioni V ) sotto l’operazione di somma. In particolare, quando lo spazio vettoriale standard V_n(C) viene visto come spazio affine su s´e stesso, si indica con il simbolo An

(C) (o anche An C).

♠ 1.2. Esempio importante: struttura dell’insieme dei complementari di un sot-tospazio vettoriale. Inseriamo qui un esempio che giustifica la generalit`<sup>a della definizione data</sup> di spazio affine. Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n e un suo sottospazio vettoriale W di dimensione m 6 n, consideriamo l’insieme A formato da tutti i sottospazi complementari di W , cio`e A = {U 6 V : U ∩ W =0 e U + W =V }. Che struttura ha l’insieme A?

Questo insieme `e uno spazio affine di dimensione m(n − m), e possiamo descrivere in due modi lo spazio delle traslazioni di A. La prima descrizione `e la seguente: lo spazio delle traslazioni `e lo spazio vettoriale HomC(V /W, W ), e l’azione sugli elementi di A si ottiene cos`ı: dato U ∈ A abbiamo un isomorfismo canonico U ∼= V /W , e quindi per ogni ψ : V /W → W abbiamo un’applicazione lineare ψ : U → W ; poniamo allora U + ψ = {u+ψ(u) : u∈U }, che si verifica facilmente essere un sottospazio di V complementare di W , e dunque un elemento di A.

La seconda descrizione permette di identificare uno strano sottospazio di Aut(V ). Consideriamo T = {ϕ ∈ Aut(V ) : ϕ|W=id_W e ϕ/W =id_{V /W}} cio`e l’insieme degli automorfismi di V che si restringono alla identit`a su W e che inducono il morfismo identico su V /W . La struttura di spazio vettoriale di T `e data usando la composizione di applicazioni (si noti che essa risulta commutativa) e la moltiplicazione per gli scalari definita da α·ϕ = idV + α(ϕ−idV). Pu`o essere pi`u facile vedere la struttura di T osservando che con una opportuna scelta dalla base di V , gli elementi di T sono rappresentati da matrici a blocchi del tipo^ Im F

On−m,m In−m



ove F ∈ Mm,n−m(C) (quest’ultima rappresenta un elemento ψ ∈ HomC(V /W, W )) e osservando come si comporta il prodotto tra matrici di questo tipo. Ora l’azione di ϕ ∈ T su U ∈ A `e data da U + ϕ = ϕ(U ).

1.3. Definizione (posizione generale di punti). Siano P0, P1, . . . , Pmpunti di uno spazio affine A con spazio delle traslazioni V di dimensione n. Essi si dicono “in posizione generale” o “in-dipendenti” se i vettori P1−P0, . . . , Pm−P0di V sono linearmente indipendenti (dunque in particolare m 6 n).

1.4. Definizione (riferimenti affini e coordinate). Sia A uno spazio affine su C con spazio delle traslazioni V di dimensione n. Un sistema di riferimento di A `e equivalentemente: (R) un insieme di n + 1 punti P0, P1, . . . , Pn di A in posizione generale;

(R⁰) un punto O di A e una base v1, . . . , vn di V .

Scelto un sistema di riferimento, ad ogni punto P di A restano associate le sue coordinate (x1, . . . , xn)^t (in quel sistema di riferimento) definite equivalentemente da

(R) P = P0+P

ixi(Pi−P0); (R⁰) P = O +P

ixivi.

Il passaggio da (R) a (R⁰) si ottiene definendo O = P0e vi= Pi−P0per i = 1, . . . , n. Il viceversa si ottiene definendo P0= O e Pi= P0+vi per i = 1, . . . , n.

1.4.1. Utilizzando le coordinate in un fissato riferimento affine, possiamo allora dire che i punti P0, P1, . . . , Pmsono in posizione generale se e solo se la matrice ( P1−P0 · · · Pm−P0) ∈ Mn,m(C) ha rango m, o anche se e solo se la matrice



1 1 · · · 1

P0 P1 · · · Pm



ha rango m + 1.

1.4.2. In particolare, per tre punti in un piano e usando le coordinate in un qualsiasi riferimento affine di quel piano, si ha che i punti sono allineati sse

det ( P₁−P₀ P₂−P₀) = 0 ovvero det  1 1 1 P₀ P₁ P₃  = 0 (annullamento di determinanti).

Generalizzare ad n + 1 punti in uno spazio affine di dimensione n: la condizione di appartenere ad (almeno) un iperpiano (cio`e, non essere in posizione generale) corrisponde all’annullamento di un determinante.

1.5. Definizione (sottospazi affini). Un sottinsieme del tipo P + W = {P + w : w ∈ W }

con P ∈ A e W un sottospazio vettoriale di V di dimensione m si dice una variet`a lineare affine (o sottospazio affine) di dimensione m di A; W si chiama lo spazio direttore.

1.5.1. Si noti che P + W = Q + W se e solo se Q−P ∈ W .

1.5.2. I punti di A sono sottospazi affini con spazio direttore nullo.

1.5.3. Le rette (risp. i piani) di A sono i sottospazi affini con spazio direttore di dimensione 1 (risp. 2).

1.5.4. _{Equazioni parametriche e cartesiane.} Una variet`a affine si descrive tramite equazioni parametriche: se w₁, . . . , w_m sono una base di W , allora ogni punto X di P + W si scrive

come X = P +P

iα_iw_i ove gli α_i∈ C sono i parametri.

Fissato un riferimento affine, se P ha coordinate (x₁, . . . , x_n)t, si pu`o esplicitare:        X1= x1+^X iαiwi,1 · · · X_n = x_n+^X iα_iw_i,n

Il sottospazio affine P + W si pu`o descrivere anche tramite un sistema di n−m equazioni lineari (rappresentazione cartesiana) che si ottengono dalla condizione

rk ( X−x w1 · · · wm) 6 m

(esiste una sottomatrice quadrata invertibile di ordine m: e allora basta annullare i determinanti di ordine m+1 contenenti quella sottomatrice). Equivalentemente si pu`o chiedere che

rk 1 1 0 · · · 0

X x w1 · · · wm



6 m + 1.

Viceversa un sistema lineare di m equazioni nelle incognite X = (X1, . . . , Xn) (che abbia soluzioni) determina un sottospazio affine di dimensione n − r ove r `e il rango comune delle matrici completa e incompleta. Il sistema di equazioni si dice minimale se `e composto esattamente da r equazioni. Risolvere il sistema equivale a trovare una rappresentazione parametrica per la variet`a lineare.

1.5.5. Una collezione di m+1 punti P0, P1, . . . , Pm di A in posizione generale determina una variet`a affine di dimensione m: la pi`u piccola variet`a affine contenente quei punti. Ha equazioni parametriche X = P0+P

iαi(Pi−P0) ed equazioni cartesiane date dalla condizione: rk ( X−P0 P1−P0 · · · Pm−P0) 6 m ovvero che rk 1 1 1 · · · 1 X P0 P1 · · · Pm  6 m + 1.

Si ricordi il principio dei minori orlati al fine di ricavare un sistema minimo di equazioni lineari, a partire dalle condizioni di rango.

1.5.6. In particolare nel caso di n punti in posizione generale in uno spazio affine di dimensione n, l’equazione dell’iperpiano generato da questi punti si ottiene da un determinante.

1.5.7. Una collezione di m+1 punti P₀, P₁, . . . , P_mdi A `e in posizione generale se e solo se ogni punto non appartiene al sottospazio affine generato dagli altri. Per esempio due punti distinti sono in posizione generale; tre punti non allineati sono in posizione generale; quattro punti non complanari sono in posizione generale.

1.6. Definizione (posizioni reciproche di sottospazi affini). Siano L = P + W e L⁰= P⁰+ W⁰; i due sottospazi si dicono

(1) incidenti se L ∩ L⁰6= ∅ (e l’intersezione `e un sottospazio affine); disgiunti in caso contrario; (2) paralleli se W ⊆ W⁰ o W⁰ ⊆ W ; in tal caso possono appartenersi (L ⊆ L0 risp. L⁰ ⊆ L) oppure

essere disgiunti;

(3) sghembi se sono disgiunti e W ∩ W⁰= 0.

1.6.1. Secondo la definizione, due punti sono sempre paralleli, ma non si dice.

1.6.2. Secondo la definizione, un punto `e parallelo a qualunque sottospazio affine, ma non si dice nemmeno questo.

1.6.3. Due rette sono parallele se e solo se i vettori generatori degli spazi direttori sono proporzionali. Questo si dice.

1.6.4. Una retta P + hvi `e parallela ad un piano Q + hw1, w2i se e solo se v ∈ hw1, w2i. Essa `e contenuta nel piano se inoltre P −Q ∈ hw1, w2i.

1.6.5. Esistono coppie di sottospazi affini che non sono n´e incidenti, n´e parallele, n´e sghembe: per esempio in A⁴C sia L definito da X1 = X2 = 0 e M definito da X1− 1 = X3 = 0. In A³C la situazione `e pi`u semplice: due sottospazi affini sono o incidenti o paralleli o sghembi.

1.6.6. Questioni antiche. `E quasi ovvio osservare che per ogni sottospazio affine L = P + W di A, e per ogni punto Q 6∈ L esiste un unico sottospazio affine passante per Q, parallelo e delle stessa dimensione con L (si tratta di Q + W ). Quindi nei nostri Spazi Affini vale sempre l’enunciato ”per ogni punto esterno ad una retta data passa una ed una unica retta parallela alla data”, equivalente al celebre “quinto postulato” di Euclide.

Facciamo solo notare che noi, nel prossimo capitolo e seguendo la terminologia moderna, useremo il termine “geometria euclidea” non per indicare la validit`a del postulato, ma per indicare Spazi Affini reali in cui si introduca una nozione di metrica (distanza tra punti, angoli, ortogonalit`a, tutte nozioni indotte arricchendo la struttura dello spazio vettoriale delle traslazioni).

1.7. Definizione (inf e sup di sottospazi affini). Siano L = P + W e L⁰ = P⁰+ W⁰ sottospazi affini di A; poniamo

(1) inf (o meet, o intersezione) di L e L⁰: L ∧ L⁰:= L ∩ L⁰ (massima sottovariet`a contenuta sia in L che in L⁰),

(2) sup (o join, o congiungente) di L e L⁰: L ∨ L⁰ := la minima sottovariet`a contenente L e L<sup>0</sup>. Quest’ultima si scrive come P +hP<sup>0</sup>−P, W, W0i (ovvero P0+hP −P<sup>0</sup>, W +W<sup>0</sup>i) in generale (in particolare se le variet`a sono disgiunte); per variet`a con intersezione non vuota, possiamo supporre P = P<sup>0</sup>e allora il sup `e dato da P⁰+ (W +W⁰).

Se vogliamo dire che l’intersezione di due sottovariet`a affini sia una sottovariet`a affine, dobbiamo accettare come tale anche l’insieme vuoto, e per convenzione si pone dimC∅ := −1 (poich´e zero `e la dimensione dei punti, che sono sottovariet`a affini con spazio direttore h0i di dimensione 0).

1.7.1. Con queste definizioni possiamo discutere meglio la situazione delle posizioni reciproche per due sottospazi affini:

(1) due rette distinte possono essere complanari (cio`e il sup essere un piano, che capita se e solo se sono incidenti o parallele), oppure sghembe (nel qual caso il sup `e spazio affine di dimensione 3); (2) due piani distinti possono avere sup di dimensione 3 (se e solo se sono incidenti o paralleli), oppure sup di dimensione 4 (nel qual caso non sono n´e incidenti, n´e paralleli, ma nemmeno sghembi: gli spazi direttori devono avere intersezione in uno spazio di dimensione 1), oppure sghembi (nel qual caso il sup `e spazio affine di dimensione 5);

(3) una retta e un piano che non la contiene? Possono generare uno spazio affine di dimensione 3 (se incidenti o paralleli) oppure 4 se sghembi;

(4) consideriamo due sottospazi distinti di dimensione 3: il sup pu`o avere dimensione 4 (se e solo se sono paralleli oppure incidenti in un piano), oppure dimensione 5 (se e solo se sono incidenti in una retta oppure disgiunti ma con spazi direttori che si intersecano in un piano), oppure dimensione 6 (se e solo se sono incidenti in un punto oppure disgiunti ma con spazi direttori che si intersecano in una retta), oppure dimensione 7 (se e solo se sono sghembi).

(5) una retta e uno spazio di dimensione 3 che non la contiene? (6) un piano e uno spazio di dimensione 3 che non lo contiene?

1.8. Teorema (grassmann affine). Risulta che:

dimC(L ∨ L⁰) + dimC(L ∧ L⁰) 6 dimCL + dimCL⁰

e vale l’uguaglianza se L e L⁰sono incidenti (oppure sghembe se poniamo dimC∅ := −1); se le variet`a sono disgiunte (in particolare se sono parallele) `e

dimC(L ∨ L⁰) + dimC(W ∩ W⁰) = dimCL + dimCL⁰+ 1.

Dimostrazione. Evidente dalla descrizione precedente e dalla formula di Grassmann per spazi vettoriali. Infatti, dimCL = dimCW e dimCL⁰ = dimCW⁰; ora:

se le due sottovariet`a sono incidenti abbiamo dimC(L ∨ L⁰) = dimC(W + W⁰) e dimC(L ∧ L⁰) = dimC(W ∩ W⁰), da cui la formula con l’uguaglianza;

se invece l’intersezione `e vuota abbiamo dimC(L∨L⁰) = dimC(W +W⁰)+1 (da cui segue la seconda uguaglianza) e dimC(L ∧ L⁰) = −1, dunque dimC(L ∨ L⁰) + dimC(L ∧ L⁰) = dimC(W + W⁰), da cui segue la disuguaglianza generale, e anche l’uguaglianza nel caso sghembo in cui dimC(W ∩ W⁰) = 0. 

1.8.1. E interessante notare che nel caso di intersezione vuota abbiamo sempre dim<sup>`</sup> <sub>C</sub>(L ∨ L<sup>0</sup>) = dimC(W + W<sup>0</sup>) + 1 e dimC(L ∧ L<sup>0</sup>) = −1, e non si tiene per nulla conto del termine W ∩ W<sup>0</sup> (direzioni comuni degli spazi direttori), la cui dimensione `e proprio la massima differenza tra i due termini dell’uguaglianza. Per esempio per due iperpiani paralleli e disgiunti in dimensione n, tale differenza `e esattamente n − 1, mentre per una retta e un iperpiano paralleli e disgiunti, la differenza vale 1.

1.8.2. Si osservi che la seconda formula `e particolarmente sgradevole, poich´e abbiamo dovuto ricorrere ad un termine, la dimensione dello spazio vettoriale W ∩ W<sup>0</sup> che non ha apparentemente corrispondente nello spazio affine. Si tratta di un termine che tiene conto delle “direzioni in comune” tra L ed L<sup>0</sup>, ma non corrisponde ad alcun punto dello spazio affine. Studiando la Geometria Proiettiva, questi termini saranno interpretati come “punti all’infinito” in comune alle variet`a date, e la formula assumer`a un aspetto molto pi`u naturale.

1.8.3. Comunque, sotto l’ipotesi che due sottospazi affini non siano paralleli, le formule di Grassmann possono essere usate per dedurre che se le loro dimensioni sono abbastanza grandi, allora devono essere incidenti. Scrivere un enunciato preciso di questo tipo.

Per garantire (condizione sufficiente, non necessaria) che l’intersezione di L ed L⁰ sia non vuota serve che W + W⁰ = V (nel qual caso certamente P − P⁰ ∈ V = W + W0). Dalla formula di Grassmann vettoriale questo `e garantito se dim<sub>K</sub>(W +W<sup>0</sup>) = dim<sub>K</sub>W +dim<sub>K</sub>W<sup>0</sup>−dim<sub>K</sub>(W ∩W<sup>0</sup>) > n (= dim<sub>K</sub>V ). Quindi detto r = dim<sub>K</sub>(W ∩ W<sup>0</sup>), che potremmo chiamare indice di parallelismo tra L ed L<sup>0</sup> (si tratta della massima dimensione di sottospazi affini contenuti in L ed L<sup>0</sup> e tra loro paralleli), abbiamo che se dim L + dim L<sup>0</sup> > n + r allora l’intersezione di L ed L<sup>0</sup>`e non vuota (e anzi `e sottospazio affine di dimensione r).

In particolare se r = 0 (sottospazi direttori con intersezione nulla), allora basta che dim L + dim L⁰> n per avere (esattamente) un punto di intersezione.

Se si vuole dare una condizione indipendente dal termine r, l’unico caso ovvio `e quello degli iperpiani: ogni iperpiano interseca tutti i sottospazi affini che non gli sono paralleli.

1.9. Sottospazi complementari. Due sottospazi affini L ed L⁰ si dicono complementari se sono sghembi (L ∧ L⁰= ∅ e l’intersezione degli spazi direttori `e nulla) e generano tutto lo spazio affine (L ∨ L<sup>0</sup> = A). In tal caso dimCL + dimCL<sup>0</sup> = n − 1 se n `e la dimensione di A (si noti che gli spazi direttori non generano tutto lo spazio vettoriale delle traslazioni).

1.9.1. Per esempio una retta ed un punto non appartenente ad essa sono complementari in un piano affine.

1.9.2. In uno spazio affine tridimensionale due rette sono complementari se e solo se sono sghembe. Un piano `e complementare ad un punto se e solo se il punto non appartiene al piano.

1.9.3. In uno spazio affine quadridimensionale una retta `e complementare ad un piano se e solo se retta e piano sono sghembi tra loro.

1.10. Collezioni di iperpiani affini (sottospazi affini di codimensione uno). Dati r iperpiani π₁, . . . , π_rin uno spazio affine A di dimensione n tali che π1∩ · · · ∩ π_rabbia dimensione n − r (equivalentemente: scelto qualsiasi riferimento, il sistema delle equazioni L1 _X¹
= 0, . . . , Lr _X¹
=

0 degli iperpiani risulta compatibile di rango r; si noti che L1, . . . , Lr ∈ M1,n+1(C)), allora: un iperpiano di A contiene π1∩ · · · ∩ πr se e solo se la sua equazione `e una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli delle equazioni di π1, . . . , πr (nel riferimento dato dev’essere quindi del tipo (α1L1+ . . . + αrLr) _X¹
= 0 ove α1, . . . , αr∈ C non tutti nulli).

Si tratta di una applicazione immediata del teorema di Rouch´e-Capelli: aggiungendo l’equazione del nuovo iperpiano il sistema ha esattamente le stesse soluzioni...

L’insieme di tutti gli iperpiani contenenti l’intersezione di π₁, . . . , π_rsi chiama collezione di iper-piani di centro π₁∩ · · · ∩ πr.

1.10.1. Nel piano affine si dice fascio di rette di centro un punto P l’insieme formato da tutte le rette contenenti quel punto; se P ha coordinate ^x_y
, ovvero equazioni X − x = 0 = Y − y, allora le rette del fascio hanno equazioni α(X − x) + β(Y − y) = 0 con α, β non entrambi nulli.

Date due rette distinte nel piano affine, se la loro intersezione `e un punto siamo esattamente nel caso descritto e le rette del fascio hanno equazioni date dalle combinazioni non nulle delle equazioni date; se invece le due rette sono parallele, le rette che si descrivono tramite combinazioni non nulle sono tutte e sole le rette parallele alle due date (segue ancora da Rouch´e-Capelli) e la loro collezione si dice un fascio di rette improprio; si dice ancora che queste rette hanno in comune “un punto all’infinito”. Date tre rette in un piano affine, la condizione di appartenere ad (almeno) un fascio si pu`o esprimere usando le equazioni cartesiane in un qualsiasi riferimento affine su quel piano, tramite l’annullamento del determinante della matrice completa del sistema di equazioni delle tre rette.

1.10.2. Nello spazio affine di dimensione 3 si dice fascio di piani di asse una retta r l’insieme formato da tutti i piani contenenti quella retta; se r ha equazioni L = 0 = M , allora i piani del fascio hanno equazioni αL + βM = 0 con α, β non entrambi nulli.

Dati due piani distinti nello spazio affine, se la loro intersezione `e una retta siamo esattamente nel caso descritto e i piani del fascio hanno equazioni date dalle combinazioni non nulle delle equazioni date; se invece i due piani sono paralleli, i piani che si descrivono tramite combinazioni non nulle sono tutti e soli i piani paralleli ai due dati e l’insieme si dice un fascio di piani improprio; si dice ancora che questi piani hanno in comune “una retta all’infinito”.

Come esprimere in un fissato riferimento la condizione per tre piani di appartenere ad un fascio? 1.10.3. Nello spazio affine di dimensione 3 si dice stella di piani di centro un punto P l’insieme formato da tutti i piani contenenti quel punto; se P ha coordinate^xy

z



, ovvero equazioni X − x = Y − y = Z − z = 0, allora le rette del fascio hanno equazioni α(X − x) + β(Y − y) + γ(Z − z) = 0 con α, β, γ non tutti nulli.

Dati tre piani distinti nello spazio affine, se la loro intersezione `e un punto siamo esattamente nel caso descritto e i piani della stella hanno equazioni date dalle combinazioni non nulle delle equazioni date; se invece i tre piani hanno intersezione vuota (ma non sono in un fascio improprio, ovvero non sono tutti a due a due paralleli), i piani che si descrivono tramite combinazioni non nulle sono tutti e soli i piani paralleli alla direzione comune ai tre dati e l’insieme si dice una stella di piani impropria; si dice ancora che questi piani hanno in comune “un punto all’infinito”.

Come esprimere in un fissato riferimento la condizione per quattro piani di appartenere ad una stella?

1.10.4. In uno spazio affine di dimensione 4 si possono definire fasci, stelle, reti (propri) di iperpiani, che sono collezioni di iperpiani di centri rispettivamente un piano, una retta, un punto e sono descritti usando rispettivamente due, tre e quattro parametri non tutti nulli.

Dati due, tre, quattro iperpiani, essi definiscono rispettivamente un fascio, una stella, una rete (propri) di iperpiani se la loro intersezione `e rispettivamente un piano, una retta, un punto. Se invece le intersezioni hanno dimensioni minori, si parla di fasci, stelle, reti impropri di iperpiani.

♠ 1.11.Collezioni di sottospazi affini. Allo stesso modo si potrebbe pensare di descrivere l’insieme dei sottospazi affini di dimensione r che contengono un fissato sottospazio affine di dimensione s < r descritto da n − s equazioni cartesiane (detto centro, intersezione di n − s iperpiani), oppure pi`u generalmente descrivere l’insieme dei sottospazi di dimensione s le cui equazioni si possono scrivere usando combinazioni lineari di n − s equazioni di iperpiani distinti.

Ci`o porta a descrivere l’insieme quoziente delle matrici di rango n − r in M<sub>n−r,n−s</sub>(C) sotto l’equivalenza per righe, cio`e l’azione di moltiplicazione a sinistra per matrici in GLn−r(C).

Il caso precedente (iperpiani) si ritrova usando righe non nulle modulo la relazione di proporzion-alit`a.

1.12. Problema. Siano r ed s due rette sghembe in uno spazio affine; si mostri che per ogni punto P appartenente a r ∨ s ma non a r ∪ s (attenzione!) esiste una unica retta t passante per P e complanare sia con r che con s (ovviamente, in due piani distinti...). Quando tale retta `e incidente o parallela con le due date? Per affrontare il problema, conviene ragionare identificando le condizioni a cui deve soddisfare t: dovendo passare per P e dovendo essere complanare con r, deve stare sul piano P ∨r (un piano?); per lo stesso motivo deve stare su P ∨s; ma allora deve essere l’intersezione di questi due piani, se l’intersezione `e una retta... Si noti che il ragionamento fatto d`a anche un procedimento facile per calcolare delle equazioni per la retta cercata: basta trovare le equazioni dei due piani, e per questi basta imporre al generico piano del fascio di asse r (risp. s) la condizione di passare per P .

Analogamente si pu`o costruire una unica complanare comune che abbia una fissata direzione. Generalizzare il problema per sottospazi di dimensioni superiori (retta e piano sghembi in dimen-sione 4, due piani sghembi in dimendimen-sione 5...).

1.12.1. `E un simpatico e classico esercizio il seguente: Date tre rette a due a due sghembe in uno spazio di dimensione tre, descrivere l’insieme formato dai punti dello spazio che appartengono a com-planari comuni alle tre rette, cio`e l’unione di tutte le complanari comuni alle tre rette date. Che di tali complanari ve ne siano `e chiaro: per ogni punto di una delle rette passa una complanare comune alle altre due, quindi... D’altra parte descrivendo con un parametro λ una retta, e usando la costruzione precedente troviamo che la complanare comune (dipendente da λ) si scrive come `1+ λ`2= 0

`3+ λ`4= 0 ^dove `i sono espressioni lineari delle coordinate dello spazio. Dunque i punti cercati (sono quelli che ap-partengono a una di queste rette per qualche λ ∈ C, cio`e quelli per cui esiste un λ ∈ C che soddisfa al sistema) sono caratterizzati dalla equazione di secondo grado det^`<sub>1</sub> `₂

`<sub>3</sub> `₄

 = 0.

Si osservi che un ragionamento del tipo: per ogni punto X imponiamo che i tre piani formati da X con le tre rette date siano coassiali (cio`e appartengano ad un fascio di asse una retta), porterebbe

Nel documento AG&LQ MaurizioCailottoAlgebraeGeometriaLinearieQuadratiche (pagine 181-188)