Definizione ed esempi fondamentali

1.0.1. Campi di base. Come esempi di campi bisogna sempre tener presente i seguenti: Q (razionali), R (reali), C (complessi), Fp= Z/p (campi primi finiti), K(X) (frazioni di polinomi) se K `e un campo.

1.1. Definizione (Spazio Vettoriale su un corpo). Uno spazio vettoriale su un corpo C (i cui elementi sono chiamati scalari, in questo contesto) `e il dato di un insieme V (i cui elementi sono detti vettori) dotato di due operazioni:

(S) somma di vettori: V × V −→ V : (v, w) 7→ v + w; (P ) prodotto per gli scalari: C × V −→ V : (α, v) 7→ αv; soggette ai seguenti assiomi:

(S) V con l’operazione di somma `e un gruppo commutativo (o abeliano); cio`e: (S1) esiste un elemento neutro 0 ∈ V tale che v + 0 = v = 0 + v (∀v ∈ V ); (S2) l’operazione `e associativa, u + (v + w) = (u + v) + w (∀u, v, w ∈ V ); (S3) l’operazione `e commutativa, v + w = w + v (∀v, w ∈ V );

(S4) ogni elemento ha opposto, (∀v)(∃w)v + w = 0 = w + v;

(P ) l’operazione di moltiplicazione per gli scalari soddisfa alle seguenti propriet`a: (P 1) unitaria: 1v = v (∀v ∈ V );

(P 2) associativa: α(βv) = (αβ)v (∀α, β ∈ C, ∀v ∈ V );

(P 3) lineare sugli scalari: (α + β)v = αv + βv (∀α, β ∈ C, ∀v ∈ V ); (P 4) lineare sui vettori: α(v + w) = αv + αw (∀α ∈ C, ∀v, w ∈ V ).

Si osservi che nella definizione abbiamo usato gli stessi simboli con significati diversi: per esempio il simbolo + denota sia la somma in V che la somma in C, il simbolo 0 denota sia lo zero di V (che potremmo chiamare 0V, se ci fossero possibilit`a di equivoco), sia lo zero di C (che potremmo chiamare 0C). Capiter`a spesso di incorrere in questi abusi di linguaggio allo scopo di rendere meno pedante il testo; il lettore `e invitato a riflettere e distinguere in ogni formula gli eventuali abusi.

A partire dalla definizione si pu`o trarre una piccola messe di risultati algebrici, quali per esempio: 1.1.1. Unicit`a dello zero. L’elemento 0 dello spazio vettoriale V `e unico; se infatti ve ne fossero due con la propriet`a (S1), diciamo 0 e 0⁰, avremmo 0 = 0 + 0⁰= 0⁰.

1.1.2. Unicit`a dell’opposto. Per ogni v ∈ V , l’elemento w tale che v + w = 0 `^{e unico; infatti,} se ce ne fossero due, w e w⁰, avremmo w = w + 0 = w + (v + w⁰) = (w + v) + w⁰ = 0 + w⁰ = w⁰.

1.1.3. Prodotti con zero. Per ogni v ∈ V abbiamo 0v = 0V (per esempio aggiungendo −0v alla uguaglianza 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v). Per ogni α ∈ C abbiamo α0_V = 0_V (similmente).

1.1.4. Relazione tra opposto e −1. Per ogni v ∈ V , l’opposto `e l’elemento (−1)v; infatti v + (−1)v = (1 − 1)v = 0v = 0. Di solito quindi scriveremo −v per indicare l’opposto di v.

1.1.5. Opposto dell’opposto. Risulta −(−v) = v; infatti (−v) + v = 0. Oppure −(−v) = (−1)(−1)v = v.

1.1.6. Si osservi in particolare che la commutativit`a della somma `e conseguenza degli altri assiomi, poich´e la mappa opposto `e omomorfismo di gruppo (come ogni moltiplicazione per scalari, essendo la moltiplicazione per −1). In modo pi`u esplicito: il vettore −(v + w) si pu`o determinare in due modi, uno `e quello generale (−w) + (−v) (somma degli opposti nell’ordine opposto), l’altro `e usando la moltiplicazione per −1, cio`e −(v + w) = (−1)(v + w) = (−1)v + (−1)w = (−v) + (−w). Per confronto (usando −v, −w invece di v, w) si conclude.

1.1.7. Leggi di cancellazione. Dalla uguaglianza v + w = u + w si deduce v = u; infatti basta sommare ad entrambi i lati dell’uguaglianza l’opposto di w. Da αv = αu con α ∈ C, α 6= 0 abbiamo v = u; infatti basta moltiplicare entrambi i membri per l’inverso di α in C. Da αv = βv con α, β ∈ C e v 6= 0 si ha α = β (perch´e?).

1.1.8. Legge di annullamento. Vale αv = 0 se e solo se α = 0 oppure v = 0. Come si possono dedurre le leggi di cancellazione da quella di annullamento?

Non insisteremo ulteriormente su questi piccoli risultati ed altri analoghi, che verranno d’ora in poi tacitamente usati.

1.2. Esempi Fondamentali. Diamo di seguito alcuni fondamentali esempi di spazi vettoriali; sono tutti estremamente importanti e verranno costantemente usati, quindi invitiamo il lettore ad uno studio accurato di questi casi.

1.2.1. Spazi vettoriali standard. L’insieme delle n-uple  x₁ .. . x_n ! : xi∈ C per i = 1, . . . , n 

si indica con V_n(C) o semplicemente Cn e si dice lo spazio vettoriale standard (di dimensione n) sul corpo C. La somma dei suoi elementi si definisce “componente per componente”, cio`e

se x = x₁ .. . xn ! e y = y1 .. . yn ! allora x + y = x1+y1 .. . xn+yn !

e il prodotto per gli scalari si definisce analogamente se x = x₁ .. . xn ! e α ∈ C allora αx = αx₁ .. . αxn ! .

Si verifica subito che le condizioni della definizione sono tutte soddisfatte; in particolare lo zero di Vn(C) `e la n-upla con tutte le componenti nulle (lo zero di C).

1.2.2. Polinomi. L’insieme dei polinomi in una variabile X e coefficienti in C si indica con C[X] ed `e dotato dalle usuali operazioni di una struttura di spazio vettoriale su C: somma e prodotto per gli scalari sono definiti da

se P (X) = n X i=0 α_iXⁱ e Q(X) = m X i=0 β_iXⁱ allora P (X) + Q(X) = max(n,m) X i=0 (α_i+ β_i)Xⁱ e se P (X) = n X i=0 α_iXⁱ e α ∈ C allora αP (X) = n X i=0 αα_iXⁱ

(ove si intende αi = 0 se i > n e βi = 0 se i > m). Si verificano subito le propriet`a richieste. Ricordiamo che nell’insieme dei polinomi `e definito anche un prodotto tra polinomi e una operazione di composizione, ma per il momento non ce ne occuperemo.

Ricordiamo anche che si dice grado di un polinomio il massimo esponente della variabile che ha coefficiente non nullo: se P (X) =Pn

i=0αiXⁱ allora deg P (X) = max{i : αi6= 0}.

Si osservi che deg(P (X) + Q(X)) 6 max(deg P (X), deg Q(X)) e vale l’uguale se deg P (X) 6= deg Q(X) (oppure se i polinomi hanno lo stesso grado e coefficienti del termine direttore non opposti).

1.2.3. Polinomi troncati. Il sottinsieme di C[X] formato dai polinomi di grado minore o uguale ad un fissato numero naturale n, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto per gli scalari, forma uno spazio vettoriale su C che verr`a indicato con C[X]_6n.

1.2.4. Serie formali. L’insieme delle serie in una variabile X e coefficienti in C si indica con C[[X]] ed `e dotato dalle usuali operazioni di una struttura di spazio vettoriale su C: somma e prodotto per gli scalari sono definiti esattamente come nel caso dei polinomi (le serie formali sono espressioni del tipo P (X) =P∞

i=0αiXi con i coefficienti αi ∈ C, ma le operazioni sono definite sempre usando somma e prodotto del corpo C). I polinomi sono le serie formali per cui i coefficienti sono “quasi tutti nulli”, che significa tutti nulli tranne che per un numero finito di indici.

1.2.5. Funzioni reali. Consideriamo l’insieme delle funzioni reali di variabile reale. Anche in questo caso possiamo definire una struttura di spazio vettoriale nel modo seguente:

se f : R → R e g : R → R allora f + g : R → R `e data da (f + g)(x) = f (x) + g(x) e

se f : R → R e α ∈ R allora αf : R → R `e data da (αf )(x) = αf (x) .

Di nuovo notiamo che l’insieme in questione `e dotato di una struttura algebrica pi`u ricca (ha anche operazioni di prodotto di funzioni e di composizione di funzioni), ma per il momento non ce ne occuperemo.

I sottinsiemi di questo spazio vettoriale dati dalle funzioni continue, derivabili, differenziabili fino ad un fissato ordine, periodiche di un fissato periodo, sono altrettanti esempi di spazi vettoriali reali. 1.2.6. Funzioni a valori in un corpo. Pi`u generalmente, consideriamo l’insieme delle funzioni da un fissato insieme X in C (corpo). Anche in questo caso possiamo definire una struttura di spazio vettoriale su C, sfruttando le operazioni di C, nel modo seguente:

se f : X → C e g : X → C allora f + g : X → C `e data da (f + g)(x) = f (x) + g(x) e

se f : X → C e α ∈ R allora αf : X → C `e data da (αf )(x) = αf (x) .

Di nuovo notiamo che l’insieme in questione `e dotato di una struttura algebrica pi`u ricca (ha anche l’operazioni di prodotto di funzioni), ma per il momento non ce ne occuperemo.

Quali esempi precedenti sono casi particolari di questo? Se usiamo insiemi finiti del tipo X = {1, 2, · · · , n} si ottengono essenzialmente gli spazi vettoriali standard. Se usiamo come insieme X = N allora otteniamo un insieme in corrispondenza biunivoca con le serie formali. Per ottenere invece i polinomi bisogna considerare le funzioni di N in C che sono quasi ovunque nulle, cio`e che sono nulle tranne che per un numero finito di indici.

Se usiamo insiemi finiti del tipo X = {1, 2, · · · , n} × {1, 2, · · · , m} si ottengono delle tabelle n × m di coefficienti in C, e si chiamano matrici con n righe ed m colonne a coefficienti in C, oppure matrici n × m in C. Il caso m = 1 d`a gli spazi vettoriali standard, il caso n = 1 d`a uno spazio di vettori-riga o covettori, il caso n = m d`a le matrici quadrate, il caso n = m = 1 d`a il campo di base.

Si generalizzi, parlando delle funzioni a valori in uno spazio vettoriale.

1.2.7. Numeri complessi come spazio vettoriale reale. Il corpo C dei numeri complessi pu`o essere visto come spazio vettoriale su R tramite le usuali operazioni di somma di numeri complessi e prodotto di numeri reali con numeri complessi.

1.2.8. _{Esempio esoterico.} Consideriamo come campo R, come insieme V = R>0 (reali positivi) e come somma l’usuale prodotto in R>0, e come prodotto dello scalare α ∈ R con il vettore v ∈ R>0 l’elevamento a potenza v^α (ben definito perch´e la base `e reale positivo). Si tratta di una struttura di R-spazio vettoriale su V = R>0.

1.2.9. Non-esempio. Consideriamo come campo R, come insieme V = R (numeri reali) e come somma l’usuale somma in R, e come prodotto dello scalare α ∈ R con il vettore v ∈ R il valore αv := 0 (sempre nullo). Non si tratta di una struttura di R-spazio vettoriale su V , ma si noti che l’unica propriet`a non verificata `e l’unitariet`a (tutte le altre sono banalmente verificate).

1.3. Spazi prodotto. Siano V e W spazi vettoriali sullo stesso corpo C; il prodotto cartesiano V × W (l’insieme delle coppie ordinate (v, w) con v ∈ V e w ∈ W ) viene dotato della seguente

struttura di spazio vettoriale su C, definita “componente per componente”: somma (v, w) + (v⁰, w⁰) = (v + v⁰, w + w⁰) e prodotto per scalari α(v, w) = (αv, αw). L’elemento neutro di V × W risulta subito essere (0, 0) = (0V, 0W).

L’osservazione si generalizza ad un numero finito di spazi. Notare che gli spazi vettoriali standard sono esattamente il prodotto del corpo C con s´e stesso n volte.