Teoria di Hamilton-Cayley e sottospazi stabili

Per avere una comprensione pi`u approfondita della classe di similitudine di una matrice, e di come scegliere un rappresentante semplice per quella classe, bisogna capire meglio la relazione tra polinomi e matrici, ovvero capire la sottoalgebra delle matrici generata da una fissata matrice. La teoria di Hamilton-Cayley fa vedere come alcune fattorizzazioni di polinomi che annullano la matrice diano luogo a una decomposizione dello spazio in sottospazi stabili per la trasformazione lineare, e quindi alla possibilit`a di scrivere matrici a blocchi simili a quella data.

4.1. Teorema (Hamilton-Cayley). Consideriamo le applicazioni di C-algebre vA: C[X] −−−→ Mn(C) e vϕ: C[X] −−−→ EndC(V )

(“valutazione in A” e “valutazione in ϕ”) definita mandando ogni polinomio P (X) nella matrice P (A) ottenuta sostituendo X con A e nell’endomorfismo P (ϕ) ottenuta sostituendo X con ϕ.

Abbiamo allora p_A(A) = 0 e p_ϕ(ϕ) = 0, cio`e v_A(p_A(X)) = 0 e v_ϕ(p_ϕ(X)) = 0. In altri termini, il polinomio caratteristico annulla la corrispondente matrice (o il corrispondente endomorfismo), ovvero

il polinomio caratteristico appartiene al nucleo della mappa di valutazione della sua matrice (o del corrispondente endomorfismo).

Dimostrazione. ^{Vi sono varie dimostrazioni possibili per questo risultato. Cominciamo da} una dimostrazione sbagliata:

pA(A) = det(AIn− A) = det(On) = 0 ; dov’`e lo sbaglio?

Dimostrazione usando la triangolarizzabilit`a. Si osservi che possiamo sostituire il corpo C con una sua estensione C⁰ senza che siano alterati la matrice ed il polinomio caratteristico. Dunque possiamo supporre che C contenga tutte le radici di p_A(X), e di conseguenza che A sia triangolarizzabile. Siano allora p_A(X) = Q

i(X − α_i) il polinomio caratteristico di A, e P una matrice invertibile tale che P⁻¹AP = T matrice triangolare superiore avente sulla diagonale ordinatamente gli elementi α1, . . . , αn. Definiamo Vi = he1, . . . , eii i sottospazi di V = Vn(C) generati dai primi i vettori della base canonica (dunque V0 = 0 e Vn = V ). Notiamo allora che si ha (T − αi)Vi ⊆ Vi−1 per ogni i = 1, . . . , n. Abbiamo allora pT(T )V = (T − α1) · · · (T − αn−1)(T − αn)Vn ⊆ (T − α₁) · · · (T − α_n−1)V_n−1 ⊆ · · · ⊆ (T − α1) · · · (T − αi)Vi ⊆ · · · ⊆ (T − α1)V1= 0

da cui concludiamo che pT(T ) = 0. Di conseguenza pA(A) = pA(P T P⁻¹) = P pT(T )P⁻¹ = 0, come si voleva.

Dimostrazione usando il calcolo con matrici polinomiali. Osserviamo prima che se pA(X) = P ip_iXi allora pA(X)In− pA(A) =^X i pi(Xⁱ_In− Ai) =^X i

pi(XIn− A)(Xi−1

In+ Xⁱ⁻²A + · · · + XAⁱ⁻²+ Aⁱ⁻¹) = (XIn− A)^X

i

pi(Xⁱ⁻¹_In+ Xⁱ⁻²A + · · · + XAⁱ⁻²+ Aⁱ⁻¹) = (XIn− A)Q(X)

ove Q(X) `e un polinomio a coefficienti in Mn(C). Ora usando la matrice dei complementi algebrici di (XIn− A) abbiamo

pA(A) = pA(X)In− (XIn− A)Q(X) = (XIn− A)(XIn− A)c

− (XIn− A)Q(X) = (XIn− A)((XIn− A)c− Q(X))

= (XIn− A)R(X)

ove R(X) `e un polinomio a coefficienti in Mn(C). Siccome sul lato sinistro abbiamo una matrice a coefficienti in C, si deduce che R(X) = 0 (perch´e?), e dunque anche pA(A) = 0. 

4.1.1. Una piccola applicazione del teorema di Hamilton-Cayley `e la seguente: se la matrice A `e invertibile, allora la matrice inversa si scrive polinomialmente in A, ovvero esiste un polinomio F (X) tale che A⁻¹= F (A). Perch´e?

In particolare, per matrici d’ordine 2 abbiamo A⁻¹= det(A)⁻¹(tr (A) − A).

4.2. Consideriamo ora in generale l’applicazione di valutazione in A, cio`e la funzione v<sub>A</sub> : C[X] −−→ M<sub>n</sub>(C) definita dalle propriet`a di rispettare somma e prodotto e di mandare X in A; abbi-amo gi`a detto che `e una applicazione di C-algebre (cio`e `e C-lineare e rispetta identit`a e prodotto). Si osservi per inciso che l’immagine dell’algebra dei polinomi tramite vA d`a luogo ad una sottoalgebra

commutativa dell’algebra delle matrici, e quindi non pu`o essere una funzione suriettiva. L’immagine si indica con C[A] (matrici polinomiali in A): come caratterizzarla?

4.2.1. Inoltre, che l’applicazione lineare v_A debba avere un nucleo non banale discende a priori da una pura considerazione sulle dimensioni: dim_CC[X] = ℵ₀ > n2 = dim_CEnd_C(V ): esplicitare l’argomento.

4.2.2. Anche se il dominio `e di dimensione infinita (e il nucleo anche, in effetti, poich´e il codominio ha dimensione finita), possiamo applicare il primo teorema di isomorfismo e dire che C[A] `e isomorfa al quoziente C[X]/ ker(vA), che `e pi`u facile da studiare; sapendo che C[X] `e anello ad ideali principali, il nucleo ker(vA) dev’essere generato da un unico polinomio monico.

4.3. Definizione (polinomio minimo). Il polinomio minimo di A (o di ϕ) `e il generatore monico dell’ideale ker(v_A) di C[X] formato dai polinomi che annullano A (o ϕ). Si indica con m_A(X) (o m_ϕ(X)). Il teorema di Hamilton-Cayley dice allora che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico: m_A(X)|p_A(X).

4.3.1. Il polinomio minimo `e quindi l’unico polinomio monico di grado minimo che annulla la matrice.

4.3.2. Si pu`o subito dimostrare in effetti che polinomio caratteristico e polinomio minimo hanno le stesse radici in (una chiusura algebrica di) C (quasi subito: per l’implicazione non banale, per ogni autovalore si consideri un suo autovettore, e si mostri che non pu`o essere annullato da alcun polinomio, calcolato nella matrice, che non abbia tra le radici proprio l’autovalore), e il teorema di Hamilton-Cayley dice che le molteplicit`a algebriche sono minori o uguali per il polinomio minimo rispetto a quello caratteristico.

4.3.3. `E anche facile, una volta noto il polinomio minimo di A, discutere la struttura di C-algebra di C[A]: essa `e infatti isomorfa alla struttura del quoziente C[X]/(m_A(X)). Per esempio: vi sono divisori di zero se e solo se il polinomio minimo non `e irriducibile in C[X], vi sono elementi nilpotenti se e solo se il polinomio minimo contiene fattori ripetuti di C[X], C[A] `e integra se e solo se m_A(X) `e irriducibile (e in tal caso `e un corpo). Il secondo criterio di diagonalizzabilit`a permetter`a di legare queste proporiet`a a propriet`a della matrice A.

4.3.4. Esempi. Le matrici triangolari^{1 0 0}1 0 1  ,^{1 1 0}1 0 1  ,^{1 1 0}1 1 1 

hanno polinomio caratteristico (X − 1)3 e polinomi minimi rispettivamente X − 1, (X − 1)2, (X − 1)3.

Le matrici ^{1 0}1 ⁰0 −1  , ^{1 1}1 ⁰0 −1  , ^{1 1}1 ⁰1 −1 

, hanno polinomio caratteristico (X − 1)2(X + 1) e polinomi minimi rispettivamente (X − 1)(X + 1), (X − 1)2(X + 1), (X − 1)2(X + 1).

4.4. Problema. Mostrare in almeno tre modi diversi che se ϕ : V → V `e diagonalizzabile, e W `e sottospazio stabile per ϕ (cio`e ϕ(W ) ⊆ W ), allora ψ = ϕ<sub>|W</sub> `e diagonalizzabile come endomorfismo di W . Un metodo chiaramente usa il polinomio minimo. Tuttavia conviene anche cercare di risolvere il problema ragionando sugli autospazi di ϕ, e come questi possono intersecare un sottospazio stabile per ϕ...

`

E molto pi`u facile osservare che sotto la stessa ipotesi anche ϕ/W , endomorfismo di V /W , `e diagonalizzabile. `E vero o falso che se per un sottospazio stabile W abbiamo che ϕ<sub>|W</sub> e ϕ/W sono diagonalizzabili, anche ϕ `e diagonalizzabile?

4.5. Definizione (sottospazi stabili). Sia ϕ un endomorfismo di V , e sia W un sottospazio di V ; W si dice stabile per ϕ o ϕ-stabile se ϕ(W ) ⊆ W .

4.6. Teorema (di decomposizione). Sia ϕ un endomorfismo di V , e sia F (X) ∈ C[X] un polinomio tale che F (ϕ) = 0. Se F = F1· · · Fr con F1, . . . , Fr ∈ C[X] non costanti a due a due coprimi, allora posto VFi= ker Fi(ϕ) per ogni i risulta

V = VF₁⊕ · · · ⊕ VF_r

e ogni VF_i `e spazio ϕ-stabile (decomposizione dello spazio in sottospazi ϕ-stabili).

Dimostrazione. ^{Per induzione su r; il caso importante da trattare `e evidentemente r =} 2, che permette facilmente anche il passo induttivo. Sia allora F (X) = F1(X)F2(X), ed essendo

F1(X) ed F2(X) polinomi in C[X] coprimi, troviamo polinomi G1(X) e G2(X) in C[X] tali che F1(X)G1(X) + F2(X)G2(X) = 1. Calcolando in ϕ si ottiene

F₁(ϕ)G₁(ϕ) + F₂(ϕ)G₂(ϕ) = id_V = G₁(ϕ)F₁(ϕ) + G₂(ϕ)F₂(ϕ).

Dimostriamo allora che VF₁ e VF₂ hanno intersezione nulla: se v ∈ V appartiene all’intersezione allora v = idV(v) = G1(ϕ)F1(ϕ)(v) + G2(ϕ)F2(ϕ)(v) = 0 + 0 = 0.

Mostriamo che V = VF₁+ VF₂: ogni v ∈ V si scrive come somma v = idV(v) = F1(ϕ)G1(ϕ)(v) + F2(ϕ)G2(ϕ)(v)

e posto v₁= F₂(ϕ)G₂(ϕ)(v) e v₂= F₁(ϕ)G₁(ϕ)(v) vediamo subito (poich´e 0 = F (ϕ) = F₁(ϕ)F₂(ϕ) =

F₂(ϕ)F₁(ϕ)) che v₁∈ V_F1 e v₂∈ V_F2. 

4.6.1. Si osservi che anche un ragionamento diretto, non induttivo, poteva dare lo stesso risultato. Lo si espliciti secondo queste linee: Sia Qi = Πj6=iFj; allora i Qi sono un insieme coprimo ed esistono polinomi Hi tali che ΣiQiHi = 1. Applicando a ϕ e ad un vettore v troviamo che v = id_V(v) = Σ_iQ_i(ϕ)H_i(ϕ)v e ponendo v_i = Q_i(ϕ)H_i(ϕ)v abbiamo che v = Σ_iv_i e v_i ∈ VFi (F_i(ϕ)v_i = F_i(ϕ)Q_i(ϕ)H_i(ϕ)v = F (ϕ)H_i(ϕ)v = 0). D’altra parte, come prima sappiamo che V_Fi∩ VFj = 0 se i 6= j.

4.6.2. Caso del polinomio caratteristico. Applicando in particolare il teorema al poli-nomio caratteristico otteniamo che se pϕ(X) = Πipi(X) `e una sua fattorizzazione in fattori a due a due coprimi, allora V `e la somma diretta dei sottospazi Vpi = ker pi(ϕ), ciascuno dei quali ha di-mensione dim_CV_pi = deg p_i(X) pari al grado (come polinomio in X) del fattore p_i(X) (perch´e? si osservi che il polinomio caratteristico di ϕ ristretto a V_pi non pu`o contenere altri fattori che quelli di p<sub>i</sub>(X), essendone annullata, e d’altra parte il prodotto di tali polinomi caratteristici deve ricostruire il polinomio caratteristico di ϕ). In particolare, per ogni autovalore λ di molteplicit`a m si deduce che esso compare nel polinomio minimo con un esponente l che `e il minimo intero positivo per cui dim<sub>C</sub>ker(ϕ − λid<sub>V</sub>)l= m (al massimo `e proprio m).

4.7. Teorema (secondo criterio di diagonalizzabilit`a). <sup>Una matrice A `e simile (in</sup> C) a una matrice in forma diagonale se e solo se ha tutti i suoi autovalori in C e il polinomio minimo si fattorizza in C[X] con fattori lineari distinti (cio`e non ha radici multiple). Un endomorfismo ϕ `e diagonalizzabile su C se e solo se il suo polinomio minimo si fattorizza in C[X] con fattori lineari distinti.

Dimostrazione. <sup>Il “solo se” `e facile: se A `e diagonalizzabile su C, allora sappiamo gi`a che</sup> ha tutti i suoi autovalori in C, ed `e chiaro (guardando per esempio alla matrice diagonalizzata, che nella diagonale principale ha esattamente gli autovalori distinti λ1, . . . , λr, ripetuti ciascuno con la rispettiva molteplicit`a) che il prodottoQ

i(A−λiIn) = 0, e dunque il polinomio minimo ha fattori al pi`u lineari.

Viceversa, supponiamo che il polinomio minimo si fattorizzi con fattori lineari mA(X) =Q

i(X−λi) con λi 6= λj se i 6= j; per il teorema di decomposizione abbiamo che Vn(C) =L

iVλi(A), ove ricor-diamo che V_λi(A) = ker(A−λ_iIn) sono gli autospazi di A, e dunque di dimensioni rispettive N (λ_i). Dalla decomposizione abbiamo allora

X i M (λ_i) = n = dim_CV_n(C) =^X i dim_CV_λi(A) =^X i N (λ_i)

e poich´e M (λi) > N (λi) per ogni i, trattandosi di quantit`a positive, concludiamo che M (λi) = N (λi) per ogni i, e dunque la matrice `e diagonalizzabile per il primo criterio (si poteva usare anche il criterio banale di diagonalizzazione, una volta che lo spazio era decomposto in somma diretta dei vari

autospazi). 

4.8. Decomposizione spettrale. Vi `e una interessante descrizione-caratterizzazione geomet-rica dei morfismi diagonalizzabili in termini di proiezioni: una matrice A ∈ M<sub>n</sub>(C) `e diagonalizzabile su C se e solo se essa si scrive come somma A =P

iλ_iA_i dove i λ_i ∈ C sono gli autovalori (distinti) di A, e le A_i sono matrici di proiettori complementari, cio`eP

iA_i= I e AiA_j= δ_i,jA_i. Tali scritture si dicono decomposizioni spettrali. Usando gli interpolatori di Lagrange (dove si sono visti?) f_i(X) relativi agli autovalori λi, si ha Ai = fi(A).

In termini di endomorfismi: ϕ `e diagonalizzabile se e solo se `e combinazione lineare (secondo i suoi autovalori) delle proiezioni complementari sui propri autospazi nella direzione degli altri.

♠ 4.9. Il seguito del paragrafo `e dedicato ad uno studio preciso dei sottospazi stabili, e delle loro relazioni con i polinomi divisori del polinomio minimo; si tratta di argomenti che possono essere saltati in prima lettura, e anche nelle eventuali successive.

4.9.1. _{Proposizione (polinomi e sottospazi stabili).} Sia F = F (X) ∈ C[X] un

polinomio non costante; allora il sottospazio VF = ker F (ϕ) `e un sottospazio di V stabile per ϕ; inoltre se abbiamo due polinomi F, F⁰ ∈ C[X] e F |F0 (F divide F⁰) allora VF ⊆ VF0.

Viceversa, se W `e un sottospazio ϕ-stabile, possiamo associargli il polinomio minimo della re-strizione di ϕ a W , sia mW (che `e un divisore del polinomio minimo di ϕ); se W ⊆ W⁰allora mW|mW0

(mW divide mW0 in C[X]).

Dimostrazione. Formale. 

4.9.2. Teorema (Struttura dei sottospazi stabili?). Per ogni polinomio F = F (X) ∈ C[X] risulta che m_WF|F (il polinomio minimo di ϕ ristretto a ker F (ϕ) divide F ) e per ogni sottospazio stabile W risulta che V_mW ⊇ W (W `e contenuto nello spazio ϕ-stabile associato al polinomio minimo di ϕ ristretto a W ).

Ne segue che abbiamo una biiezione tra i seguenti due insiemi: (1) polinomi della forma mW ove W `e un sottospazio ϕ-stabile;

(2) sottospazi di V della forma WF ove F `e un polinomio non costante (che si pu`o supporre un divisore monico del polinomio minimo di ϕ).

Dimostrazione. ^{La seconda parte segue formalmente dalle prime due osservazioni e dal} seguente risultato generale:

Siano A e B due insiemi ordinati (significa per A che `e data una relazione, scritta di solito 6, che `e riflessiva (a 6 a per ogni a ∈ A), transitiva (se a 6 a⁰ e a⁰6 a⁰⁰ allora a 6 a⁰⁰per ogni a, a⁰, a⁰⁰∈ A) e antisimmetrica (se a 6 a⁰ e a⁰6 a allora a = a⁰ per ogni a, a⁰∈ A) e similmente per B). Siano date due funzioni ordinate f : A → B e g : B → A (significa che da a 6 a⁰ segue f (a) 6 f (a⁰), e similmente per g) tali che gf (a) 6 a per ogni a ∈ A e b 6 f g(b) per ogni b ∈ B. Allora f e g inducono biiezioni una inversa dell’altra tra gli insiemi im (g) ⊆ A e im (f ) ⊆ B.

Si tratta in effetti di una conseguenza delle seguenti due facili osservazioni: f gf (a) = f (a) per ogni a ∈ A (perch´e da gf (a) 6 a segue che f gf (a) 6 f (a), mentre da b 6 f g(b) per b = f (a) segue f (a) 6 f gf (a), da cui l’uguaglianza per antisimmetria) e gf g(b) = g(b) per ogni b ∈ B (argomento simile). Dunque f e g sono inverse l’una dell’altra quando applicate ad elementi della forma g(b) e

f (a) rispettivamente. 

4.9.3. Nota. Si osservi che gli insiemi identificati dal teorema sono finiti (sono finiti i divisori monici possibili di un polinomio), ma non tutti i sottospazi stabili per ϕ compaiono necessariamente nella forma VF per qualche F (infatti i sottospazi stabili potrebbero anche essere in numero infinito: quelli in biiezione con i divisori monici del polinomio minimo di ϕ sono quelli in qualche modo “satu-rati” tra i sottospazi stabili). Farsi degli esempi.

4.9.4. Problema. Ad ogni sottospazio ϕ-stabile W si pu`o associare anche il polinomio carat-teristico di ϕ ristretto a quel sottospazio, sia pW; `e ancora vero che se W ⊆ W⁰allora pW|pW0. Perch´e non l’abbiamo usato?

4.9.5. Esempio. Al polinomio minimo di ϕ corrisponde tutto lo spazio V . In effetti VF = V se e solo se F (ϕ) = 0, dunque se e solo se F `e un multiplo del polinomio minimo.

4.9.6. Problema. A cosa corrispondono MCD e mcm dei polinomi quando guardiamo agli spazi stabili associati (pensare a somma e intersezione di sottospazi)?

♠ 4.10. Problema (polinomio caratteristico inverso). Abbiamo definito il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A come pA(X) = det(X − A). Ora definiamo il polinomio caratteristico inverso di A come qA(X) = det(I − AX), ove I `e la matrice identica dell’ordine di A. Studiare il polinomio caratteristico inverso; in particolare:

(2) vale che qA(X) = XⁿpA(_X¹) e pA(X) = XⁿqA(_X¹); che relazione c’`e tra i coefficienti dei due polinomi?

(3) ha grado (in X) minore o uguale ad n, pari al rango di A (come trovare il rango di A dal polinomio caratteristico?); vale qA(0) = 1 (termine noto uno; e termine dominante?);

(4) la matrice A ha determinante nullo sse qA(X) ha grado minore dell’ordine di A; la matrice A `e invertibile sse q_A(X) ha grado pari dell’ordine di A;

(5) uno scalare non nullo α `e autovalore di A se e solo se il suo reciproco `e zero del polinomio caratteristico inverso, cio`e q_A(1/α) = 0;

(6) zero `e autovalore di A se e solo se il polinomio caratteristico inverso ha grado minore dell’ordine di A;

(7) se qA(X) = Pn

i=0biXi, allora bi = (−)i P

I⊆{1,...,n} |I|=i

det(AI) ove AI indica la sottomatrice di A ottenuta selezionando righe e colonne nel sottinsieme di indici I; cio`e il coefficiente di Xi `e la somma dei “minori principali d’ordine i di A”;

(7) quali coefficienti di q_A(X) danno traccia e determinante di A? (8) verificare l’uguaglianza qA(X) = exp(−P∞

i=1tr (Ai)^X_iⁱ) (nell’anello delle serie formali; sugg.: ricondursi al caso di matrice triangolare).

Sia ora A ∈ M_N(C) una matrice “quadrata” indiciata su N, e consideriamo le sottomatrici Andefinite per ogni n ∈ N dalle prime n righe e colonne di A. Che relazioni vi sono tra qA_n(X) e qA_n+1(X)? E per i polinomi caratteristici?