Spazi Vettoriali
6. Relazione di Grassmann
x1= α1w1,1+ α2w1,2+ . . . + αmw1,m x2= α1w2,1+ α2w2,2+ . . . + αmw2,m .. . xn = α1wn,1+ α2wn,2+ . . . + αmwn,m
al variare dei coefficienti α1, α2, . . . , αm∈ C. Queste espressioni si dicono equazioni parametriche per W , e gli αi si dicono i parametri.
Dato un tale sistema di equazioni parametriche, `e immediato ritrovare un sistema di generatori per W , che risulta una base se il numero di parametri era pari alla dimensione di W .
5.3.3. Descrizione tramite equazioni cartesiane. Dalle equazioni parametriche si pu`o procedere con il metodo di “eliminazione dei parametri”: si ricava un parametro dalla prima equazione (eventualmente cambiando l’ordine delle equazioni) e lo sostituisce nelle altre; gettando via la prima equazione si ottiene un sistema con una equazione in meno e un parametro in meno. Ripetendo il processo per tutti i parametri si ottiene un sistema di n − m equazioni (lineari omogenee) nelle coordinate x1, x2, . . . , xn che descrive la sottovariet`a W . Queste si dicono equazioni cartesiane per W . Dato un tale sistema di equazioni cartesiane (lineari omogenee), si pu`o risalire ad una descrizione parametrica, o tramite generatori, del sottospazio “risolvendo il sistema”, ovvero esplicitando quali sono tutte e sole le n-uple di coordinate che soddisfano a quel sistema.
5.3.4. Relazioni tra numero di generatori indipendenti, di parametri e di equazioni cartesiane. Seguendo bene i passaggi appena fatti si vede che la dimensione di W corrisponde al numero minimo di generatori necessario per descrivere il sottospazio, e anche al minimo numero di parametri necessari per le equazioni parametriche. Lo stesso spazio W `e invece descritto da equazioni cartesiane in numero minimo di n − m; questo numero viene spesso indicato come la codimensione di W in V (dipende da V , W e dal corpo C).
5.3.5. Esempi. Se V `e spazio vettoriale di dimensione n, allora:
(0) per descrivere il sottospazio nullo servono 0 generatori, 0 parametri, ovvero n equazioni (indipen-denti); si ricordi che h∅i = h0i = {0}, e che il vuoto ∅ `e base del sottospazio nullo.
(1) per descrivere una retta serve un generatore (non nullo), un parametro, ovvero n − 1 equazioni (indipendenti);
(2) per descrivere un piano servono due generatori (linearmente indipendenti), due parametri, ovvero n − 2 equazioni (indipendenti);
(3) per descrivere uno spazio (tridimensionale) servono tre generatori (linearmente indipendenti), tre parametri, ovvero n − 3 equazioni (indipendenti).
Si dice iperpiano invece un sottospazio definito da una equazione cartesiana, per descrivere il quale servono dunque n − 1 generatori (indipendenti), ovvero un sistema parametrico con n − 1 parametri.
6. Relazione di Grassmann.
6.1. Teorema (formula di Grassmann). Siano U1 ed U2 sottospazi vettoriali di V ; vale la seguente relazione:
dimCU1+ dimCU2= dimC(U1+ U2) + dimC(U1∩ U2) .
Dimostrazione. Scegliamo una baseU = {w1, . . . , wr} di U1∩ U2, e completiamola ad una baseU1= {w1, . . . , wr, u1, . . . , us1} di U1e ad una baseU2= {w1, . . . , wr, v1, . . . , vs2} di U2. Dunque con gli indici introdotti abbiamo che dimC(U1∩ U2) = r, dimCU1= r + s1 e dimCU2= r + s2. Di conseguenza basta dimostrare che dimC(U1+ U2) = r + s1+ s2, e per far questo basta trovare una base di U1+ U2con esattamente r + s1+ s2elementi.
Verifichiamo che l’insieme
(che ha esattamente quel numero di elementi) `e una base di U1+ U2. Che sia un insieme di generatori `e quasi ovvio, vista la relazione U1+ U2= hU1∪U2i, poich´e U1= hU1i e U2= hU2i.
Resta da verificare che si tratta di un insieme linearmente indipendente. Supponiamo α1w1+ · · · + αrwr+ β1u1+ · · · + βs1us1+ γ1v1+ · · · + γs2vs2 = 0 e vogliamo mostrare che tutti i coefficienti devono essere nulli. Scrivendo
α1w1+ · · · + αrwr+ β1u1+ · · · + βs1us1 = −γ1v1− · · · − γs2vs2
vediamo che si tratta di un vettore in U1∩ U2 (guardando il lato sinistro dell’uguaglianza vi vede che appartiene a U1, e guardando il lato destro che appartiene a U2). Allora deduciamo che esistono coefficienti δ1, . . . , δrtali che
δ1w1+ · · · + δrwr= −γ1v1− · · · − γs2vs2
ovvero
δ1w1+ · · · + δrwr+ γ1v1+ · · · + γs2vs2 = 0
da cui abbiamo γ1= · · · = γs2 = 0 trattandosi di una combinazione di elementi della baseU2 (anche δ1= · · · = δr= 0, ma non ci interessa). Tornando allora alla prima relazione abbiamo ora
α1w1+ · · · + αrwr+ β1u1+ · · · + βs1us1 = 0
da cui infine α1 = · · · = αr= β1 = · · · = βs1 = 0 trattandosi di una combinazione di elementi della
baseU1.
6.1.1. Esempio (intersezione di sottospazi). Una applicazione particolarmente interessante della formula di Grassmann `e la seguente: se due sottospazi hanno dimensione “abbastanza grande”, essi devono avere una intersezione non banale (cio`e diversa dal solo vettore nullo). Per esempio:
(a) due sottospazi di dimensione 2 in uno spazio di dimensione 3 devono intersecarsi almeno in una retta;
(b) due sottospazi di dimensione 3 in uno spazio di dimensione 4 devono intersecarsi almeno in un piano;
(c) in generale, due sottospazi di dimensione m1 ed m2 in uno spazio di dimensione n devono inter-secarsi in un sottospazio non banale se m1+ m2 > n, ed in tal caso la minima dimensione dello spazio intersezione `e m1+ m2− n.
6.1.2. Problema (somme dirette). Siano U1 ed U2 sottospazi vettoriali di V , e sia W = U1+ U2; i seguenti fatti sono equivalenti:
(1) dimC(U1+ U2) = dimCU1+ dimCU2
(2) U1∩ U2= 0; (3) W = U1⊕ U2;
(4) ogni elemento w ∈ W si scrive in modo unico come somma u1+ u2 con u1∈ U1 e u2∈ U2; (5) se u1+ u2= 0 con u1∈ U1 e u2∈ U2 allora u1= 0 = u2.
Estendere l’enunciato al caso di r spazi in somma diretta (attenzione!).
6.1.3. Problema. Come si pu`o generalizzare la formula di Grassmann avendo tre o pi`u sot-tospazi? In particolare dare un controesempio alla seguente formula (falsa):
dimC(U1+ U2+ U3)= dim!? CU1+ dimCU2+ dimCU3+
− dimC(U1∩ U2) − dimC(U1∩ U3) − dimC(U2∩ U3)+ + dimC(U1∩ U2∩ U3)
(osservare invece che la formula diventa vera sostituendo “sottospazi vettoriali di un fissato spazio, dimensione, somma di sottospazi, intersezione” con “sottinsiemi finiti di un fissato insieme, cardinalit`a, unione, intersezione” rispettivamente: si tratta allora di una delle formule di inclusione-esclusione).
7. Esercizi.
7.0. Consideriamo un primo p in Z e una sua potenza q = pr (si pu`o pensare r = 1, cio`e q = p per semplicit`a). Sappiamo che esiste un (unico) campo finito Fq che ha esattamente q elementi ed `e un campo di caratteristica p (cio`e l’unico morfismo di anelli da Z ha come nucleo l’ideale generato da p, ovvero Fq contiene Fp, o meglio una copia isomorfa).
Mostrare che Fq `e spazio vettoriale su Fp di dimensione r. Se q0 = pr0
, quando Fq `e spazio vettoriale su Fq0?
Consideriamo ora lo spazio vettoriale standard V = Vn(Fq) di dimensione n su Fq. Contare gli elementi rilevanti di V , in particolare:
(a) quanti vettori ci sono in V ?
(b) quante basi (ordinate) ci sono in V ?
(c) per ogni intero m fino a n: quanti sottospazi di dimensione m vi sono in V ? (d) quante coppie di sottospazi complementari ci sono in V ?
Se possibile fare dei disegni che illustrino il conteggio nei casi p = 2, 3, 5 con r = 1, 2. 7.1. Nel piano R2 consideriamo i vettori v = 1
2 e w = −1 1 . (a) mostrare che ogni vettore x = x1
x2 del piano si scrive in modo unico come combinazione lineare x = αv + βw (determinare i numeri reali α e β in funzione di x1ed x2);
(b) disegnare e caratterizzare (tramite equazioni o disequazioni) i sottoinsiemi di R2 formati dagli estremi finali dei vettori del tipo αv + βw ove α e β sono numeri reali soggetti alle seguenti condizioni: (C) α, β ∈ [0, ∞) (R) α + β = 1 (S) α + β = 1 con α, β ∈ [0, 1] (P ) α, β ∈ [0, 1] (T ) α + β 6 1 con α, β ∈ [0, 1] (X) α + β 6 1.
(c) specificare le relazioni di inclusione tra gli insiemi precedenti. 7.2. Nello spazio R3 consideriamo i vettori v =12
0 e w =−1−1 2 . (a) mostrare che un vettore x = xx12
x3
appartiene al piano generato da v e w se e solo se vale la relazione 4x1− 2x2+ x3= 0;
(b) descrivere i sottoinsiemi analoghi a quelli dell’esercizio precedente. 7.3. Nello spazio R3 consideriamo i vettori u =10
1 v =12 0 e w =−11 2 .
(a) verificare che sono linearmente indipendenti e risolvere in α, β, γ la relazione x = αu + βv + γw per un vettore x =xx12
x3
generico;
(b) disegnare e caratterizzare (tramite equazioni o disequazioni) i sottoinsiemi di R3 formati dagli estremi finali dei vettori del tipo αu + βv + γw ove α, β e γ sono numeri reali soggetti alle seguenti condizioni: (C) α, β, γ ∈ [0, ∞) (P i) α + β + γ = 1 (T r) α + β + γ = 1 con α, β, γ ∈ [0, 1] (P a) α, β, γ ∈ [0, 1] (T e) α + β + γ 6 1 con α, β, γ ∈ [0, 1] (X) α + β + γ 6 1.
(c) specificare le relazioni di inclusione tra gli insiemi precedenti. 7.4. Verificare che l’insieme dei vettori u = 12, v = 1
−1, w = 0
−1 e z = −2
2 di R2`e generatore, ed estrarne tutte le basi possibili di R2.
7.5. Verificare che l’insieme dei vettori u = 12 0 , v = 10 −1 , w =−10 1 , e z = −12 −2 di R3 `e generatore, ed estrarne tutte le basi possibili di R3.
7.6. Descrivere tramite equazioni il sottospazio di R4 generato dai vettori u = 1 0 2 0 , v = 1 0 −1 0 , w = 0 −1 1 1
(sono linearmente indipendenti?), e poi completare quest’insieme ad una base di R4. 7.7. Verificare che i sottinsiemi di R4formati dai vettori x =
x1 x2 x3 x4
soddisfacenti alle condizioni x1− x4 = 0 = x1+ x2 (sia U ) e x3− x4 = 0 = x2+ x3 (sia V ) sono sottospazi vettoriali, trovarne la dimensione evidenziando delle basi; calcolare poi l’intersezione trovandone una base. Trovare le equazioni del pi`u piccolo sottospazio vettoriale di R4 contenente sia U che V .
7.8. Siano v e w due vettori non nulli di uno spazio vettoriale V . Sotto quali condizioni i vettori v e αv + βw sono linearmente indipendenti?
7.9. Consideriamo lo spazio vettoriale reale delle applicazioni continue di R in s`e.
(a) vero che l’insieme formato dalle tre funzioni 1 (funzione costante), sin2 e cos2 `e linearmente dipendente?
(b) si consideri l’insieme {sin(nx) : n ∈ N, n 6= 0} ∪ {cos(nx) : n ∈ N} e si dimostri che `e un insieme linearmente indipendente;
(c) cosa dire dell’insieme {sin(α + nx) : n ∈ N, n 6= 0, α ∈ R}?
7.10. Sia V = K[X]64 lo spazio vettoriale su K dei polinomi di grado minore o uguale a 4. (a) qual `e la dimensione di V su K?
(b) esistono basi di V i cui elementi siano polinomi di grado 4?
(c) esistono basi di V i cui elementi siano polinomi di grado minore o uguale a 3? (d) esistono basi di V i cui elementi siano polinomi privi di termine noto?
7.11. Si determini se i sottoinsiemi di R3 formati dai vettori x =xx12
x3
soddisfacenti alle con-dizioni seguenti siano o meno sottospazi di R3:
(a) x21+ x22= x3 (b) |x1| = |x2| (c) x1+ x2= x3 (d) x1x2+ x2x3= 0 (e) x1+ x2− x3+ 1 = 0 (f ) x1− x2 2= 0 e x1= 0 (g) x1− x2x3= 0 e x1= 0
In ciascuno dei casi, cercare di disegnare l’insieme in questione.
7.12. Calcolare somma, intersezione (evidenziando basi e dimensioni) per i seguenti sottospazi di R4: (a) V = h 1 0 0 1 , 0 1 0 0 i e W = h 0 1 0 1 , 1 0 0 0 i. (b) V = h 1 1 1 0 , 1 0 0 1 i e W = h 1 1 1 1 , 0 0 1 1 i.
7.13. Sia V = K[X]64 lo spazio vettoriale su K dei polinomi di grado minore o uguale a 4. Consideriamo i seguenti sottinsiemi:
Vs= {f ∈ V : f (X) = f (−X)} e Va = {f ∈ V : f (X) = −f (−X)} . (a) mostrare che Vse Va sono sottospazi, trovarne delle basi e le dimensioni;
(b) `e vero che V = Vs⊕ Va?
(c) generalizzare sostituendo 4 con n generico.
7.14. Come l’esercizio precedente usando i sottoinsiemi U = {f ∈ V : f (X) = f (1 − X)} e W = {f ∈ V : f (X) = −f (1 − X)}.
7.15. Qual `e la minima dimensione di uno spazio vettoriale V tale che due suoi sottospazi di dimensione m1 ed m2si intersecano solo nel vettore nullo? Dare degli esempi per m1, m2= 1, 2, 3, 4. 7.16. Qual `e la massima dimensione di uno spazio vettoriale V tale che due suoi sottospazi di dimensione m1ed m2hanno intersezione sempre non banale? Dare degli esempi per m1, m2= 1, 2, 3, 4.
7.17. Sia Q(X) = c(X − α1)m1· · · (X − αr)mr un polinomio di grado n =Pr i=1miin V = K[X] e consideriamo l’insieme VQ= P (X) Q(X) : P (X) ∈ V con deg P (X) < n
(a) mostrare che VQ`e spazio vettoriale su K di dimensione n; (b) mostrare che l’insiemen(X−α1
i)ji : ji= 1, . . . , mi e i = 1, . . . , ro`e una base di VQ su K.
7.18. Siano u, v, w e z quattro vettori in Rntali che i loro estremi siano i quattro punti consecutivi di un parallelogramma.
(a) interpretare la condizione data in termini dei vettori; (b) mostrare che (v − u) − (w − u) + (z − u) = 0; (c) verificare che u +1
2(w − u) = v +1
2(z − v) e dare l’interpretazione geometrica dell’uguaglianza. 7.19. Si consideri l’insieme R>0 dei numeri reali strettamente positivi, dotato delle seguenti operazioni: la “somma” di due numeri sia il loro prodotto, il prodotto scalare del reale α ∈ R per l’elemento r ∈ R>0 sia rα. Dimostrare che R>0 con queste operazioni `e uno spazio vettoriale reale il cui vettore nullo `e 1. Qual’`e la sua dimensione?
7.20. Trasporto di struttura via biiezioni. Se V `e spazio vettoriale su C, e ϕ : V −→ S `e una biiezione insiemistica tra V e un insieme S, con inversa ψ : S −→ V , allora le due posizioni α · s := ϕ(αψ(s)) e s + s0:= ϕ(ψ(s) + ψ(s0)) (per ogni α ∈ C, s, s0∈ S) danno ad S una struttura di spazio vettoriale su C. Chi `e l’elemento neutro? Qual’`e la dimensione di S su C?
Esplicitare la costruzione nei casi di exp : R −→ R>0(funzione esponenziale), arctg : R −→]−π, π[ (funzione arcotangente), π : R −→ R (funzione “moltiplicazione per π”).