Calcolo di L Susy attraverso tecniche di algebra supersimmetrica

Per ricavare L^Susy si pu´o inizialmente esplicitare il termine cinetico relativo al super-campo ˆQ

Z

d⁴θ ˆQ^†e^{¯g ˆU+2g ˆV+g0Vˆ0}Q.ˆ (3.26) Da questo si dedurranno banalmente i contributi cinetici dei supercampi di Higgs e dei restanti leptoni ponendo la carica ¯g di SU(3) a zero, mentre per i singoletti di SU(2) occorrer´a annullare anche la costante g, ottenendo le espressioni

Z

d⁴θ ˆL^†e^{2g ˆV+g0Vˆ0}Lˆ

Z

d⁴θ ˆu^c†e^g0Vˆ0uˆ^c.

(3.27) Il calcolo che ci siamo proposti di risolvere ´e particolarmente lungo quindi occor-rer´a procedere per gradi. Cerchiamo innanzitutto l’espressione esplicita dell’operatore

e^{g ˆ¯U+2g ˆV+g0Vˆ0} = (1 + ¯g ˆU^lS^l+ 1

2g¯²Uˆ^lUˆ^mS^lS^m) × (1 + 2gT^aVˆ^a+ 2g²T^aT^bVˆ^aVˆ^b)

× (1 + g⁰Y ˆV⁰ +1

2Y²V⁰²) = (1 + ¯g ˆU^lS^l+ 1

2g¯²Uˆ^lUˆ^mS^lS^m)(1 + g⁰Y ˆV⁰ +2gT^aVˆ^a + g⁰²

2 Y²Vˆ⁰²+ 2g²T^aT^bVˆ^aVˆ^b+ 2gg⁰Y T^aVˆ^aVˆ⁰)

= 1 + g⁰Y ˆV⁰+ 2gT^aVˆ^a+g⁰²

2 Y²Vˆ⁰² + 2g²T^aT^bVˆ^aVˆ^b+ 2gg⁰Y T^aVˆ^aVˆ⁰ +¯g ˆU^lS^l + ¯gg⁰Y S^lUˆ^lVˆ⁰+ 2¯gg ˆU^lS^lT^aVˆ^a+ 1

2g¯²Uˆ^lUˆ^mS^lS^m

(3.28) dove i prodotti del tipo ˆV^aVˆ^b , ˆU^lVˆ⁰ etc. sono ottenuti sfruttando relazioni di questo tipo

Vˆ^aVˆ^b → (−θσ^µθV_µ^a)(−θσ^νθV_ν^b) = 1

2η^µνθ²θ²V_µ^aV_ν^b = 1

2θ²θ²V_µ^aV^bµ

.

Abbiamo considerato solo la componente del prodotto che non si annulla nell’operazione di integrazione.

Consideriamo l’azione di (3.28) sul campo ˆQ, dopo aver fatto l’espansione in com-ponenti sia del campo che dell’operatore considerato

e^{¯g+2g ˆV+g0Vˆ0}Q =ˆ

"

1 − θσ^µθ[2gT^aV_µ^a+ g⁰Y V_µ⁰ + ¯gU_µ^lS^l] + iθ²θ[2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l]

−iθ²θ[2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l] + 1

2θ²θ²[2gT^aD^a+ g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l +2g²T^aT^bV^aµV_µ^b+ g⁰²

2 Y²V^0µV_µ⁰ + 2gg⁰Y T^aV^aµV_µ⁰+ ¯gg⁰U^lµV_µ⁰S^lY +2g¯gU^lµV_µ^aT^aS^l+1

2¯g²U^lµU_µ^mS^lS^m]

#"

Q(x) + iθσ˜ ^µθ∂µQ(x)˜

−1

4θθθθ∂²Q(x) +˜ √

2θQ(x) + i

√2θθθσ^µ∂µQ(x) + θθFQ(x)

#

= Q − (θσ˜ ^µθ)A{ ˜Q + iθσ^νθ∂νQ +˜ √

2θQ} + iθ²θB ˜Q

−iθ²θC{ ˜Q +√

2θQ} + 1

2θ²θ²QD.˜

(3.29) Abbiamo indicato per comodit´a alcune espressioni in maniera sintetica

A = 2gT^aV_µ^a+ g⁰Y V_µ⁰+ ¯gU_µ^lS^l B = 2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l C = 2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l

D = 2gT^aD^a+ g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l+ 2g²T^aT^bV^aµV_µ^b+g⁰²

2 Y²V^0µV_µ⁰+ 2gg⁰Y T^aV^aµV_µ⁰ + ¯gg⁰U^lµV_µ⁰S^lY + 2g¯gU^lµV_µ^aT^aS^l+ 1

2g¯²U^lµU_µ^mS^lS^m.

(3.30) Sfruttando le relazioni

i(θσ^µθ)(θσ^µθ) = i

2θ²θ²η^µν,

(θσ^µθ)θ^αQα = 1

2^βαθ²σ^µ_{β ˙β}θ^β˙Qα = 1

2θ²(Qσ^µθ), l’espressione (3.29) assume la forma

Q +˜ √

Moltiplichiamo ora ˆQ^† per il risultato precedente. Successivamente proiettiamo le componenti θ²θ² del prodotto ottenuto. Quest’operazione coincide con l’integrazione (3.26) ed il risultato finale ´e

Z

+ i

√2Q˜^†(2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l)Q − iQ^†σ^µ∂µQ − i

√2Q^†(2gT^aλ^a

+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l) ˜Q +1

2Q^†σ^µ(2gT^aV^aµ+ g⁰Y V_µ⁰+ ¯gU_µ^lS^l)Q + F_Q^†FQ.

(3.32) Nel risultato precedente sono state sfruttate le seguenti identit´a

Qσ^µ∂µQ^† = Q^†σ^µ∂µQ + ∂µ(Qσ^µQ^†)

∂²Q˜^†Q = −∂˜ ^µQ˜^†∂µQ + ∂˜ µ(∂^µQ˜^†Q)˜ Q˜^†∂²Q = −∂˜ ^µQ˜^†∂µQ + ∂˜ µ( ˜Q^†∂^µQ).˜

(3.33) Se indichiamo il gruppo di simmetria con

G = SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1),

definiamo la derivata covariante relativa a G Dµ= ∂µ+ igT^aV_µ^a+ ig⁰Y

2V_µ⁰+ i¯gS^l

2 U_µ^l (3.34)

come fatto nel capitolo precedente. Introducendo questa nuova espressione in (3.32) otteniamo il termine cinetico nella forma definitiva

Z

d⁴θ ˆQ^†e^{¯g ˆU+2g ˆV+g0Vˆ0}Q = (Dˆ ^µQ)˜ ^†(DµQ) − iQ˜ ^†σ^µDµQ + 1

2Q˜^†(2gT^aD^a + g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l) ˜Q + i

√2Q˜^†(2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l)Q

− i

√2Q^†(2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l) ˜Q + F_Q^†FQ+ t.d.

(3.35) Con t.d. indichiamo le derivate spaziali totali; poich´e esse si annullano nel calcolo dell’azione d’ora in poi possiamo trascurarle.

Otteniamo banalmente il contributo del superpotenziale alla lagrangiana super-simmetrica da considerazioni fatte precedentemente, relative all’integrazione rispetto alle variabili di Grassmann

Z

d⁴θWδ²(θ) + Wδ²(θ) =

Z

d⁴θ[µ^ijHˆ₁ⁱHˆ₂^j + ^ij(f ˆH₁ⁱLˆ^jE + fˆ 1Hˆ₁ⁱQˆ^jdˆ^c+ f2Hˆ₂^jQˆⁱuˆ^c)]δ²(θ) + h.c = µ^ij[H₁ⁱF₂^j+ F₁ⁱH₂^j− ˜H₁ⁱH˜₂^j] + f ^ij[F₁ⁱL˜^jE˜^c+ H₁ⁱF_L^jE˜^c+ H₁ⁱL˜^jFE − ˜H₁ⁱL^jE˜^c

−H1ⁱL^jE^c− E^cH˜₁ⁱL˜^j] + f₁^ij[H₁ⁱQ˜^jFD − H1ⁱQ^jd^c+ H₁ⁱF_Q^jd˜^c− ˜H₁ⁱQ˜^jd^c− ˜H₁ⁱQ^jd˜^c +F₁ⁱQ˜^jd˜^c] + f2^ij[H₂^jQ˜ⁱFu− H2^jQⁱu^c+ H₂^jF_Qⁱu˜^c− ˜H₂^jQ˜ⁱu^c− ˜H₂^jQⁱu˜^c

+F₂^jQ˜ⁱu˜^c] + h.c.

(3.36)

Tra i termini cinetici dei campi di gauge sviluppiamo in dettaglio il calcolo relativo ai gluoni e ai gluini

1 4

Z

d⁴θ[W^lαW_α^l]δ²(θ).

Dalla definizione di (3.14) occorre procedere per passi successivi. Per cominciare, sviluppiamo ˆU^lnella base (y−iθσθ) e lavoriamo nella rappresentazione 1 della derivata covariante. Vogliamo ottenere l’espressione

e^−¯gUDαe^{¯g ˆU}

e pu´o essere utile il calcolo precedente eseguito (3.29) se effettuiamo le sostituzioni

2g → ¯g; ˆV → ˆU avremo

Wα = − 1

4¯gDDe^{−¯g ˆU}Dαe^{g ˆ¯U} = S^l

2{iλ^lα− θ^αD^l +(σ^µν)^β_αθβU_µν^l − θ²σ_α^µ_˙γ(∂µλ^˙γl− ¯g

2f^lmnU_µ^mλ^˙γn)}.

(3.37)

Successivamente calcoliamo il prodotto

W^αWα = S^l 2

S^k 2



iλ^lα − θ^αD^l + ^αβ(σ^µν)_β^γθγU_µν^l − ^αβθ²σ^µβ˙γ

(∂µλ^˙γl − ¯g

2f^lmnU_µ^mλ^˙γn)



iλ^k_α − θ^αD^k + (σ^µν)αδ

θδU_µν^k − θ²σ_α^µ_˙γ(∂µλ^˙γk − g¯

2f^kmnU_µ^mλ^˙γn)



.

(3.38)

Date le propriet´a

T r(σ^µν) = 0 ; T r(σ^µνσ^ρσ) = 1

2(g^µρg^νσ− g^µσg^νρ) + i 2^µνρσ e assumendo che

Dµλ^l = (∂µδ^lm + i¯g

2( ¯T_adjⁿ )^lmU_µⁿ + ig[T_adj^c ]^abV_µ^c + ig⁰Yadj

2 V_µ⁰)λ^m

= ∂µλ^l − g¯

2f^lmnU_µ^mλⁿ,

Yadj = 0 ; [T_adj^c ]^ab = 0 ; [ ¯T_adj^l ]^mn = −if^lmn

otteniamo in conclusione

Z

d⁴θT r(W^αWα) δ²(θ) = −i

2λ^lσ^µDµλ^l + 1

4D^lD^l − 1

8U^lµνU_µν^l

− i

16^µνρσU_µν^l U_ρσ^l + i

2∂µ(λ^lσ^µλ^l).

(3.39)

Considerando l’espressione precedente e sommandola alla sua hermitiana coniu-gata si ha

Z La lagrangiana completa off-shell, quindi dipendente dai campi ausiliari Fi e Di, sar´a data da

+ µ^ij[H₁ⁱF₂^j + F₁ⁱH₂^j − ˜H₂ⁱH˜₂^j] + f ^ij[F₁ⁱL˜^jE˜^c+ H₁ⁱF_L^jE˜^c+ H₁ⁱL˜^jFE − ˜H₁ⁱL^jE˜^c

−H1ⁱL^jE^c− E^cH˜₁ⁱL˜^j] + f1^ij[H₁ⁱQ˜^jFd− H1ⁱQ^jd^c+ H₁ⁱF_Q^jd˜^c− ˜H₁ⁱQ˜^jd^c− ˜H₁ⁱQ^jd˜^c +F₁ⁱQ˜^jd˜^c] + f2^ij[H₂^jQ˜ⁱFu− H2^jQⁱu^c+ H₂^jF_Qⁱu˜^c− ˜H₂^jQ˜ⁱu^c− ˜H₂^jQⁱu˜^c+ F₂^jQ˜ⁱu˜^c] + h.c.



−



M_L²L˜^†L + m˜ ²_EE˜^c†E˜^c+ m²₁H₁^†H1+ m²₂H₂^†H2− m²3^ij(H₁ⁱH₂^j + h.c.) +M_Q²Q˜^†Q + m˜ ²_uu˜^c†u˜^c+ m²_dd˜^c†d˜^c



− M

2 (λ^αaλ^a_α+ λ^αa˙ λ^a_α˙)

−M⁰

2 (λ^0αλ⁰_α+ λ^{0 ˙α}λ⁰_α˙) − Ml

2 (λ^lαλ^l_α+ λ^αl˙ λ^l_α˙) + t.d.

(3.41) Per ottenere la lagrangiana on-shell occorre eliminare i campi ausiliari Fi e Di

attraverso le equazioni del moto di Eulero-Lagrange. Per questo conviene indicare con L^aux = L^F + L^D i contributi alla lagrangiana totale relativi ad essi

L^F = F^†LFL+ F^†EFE + F^†1F1+ F^†2F2+ F^†QFQ+ F^†uFu+ F^†dFd+ µ^ij[H₁ⁱF₂^j + F₁ⁱH₂^j + H₁^i†F₂^j†+ F₁^i†H₂^j†] + f ^ij[F₁ⁱL˜^jE˜^c+ H₁ⁱF_L^jE˜^c+ H₁ⁱL˜^jFE + F₁^i†L˜^j†E˜^c†+ H₁^i†F_L^j†E˜^c†

+ H₁^i†L˜^j†F_E^†] + f1^ij[H₁ⁱQ˜^jFd+ H₁ⁱF_Q^jd˜^c+ F₁ⁱQ˜^jd˜^c+ H₁^i†Q˜^j†F_d^†+ H₁^i†F_Q^j†d˜^c†+ F₁^i†Q˜^j†d˜^c†] + f₂^ij[H₂^jQ˜ⁱFu+ H₂^jF_Qⁱu˜^c+ F₂^jQ˜ⁱu˜^c+ H₂^j†Q˜^i†F_u^c†+ H₂^j†F_Q^i†u˜^c†+ F₂^j†Q˜^i†u˜^c†],

(3.42)

L^D = 1

2(D^aD^a+ D^lD^l+ D⁰D⁰) + ˜L^†(gT^aD^a− 1

2g⁰D⁰) ˜L + ˜E^c†g⁰D⁰E˜^c+ H₁^†(gT^aD^a

− 1

2g⁰D⁰)H1+ H₂^†(gT^aD^a+1

2g⁰D⁰)H2+1

2Q˜^†(2gT^aD^a+ g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l) ˜Q

+ 1

2d˜^c†(g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l) ˜d^c+1

2u˜^c†(g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l)˜u^c.

(3.43) Effettuiamo dunque l’operazione di eliminazione dei D-term e degli F-term per ogni campo usando le equazioni del moto. V´a osservato che, non essendo questi dei

campi dinamici, le loro equazioni del moto si ottengono ponendo a zero le derivate parziali

∂L

∂F_L^k = F_L^k†+ f ^ijH₁ⁱδ_k^jE˜^c= 0 → FL^k

†= −f^kiH₁ⁱE˜^c

F_Lⁱ = −f^kiH₁^k†E˜^c†

∂L

∂FE

= FE†+ f ^ijH₁ⁱL˜^j = 0 → F^E†= −f^ijH₁ⁱL˜^j FE = −f^ijH₁^i†L˜^j†

∂L

∂F₁^k = F₁^k†+ µ^ijδ^k_i H₂^j+ f ^ijδ_i^kL˜^jE˜^c+ f1^ijδ^k_i Q˜^jd˜^c= 0

→ F1^k

†= −µ^kjH₂^j − f^kjL˜^jE˜^c− f¹^kjQ˜^jd˜^c F₁^j = −µ^jkH₂^k†− f^jkL˜^k†E˜^c†− f¹^jkQ˜^k†d˜^c†

∂L

∂F₂^k = F₂^k†+ µ^ijδ^k_j H₁ⁱ + f2^ijδ^j_kQ˜ⁱu˜^c = 0

→ F2^k

† = −µ^ikH₁ⁱ− f²^ikQ˜ⁱu˜^c F₂ⁱ = −µ^kiH₁^k†− f2^kiQ˜^k†u˜^c

∂L

∂F_Q^k = F_Q^k†+ f1^ijH₁ⁱδ_j^kd˜^c+ f2^ijH₂^jδ_i^ku˜^c= 0

→ FQ^k

†= −f¹^ikH₁ⁱd˜^c− f²^kiH₂ⁱu˜^c F_Qⁱ = −f¹^kiH₁^k†d˜^c†− f²^ikH₂^k†u˜^c†

∂L

∂Fu

= F_u^†+ f₂^ijH₂^jQ˜ⁱ = 0 → Fu^†= −f2^ijH₂^jQ˜ⁱ Fu = −f²^jiH₂^i†Q˜^j†

∂L

∂Fd

= F_d^†+ f₁^ijH₁ⁱQ˜^j = 0 → Fd^†= −f1^ijH₁ⁱQ˜^j Fd = −f¹^jiH₁^j†Q˜^i†.

(3.44) Sostituendo le espressioni ricavate in (3.42) e sfruttando le relazioni

^ij^kj = δ^ik ; ^ij^kl = δ^ikδ^jl− δ^ilδ^jk

Esaminando ora l’espressione (3.43) ricaviamo esplicitamente D^a, D⁰ e D^l at-traverso le equazione del moto

∂L Esaminiamo in dettaglio alcuni termini di (3.43)

D^aD^a = g²[( ˜L^†T^aL + H˜ ₁^†T^aH1+ H₂^†T^aH2+ ˜Q^†T^aQ)˜

×( ˜L^†T^aL + H˜ ₁^†T^aH₁+ H₂^†T^aH₂+ ˜Q^†T^aQ)]˜ Nel caso di SU(2) i generatori dell’algebra soddisfano la relazione

T_ij^aT_kl^a = 1

2(δilδjk− 1 2δijδkl) per cui i prodotti precedenti assumono la forma

L˜^†_iT_ij^aL˜jL˜^†_kT_kl^aL˜l = 1 In maniera analoga si sviluppano i restanti termini di (3.47) ottenendo

D^aD^a = g²

+1 E molto pi´´ u immediato il calcolo del termine D⁰D⁰ in cui gli operatori di ipercarica assumono i seguenti valori

Infine consideriamo il termine D^lD^l. Ciascun contributo ´e calcolato con la

pro-priet´a relativa ai generatori di SU(3) S_ij^lS_km^l = 1

2( δimδjk − 1

3δijδkm) ;

D^lD^l = 1 4g¯²

Q˜^†S^lQ + ˜˜ d^c†S^ld˜^c + ˜u^c†S^lu˜^c

2

= 1

4g¯²

Q˜^α_i^†S_ij^lQ˜^α_jQ˜^β_k^†S_km^l Q˜^β_m + 2 ˜Q^α_i^†S_ij^l Q˜^α_jd˜^c†_kS_km^l d˜^c_m+ ...



(3.52) in cui i, j, k, m sono indici di colore e α e β sono indici di SU(2).

Il primo termine fornisce

Q˜^α_i^†S_ij^lQ˜^α_jQ˜^β_k^†S_km^l Q˜^β_m =



( ˜Q^α_i^†Q˜^α_j)(Q˜^β_k^†Q˜^β_m) × 1

2( δimδjk − 1

3δijδkm)



= 1

2( ˜Q^α†Q˜^β)( ˜Q^αQ˜^β†) − 1

6| ˜Q^†Q|˜ ²

= 1

2( ˜Q^α†Q˜^β)( ˜Q^βQ˜^α†)^†− 1

6| ˜Q^†Q|˜ ² = 1

2| ˜Q^α†Q˜^β|² − 1

6| ˜Q^†Q|˜ ² (3.53) mentre nel caso in cui abbiamo il prodotto tra un doppietto e un singoletto di SU(2)

Q˜^α_i^†S_ij^l Q˜^α_jd˜^c†_kS_km^l d˜^c_m = [ ˜Q^α_i^†Q˜^α_jd˜^c†_kd˜^c_m] × 1

2( δimδjk − 1

3δijδkm)

= 1

2( ˜Q^α†d˜^c)( ˜Q^αd˜^c†) − 1

3( ˜Q^†Q)( ˜˜ d^c†d˜^c)

= 1

2|( ˜Q^α†d˜^c)|² − 1

3( ˜Q^†Q)( ˜˜ d^c†d˜^c).

(3.54) Se non sono indicati gli indici ´e sottinteso che sono contratti.

Con le stesse tecniche sfruttate finora calcoleremo tutti i termini di (3.43).

Otterremo in conclusione l’espressione finale di L^D

in cui abbiamo ora indicato con i e k gli indici liberi di SU(2).

Ora siamo in grado di scrivere la lagrangiana on shell per il Modello Standard Supersimmetrico minimale

−1

+M_Q²Q˜^†Q + m˜ ²_uu˜^c†u˜^c+ m²_dd˜^c†d˜^c − M

2 (λ^αaλ^a_α+ λ^αa˙ λ^a_α˙)

−M⁰

2 (λ^0αλ⁰_α+ λ^{0 ˙α}λ⁰_α˙ − Ml

2 (λ^αlλ^l_α+ λ^αl˙ λ^l_α˙) + t.d.

(3.56)

Sarebbe interessante effettuare la rotazione dagli autostati di interazione a quelli di massa nell’espressione precedente, relativamente al settore elettrodebole. Infatti, in analogia al Modello Standard, possiamo definire le seguenti relazioni

Aµ(x) = cos θwV_µ⁰(x) + sin θwV_µ³(x) Zµ(x) = − sin θ^wV_µ⁰(x) + cos θwV_µ³(x) W_µ^±(x) = V_µ¹∓ Vµ²

√2

(3.57)

λa(x) = cos θwλ⁰(x) + sin θwλ³(x) λz(x) = − sin θ^wλ⁰(x) + cos θwλ³(x) λ^±(x) = λ¹√∓ λ²

2

(3.58)

Non eseguiremo questo calcolo ma vogliamo comunque vedere come agiscono le trasformazioni (3.57)(3.58) applicandole ad esempio al campo di Higgs ˆH1.

Il primo passo da compiere ´e ricavare la derivata covariante in funzione dei nuovi campi, occorre pertanto definire

Q = T³+ Y

2 ; T^± = T¹± T²,

in cui Q ´e l’operatore di carica mentre T^± sono operatori di salita e di discesa per l’isospin debole, la derivata covariante sar´a fornita dalla seguente espressione

D_µ^SU(2)⊗U(1) = ∂µ + ig

√2T⁺W_µ⁺ + ig

√2T⁻W_µ⁻ + ieQAµ + ig cos θw

hT³ − Q sin²w

iZµ. (3.59)

I termini relativi al settore cinetico e di interazione tra ˆH1 e i campi di gauge sono dati complessivamente da

(D^µH₁)^†(DµH₁) − i ˜H₁^†σ^µDµH˜₁ + i√

2H₁^†(gT^aλ^a − 1

2g⁰λ⁰) ˜H₁

−i√

2 ˜H₁^†(gT^aλ^a − 1

2g⁰λ⁰)H1.

(3.60)

In questa espressione la derivata covariante ´e ancora (3.34). Il contributo prece-dente sar´a trasformato nella seguente forma

(D^µH1)^†(DµH1) − i ˜H₁^†σ^µDµH˜1 + ig^hH₁^†T⁺H˜1λ⁺ − λ⁺H˜₁^†T⁻H1

i

+ig^hH₁^†T⁻H˜1λ⁻ − λ⁻H˜₁^†T⁺H1

i + √ 2ieQi

H₁^i†H˜₁ⁱλa − λ^aH˜₁^i†H₁^i

+

√2ig cos θw

T_i³ − Qⁱsin²θw

 hH₁^i†H₂ⁱλz − λ^zH˜₁^i†H₁ⁱⁱ (3.61)

in cui ora la derivata covariante ´e la (3.59).

Per completezza ridefiniamo i campi di forza in funzione delle componenti definite mediante la (3.57)

Aµν = ∂µAν − ∂^νAµ

Zµν = ∂µZν − ∂^νZµ

W_µν^± = ∂µW_ν^± − ∂^νW_µ^±.

(3.62)

Questa ´e la base dei generatori in cui la terza componenti di isospin di SU (2) si mescola con il generatore di ipercarica. Una delle due combinazioni di questi due generatori diventer´a il generatore di U (1)em, dando origine ad una simmetria di gauge residua ed esatta che ha come campo di gauge il fotone, mentre la rimanente combinazione lineare, appunto, ´e rotta e corrisponde allo Z₀. Questo, ovviamente, avviene solo dopo che i campi di Higgs hanno preso valori di aspettazione nel vuoto non nulli. Al momento, la simmetria G rimane una simmetria esatta, anche se la base di espansione delle derivate covarianti risulta ruotata.

NMSSM

In questo capitolo analizziamo in dettaglio il calcolo del contributo di un particolare superpotenziale alla lagrangiana del Modello Supersimmetrico Minimale. Come ab-biamo gi´a detto nella parte introduttiva, nel nostro caso includiamo un supercampo addizionale ˆS allo spettro ordinario della teoria. La componente scalare di questo supercampo prende un valore di aspettazione del vuoto diverso da zero nel minimo del potenziale. Questo termine addizionale quindi modifica drasticamente lo spettro della teoria. Consideriamo il seguente superpotenziale

W^{N M SSM} = 1

3k ˆS³ + λ ˆS ˆHu· ˆHd + hτL · ˆˆ HdLˆ^c_R + htQ · ˆˆ HuTˆ_R^c + hbQ · ˆˆ HdBˆ^c_R (4.1) dove abbiamo introdotto oltre al termine cubico del singoletto anche l’interazione tra i due Higgs e il singoletto ed inoltre gli accoppiamenti di Yukawa tra i supercampi top e bottom con i leptoni. Si suppone che i parametri λ, k, ht, hb e hτ siano reali.

Esplicitiamo le componenti dei nuovi supercampi in quanto ora, a differenza del caso minimale, vogliamo considerare stati di terza generazione

Q =ˆ

dove il prodotto dei supercampi ´e invariante di SL(2, C) e viene cos´ı definito 97

Hˆu· ˆHd = ^ijHˆ_uⁱHˆ_d^j = ˆH_u⁺Hˆ_d⁻ − ˆH_u⁰Hˆ_d⁰. (4.4) con

^ij =





0 1

−1 0



.

E utile fornire l’espansione del singoletto ˆ´ S e dei doppietti ˆHu e ˆHd in funzione della variabile bosonica y^µ= x^µ+iθσ^µθ, gi´a definita nel primo capitolo, avendo inoltre settato θ = 0.

S(y, θ) = S(y) +ˆ √

2θ ˜S(y) + θ²FS(y) Hˆu(y, θ) = Hu(y) +√

2θ ˜Hu(y) + θ²Fu(y) Hˆd(y, θ) = Hd(y) +√

2θ ˜Hd(y) + θ²Fd(y).

(4.5) In questa forma, completamente equivalente all’espansione dei supercampi con-siderati nel Modello Standard Supersimmetrico minimale, si manifesta immediata-mente la natura chirale del campo, come si desume da un confronto con (1.94).

Mostriamo ora la procedura generale per l’estrazione del potenziale della teoria dal superpotenziale. Useremo la seguente relazione

Vw =

Z

d⁴θ ^hW(φⁱ)δ²(θ) + h.c.ⁱ=

Z

d²θ W(φⁱ) + h.c. (4.6) dove φi´e il generico supercampo chirale che corrisponde nel nostro caso, al variare dell’indice i, ad ˆS, ˆHu e a tutti i supercampi presenti in (4.1). La generica espansione

φi(y, θ) = Ai(y) +√

2θψi(y) + θ²Fi(y)

indica le componenti scalari Ai e quelle spinoriali ψi. Infine sono anche presenti gli F-term che, come sappiamo, non corrispondono a stati dinamici della teoria. Nel calcolo preposto sfrutteremo un importante risultato

Z

d²θ W(φ¹, ..φn) = WⁱFi− 1

2W^ijψiψj (4.7)

dove viene sottintesa la somma sugli indici ripetuti.

Occorre definire le grandezze utizzate in (4.7) dove W^ij rappresenta la matrice di massa fermionica.

L’azione ´e in generale definita dall’integrale

A = Esplicitando il contributo cinetico ^R d⁴θ [φ^†_iφi], gi´a analizzato nel primo capitolo, ed utilizzando le definizioni (4.8) otteniamo

A = L’eliminazione dei campi ausiliari Fi ed F_i^∗ attraverso le equazioni del moto ´e immediata

Sostituendo questi risultati in (4.10) l’azione assume la forma

coincide con il potenziale scalare della teoria.

Il calcolo del potenziale scalare verr´a effettuato con il procedimento analizzato.

Sfrutteremo invece la tecnica di proiezione delle componenti dei supercampi attraverso l’integrazione grassmaniana per il contributo corrispondente ai termini _∂A^∂2W

i∂Ajψiψj. Questi corrispondono alle componenti (θθ) del superpotenziale espanso nei campi, escludendo la parte degli F-term.

Quindi, riassumendo, procederemo attraverso due fasi:

1) consideriamo dapprima le componenti θ² senza gli F-term; tale contributo al potenziale totale sar´a indicato con V0;

2) ricaviamo le componenti relative agli F-term con l’espressione (4.13) data in funzione dei supercampi del nostro modello. Questo risultato sar´a indicato con VF. Ricordiamo per´o che in esso sono inclusi anche i contributi F_i^†Fi che provengono dai termini cinetici dei supercampi, termini analizzati in gran dettaglio nel capitolo tre.

In conclusione

Z

d⁴θ[W δ²(θ)] + h.c =−V^F + V0. (4.14) Analizziamo separatamente ciascun contributo. Avremo

λ ˆS ˆHu· ˆHd → λ(S + √

= λ{2S(−2θ²) ˜Hu· ˜Hd+ 2(−2θ²) ˜S ˜Hu· H^d− 2( ˜S ˜Hd) · H^u(−2θ²)}

= −λ{S ˜Hu· ˜Hd+ ˜S ˜Hu· H^d− ˜S ˜Hd · H^u}θ² (4.15) dove il segno meno nell’ultimo prodotto ´e dato da

(θ ˜S)Hu· (θ ˜Hd) = (θ ˜S)H_uⁱ^ij(θ ˜H_d^j) =

(θ ˜S)(θ ˜H_d^j)H_uⁱ^ij = −(θ ˜S)(θ ˜H_d^j)^jiH_uⁱ = −(θ ˜S)(θ ˜Hd) · H^u.

Il prodotto ˜Hd· H^u ´e invariante di SL(2, C), come detto precedentemente; inoltre vale la propriet´a Hu· ˜Hd = − ˜Hd· H^u.

Per il calcolo (4.15) abbiamo sfruttato le relazioni

(θψ)(θχ) = −1

2θ²(ψχ) (θψ)(θχ) = −1

2θ²(ψχ).

(4.16) Notiamo che ciascun termine di (4.15) ´e un invariante di Lorentz e contemporanea-mente rimane invariante sotto trasformazioni di SL(2, C). Per esempio si consideri il termine −λS ˜Hu· ˜Hd che si ottiene

S(θ ˜Hu)(θ ˜Hd) = S(θ^αH˜_uαⁱ )^ij(θ^βH˜_dβ^j ) = (−1

2θ²)S( ˜Hu· ˜Hd) , α e β sono indici di Lorentz mentre i e j sono indici di SL(2, C).

In conclusione

λ ˆS ˆHu· ˆHd|^θ2 → −λ(S ˜Hu· ˜Hd+ ˜S ˜Hu· H^d − ˜S ˜Hd· H^u).

Ragioniamo in maniera analoga per il termine seguente

k

3Sˆ³ → k

3(S + √

2θ ˜S)(S + √

2θ ˜S)(S + √ 2θ ˜S)

→ k

3 × 3 × S × 2(θ ˜S)(θ ˜S) = −2kθ²

2S( ˜S ˜S),

(4.17)

quindi

k

3Sˆ³|^θ2 → −kS( ˜S ˜S).

Occorre ora ottenere le espressioni hermitiane coniugate dei risultati precedenti da sommare nel potenziale complessivo. Quest’operazione corrisponde al calcolo

Z Il termine di interazione tra singoletto ed i due Higgs si sviluppa, ad esempio, come segue

(−λS ˜Hu· ˜Hd)^†= −λ( ˜Hu· ˜Hd)^†S^∗ = −λ ˜Hu· ˜HdS^∗ = −λS^∗H˜u· ˜Hd

e questo risultato ´e dovuto alla propriet´a del prodotto di SL(2, C)

( ˜Hu· ˜Hd)^†= ( ˜H_uⁱ^ijH˜_d^j)^†= Abbiamo fatto uso della relazione

(ψχ) = (χψ) infatti

ψχ = ψ^αχα = −χ^αψ^α = −^αβχ^β^αγψγ =

= −χ^β^T_βα^αγψγ = χ^βδ_β^γψγ = χ^βψβ = χψ.

Procediamo con l’operazione di coniugazione dei termini di (4.15) considerando

(−λ ˜S ˜Hu· H^d)^†= −λHd^∗· ( ˜S ˜Hu) = −λ( ˜Hu · Hd^∗) ˜S = −λ ˜S( ˜Hu· Hd^∗)

dove si ´e sfruttata la propriet´a

(θφ) = (φθ).

Si procede in maniera analoga per i termini

(λ ˜S ˜Hd· H^u)^†= λ ˜Hd· Hu^∗S = λ ˜˜ S ˜Hd· Hu^∗; (−kS( ˜S ˜S))^†= −kS^∗( ˜S ˜S).

Calcoliamo allo stesso modo gli altri contributi al potenziale complessivo dati dalle interazioni di Yukawa

htQ · ˆˆ HuTˆ_R^c → h^t{ ˜Q + √

2θQ}{H^u + √

2θ ˜Hu}{ ˜T_R^c + √ 2θT_R^c}

→ 2h^t{ ˜Q(θ ˜Hu)(θT_R^c) + (θQ)Hu(θT_R^c) + (θQ)(θ ˜Hu)T_R^c}

= 2ht{ ˜Qⁱ^ij(θ^αH˜_uαⁱ )(θ^βT_Rβ^c ) + (θ^αQⁱ_α)H_u^j^ij(θ^βT_Rβ^c ) +(θ^αQαⁱ)(θ^βH˜_uβ^j )^ijT˜_R^c}

= 2ht(−1

2θ²){ ˜QⁱH˜_u^j^ijT_R^c + (QⁱT_R^c)H_u^j^ij+ QⁱH˜_u^j^ijT˜_R^c}

= −h^t{ ˜Q · ˜HuT_R^c − H^u· QTR^c + Q · ˜HuT˜_R^c}θ²

(4.19) dove si ´e sfruttata la propriet´a di antisimmetria di ^ij.

(QⁱT_R^c)H_u^j^ij = H_u^jQⁱT_R^c^ij= −^jiH_u^jQⁱT_R^c = −H^u· QTR^c. Quindi

htQ · ˆˆ HuTˆ_R^c|^θ2 → −h^t{ ˜Q · ˜HuT_R^c − H^u · QTR^c + Q · ˜HuT˜_R^c}.

Consideriamo ora la parte hermitiana coniugata

(−h^tQ · ˜˜ HuT_R^c)^†= −h^tQ˜^∗· ˜HuT^c_R, (htHu· QTR^c)^†= htH_u^∗· QT^cR,

(−h^tQ · ˜HuT˜_R^c)^† = −h^tQ · ˜HuT˜_R^c∗. Per cui in totale

(htQ · ˆˆ HuTˆ_R^c)^†|_θ² → −h^t( ˜Q^∗· ˜HuT^c_R− Hu^∗ · QT^cR+ Q · ˜HuT˜_R^c∗) .

Il secondo e il terzo termine di (4.1) si ottengono immediatamente dal risultato precedente con le sostituzioni















ht → h^b Q →ˆ Qˆ Hˆu → Hˆd

Tˆ_R^c → Bˆ_R^c

hbQ · ˆˆ HdBˆ_R^c|^θ2 → −h^b{ ˜Q · ˜HdB_R^c − H^d· QBR^c + Q · ˜HdB˜_R^c}

mentre il contributo complesso coniugato ´e dato da

(hbQ · ˆˆ HdBˆ^c_R)^†|_θ² → −h^b{ ˜Q^∗· ˜HdB^c_R− Hd^∗· QB^cR+ Q· ˜HdB˜_R^c∗}.

Analogamente si procede per il termine hτL · ˆˆ HdLˆ^c_R, che ha la stessa struttura precedente, una volta effettuata la sostituzione















ht → h^τ Q → ˆˆ L Hˆu → Hˆd

Tˆ_R^c → ˆL^c_R

(hτL · ˆˆ HdLˆ^c_R)|^θ2 → −h^τ{ ˜L · ˜HdL^c_R+ L · ˜HdL˜^c_R− H^d· LL^cR};

(hτL · ˆˆ HdLˆ^c_R)^†|_θ² → −h^τ{ ˜L^∗· ˜HdL^c_R+ L· ˜HdL˜^c∗_R − Hd^∗· LL^cR}.

Siamo pronti a fornire il primo risultato che ci eravamo prefissati

V0 = −λ(S ˜Hu· ˜Hd+ ˜S ˜Hu· H^d− ˜S ˜Hd· H^u) − kS( ˜S ˜S) − λ(S^∗H˜u· ˜Hd Ora occorre calcolare il contributo al potenziale complessivo dato dagli F-term.

Ottenuto il potenziale scalare della teoria, studieremo facilmente il settore di Higgs nella seconda parte di questo capitolo e diremo come ricavare gli autostati massa relativi al contributo esaminato.

Vediamo innanzitutto la tecnica usata per il primo termine proveniente da (4.15).

Se usassimo la tecnica di proiezione gi´a vista sopra, otterremmo

λ ˆS ˆHu· ˆHd|^θ2 → λ(F^SHu· H^d+ SHuFd + SFuHd) (4.21) ma in questo caso dovremmo procedere con l’eliminazione degli F-term, tecnica lunga e gi´a vista nel capitolo tre nell’ottenere la lagrangiana on-shell del Modello Minimale.

Per questo motivo scegliamo di sfruttare la trattazione descritta all’inizio di questo capitolo che risulta efficace e molto pi´u immediata.

Consideriamo la formula

in cui tutte le grandezze sono state gi´a definite e la derivata rispetto a W si effet-tua se al polinomio (4.1) sostituiamo a ciascun supercampo la componente bosonica corrispondente. Quindi si ricavano le seguenti espressioni





Quindi l’espressione di VF ´e semplicemente la somma dei termini di (4.22) cambi-ata di segno.

4.1 Lagrangiana on-shell per l’ NMSSM

La lagrangiana che descrive il Modello Supersimmetrico non Minimale pu´o essere ricavata dal caso del Modello Supersimmetrico Ordinario semplicemente aggiungendo i nuovi contributi del potenziale ricavati in questo capitolo. Inoltre occorre ricordare che sono anche presenti dei termini aggiuntivi di rottura della supersimmetria, come si pu´o vedere in (4.28), ma ovviamente non considerando i termini di massa scalari gi´a inclusi nella lagrangiana del Modello Minimale. L’aggiunta di tutti questi termini

´e dovuta ovviamente alla presenza del supercampo ˆS. Ricordiamo che in questo caso abbiamo scelto gli stati leptonici e adronici di terza generazione per cui occorrer´a fare sostituzioni del tipo

ˆ

u^c→ ˆT_R^c ; ˆd^c→ ˆB_R^c ; ˆτ_R^c → ˆE^c.

Inoltre, per tenere in conto la dinamica del nuovo campo, inseriamo anche il termine cinetico relativo ad ˆS, che per semplicit´a chiamiamo KS.

Indichiamo sinteticamente la lagrangiana voluta attraverso l’espressione L^{N M SSM} = L^{M SSM}(gener.1 → gener.3) + K^S +

−λ(S ˜Hu· ˜Hd + ˜S ˜Hu· H^d − ˜S ˜Hd· H^u) − kS( ˜S ˜S)

−λ(S^∗H˜u· ˜Hd + ˜S( ˜Hu· Hd^∗) − ˜S( ˜Hd· Hu^∗))

−kS^∗( ˜S ˜S) + m²_S|S|² + (λAλHu· H^dS + 1

3kAkS³ + h.c.).

(4.23) Tutti i termini presenti in questa lagrangiana sono stati gi´a abbondantemente discussi in diverse sezioni di questa tesi.

4.2 Settore di Higgs

In generale ´e sempre possibile sviluppare il potenziale di una teoria in serie di Taylor

V (hi) = V0 + ∂V dove gli hi rappresentano gli autostati di interazione del sistema fisico in esame mentre ¹_2∂h^∂2V

i∂hj|min

´e la matrice di massa di tali stati. Questa sar´a indicata con M_ij². Il nostro obiettivo ´e quello di diagonalizzarla nel caso in cui il potenziale preso in considerazione ´e il potenziale scalare ricavato da (4.1).

Per maggior chiarezza parametrizziamo i supercampi ˆHu , ˆHd ed ˆS in funzione di una base reale che indichiamo con hi, per i ∈ {1, ...10}. In tal modo si pu´o ricavare il potenziale scalare nella forma (4.24) ma occorrer´a prima fare alcune considerazioni.

Poniamo

E necessario imporre le seguenti condizioni sul potenziale che stiamo considerando´

1) condizione di stabilit´a (cio´e il minimo in cui calcoliamo il potenziale deve es-sere un minimo stabile).

2) condizioni di minimo (^∂V_∂h^min

u = 0;^∂V_∂h^min

d = 0;^∂V_∂s^min = 0;_∂h^∂2Vmin

u∂h_d > 0).

Questi vincoli ci permettono di esprimere tutti i parametri della teoria in funzione di mHu, mH_d ed mS. Il calcolo ´e molto complesso, bench´e diretto, in quanto la matrice di massa ´e molto grande (10-per-10). Come vedremo, per´o, dopo aver utilizzato le condizioni di minimo nella definizione stessa della matrice, avremo una semplificazione drastica del calcolo.

Esplicitando le condizioni di minimo otteniamo

hu

hd2

− h^u2g²+ 2hd2huλ²+ 2humhu

2+ 2huλ²s²− 2h^dλsAλ+ κs) = 0 hd

hd2

− h^u2g²− 2h^uλs(Aλ+ κs) + 2hd

hu2λ²+ s²λ²+ mh_d2

= 0 4k²s³+ 2Aκκs²+ 2hd2λ²s + 2hu2λ²s + 2ms2s − 2h^dhuκλs − 2h^dhul(Aλ+ κs) = 0 (4.26) e le relative soluzioni saranno

m²_Hu = −g²hu³+ g²hd2

hu − 2h^d2λ²hu − 2λ²s²hu + 2hdκλs²+ 2Aλhdλs 2hu

m²_Hd = −g²hd3+ g²hu2hd− 2h^u2λ²hd− 2λ²s²hd + 2huκλs²+ 2Aλhuλs 2hd

m²_S = −2κ²s³− A^κκs²− h^d2λ²s − h^u2λ²s + 2hdhuκλs + Aλhdhuλ s

(4.27) Per ottenere gli autostati di massa della teoria occorre procedere nel seguente or-dine:

1) ricaviamo il potenziale scalare (potenziale relativo solo ai campi Hu, Hd ed S) ed indichiamolo con VHiggs;

2) calcoliamo il valore di VHiggs nel vuoto del potenziale;

3) otteniamo tutti gli elementi di M_ij² al variare di i e j (si noter´a immediatamente che la matrice ´e simmetrica e che possiede un gran numero di elementi nulli);

4) analizziamo gli accoppiamenti tra gli elementi ottenuti (il che ci porter´a a sep-arare all’interno della matrice un settore carico da uno neutro);

5) riorganizziamo l’intera matrice in sottomatrici a blocchi che disponiamo sulla diagonale principale;

6) diagonalizziamo ciascuna sottomatrice in maniera indipendente e otteniamo per ognuna gli autostati di massa con relative masse.

Per ottenere il primo risultato occorre sommare a VF il contributo di VD (che in questo caso non cambia rispetto al Modello Supersimmetrico Minimale, poich´e il singoletto ˆS non introduce nuovi D-term). Inoltre dovremo anche sommare il con-tributo che genera la rottura di supersimmetria e che per questo chiameremo Vsof t. Esso sar´a dato da termini di massa per gli scalari pi´u un contributo proporzionale al superpotenziale (4.1). In conclusione avremo

VD = 1 4g²



|H^u|² − |H^d|²

2

+ 1

2g₂²|Hu⁺H_d^0∗ + H_u⁰H_d^−∗|²

Vsof t = m²_Hu|H^u|² + m²_Hd|H^d|² + m²_S|S|² + (λAλHu· H^dS + 1

3kAkS³ + h.c.), (4.28) per cui l’espressione del potenziale diventer´a [25]

VHiggs = λ²|H^u|²|S|² + λ²|H^d|²|S|² + λ²|H^u· H^d|² + λk(Hu· H^dS^∗2 + h.c.)

+1

4g² |H^u|² − |H^d|² + 1

2g₂²|Hu⁺H_d^0∗ + H_u⁰H_d⁻∗ |² + m²_Hu|H^u|² + m²_Hd|H^d|² + m²_S|S|² + (λAλHu· H^dS + 1

3kAkS³ + h.c.).

(4.29) Procediamo adesso alla scelta dello stato di vuoto opportuno che rompe la sim-metria di gauge. Per questo scegliamo nulli i valori di aspettazione sul vuoto delle componenti cariche di ˆHu e ˆHd, e diamo valori di aspettazione non nulli alle parti neutre dei due Higgs ed allo scalare S

H_u⁰ = hu+ HuR+ iHuI

√2 , H_d⁰ = hd+ HdR+ iHdI

√2 , S = s + SR+ iSI

√2 (4.30)

e assumiamo che sul vuoto i valori siano dati da hu, hd, s rispettivamente.

Con queste scelte otteniamo l’espressione

V = λ(h²_us² + h²_ds² + h²_uh²_d) + k²s⁴ + m²_Huh²_u + m²_Hdh²_d + m²_Ss²

−2λA^λhuhds − 2λkh^uhds² + 2

3kAks³ + 1

4g²(h²_u − h²d)².

(4.31) Dall’analisi degli elementi della matrice M_ij² si osservano i seguenti accoppiamenti















(HuR, HdR, SR) → sezione 1 (stati neutri pari) (HuI, HdI, SI) → sezione 2 (stati neutri dispari)

(h3, h5) → sezione 3 (stati carichi) (h4, h6) → sezione 4 (stati carichi) I restanti elementi della matrice saranno

M1−2 = M1−3 = M1−4 = M1−6 = M1−8 = M1−10 = M2−3 = M2−4 = M2−5 = M2−7 = M2−8 = M2−9 = M2−10 = M3−4 = M3−6 = M3−8 = M3−10 = M4−5 =

M₄₋₇ = M₄₋₉ = M₅₋₆ = M₅₋₇ = M₅₋₈ = M₅₋₁₀ = M₆₋₇ = M₆₋₈ = M₆₋₉ = M7−8 = M7−10= M8−9 = M8−10 = M9−10 = 0.

(4.32)

Ricordiamo inoltre la propriet´a

M_ij² = M_ji²

giacch´e la matrice di massa ´e simmetrica.

Sfruttando i risultati ottenuti possiamo schematizzare la matrice M_ij² in questo modo Vediamo un attimo quali sono i nostri risultati. Rispetto al caso minimale, nel caso non minimale la struttura della matrice di massa ´e pi´u complessa e di dimensioni maggiori. Nel settore neutro abbiamo un campo in pi´u, mentre il settore carico contiene gli stessi stati del modello minimale. Osserviamo anche che stati carichi e stati neutri non si accoppiano, che ´e quello che ci si aspetta sul piano fisico. Le parti reali e quelle immaginarie dei campi neutri anche si disaccoppiano e daranno origine alle parti pari e dispari sotto CP, dove con questo termine si indica la simmetria prodotto dell’operazione di parit´a (P) con quella di coniugazione di carica.

4.3 Metodo di diagonalizzazione

Chiamiamo U la matrice le cui colonne rappresentano gli autovettori della matrice di massa M_ij². La relazione tra gli autostati di interazione della teoria (X) e quelli di massa (X⁰) ´e espressa da

X = U X⁰

dove X e X⁰ sono vettori colonna. osserviamo che la matrice U ´e ortogonale essendo la matrice di massa simmetrica. U viene costruita dagli autovettori ortonor-malizzati identificati nei vari settori della teoria.

Dalla relazione

X^TM_ij²X = X^0TU^TM_ij²U X⁰ = X^0TM²_ijX⁰

si ottiene la matrice M²_ij diagonale. I suoi elementi sono le masse relative agli stati che andremo a determinare.

E necessario dunque conoscere per ogni sottomatrice di (4.33) gli autostati cor-´ rispondenti.

4.3.1 Sezione 1

La matrice di massa relativa al settore CP- even di stati (HdR, HuR, SR) ´e data da

M¹ = ξ1











g²hd3

+huλs(Aλ+κs)

hdλ(−Aλhu−2κshu+2hdλs) −^hdhλ(−A^ug2+λ(s(Aλhu−2κsh^λ+κs)−2hu+2hd^dλs)^huλ) 1

−^hdh_λ(−A^ug2+λ(s(A_λhu−2κsh^λ+κs)−2hu+2hd^dλs)^huλ)

g²hu3

+hdλs(Aλ+κs) huλ(−Aλhu−2κshu+2hdλs)

−Aλhd−2κshd+2huλs

−Aλhu−2κshu+2hdλs

1 ^−A_−A^{λhd−2κshd+2huλs}

λhu−2κshu+2hdλs

κ(Aκ+4κs)s²+Aλhdhuλ λs(−Aλhu−2κshu+2hdλs)











(4.34) dove

ξ1 = λ(−A^λhu− 2κsh^u+ 2hdλs). (4.35)

Se gli autostati di interazione sono (HdR, HuR, SR) indichiamo gli autostati di massa col set (H⁰, h⁰, SR). L’espressione relativa alla matrice U che ci permette di ricavare esplicitamente l’insieme (H⁰, h⁰, SR) in funzione del vecchio insieme di auto-stati. La diagonalizzazione ´e stata effettuata usando un programma di manipolazione simbolica Mathematica della Wolfram, ma i risultati sono troppo complessi per essere riportati esplicitamente. Questi, comunque, possono comunque essere incorporati in un programma numerico. Questo tipo di complessit´a ´e stata rilevata nella letteratura precedente su altre estensioni del modello minimale [24].

4.3.2 Sezione 2

Per questo ´e conveniente definire la matrice 2 × 2

M2 =

Gli autostati di M2 rappresentano le colonne della matrice di trasformazione U2×2

con la quale si ottengono due degli stati di massa cercati

U =

dove abbiamo definito il rapporto ^h_h^u

d = tanβ.

Ricaviamo la matrice di massa diagonale

Mdiag.= U^T M2U =

Si nota che, poich´e il primo autovalore ´e nullo, sar´a presente uno stato privo di massa.

Da (4.40) risulta semplice costruire la matrice pi´u generale di autostati di M2, che indichiamo ancora una volta con U , aggiungendo uno stato indipendente del tipo (0, 0, 1)

in cui ´e stata ridefinita la costante di normalizzazione.

Quindi otteniamo finalmente gli autostati di massa

 di massa ( ˜A, ˜G, SI), trai quali compare un bosone di Nambu-Goldstone, che abbiamo chiamato ˜G. Come noto, questo campo, che e’ ovviamente neutro, ´e non fisico e pu´o essere eliminato mediante la procedura di gauge-fixing o scelta del gauge. I gauge nei quali questi stati di massa zero non appaiono vengono detti gauge unitari. In altri tipi di gauge, quali il gauge di Feynman-t’Hooft (detto anche gauge Rξ) questi campi si propagano nelle correzioni virtuali, anche se rimangono dei campi non fisici. Sono comunque utili nel provare la rinormalizzabilit´a della teoria.

4.3.3 Sezione 3-4

Consideriamo contemporaneamente la diagonalizzazione delle matrici di sezione 3 e di sezione 4 in quanto queste sono riconducibili ad un’unica matrice, indicata ora per brevit´a con M3 =

Infatti se la prima coincide proprio con M3, la seconda ´e data da

 Possiamo dunque considerare il settore carico come la somma di

(h3 h5)

Esplicitiamo ora la matrice M3

M3 = Questa pu´o essere ridotta nella forma pi´u semplice

M3 = A

Riscriviamo l’ultima espressione di (4.41) come

(H_d⁺ H_u⁺) U^† M^diag. U

avendo definito con H^±e G^±gli autostati di massa. Essi si ricavano dalla seguente espressione

dove M^diag ´e finalmente la matrice diagonale cercata

M^diag. =

che chiaramente ha un autovalore nullo, mentre la matrice degli autovettori ´e

U =

Per cui gli autostati di interazione sono espressi in funzione di quelli di massa dalle seguenti relazioni

H_u^± = sin βH^±+ cos βG^± H_d^± = − cos βH^±+ sin βG^±.

(4.50) Notiamo la comparsa quindi di un modo di Nambu-Goldstone carico G^±, analoga-mente al modello minimale. Anche in questo caso, come nel caso precedente, la

(4.50) Notiamo la comparsa quindi di un modo di Nambu-Goldstone carico G^±, analoga-mente al modello minimale. Anche in questo caso, come nel caso precedente, la

Nel documento 0.2 Fisica oltre il Modello Standard (pagine 86-0)