Conclusioni sull’algebra supersimmetrica

Z

d⁴x[8D²(x) − F^µνF^µν − 4iλσ^µ∂µλ]

(1.122) avendo integrato per parti i termini in funzione dei campi λα e λα˙.

Anche in questo caso ´e possibile eliminare D (campo ausiliario) ottenendo A^v nella forma on-shell.

Il campo bosonico Vµ, che ´e un campo con simmetria di gauge U(1), rappresenta il fotone. Esso ´e implicito nella definizione di Fµν. Notiamo che questo, come richiesto dalla supersimmetria, ´e accompagnato dal partner fermionico λ(x), chiamato fotino, ovviamente anch’esso privo di massa.

Le azioni A^c e A^v sono inoltre invarianti per trasformazioni di gauge supersim-metriche.

1.8 Conclusioni sull’algebra supersimmetrica

L’importanza delle rappresentazioni irriducibili dell’algebra supersimmetrica sta nel fatto che ciascuna di esse descrive un supermultipletto di particelle nel superspazio.

Gli stati sono legati tra loro dall’azione di Qα o Q_α˙ e quindi hanno spin che dif-feriscono per mezza unit`a. Tutte le particelle hanno per`o la stessa massa. Inoltre un supermultipletto contiene sempre un ugual numero di gradi di libert`a bosonici e fermionici, [23].

Il Modello Standard

2.1 Teorie di gauge

Per poter descrivere il Modello Standard ´e necessario introdurre le teorie di gauge.

Esse descrivono le particelle interagenti in natura attraverso nuovi campi, chiamati appunto bosoni di gauge. In generale le interazioni tra i vari stati fisici obbediranno a certe simmetrie perci´o saranno descritte con il formalismo della teoria dei gruppi di Lie sotto i quali esse trasformano [13]. Sebbene vi siano traformazioni di gauge globali noi prenderemo in considerazione solo quelle di tipo locale, per cui i campi che rap-presentano le particelle ed i parametri di trasformazione dipendono dalle coordinate spazio-temporali.

L’interazione elettromagnetica ´e un noto esempio di teoria di gauge Abeliana che andremo ora a descrivere.

Prendiamo una particella fermionica a cui ´e associata la carica e. Lo stato cor-rispondente alla particella sar´a descritto dal campo ψ mentre l’antiparticella sar´a data dal campo hermitiano coniugato (in particolare ψ = ψ^†γ⁰).

In questo caso le leggi di trasformazione per lo stato ψ e per il suo coniugato ap-partengono al gruppo U(1), gruppo delle matrici unitarie determinate completamente da un unico generatore θ(x)

ψ⁰(x) = e^−ieθ(x)ψ(x), ψ⁰(x) = ψ e^ieθ(x).

(2.1) 45

Le leggi precedenti non conservano l’invarianza locale della lagrangiana del sis-tema, che per un campo fermionico libero, ´e del tipo

L^f = iψγ^µ∂µψ − mψψ. (2.2)

Infatti sostituendo le (2.1) in (2.2) ricaviamo

L^0f = ψ⁰(i γ^µ∂µ − m)ψ⁰

= iψ γ^µ∂µψ + eψ γ^µ(∂µθ)ψ − mψψ 6= L^f.

(2.3)

La richiesta di invarianza impone l’introduzione di un campo vettoriale Aµ, detto campo di gauge, che si accoppia col campo fermionico carico. Il termine di interazione che ne deriva ´e del tipo eψγ^µψAµ e la nuova lagrangiana sar´a

L^f = ψ(iγ^µ∂µ − m)ψ − J^µAµ (2.4) dove abbiamo indicato con J^µ = −eψγ^µψ la densit´a di corrente. L’invarianza locale ´e garantita dalla legge di trasformazione di Aµ

A⁰_µ = Aµ + ∂µθ(x). (2.5)

Dovendo tener conto anche della dinamica del nuovo campo occorre inserire nella lagrangiana finale il termine cinetico ¹₂T r(FµνF^µν), dove Fµν = ∂µAν− ∂^νAµ. Si nota come questo si conservi sotto (2.5).

Per dare una forma pi´u compatta a (2.4) definiamo la derivata covariante

Dµ= ∂µ + ieAµ (2.6)

che sostituiamo in (2.4)e giungiamo finalmente alla lagrangiana dell’elettrodinamica quantistica

L^QED = iψγ^µDµψ − mψψ − 1

4FµνF^µν. (2.7)

Il caso trattato ´e un esempio di teoria Abeliana, cio´e caratterizzata da operatori che commutano tra loro. Questo non succede per teorie non Abeliane.

Si consideri ora l’insieme delle trasformazioni non abeliane descritte dall’algebra di SU(n). Tale gruppo ´e caratterizzato da matrici n × n con determinante unitario e i cui elementi sono indicati come U = e^iT. T ´e il generico generatore del gruppo ed

´e dato da una matrice Hermitiana e a traccia nulla. ´E sempre possibile decomporre T su una base di generatori dell’algebra

T =

n

X

a=1

θaλ^a (2.8)

dove θa(x) sono i parametri di trasformazione.

Consideriamo ora due diversi sottogruppi di SU(n). Nel caso di SU(2) i generatori dell’algebra sono le matrici di Pauli e un generico campo spinoriale a due componenti trasforma

ψ⁰ = e^2i~·~σψ (2.9)

con i = i(x) parametri di traformazione, i ∈ {1, 2, 3}.

Anche in questo caso si vede immediatamente che la L^f di (2.2)non rimane invari-ante sotto (2.9) ottenendo

L^0f = L^f + i ψγ^µU^†(∂µU )ψ, (2.10) dove con U abbiamo indicato

U = e^i2~·~σ. (2.11)

La lagrangiana invariante sar´a fornita invece dall’espressione seguente

L = L^f − J^iµW_µⁱ (2.12)

in cui definiamo la corrente J_i^µ = ¹₂g₂ψγ^µσiψ; g₂ ´e la costante di accoppiamento del gruppo mentre i W_i^µ sono i coefficienti dell’espansione del nuovo campo ~W^µ, con i ∈ {1, 2, 3}. Possiamo infatti scrivere ~W^µ= ¹₂σⁱW_i^µ.

Anche in questo caso dalla richiesta di invarianza della lagrangiana si ottiene una relazione analoga alla (2.5) per le componenti del campo ~Wµ. Infatti se sviluppiamo in forma infinitesima l’espressione (2.11) in (2.10) otteniamo

W_µⁱ −→ Wµⁱ − 1 g2

∂µi(x) − f^abc^bW_µ^c. (2.13) La funzione di struttura fabc ´e antisimmetrica negli indici.

I campi vettoriali introdotti corrispondono ai bosoni di gauge che mediano le interazioni deboli tra le particelle elementari [14]. Infatti da una combinazione dei campi W_i^µ si ottengono i bosoni vettori W⁺, W⁻ e Z⁰. Questo aspetto della teoria sar´a trattato in seguito.

Allo stesso modo l’interazione elettromagnetica ´e descritta dalla teoria Abeliana di U(1), gi´a esaminata, e in tal caso il campo Aµ rappresenta proprio il fotone.

Per completezza forniamo la lagrangiana invariante localmente sotto SU(2) in funzione della nuova derivata covariante

L = ψ(iγ^µDµ)ψ − 1

4W_µνⁱ W^{µν i}. (2.14) L’ultimo termine ´e il contributo cinetico del campo vettoriale ~Wµ e sar´a specifi-cato in seguito.Forniamo l’espressione della derivata covariante relativa al gruppo di simmetria SU(2) e la sua legge di trasformazione

Dµ = ∂µ + i

2g2σiW_µⁱ

D_µ⁰ψ = U (Dµψ). (2.15)

E proprio la validit´a dell’ultima espressione a garantire l’invarianza richiesta.´ Poich´e il Modello Standard viene descritto dal gruppo

G = SU(3)colore⊗ SU(2)isospin−debole⊗ U(1)ipercarica

mostriamo brevemente come generalizzare i risultati precedenti al gruppo SU(3) di colore. Esso descrive l’interazione forte ed i bosoni di scambio che intervengono saranno chiamati gluoni.

La generica trasformazione ´e data da

ψ⁰ = e^12i~α·~λψ (2.16)

in cui ψ in questo caso ´e un campo a tre componenti e gli αa(x) sono i parametri di trasformazione, a ∈ {1, ...8}.

I generatori dell’algebra λa , con a ∈ {1, ...8} , sono le matrici di Gell-Mann e sono indicate qui di seguito

λ1 =

Le espansioni dei campi e le relazioni di commutazione che seguono definiscono completamente l’algebra di SU(2) e di SU(3)

W~µ = 1 Il numero di campi associato ad ogni interazione ´e fissato dal numero dei parametri del gruppo che si considera, secondo la relazione ncampi = n²_parametri − 1. Quindi ad

SU(2) di isospin debole sono associati tre bosoni, gi´a precedentemente riconosciuti, mentre per SU(3) si ricavano gli otto gluoni.

Notiamo che il gruppo U(1) di ipercarica non coincide col gruppo U(1) elettro-magnetico esaminato precedentemente e per questo sostituiamo con Bµ il campo Aµ

e scriviamo la derivata covariante per il Modello Standard

D^µ = ∂^µ1 − i

2g₁YB^µ + i

2g₂σ_iW^µ_i + i

2g₃λ_aG^µ_a (2.19) dove Y rappresenta il generatore di ipercarica.

L’invarianza di gauge per la nostra teoria ´e garantita dalla forma di D^µ e la presenza di matrici di diverse dimensioni nell’equazione che la definiscono indica che essa pu´o operare su spazi differenti.

A questo stadio i bosoni di gauge sono massless e questo coincide col fatto che il gruppo G descrive una teoria con simmetria di gauge esatta.

2.2 Costituenti del Modello Standard

Nel Modello Standard la materia ´e descritta da un insieme di particelle elementari.

I quark sono fermioni soggetti all’interazione forte, a quella debole e, avendo una carica, anche all’interazione elettrica. Costituiscono gli adroni, in particolare tre quarks formano un barione mentre un quark e un antiquark un mesone.

I quark sinistrorsi formano doppietti di SU (2) di isospin debole della teoria men-tre i destrorsi si trasformano come singoletti sotto il medesimo gruppo, per cui per indicare questi stati ´e giustificata la scelta seguente

Qi,lef t =





ui

di





lef t

; ui,right ; di,right (i = 1, 2, 3). (2.20)

L’indice i fissa la generazione dei quarks tra le tre possibili:

prima generazione −→ (u, d)^{lef t} ; uright ; dright

seconda generazione −→ (c, s)^{lef t} ; cright ; sright

terza generazione −→ (t, b)^{lef t} ; tright ; bright .

Con la scrittura Qi,lef t ∼ (3, 2)^Y1,i indicheremo un doppietto di SU(3) con iper-carica Y_1,i mentre ui,right ∼ (1, ¯3)Y^¯1,i rappresenta un singoletto che trasforma nella rappresentazione aggiunta di SU(3) ed ha ipercarica ¯Y1,i.

I leptoni sono fermioni soggetti alle interazioni elettromagnetica (se carichi) e debole.

Come per i quark, anche in questo caso il diverso comportamento dei leptoni left-handed e right-left-handed ci permette di schematizzare gli stati attraverso le seguenti espressioni

Li,lef t =





νi

ei





lef t

; ei,right (i = e, µ, τ ). (2.21)

Nel Modello Standard non ´e prevista l’esistenza del neutrino right-handed.

L’indice di generazione i corre sulle tre famiglie:

prima generazione −→ (ν^e, e)lef t ; eright

seconda generazione −→ (ν^µ, µ)lef t ; µright

terza generazione −→ (ν^τ, τ )lef t ; τright .

Con la scrittura Li,lef t∼ (2, 1)^Y2,i intendiamo un doppietto di SU(2) di ipercarica Y2,i e con eright∼ (1, 1)^Y¯2,i un singoletto avente ipercarica ¯Y2,i.

Per brevit´a scegliamo di lavorare con la prima generazione di particelle (u, d, νe, e) in quanto i risultati ottenuti saranno analoghi per le famiglie (c, s, νµ, µ) e (t, b, ντ, τ ) con le dovute sostituzioni delle masse. Questo perch´e le interazioni tra stati cor-rispondenti avvengono attraverso lo stesso set di bosoni di gauge.

Infine abbiamo un campo scalare (che chiameremo campo di Higgs) soggetto ad interazione debole e di ipercarica. Essendo un doppietto di SU(2) con prima compo-nente carica positivamente e seconda compocompo-nente neutra lo indichiamo

H ∼ (2, 1)^Y3 ; H =





φ⁺ φ⁰



. (2.22)

Tutti gli stati di particelle elencati saranno invarianti sotto trasformazioni di U(1), SU(2) ed SU(3), spazi di propriet´a interne per essi.

Le propriet´a pricipali delle quattro interazioni fondamentali sono riassunte nella seguente tabella

Interazione Elettromagnetica Debole Forte Gravitaz.

Intensit´a relativa 10⁻² 10⁻⁷ 1 10⁻³⁹

Range di azione ∞  10⁻¹⁴cm ' 10⁻¹⁴cm ∞

Bosone mediatore fotone W⁺W⁻Z⁰ gluone gravitone

Conserva C, P, T CPT P, T, C,simm. di I-spin /

Viola simm. di I-spin C, P, T / /

dalla quale si evince che l’interazione debole ´e infatti moto pi´u debole della forte e questo giustifica i nomi assegnati per descriverle. Ma la diversit´a delle costanti di accoppiamento che giustifica questo diverso comportamento non ´e l’unica pe-culiarit´a delle interazioni alla Yang-Mills. Altre pepe-culiarit´a sono appunto, la chi-ralit´a/vettorialit´a di alcune interazioni rispetto ad altre. Infatti, stati sinistrorsi o left-handed e stati destrorsi (o right-handed) trasformano diversamente sotto il gruppo SU(2). Se consideriamo una rotazione RSU(2), essa converte, ad esempio, il νlef tcon elef to viceversa, mentre essendo erightun singoletto, esso non subisce nessuna trasformazione poich´e non possiede uno stato a cui accoppiarsi.

Per questo diverso trattamento riservato alle particelle sinistrorse e destrorse il Modello Standard ´e detto, appunto, Chirale. La chiralit´a implica inoltre la violazione della parit´a della teoria nel settore elettrodebole. La presenza di accoppiamenti dif-ferenti per fermioni left e right ha delle conseguenze importanti anche nella rinormal-izzabilit´a della teoria, attraverso il principio di cancellazione delle anomalie chirali.

2.3 Lagrangiana del Modello Standard

Il nostro obbiettivo ´e la derivazione di una lagrangiana che descriva il Modello Stan-dard tenendo conto di tutti i campi dinamici che vi partecipano e delle loro interazioni, che si trasmettono mediante lo scambio di particelle che sono i quanti dei campi di gauge [16] detti anche bosoni vettori intermedi.

Per la costruzione di questa lagrangiana partiremo dagli ingredienti di base della teoria procedendo in questo modo:

1) introduciamo i termini cinetici dei campi dinamici fermionici e bosonici L^K,d= L^K,f + L^K,Higgs

dove l’indice f si riferisce ai seguenti stati: f = Qi,lef t , Li,lef t , ui,righ , di,lef t , ei,right

.

2) calcoliamo i termini cinetici dei bosoni di gauge L^K,g = L^K,Bµ+ L^K,Wµⁱ+ L^K,Gaµ

con i=1,2,3 ; a = 1,...8.

3) sommiamo i potenziali e le interazioni della teoria

L^V = −V^Higgs+ L^{Y ukawa} ed assumiamo che il vuoto della teoria sia tale da essere non triviale, cio´e che il campo di Higgs abbia valore di aspettazione non nullo.

L^{Y ukawa} fornisce i termini di interazione del campo Higgs con due stati di chiralit´a differenti. Il meccanismo di generazione della massa degli stati fermionici avviene solo dopo la rottura spontanea di simmetria.

Il primo punto si ottiene immediatamente sostituendo alla derivata ordinaria del termine cinetico di (2.2) la derivata covariante, e questa operazione va fatta per ogni termine cinetico dei vari campi della teoria che hanno cariche sotto un certo gruppo di gauge. La derivata covariante assicura l’invarianza di gauge per L^K,d

L^K,d = iQ_i,Lγ^µDSU(3)×SU(2)×U(1)

µ Qi,L + iui,Rγ^µD^SU(¯_µ ^3)×U(1)ui,R

+ idi,Rγ^µD^SU(¯_µ ^3)×U(1)di,R + Li,Liγ^µD^SU(2)×U(1)_µ Li,L + iei,Rγ^µD_µ^U(1)ei,R

+ (DµSU(2)×U(1)

H)^†(DµSU(2)×U(1)

H),

(2.23)

avendo indicato con il pedice L ed R rispettivamente gli stati sinistrorsi e destrorsi.

Esplicitando le derivate covarianti si ricavano i termini di interazione tra i bosoni di gauge e i campi, ma solo dopo la rottura di simmetria acquisteranno un significato fisico.

Per poter calcolare L^K,g occorre definire i campi di forza per i bosoni di gauge

Bµν = ∂µBν − ∂^νBµ

W_µνⁱ = ∂µW_νⁱ − ∂^νW_µⁱ + g₂f^ijkW_µ^jW_ν^k G^a_µν = ∂µG^a_ν − ∂^νG^a_µ + g3f^abcG^b_µG^c_ν,

(2.24) i quali trasformano genericamente come

Fµν → U(x)F^µν(x)U⁻¹(x) (2.25)

con U appartenente a U(1), SU(2) o SU(3) rispettivamente secondo i tre casi.

Queste propriet´a garantiscono l’invarianza di gauge per L^K,g, che indicheremo

L^K,g = −1

4BµνB^µν − 1 4Wµνi

W^{µν i} − 1

4G^a_µνG^{µν a}. (2.26) Infine indichiamo i due contributi che forniscono L^V

VH = m²_HH^∗H + λ(HH^∗)²

L^{Y ukawa} = λijkLjHeR,k + λabcQ_bHdR,c + λf ghQ_gHu˜ R,h + h.c.

(2.27) dove ˜H = iσ²H^∗.

Si nota l’assenza di contributi del tipo λαβγLβHν˜ R,γ che darebbero massa al neu-trino, se un neutrino destrorso fosse addizionato alla teoria.

2.4 Correnti neutre e correnti cariche

Dall’analisi dettagliata dei termini cinetici della lagrangiana ricaveremo le correnti generate dalle diverse particelle e per fare questo conviene espandere in doppietti le parti interessate. Per maggiore chiarezza esaminiamo separatamente il contributo leptonico e quello adronico.

La parte leptonica ´e data dalla seguente espressione

iLγ^µ(∂µ − i in cui abbiamo introdotto le grandezze

W_µ⁺ = − 1 Trascurando la parte propriamente cinetica, cio´e quella relativa alle derivate or-dinarie, otteniamo La parte adronica ´e data

iQ_LDµQL + iuRγ^µDµuR + idRγ^µDµdR. (2.31) Essendo i gluoni particelle neutre, esse non interagiscono col campo elettromag-netico; poich´e le matrici λ^a non sono tutte diagonali queste interazioni possono cam-biare la carica di colore dei quarks.

Riarrangiando i termini di (2.30) possiamo distinguere contributi di natura diversa

(g1

2YLBµ + g2

2W_µ⁰)eLγ^µeL ; (g1

2YRBµ)eRγ^µeR ;

(2.32)

(g1

2YLBµ − g2

2W_µ⁰)νLγ^µνL . (2.33) E evidente l’analogia delle (2.32) con la corrente elettromagnetica´

Le−m = QAµ(eLγ^µeL + eRγ^µeR) .

Quindi ´e possibile interpretare le equazioni (2.32) come componenti di una corrente carica in funzione dei campi Bµ e W_µ⁰.

L’equazione (2.33) indica invece la corrente neutra relativa ai neutrini. Occorre ora parametrizzare i campi Bµ e W_µ⁰ in funzione dei campi fisici neutri Aµ e Zµ per poter dare un’interpretazione fisica delle espressioni precedenti. Mostriamo dunque le equazioni delle trasformazioni dal set (Bµ, W_µ⁰) al set (Aµ, Zµ) e viceversa che es-primono proprio l’unificazione tra interazione debole ed interazione elettromagnetica.

Specificatamente avremo

Aµ = g2Bµ − g¹YLW_µ⁰

qg₂² + g²₁Y_L² ,

Zµ = g2W_µ⁰ + g1YLBµ

qg₂² + g²₁Y_L² ,

Bµ = g2Aµ + g1YLZµ

qg₂² + g²₁Y_L² , W_µ⁰ = g2Zµ − g¹YLAµ

qg₂² + g₁²Y_L² .

(2.34)

Con queste sostituzioni in (2.32) otteniamo la corrente relativa agli elettroni e ai Per comprenderne il significato fisico esprimiamo le costanti g1 e g2 in funzione della carica elettrica e e dell’angolo di mixing θW, detto angolo di Weinberg. Inoltre poniamo YL= −1 e Y^R= −2 per ottenere

e = g1g2

qg₁²+ g₂² , sin θW = g1

qg₁²+ g₂² , cos θW = g2

qg₁²+ g₂². Le espressioni (2.35) prenderanno la forma

J^eletr. = +Aµ Definiamo ora la quantit´a ˜Q che indicher´a l’intensit´a dell’accoppiamento tra le particelle e il campo Zµ. Essa non ´e altro che la generalizzazione del coefficiente di Zµ relativo a (2.36)

in cui l’operatore T₃^f rappresenta la terza componente di isospin, mentre Qf

l’operatore di carica.

Tali operatori possono assumere i valori

T₃^f =

Nella lagrangiana fermionica, oltre ai termini diagonali gi´a visti, vi sono anche correnti cariche del tipo

Queste correnti accoppiano gli elettroni e i neutrini ai bosoni W_µ⁺e W_µ⁻. L’assenza di un’interazione tra eR e W_µ⁺ o W_µ⁻ indica proprio la violazione di parit´a della forza elettrodebole.

2.5 Rottura di simmetria

I processi elettro-deboli sono ben descritti da una teoria di gauge non abeliana il cui gruppo di simmetria ´e SU(2) ⊗ U(1) ed a questo stadio, dato che la simmetria ´e preservata, i bosoni di gauge non hanno massa.

Le interazioni deboli sono caratterizzate da un corto raggio di azione e questa

´e una conseguenza del fatto che i bosoni vettori della teoria W⁺ , W⁻ e Z⁰ sono massivi, come ´e confermato dall’ esperienza.

Per poter riprodurre a livello teorico una lagrangiana che descriva correttamente quanto avviene in natura, si potrebbe pensare di introdurre dei termini di massa rela-tivi ai campi di gauge in maniera opportuna, ma questi campi massivi romperebbero

la simmetria, dando origine ad una teoria non rinormalizzabile. Una soluzione molto efficace per dare massa ai bosoni di gauge W⁺, W⁻ e Z⁰ ´e il meccanismo di Higgs secondo cui la simmetria ´e rotta spontaneamente e la rinormalizzabilit`a della teoria

´e preservata. Descriviamo brevemente il meccanismo di Higgs.

Consideriamo un campo scalare complesso φ descritto dalla lagrangiana [8]

L = ∂^µφ^∗∂^µφ − µ²φ^∗φ − 1

4λ(φ^∗φ)² (2.39)

in cui i parametri µ² ∈ R , λ ∈ R⁺⁰.

L ´e manifestamente invariante per trasformazioni globali di U(1). Nel caso in cui µ² ´e positivo il potenziale esibisce un minimo assoluto in φ0 = 0 ed al parametro µ² si attribuisce il significato di massa del campo complesso.

Se consideriamo valori negativi di µ² otteniamo

∂V

∂φ = 0 −→ |φ⁰|² = −2µ²

λ . (2.40)

Dunque il vuoto ´e degenere in quanto non ´e fissata la fase di φ0; questo fatto ´e una conseguenza dell’invarianza di gauge che fornisce un insieme di vuoti equivalenti tra loro

|φ⁰ > → |e^iqθφ0> . (2.41) La scelta di un particolare vuoto rompe la simmetria iniziale ed ´e proprio quello che faremo fissando la fase.

Se chiamiamo v = (^q−4µ_λ ²) si ha

φ₀ = 1

√2v e^iδ.

Il campo complesso pu´o essere descritto da due campi reali e dalla fase fissata

φ = 1

√2(φ1+ iφ2)e^iδ. (2.42)

Siccome il valore del vuoto < 0| φ |0 > non ´e nullo trasliamo il campo di una quantit´a pari proprio a v definendo

φ˜i = φi− vδⁱ¹ (i = 1, 2)

avendo scelto < 0|φ¹|0 >= v e < 0|φ²|0 >= 0. ˜φ1 e ˜φ2 rappresentano delle deviazioni del campo rispetto al vuoto nelle direzioni radiale la prima, tangenziale l’altra.

Esprimendo la lagrangiana in funzione dei campi ˜φi si osserva che il campo reale φ˜1 ha acquistato massa mentre il secondo campo risulta massless e sar´a per questo chiamato bosone di Goldstone. Inoltre la nuova lagrangiana, fisicamente equivalente alla vecchia, non risulta invariante sotto trasformazioni globali di U(1).

Il nostro primo obiettivo ´e quello di eliminare il bosone di Goldstone perch´e esso non rappresenta una particella reale ma ´e una conseguenza naturale del meccanismo di rottura di simmetria.

Prendiamo ora in esame una teoria di gauge locale. In tal caso il campo viene descritto da una lagrangiana in cui compaiono le derivate covarianti ed il termine cinetico dei campi vettoriali che mediano le interazioni. Nel caso in cui µ² ´e negativo, seguendo la procedura precedente, effettuiamo il cambio di variabili φi → ˜φi i cui valori di aspettazione sul vuoto sono nulli. Lo shift del campo induce un cambiamento della derivata covariante fornendo

Dµφ =˜ e^iδ

√2[∂µφ˜₁+ i(∂µφ˜₂+ qvAµ) + iqvAµ( ˜φ₁+ ˜φ₂)].

Si nota che il campo di gauge Aµ ´e connesso con il modo di Goldstone. Infatti, imponendo l’invarianza locale della lagrangiana data in funzione dei campi ˜φi, si ottiene

A⁰_µ= Aµ+ 1

qv∂µφ˜₂. (2.43)

Riscrivendo L in funzione di A⁰µ appare un termine di massa relativo ad esso e pari a mAµ = qv. Vogliamo sottolineare il fatto che la presenza di tale massa richiede sia la rottura di simmetria (v 6= 0) che l’accoppiamento tra campo di gauge e campo scalare (q 6= 0).

La (2.43) non ´e altro che una trasformazione di gauge particolare indicata con

Λ(x) = φ˜2(x) qv e che trasforma il campo iniziale

φ = 1

√2(v + ˜φ1+ i ˜φ2)e^iδ

in

φ⁰(x) = 1

√2[v + H(x)].

L’espressione precedente ´e ricavata avendo scelto la gauge di tipo unitario, che non cambia il valore di aspettazione del minimo del modo massless.

Λ(x) = 1

qarctan φ˜2

v + ˜φ1

→ ˜φ⁰₂ = 0.

La lagrangiana che ne deriva non dipender´a esplicitamente dal bosone di Goldstone che viene “assorbito” dal campo di gauge. Quest’ultimo prende una massa aumen-tando il numero di gradi libert´a da due (i due gradi di polarizzazione trasversi per massa nulla), a tre (si aggiunge una polarizzazione longitudinale nel diventare mas-sivo). H, che corrisponde al campo ˜φ1, ´e il campo reale che chiameremo campo di Higgs.

Siccome la teoria elettrodebole ´e una teoria locale non-abeliana possiamo general-izzare i risultati del caso precedente in questo modo. Sia G il gruppo non-abeliano le cui trasformazioni sono date dai generatori T^a, con a = 1, ...n. Dato il campo scalare φ(x) a n componenti e la derivata covariante in funzione dei vettori di gauge A^a_µ

Dµ= 1∂µ+ igT^aA^a_µ

si ottiene la lagrangiana invariante del sistema. Procedendo come nel caso abeliano, la rottura di simmetria d´a una ridefinizione dei campi φi con valore di aspettazione sul vuoto nullo. Lo stato fondamentale |v > ´e invariante sotto un certo numero di trasformazioni di G e il massimo numero di generatori che soddisfa tale propriet´a fissa un sottogruppo massimale per il quale

T^av = 0 (a = 1, ...M )

mentre

T^av 6= 0 (a = M + 1, ...n).

In conclusione i campi di gauge A^a_µ con a = 1, ...M rimangono massless mentre ai restanti n − M sono associati dei modi Goldstone che, una volta assorbiti, fanno acquisire una massa agli altri bosoni di gauge [9].

2.6 Generazione delle masse dalla rottura di simmetria

Le masse dei bosoni vettori sono ottenute, una volta rotta la simmetria, dai termini

 Con la sostituzione delle espressioni (2.29) e (2.34) otteniamo

mW^± = vg2

Nel caso di masse fermioniche occorre fare alcune considerazioni. Perch´e la la-grangiana sia invariante sotto trasformazioni di parit´a, le componenti di diversa chi-ralit´a di un campo fermionico devono trasformare nello stesso modo sotto trasfor-mazioni di gauge. In generale un fermione pu´o essere scritto come somma delle sue componenti left e right

sono operatori di proiezione. ψL e ψR sono autostati di chiralit´a con autovalore 1 il primo, −1 il secondo.

Con l’assunzione fatta inizialmente, il termine cinetico della lagrangiana ´e in-variante di gauge. Il termine di massa mψψψ, invece, rompe l’invarianza di gauge.

Sapendo che i fermioni in natura hanno massa, a parte i neutrini, occorrer´a rompere spontaneamente la simmetria e generare le masse osservate. Tale meccanismo non viola la simmetria di gauge e nello stesso tempo tiene conto della diversa natura di ψL e ψR. Infatti il termine di massa non ´e invariante per trasformazioni chirali.

Il meccanismo di Higgs nel caso dei leptoni agisce in questo modo. Prendiamo il doppietto left-handed neutrino-elettrone

la massa dell’elettrone ´e definita come miscela tra modo left e modo right come segue

Y LlHeR → 1

dove il coefficiente Y ´e la costante di accoppiamento di Yukawa scelta in modo da conservare l’invarianza di gauge.

Se consideriamo la massa del bosone di Higgs essa si ricava considerando il poten-ziale del campo nel punto di minimo. Il valore della massa ´e il coefficiente del termine quadratico del polinomio in H dato da

mH =√ 2λv.

2.7 Le divergenze quadratiche

A conclusione di questo capitolo e prima di inoltrarci nello studio delle teorie supersim-metriche, riassumiamo qui brevemente il calcolo delle divergenze quadratiche

A conclusione di questo capitolo e prima di inoltrarci nello studio delle teorie supersim-metriche, riassumiamo qui brevemente il calcolo delle divergenze quadratiche

Nel documento 0.2 Fisica oltre il Modello Standard (pagine 50-0)