Le divergenze quadratiche

A conclusione di questo capitolo e prima di inoltrarci nello studio delle teorie supersim-metriche, riassumiamo qui brevemente il calcolo delle divergenze quadratiche ripor-tando solo i risultati essenziali, essendo questo indispensabile per motivare l’introduzione della supersimmetria in fisica delle alte energie. Maggiori dettagli possono essere trovati in [12].

h

ψ > > >

Figure 2.1: Rinormalizzazione della massa fermionica da un loop scalare.

Il probema pu´o essere esaurientemente illustrato usando un modello semplificato in cui un fermione singolo interagisce con uno scalare φ massivo e la cui lagrangiana pu´o essere presa della forma

Assumiamo che questa lagrangiana abbia una rottura spontanea per uno specifico potenziale del campo scalare tale che, intorno al minimo φ = (h + v)/√

2, con h indicante il bosone di Higgs fisico, il campo fermionico acquisisce una massa data da mF = λFv/√

2 che, ovviamente, prende correzioni radiative, ad esempio di self-energia, come illustrato in Fig. 2.1.

Il calcolo di queste correzioni porta ad un nuovo valore della massa del fermione dato da m^r_F = mF + δmF dove dove alla massa all’ordine zero addizioniamo il contributo di Fig. 2.1. Introducendo un cutoff Λ per regolarizzare l’integrale si ottiene

δmF = −λ²_FmF

dove abbiamo omesso i termini indipendenti dal cutoff stesso o che vanno a zero quando questo va ad infinito.

Notiamo come questo risultato dipenda dal cutoff solo in forma logaritmica.

h

ψ

<

Figure 2.2: Rinormalizzazione della massa dell’Higgs da un loop fermionico.

La situazione nel caso delle correzioni alla massa dello scalare sono invece dif-ferenti. Il contributo di Fig.2.2 si esprime nella forma

−iΣ^S(p²) = ed integrando, dopo aver introdotto un cutoff Λ, si ottiene

(δM_h²) = −λ²_F

, e la massa diverge quadratica-mente col cutoff. La presenza di questa divergenza, che deve essere controllata me-diante l’introduzione di una lagrangiana di controtermine, ´e una caratteristica molto discutibile del modello, in quanto ad ordini perturbativi piu’ alti bisogna riaggiustare il cutoff in modo da rieliminare le nuove divergenze.

Bench´e alcuni teorici considerino questa situazione accettabile, rimane il fatto che l’aggiustamento perturbativo richiesto (fine tuning) per rendere la teoria sensibile ´e comunque problematico.

L’introduzione della supersimmetria permette di cancellare le divergenze quadratiche mediante il “raddoppiamento dello spettro”, cioe’ ad ogni scalare viene associato un fermione nella medesima rappresentazione del gruppo di gauge che d´a un contributo opposto a quello dello scalare, in modo tale che la somma dei due contributi radia-tivi sia priva dei termini quadratici in Λ. L’implementazione di queste cancellazioni ´e effettuabile sistematicamente mediante l’imposizione di una nuova simmetria della la-grangiana che, si scopre, ´e una generalizzazione delle simmetrie ordinarie (bosoniche) ed ´e caratterizzata da una struttura algebrica alquanto complessa. Le implicazioni

fisiche di questi modelli sono anche alquanto complesse, data l’ampliamento dello spettro che ´e necessario per ottenere questo risultato.

Il Modello Standard Minimale Supersimmetrico

In questo capitolo discuteremo la formulazione del Modello Standard Supersimmet-rico Minimale (o MSSM) analizzando in dettaglio gran parte della sua struttura for-male e discutendo il suo spettro e la metodologia usata nella derivazione della sua lagrangiana. Partiamo, ad esempio, dal settore leptonico, ragionando su basi generali.

Al doppietto leptonico del Modello Standard, le cui componenti rappresentano il neutrino e l’elettrone, nel processo di supersimmetrizzazione di questi campi, si dovrebbe associare un doppietto bosonico di spin zero, se intendiamo bilanciare i gradi di libert´a fermionici e bosonici. Questo implica, naturalmente, che avremo bisogno di campi scalari. Ma i campi fisici scalari, nel Modello Standard, sono solo dati dal doppietto di Higgs, che non pu´o essere scelto come partner in quanto non ha carica leptonica. Infatti un supermultipletto non pu´o contenere delle particelle che conservano un certo numero quantico ed altre che non lo conservano, dovendo appartenere tutte le sue componenti alla medesima rappresentazione (e quindi essere caratterizzato dalle stesse cariche) del gruppo di gauge. Per questo motivo definiamo il doppietto con componenti bosoniche date dallo sneutrino e dal selettrone, che sono dei nuovi campi, e procediamo nello stesso modo anche per i quark. La procedura pertanto si ripete per ogni generazione di leptoni e di quark. Una procedura analoga is segue anche per la supersimmetrizzazione delle interazioni di gauge, con i campi di gauge descritti da multipletti vettoriali di massa nulla. Questo vale per ciascun campo di gauge descritto nel Modello Standard. Ricordiamo che dopo la rottura di simmetria, i partner fermionici di W⁺, W⁻, Z⁰ e del fotone, anch’essi caratterizzati da una matrice di massa, giocheranno un ruolo molto importante nella architettura

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finale del modello. Questi partner dei bosoni di gauge saranno chiamati wini, zino e fotino rispettivamente. Per il settore relativo ai campi di Higgs si introducono gli Higgsini.

Quindi, per riassumere, ogni componente ordinaria (fermionica o bosonica) del Modello Standard viene promossa a supercampo. Ad esempio, se il doppietto left-handed dei quarks ´e composto da due quark della terza generazione, entrambe le componenti di tale doppietto vengono sostituite da supercampi con cariche di gauge che sono le stesse del doppietto ordinario (cio´e non supersimmetrico). Operando in questo modo otterremo quindi un nuovo modello descritto da una lagrangiana che terr´a conto della dinamica di tutte le possibili particelle in giuoco nella teoria e dei loro rispettivi superpartners, [21], [22]. V´a fatto presente, in ogni caso, che non sono ancora state osservate sperimentalmente le particelle delle teorie supersimmetriche partner di quelle ordinarie. Ricordiamo ancora una volta che, dal punto di vista dell’algebra della supersimmetria, queste dovrebbero essere degeneri in massa con le prime. Questo fatto chiaramente indica che la supersimmetria deve essere una teoria rotta almeno sino alle energie studiate nei collisori precedenti all’LHC, quali LEP ed il Tevatron. Le energie nel centro di massa nel caso di LEP sono state di circa 200 GeV, mentre il Tevatron, che ´e un collisore adronico, ha raggiunto circa i 2 TeV. In quest’ultimo caso la vera energia a disposizione degli urti partonici ´e solo una frazione dell’energia nel centro di massa, senz’altro inferiore ad 1 TeV.

3.1 Espansione dei supercampi

Basandoci sulle osservazioni precedenti possiamo dare un’espressione per l’espansione dei supercampi. Nel caso leptonico avremo

L(x, θ, θ) =ˆ





ˆ

νl(x, θ, θ) ˆl(x, θ, θ)





lef t

= L(x) + iθσ˜ ^µθ∂µL(x) −˜ 1

4θθθθ∂²L(x) +˜ √

2θL(x)

+ i

√2θθθσ^µ∂µL(x) + θθFL(x).

(3.1)

La scelta della notazione ´e fondamentale per mettere in luce la natura dei super-campi, infatti ˆL rappresenta il doppietto di SU(2). Perci´o ciascuna componente sar´a indicata in questo modo

in cui le prime componenti avranno carica zero mentre le seconde -1. Le compo-nenti fermioniche sono quelle fornite da L, in accordo con quanto detto sopra, mentre L fornisce i partners supersimmetrici bosonici. F˜ L ´e il campo ausiliario che sar´a eliminato attraverso le equazioni del moto per ottenere la lagrangiana fisica (detta lagrangiana on-shell).

Il supercampo corrispondente al singoletto elettronico right-handed del Modello Standard sar´a sostituito dal supercampo

Eˆ^c(x, θ, θ) = ˆlright(x)

In questo modo indichiamo l’espressione relativa a un singoletto di SU(2). Il campo fermionico con carica +1 ´e fornito da E^c mentre quello bosonico corrispon-dente, con la medesima carica, ´e ˜E^c. Ancora una volta il campo ausiliario ´e indicato con FE.

Forniamo l’espansione per i due doppietti di Higgs, gli unici supercampi scalari della teoria

= H1(x) + iθσ^µθ∂µH1(x) − 1

Definiamo Hi le componenti bosoniche dei campi di Higgs e con ˜Hi indichiamo gli Higgsini, per i che assume valore 1 o 2 a secondo del doppietto considerato.

H1 =

Le prime componenti di ˆH1 sono neutre mentre le seconde hanno carica -1.

H₂ =

Nel caso di ˆH2 le prime componenti hanno carica +1, mentre le seconde saranno neutre.

Nel caso dei quark procediamo in maniera analoga ai casi precedenti

Q(x, θ, θ) =ˆ

+ i

√2θθθσ^µ∂µQ(x) + θθFQ(x),

(3.8)

ˆ

u^c(x, θ, θ) = uˆright(x, θ, θ) = ˜u^c(x) + iθσ^µθ∂µu˜^c(x) − 1

4θθθθ∂²u˜^c(x)

+ √

2u^c(x) + i

√2θθθσ^µ∂µu^c(x) + θθFu(x),

(3.9)

dˆ^c(x, θ, θ) = dˆright(x, θ, θ) = ˜d^c(x) + iθσ^µθ∂µd˜^c(x)

− 1

4θθθθ∂²d˜^c(x) + √

2d^c(x) + i

√2θθθσ^µ∂µd^c(x) + θθFd(x).

(3.10) Si nota che il supercampo ˆQ ´e un doppietto di SU(2), mentre ˆu e ˆd si trasformano come singoletti per trasformazionioni dello stesso gruppo.

I supercampi vettoriali relativi a SU(3) , SU(2) e U(1) in funzione delle compo-nenti, nella gauge di Wess-Zumino, prendono la forma

Uˆ^l(x, θ, θ) = −θσ^µθU_µ^l(x) + iθθθλ^l(x) − iθθθλ^l(x) + 1

2θθθθD^l(x) Vˆ^a(x, θ, θ) = −θσ^µθV_µ^a(x) + iθθθλ^a(x) − iθθθλ^a(x) + 1

2θθθθD^a(x) Vˆ⁰(x, θ, θ) = −θσ^µθV_µ⁰(x) + iθθθλ⁰(x) − iθθθλ⁰(x) + 1

2θθθθD⁰(x).

(3.11) I supercampi vettoriali prendono valore nella rappresentazone aggiunta dei gruppi di gauge e sono espandibili nelle basi dei rispettivi generatori











Vˆ = Vˆ^aT^a Vˆ⁰ = Vˆ⁰Y

Uˆ = Uˆ^lS^l

L’indice a ´e un indice di SU(2), per cui assume i valori a = 1, 2, 3, mentre l ´e un indice di SU(3), quindi l = 1, ...8.

U_µ^l, V_µ^a e V_µ⁰ sono i bosoni di gauge mentre i gaugini sono dati da λ^l, λ^a e λ⁰. Possiamo dunque riassumere la classifica dei supercampi come segue

Campi fermionici Campi bosonici Leptoni e quarks Sleptoni e squarks (Lⁱ, Qⁱ, E^c, u^c, d^c)(spin 1/2) ( ˜Lⁱ, ˜E^c, ˜Qⁱ, ˜u^c, ˜d^c)(spin 0)

Higgsini( ˜H₁ⁱ, ˜H₂ⁱ) Bosoni di Higgs(H₁ⁱ, H₂ⁱ)

(spin 1/2) (spin 0)

Gaugini(λ^a, λ⁰, λ^l) Bosoni di gauge(V_µ^a, V_µ⁰, U_µ^l)

(spin 1/2) (spin 1)

3.2 Lagrangiana Supersimmetrica

La lagrangiana completa sar´a composta da un termine invariante sotto trasformazioni supersimmetriche, L^Susy, e da altri termini responsabili della rottura di supersimme-tria, L^{sof t}. Nei calcoli che seguiranno sono stati consultati [17], [18], [20] e [19].

Arriveremo a scrivere l’intera lagrangiana

L^T = L^susy+ L^{sof t}

dopo aver analizzato con attenzione ciascuna sua parte. Se esplicitiamo l’espressione di L^{sof t} si ha un contributo dai termini di massa per gli scalari, contributo che in-dichiamo con L¹, e un secondo contributo relativo ai termini di massa di gauge, dati dall’espressione L²

L¹ = −

Z

d⁴θ



M_L²Lˆ^†L + mˆ ²_EEˆ^†E + Mˆ _Q²Qˆ^†Q + mˆ ²_uuˆ^c†uˆ^c+ m²_ddˆ^c†dˆ^c +m²₁Hˆ₁^†Hˆ1 + m²₂Hˆ₂^†Hˆ2 − m²3^ij( ˆH₁ⁱHˆ₂^j + h.c.)ⁱδ⁴(θ, θ),

L² = 1

2 d⁴θ^h(M W^{a α}W_α^a + M⁰W^0αW_α⁰ + MlW^{l α}W_α^l + h.c.ⁱδ⁴(θ, θ).

(3.12) Nella seconda espressione sono stati utilizzati i campi di forza relativi ai campi di gauge, che sarranno definiti tra breve.

L^Susy consiste nella somma dei termini cinetici dei campi leptonici, adronici, di quelli di gauge ed infine dei campi di Higgs; inoltre comprende i termini di super-potenziale che tratteremo in dettaglio.

L^Susy =

Z

d⁴θ^hLˆ^†e^{2g ˆV+g0Vˆ0}L + ˆˆ E^c†e^g0Vˆ0Eˆ^ci +

Z

d⁴θ

Qˆ^†e^{g ˆ¯U+2g ˆV+g0Vˆ0}Q + ˆˆ u^c†e^{g ˆ¯U+g0Vˆ0}uˆ^c+ ˆd^c†e^{¯g ˆU+g0Vˆ0}dˆ^c



+1 4

Z

d⁴θ^hW^aαW_α^a+ W^0αW_α⁰ + W^lαW_α^liδ²(θ)^+ h.c +

Z

d⁴θ^hHˆ₁^†e^{2g ˆV+g0Vˆ0}Hˆ1+ ˆH₂^†e^{2g ˆV+g0Vˆ0}Hˆ2

i+

Z

d⁴θWδ²(θ) +Wδ²(θ), (3.13) Abbiamo indicato con g⁰, g e ¯g le costanti di accoppiamento rispettivamente di U(1) , SU(2) e SU(3).

I campi di forza per i tre gruppi di gauge sono

W_α⁰ = −1

4DDDα_˙Vˆ⁰, W_α^a = − 1

8gDDe^{−2g ˆV}Dαe^{2g ˆV}, W_α^l = − 1

4¯gDDe^{−¯g ˆU}Dαe^{¯g ˆU}.

(3.14) La rinormalizzabilit´a del modello richiede che il superpotenziale W sia un poli-nomio nei campi di ordine non maggiore di tre. Esso sar´a la somma di due diversi contributi

W = W^Higgs+ W^{Y ukawa}

= µ^ijHˆ₁ⁱHˆ₂^j+ ^ij[f ˆH₁ⁱLˆ^jE + fˆ 1Hˆ₁ⁱQˆ^jdˆ^c+ f2Hˆ₂^jQˆⁱuˆ^c]

(3.15)

dove µ ´e un parametro di massa ed f , il cosiddetto µ term, mentre f₁ ed f₂ sono costanti di accoppiamento di Yukawa.

3.3 Dettagli relativi al calcolo di

_LSof t

La supersimmetria non ´e una simmetria esatta e questo fatto si pu´o dedurre dalla conoscenza dello spettro del Modello Supersimmetrico Minimale. In generale le tec-niche usate per rompere una simmetria sono due: la prima consiste nell’introduzione di termini di rottura all’interno della lagrangiana che descrive il modello; la sec-onda procedura ´e il meccanismo di rottura spontanea di simmetria. Abbiamo gi´a escluso in quest’ultimo caso la prima procedura perch´e essa comprometterebbe la rinormalizzabilit´a della teoria. Nel caso del Modello Standard Supersimmetrico min-imale occorrer´a invece procedere in maniera differente, introducendo esplicitamente dei contributi che chiamiamo termini di Susy-Breaking. La scelta di inserire ”a mano”

tali contributi ´e dettata dagli effetti che essi hanno a basse energie, una volta che il meccanismo di rottura di supersimmetria si sia verificato a grandi scale di massa.

I termini di breaking saranno scelti in modo opportuno perch´e, ancora una volta, occorre che il modello in esame sia rinormalizzabile. Questo aspetto rappresenta proprio la risposta al problema delle gerarchie di gauge che si incontra nella fisica standard.

La natura dei termini di breaking ´e di tipo ”soft”, cio´e essi hanno dimensioni di massa positive, essendo tutti del tipo m²φ². La ragione di questa forma sta nel fatto che essa non introduce nuove divergenze nelle relazioni tra le costanti di accoppia-mento adimensionali della lagrangiana effettiva, costanti che garantiscono la stabilit´a delle masse anche a grandi energie. I termini di soft-breaking fissano le cancellazioni delle correzioni radiative all’ordine di m², per ogni ordine perturbativo. Infatti

pos-siamo scrivere

δm² ∼ m²sof tlog( Λ m²_{sof t})

dove msof t fissa la scala di energia tipica dei termini di rottura (pari a circa 1 TeV).

Si noti come questi termini, pertanto, inducano correzioni radiative puramente logar-itmiche e non quadratiche. L’introduzione di divergenze quadratiche sarebbe in con-traddizione con lo scopo stesso della supersimmetria che ´e proprio quello di eliminare tali divergenze. Un risultato importante della supersimmetria che si pu´o dimostrare facilmente a partire dall’ algebra dei generatori supersimmetrici ´e che lo stato di vuoto della teoria deve avere energia nulla perch´e la simmetria rimanga esatta. Potenziali caratterizzati da un minimo non nullo rompono la supersimmetria. Questo, ovvia-mente, ´e differente rispetto a quanto accade per ordinarie teorie di gauge. ´E possibile avere potenziali a forma di “cappello messicano”, che quindi rompono la simmetria di gauge senza che questi, per´o, rompano anche la supersimmetria. Ci´o succede quando i minimi non triviali della teoria hanno energia nulla. Quindi, l’esistenza di stati di vuoto supersimmetrici non ´e incompatibile con la rottura dell’ordinaria simmetria di gauge. Infatti, nel modello standard supersimmetrico abbiamo bisogno sia di poten-ziali che rompano la simmetria di gauge per dare massa ai campi di gauge, ai quark ed ai leptoni, che di una rottura “soffice”, cio´e debole della supersimmetria.

Consideriamo ora proprio il termine di breaking

L^{Sof t} = L1+ L2

= −

Z

d⁴θ^hM_L²Lˆ^†L + mˆ ²_EEˆ^†E + mˆ ²₁Hˆ₁^†Hˆ1+ m²₂Hˆ₂^†Hˆ2

−m²3^ij( ˆH₁ⁱHˆ₂^j+ h.c) + M_Q²Qˆ^†Q + mˆ ²_uuˆ^c†uˆ^c+ m²_ddˆ^c†dˆ^c



δ⁴(θ, θ) +1

2

Z

d⁴θ^h(M W^aαW aα+ M⁰W^0αW_α⁰ + MlW^{l α}W_α^l) + h.c.ⁱδ⁴(θ, θ).

(3.16)

Esaminiamo per il momento il primo termine di L¹, usando l’espansione dei su-percampi e sfruttando la propriet´a

(χσ^µψ)^†= −(ψσ^µχ)^† = −(χσ^µψ).

Con essa si ricava la seguente relazione

L’integrazione grassmaniana, le cui propriet´a sono state discussa nel primo capi-tolo, fornir´a come risultato dell’espressione precedente il prodotto delle componenti scalari relative alla quantit´a ˆL^†L. Tutte le altre componenti si annullano nell’operazioneˆ di integrazione. Il risultato ´e analogo per i contributi provenienti dall’espansione degli altri campi, quindi avremo

I termini di massa per i campi di gauge sono ricavati seguendo la stessa procedura, esplicitando in componenti i prodotti W^aαW_α^a, W^0αW_α⁰ e W^{l α}W_α^l.

1

2 d⁴θ[(M⁰W^0αW_α⁰) + h.c.]δ⁴(θ, θ) = −M

2 (λ⁰λ⁰+ h.c.).

(3.19) Mostriamo come ricavare le espressioni precedenti, una volta fatte due ipotesi:

1) fissiamo la gauge di Wess-Zumino;

2) data la chiralit´a dei campi di forza utilizziamo la rappresentazione nella base (y = x − iθσ^µθ) in cui la derivata covariante assume la forma data dalla prima espressione di (1.84).

Otteniamo dunque nella nuova base

Vˆ^a(y, θ, θ) = −θσ^µθV_µ^a(y) + iθ²θλ^a(y) − iθ²θλ^a(y) +1

2θ²θ²[D^a(y) + i∂^µV_µ^a(y)];

Wα = − 1

8gDD(1 − 2g ˆV − 1

2(2g²) ˆV ˆV )Dα(1 + 2g ˆV + 1

2(2g²) ˆV ˆV )

= − 1

8gDD(1 − 2g ˆV^aT^a− 2g²Vˆ^aVˆ^bT^aT^b) × ( ∂

∂θ^α + 2iσ_α^µ_α˙θ^α˙ ∂

∂y^µ) × (1 + 2g ˆV^aT^a+ 2g²Vˆ^aVˆ^bT^aT^b).

(3.20) Occorre ora procedere per gradi calcolando i risultati intermedi

Dα(2g ˆV^aT^a) = ( ∂

∂θ^α + 2iσ_α^µ_α˙θ^α˙ ∂

∂y^µ)(2g ˆV^aT^a)

= 2gT^a



− σ^να ˙βθ^β˙V_ν^a(y) + 2iθαθλ^a(y) − iθ²λ^a_α(y) + θ²(θαD^a(y)

− (σ^µν)^β_αθβ[∂µVν(y) − ∂^νVµ(y)]^+ θ²θ²σ_α^µ_α˙∂µλ^αa˙ (y)



Dα(2g²Vˆ^aVˆ^bT^aT^b) = 2g²T^aT^b



θ²θαV^aν(y)V_ν^b(y)



,

(3.21)

e^{−2g ˆV}Dαe^{2g ˆV} = 2gT^a[−σα^µα˙θ^α˙V_µ^a+ 2iθαθλ^a+ θ²{θ^αD^a− (σ^µν)^β_αθβV_µν^a}

−iθ λ^a_α+ θ²θ σ^µ_αα˙{∂^µλ − gf^abcV_µ^bλ }],

(3.22)

avendo introdotto il campo di forza relativo a SU(2), che definiamo

V_µν^c = ∂µVν − ∂^νVµ− gf^abcV_µ^aV_ν^b.

Date le propriet´a di derivazione delle variabili di Grassmann, ricorrendo a (1.56), si giunge al risultato

Wα = T^a[iλ^a_α− θ^αD^a+ (σ^µν)^β_αθβV_µν^a − θ²σ_α^µ_α˙(∂µλ^αa˙ − gf^abcV_µ^bλ^c)]. (3.23)

Poich´e il nostro obbiettivo ´e quello di calcolare 1

2

Z

d⁴θ [(M W^aαW_α^a) + h.c.] δ⁴(θ, θ)

nel prodotto W^αWα consideriamo solo il termine di ordine inferiore, in quanto ´e l’unico a sopravvivere all’operazione di integrazione. Se definiamo

W^α = ^αβWβ, allora avremo

W^αW_α|0 = −T^aT^aλ^αaλ^a_α (3.24) per cui finalmente

1 2

Z

d⁴θ [(M W^aαW_α^a) + h.c.] δ⁴(θ, θ) = M

2

Z

d⁴θ [T r(T^aT^a)(−λ^αaλ^a_α) + h.c] =

−M

2 (λ^αaλ^a_α+ λ^αa˙ λ^a_α˙) .

(3.25)

Analogamente si procede per la seconda e la terza espressione di (3.19).

3.4 Calcolo di

_LSusy

attraverso tecniche di algebra supersimmetrica

Per ricavare L^Susy si pu´o inizialmente esplicitare il termine cinetico relativo al super-campo ˆQ

Z

d⁴θ ˆQ^†e^{¯g ˆU+2g ˆV+g0Vˆ0}Q.ˆ (3.26) Da questo si dedurranno banalmente i contributi cinetici dei supercampi di Higgs e dei restanti leptoni ponendo la carica ¯g di SU(3) a zero, mentre per i singoletti di SU(2) occorrer´a annullare anche la costante g, ottenendo le espressioni

Z

d⁴θ ˆL^†e^{2g ˆV+g0Vˆ0}Lˆ

Z

d⁴θ ˆu^c†e^g0Vˆ0uˆ^c.

(3.27) Il calcolo che ci siamo proposti di risolvere ´e particolarmente lungo quindi occor-rer´a procedere per gradi. Cerchiamo innanzitutto l’espressione esplicita dell’operatore

e^{g ˆ¯U+2g ˆV+g0Vˆ0} = (1 + ¯g ˆU^lS^l+ 1

2g¯²Uˆ^lUˆ^mS^lS^m) × (1 + 2gT^aVˆ^a+ 2g²T^aT^bVˆ^aVˆ^b)

× (1 + g⁰Y ˆV⁰ +1

2Y²V⁰²) = (1 + ¯g ˆU^lS^l+ 1

2g¯²Uˆ^lUˆ^mS^lS^m)(1 + g⁰Y ˆV⁰ +2gT^aVˆ^a + g⁰²

2 Y²Vˆ⁰²+ 2g²T^aT^bVˆ^aVˆ^b+ 2gg⁰Y T^aVˆ^aVˆ⁰)

= 1 + g⁰Y ˆV⁰+ 2gT^aVˆ^a+g⁰²

2 Y²Vˆ⁰² + 2g²T^aT^bVˆ^aVˆ^b+ 2gg⁰Y T^aVˆ^aVˆ⁰ +¯g ˆU^lS^l + ¯gg⁰Y S^lUˆ^lVˆ⁰+ 2¯gg ˆU^lS^lT^aVˆ^a+ 1

2g¯²Uˆ^lUˆ^mS^lS^m

(3.28) dove i prodotti del tipo ˆV^aVˆ^b , ˆU^lVˆ⁰ etc. sono ottenuti sfruttando relazioni di questo tipo

Vˆ^aVˆ^b → (−θσ^µθV_µ^a)(−θσ^νθV_ν^b) = 1

2η^µνθ²θ²V_µ^aV_ν^b = 1

2θ²θ²V_µ^aV^bµ

.

Abbiamo considerato solo la componente del prodotto che non si annulla nell’operazione di integrazione.

Consideriamo l’azione di (3.28) sul campo ˆQ, dopo aver fatto l’espansione in com-ponenti sia del campo che dell’operatore considerato

e^{¯g+2g ˆV+g0Vˆ0}Q =ˆ

"

1 − θσ^µθ[2gT^aV_µ^a+ g⁰Y V_µ⁰ + ¯gU_µ^lS^l] + iθ²θ[2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l]

−iθ²θ[2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l] + 1

2θ²θ²[2gT^aD^a+ g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l +2g²T^aT^bV^aµV_µ^b+ g⁰²

2 Y²V^0µV_µ⁰ + 2gg⁰Y T^aV^aµV_µ⁰+ ¯gg⁰U^lµV_µ⁰S^lY +2g¯gU^lµV_µ^aT^aS^l+1

2¯g²U^lµU_µ^mS^lS^m]

#"

Q(x) + iθσ˜ ^µθ∂µQ(x)˜

−1

4θθθθ∂²Q(x) +˜ √

2θQ(x) + i

√2θθθσ^µ∂µQ(x) + θθFQ(x)

#

= Q − (θσ˜ ^µθ)A{ ˜Q + iθσ^νθ∂νQ +˜ √

2θQ} + iθ²θB ˜Q

−iθ²θC{ ˜Q +√

2θQ} + 1

2θ²θ²QD.˜

(3.29) Abbiamo indicato per comodit´a alcune espressioni in maniera sintetica

A = 2gT^aV_µ^a+ g⁰Y V_µ⁰+ ¯gU_µ^lS^l B = 2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l C = 2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l

D = 2gT^aD^a+ g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l+ 2g²T^aT^bV^aµV_µ^b+g⁰²

2 Y²V^0µV_µ⁰+ 2gg⁰Y T^aV^aµV_µ⁰ + ¯gg⁰U^lµV_µ⁰S^lY + 2g¯gU^lµV_µ^aT^aS^l+ 1

2g¯²U^lµU_µ^mS^lS^m.

(3.30) Sfruttando le relazioni

i(θσ^µθ)(θσ^µθ) = i

2θ²θ²η^µν,

(θσ^µθ)θ^αQα = 1

2^βαθ²σ^µ_{β ˙β}θ^β˙Qα = 1

2θ²(Qσ^µθ), l’espressione (3.29) assume la forma

Q +˜ √

Moltiplichiamo ora ˆQ^† per il risultato precedente. Successivamente proiettiamo le componenti θ²θ² del prodotto ottenuto. Quest’operazione coincide con l’integrazione (3.26) ed il risultato finale ´e

Z

+ i

√2Q˜^†(2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l)Q − iQ^†σ^µ∂µQ − i

√2Q^†(2gT^aλ^a

+ g⁰Y λ⁰ + ¯gλ^lS^l) ˜Q +1

2Q^†σ^µ(2gT^aV^aµ+ g⁰Y V_µ⁰+ ¯gU_µ^lS^l)Q + F_Q^†FQ.

(3.32) Nel risultato precedente sono state sfruttate le seguenti identit´a

Qσ^µ∂µQ^† = Q^†σ^µ∂µQ + ∂µ(Qσ^µQ^†)

∂²Q˜^†Q = −∂˜ ^µQ˜^†∂µQ + ∂˜ µ(∂^µQ˜^†Q)˜ Q˜^†∂²Q = −∂˜ ^µQ˜^†∂µQ + ∂˜ µ( ˜Q^†∂^µQ).˜

(3.33) Se indichiamo il gruppo di simmetria con

G = SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1),

definiamo la derivata covariante relativa a G Dµ= ∂µ+ igT^aV_µ^a+ ig⁰Y

2V_µ⁰+ i¯gS^l

2 U_µ^l (3.34)

come fatto nel capitolo precedente. Introducendo questa nuova espressione in (3.32) otteniamo il termine cinetico nella forma definitiva

Z

d⁴θ ˆQ^†e^{¯g ˆU+2g ˆV+g0Vˆ0}Q = (Dˆ ^µQ)˜ ^†(DµQ) − iQ˜ ^†σ^µDµQ + 1

2Q˜^†(2gT^aD^a + g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l) ˜Q + i

√2Q˜^†(2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l)Q

− i

√2Q^†(2gT^aλ^a+ g⁰Y λ⁰+ ¯gλ^lS^l) ˜Q + F_Q^†FQ+ t.d.

(3.35) Con t.d. indichiamo le derivate spaziali totali; poich´e esse si annullano nel calcolo dell’azione d’ora in poi possiamo trascurarle.

Otteniamo banalmente il contributo del superpotenziale alla lagrangiana super-simmetrica da considerazioni fatte precedentemente, relative all’integrazione rispetto alle variabili di Grassmann

Z

d⁴θWδ²(θ) + Wδ²(θ) =

Z

d⁴θ[µ^ijHˆ₁ⁱHˆ₂^j + ^ij(f ˆH₁ⁱLˆ^jE + fˆ 1Hˆ₁ⁱQˆ^jdˆ^c+ f2Hˆ₂^jQˆⁱuˆ^c)]δ²(θ) + h.c = µ^ij[H₁ⁱF₂^j+ F₁ⁱH₂^j− ˜H₁ⁱH˜₂^j] + f ^ij[F₁ⁱL˜^jE˜^c+ H₁ⁱF_L^jE˜^c+ H₁ⁱL˜^jFE − ˜H₁ⁱL^jE˜^c

−H1ⁱL^jE^c− E^cH˜₁ⁱL˜^j] + f₁^ij[H₁ⁱQ˜^jFD − H1ⁱQ^jd^c+ H₁ⁱF_Q^jd˜^c− ˜H₁ⁱQ˜^jd^c− ˜H₁ⁱQ^jd˜^c +F₁ⁱQ˜^jd˜^c] + f2^ij[H₂^jQ˜ⁱFu− H2^jQⁱu^c+ H₂^jF_Qⁱu˜^c− ˜H₂^jQ˜ⁱu^c− ˜H₂^jQⁱu˜^c

+F₂^jQ˜ⁱu˜^c] + h.c.

(3.36)

Tra i termini cinetici dei campi di gauge sviluppiamo in dettaglio il calcolo relativo ai gluoni e ai gluini

1 4

Z

d⁴θ[W^lαW_α^l]δ²(θ).

Dalla definizione di (3.14) occorre procedere per passi successivi. Per cominciare, sviluppiamo ˆU^lnella base (y−iθσθ) e lavoriamo nella rappresentazione 1 della derivata covariante. Vogliamo ottenere l’espressione

e^−¯gUDαe^{¯g ˆU}

e pu´o essere utile il calcolo precedente eseguito (3.29) se effettuiamo le sostituzioni

2g → ¯g; ˆV → ˆU avremo

Wα = − 1

4¯gDDe^{−¯g ˆU}Dαe^{g ˆ¯U} = S^l

2{iλ^lα− θ^αD^l +(σ^µν)^β_αθβU_µν^l − θ²σ_α^µ_˙γ(∂µλ^˙γl− ¯g

2f^lmnU_µ^mλ^˙γn)}.

(3.37)

Successivamente calcoliamo il prodotto

W^αWα = S^l 2

S^k 2



iλ^lα − θ^αD^l + ^αβ(σ^µν)_β^γθγU_µν^l − ^αβθ²σ^µβ˙γ

(∂µλ^˙γl − ¯g

2f^lmnU_µ^mλ^˙γn)



iλ^k_α − θ^αD^k + (σ^µν)αδ

θδU_µν^k − θ²σ_α^µ_˙γ(∂µλ^˙γk − g¯

2f^kmnU_µ^mλ^˙γn)



.

(3.38)

Date le propriet´a

T r(σ^µν) = 0 ; T r(σ^µνσ^ρσ) = 1

2(g^µρg^νσ− g^µσg^νρ) + i 2^µνρσ e assumendo che

Dµλ^l = (∂µδ^lm + i¯g

2( ¯T_adjⁿ )^lmU_µⁿ + ig[T_adj^c ]^abV_µ^c + ig⁰Yadj

2 V_µ⁰)λ^m

= ∂µλ^l − g¯

2f^lmnU_µ^mλⁿ,

Yadj = 0 ; [T_adj^c ]^ab = 0 ; [ ¯T_adj^l ]^mn = −if^lmn

otteniamo in conclusione

Z

d⁴θT r(W^αWα) δ²(θ) = −i

2λ^lσ^µDµλ^l + 1

4D^lD^l − 1

8U^lµνU_µν^l

− i

16^µνρσU_µν^l U_ρσ^l + i

2∂µ(λ^lσ^µλ^l).

(3.39)

Considerando l’espressione precedente e sommandola alla sua hermitiana coniu-gata si ha

Z La lagrangiana completa off-shell, quindi dipendente dai campi ausiliari Fi e Di, sar´a data da

+ µ^ij[H₁ⁱF₂^j + F₁ⁱH₂^j − ˜H₂ⁱH˜₂^j] + f ^ij[F₁ⁱL˜^jE˜^c+ H₁ⁱF_L^jE˜^c+ H₁ⁱL˜^jFE − ˜H₁ⁱL^jE˜^c

−H1ⁱL^jE^c− E^cH˜₁ⁱL˜^j] + f1^ij[H₁ⁱQ˜^jFd− H1ⁱQ^jd^c+ H₁ⁱF_Q^jd˜^c− ˜H₁ⁱQ˜^jd^c− ˜H₁ⁱQ^jd˜^c +F₁ⁱQ˜^jd˜^c] + f2^ij[H₂^jQ˜ⁱFu− H2^jQⁱu^c+ H₂^jF_Qⁱu˜^c− ˜H₂^jQ˜ⁱu^c− ˜H₂^jQⁱu˜^c+ F₂^jQ˜ⁱu˜^c] + h.c.



−



M_L²L˜^†L + m˜ ²_EE˜^c†E˜^c+ m²₁H₁^†H1+ m²₂H₂^†H2− m²3^ij(H₁ⁱH₂^j + h.c.) +M_Q²Q˜^†Q + m˜ ²_uu˜^c†u˜^c+ m²_dd˜^c†d˜^c



− M

2 (λ^αaλ^a_α+ λ^αa˙ λ^a_α˙)

−M⁰

2 (λ^0αλ⁰_α+ λ^{0 ˙α}λ⁰_α˙) − Ml

2 (λ^lαλ^l_α+ λ^αl˙ λ^l_α˙) + t.d.

(3.41) Per ottenere la lagrangiana on-shell occorre eliminare i campi ausiliari Fi e Di

attraverso le equazioni del moto di Eulero-Lagrange. Per questo conviene indicare con L^aux = L^F + L^D i contributi alla lagrangiana totale relativi ad essi

L^F = F^†LFL+ F^†EFE + F^†1F1+ F^†2F2+ F^†QFQ+ F^†uFu+ F^†dFd+ µ^ij[H₁ⁱF₂^j + F₁ⁱH₂^j + H₁^i†F₂^j†+ F₁^i†H₂^j†] + f ^ij[F₁ⁱL˜^jE˜^c+ H₁ⁱF_L^jE˜^c+ H₁ⁱL˜^jFE + F₁^i†L˜^j†E˜^c†+ H₁^i†F_L^j†E˜^c†

+ H₁^i†L˜^j†F_E^†] + f1^ij[H₁ⁱQ˜^jFd+ H₁ⁱF_Q^jd˜^c+ F₁ⁱQ˜^jd˜^c+ H₁^i†Q˜^j†F_d^†+ H₁^i†F_Q^j†d˜^c†+ F₁^i†Q˜^j†d˜^c†] + f₂^ij[H₂^jQ˜ⁱFu+ H₂^jF_Qⁱu˜^c+ F₂^jQ˜ⁱu˜^c+ H₂^j†Q˜^i†F_u^c†+ H₂^j†F_Q^i†u˜^c†+ F₂^j†Q˜^i†u˜^c†],

(3.42)

L^D = 1

2(D^aD^a+ D^lD^l+ D⁰D⁰) + ˜L^†(gT^aD^a− 1

2g⁰D⁰) ˜L + ˜E^c†g⁰D⁰E˜^c+ H₁^†(gT^aD^a

− 1

2g⁰D⁰)H1+ H₂^†(gT^aD^a+1

2g⁰D⁰)H2+1

2Q˜^†(2gT^aD^a+ g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l) ˜Q

+ 1

2d˜^c†(g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l) ˜d^c+1

2u˜^c†(g⁰Y D⁰+ ¯gD^lS^l)˜u^c.

(3.43) Effettuiamo dunque l’operazione di eliminazione dei D-term e degli F-term per ogni campo usando le equazioni del moto. V´a osservato che, non essendo questi dei

campi dinamici, le loro equazioni del moto si ottengono ponendo a zero le derivate parziali

∂L

∂F_L^k = F_L^k†+ f ^ijH₁ⁱδ_k^jE˜^c= 0 → FL^k

†= −f^kiH₁ⁱE˜^c

F_Lⁱ = −f^kiH₁^k†E˜^c†

∂L

∂FE

= FE†+ f ^ijH₁ⁱL˜^j = 0 → F^E†= −f^ijH₁ⁱL˜^j FE = −f^ijH₁^i†L˜^j†

∂L

∂F₁^k = F₁^k†+ µ^ijδ^k_i H₂^j+ f ^ijδ_i^kL˜^jE˜^c+ f1^ijδ^k_i Q˜^jd˜^c= 0

→ F1^k

†= −µ^kjH₂^j − f^kjL˜^jE˜^c− f¹^kjQ˜^jd˜^c F₁^j = −µ^jkH₂^k†− f^jkL˜^k†E˜^c†− f¹^jkQ˜^k†d˜^c†

∂L

∂F₂^k = F₂^k†+ µ^ijδ^k_j H₁ⁱ + f2^ijδ^j_kQ˜ⁱu˜^c = 0

→ F2^k

† = −µ^ikH₁ⁱ− f²^ikQ˜ⁱu˜^c F₂ⁱ = −µ^kiH₁^k†− f2^kiQ˜^k†u˜^c

∂L

∂F_Q^k = F_Q^k†+ f1^ijH₁ⁱδ_j^kd˜^c+ f2^ijH₂^jδ_i^ku˜^c= 0

→ FQ^k

†= −f¹^ikH₁ⁱd˜^c− f²^kiH₂ⁱu˜^c F_Qⁱ = −f¹^kiH₁^k†d˜^c†− f²^ikH₂^k†u˜^c†

∂L

∂Fu

= F_u^†+ f₂^ijH₂^jQ˜ⁱ = 0 → Fu^†= −f2^ijH₂^jQ˜ⁱ Fu = −f²^jiH₂^i†Q˜^j†

∂L

∂Fd

= F_d^†+ f₁^ijH₁ⁱQ˜^j = 0 → Fd^†= −f1^ijH₁ⁱQ˜^j Fd = −f¹^jiH₁^j†Q˜^i†.

(3.44) Sostituendo le espressioni ricavate in (3.42) e sfruttando le relazioni

^ij^kj = δ^ik ; ^ij^kl = δ^ikδ^jl− δ^ilδ^jk

Esaminando ora l’espressione (3.43) ricaviamo esplicitamente D^a, D⁰ e D^l at-traverso le equazione del moto

∂L Esaminiamo in dettaglio alcuni termini di (3.43)

D^aD^a = g²[( ˜L^†T^aL + H˜ ₁^†T^aH1+ H₂^†T^aH2+ ˜Q^†T^aQ)˜

×( ˜L^†T^aL + H˜ ₁^†T^aH₁+ H₂^†T^aH₂+ ˜Q^†T^aQ)]˜ Nel caso di SU(2) i generatori dell’algebra soddisfano la relazione

T_ij^aT_kl^a = 1

2(δilδjk− 1 2δijδkl) per cui i prodotti precedenti assumono la forma

L˜^†_iT_ij^aL˜jL˜^†_kT_kl^aL˜l = 1 In maniera analoga si sviluppano i restanti termini di (3.47) ottenendo

D^aD^a = g²

+1 E molto pi´´ u immediato il calcolo del termine D⁰D⁰ in cui gli operatori di ipercarica assumono i seguenti valori

Infine consideriamo il termine D^lD^l. Ciascun contributo ´e calcolato con la

pro-priet´a relativa ai generatori di SU(3) S_ij^lS_km^l = 1

2( δimδjk − 1

3δijδkm) ;

D^lD^l = 1 4g¯²

Q˜^†S^lQ + ˜˜ d^c†S^ld˜^c + ˜u^c†S^lu˜^c

2

= 1

4g¯²

Q˜^α_i^†S_ij^lQ˜^α_jQ˜^β_k^†S_km^l Q˜^β_m + 2 ˜Q^α_i^†S_ij^l Q˜^α_jd˜^c†_kS_km^l d˜^c_m+ ...



(3.52) in cui i, j, k, m sono indici di colore e α e β sono indici di SU(2).

Il primo termine fornisce

Q˜^α_i^†S_ij^lQ˜^α_jQ˜^β_k^†S_km^l Q˜^β_m =



( ˜Q^α_i^†Q˜^α_j)(Q˜^β_k^†Q˜^β_m) × 1

2( δimδjk − 1

3δijδkm)



= 1

2( ˜Q^α†Q˜^β)( ˜Q^αQ˜^β†) − 1

6| ˜Q^†Q|˜ ²

= 1

2( ˜Q^α†Q˜^β)( ˜Q^βQ˜^α†)^†− 1

6| ˜Q^†Q|˜ ² = 1

2| ˜Q^α†Q˜^β|² − 1

6| ˜Q^†Q|˜ ² (3.53) mentre nel caso in cui abbiamo il prodotto tra un doppietto e un singoletto di SU(2)

Q˜^α_i^†S_ij^l Q˜^α_jd˜^c†_kS_km^l d˜^c_m = [ ˜Q^α_i^†Q˜^α_jd˜^c†_kd˜^c_m] × 1

2( δimδjk − 1

3δijδkm)

= 1

2( ˜Q^α†d˜^c)( ˜Q^αd˜^c†) − 1

3( ˜Q^†Q)( ˜˜ d^c†d˜^c)

= 1

2|( ˜Q^α†d˜^c)|² − 1

3( ˜Q^†Q)( ˜˜ d^c†d˜^c).

(3.54) Se non sono indicati gli indici ´e sottinteso che sono contratti.

Con le stesse tecniche sfruttate finora calcoleremo tutti i termini di (3.43).

Otterremo in conclusione l’espressione finale di L^D

in cui abbiamo ora indicato con i e k gli indici liberi di SU(2).

Ora siamo in grado di scrivere la lagrangiana on shell per il Modello Standard Supersimmetrico minimale

−1

+M_Q²Q˜^†Q + m˜ ²_uu˜^c†u˜^c+ m²_dd˜^c†d˜^c − M

2 (λ^αaλ^a_α+ λ^αa˙ λ^a_α˙)

−M⁰

2 (λ^0αλ⁰_α+ λ^{0 ˙α}λ⁰_α˙ − Ml

2 (λ^αlλ^l_α+ λ^αl˙ λ^l_α˙) + t.d.

(3.56)

Sarebbe interessante effettuare la rotazione dagli autostati di interazione a quelli di massa nell’espressione precedente, relativamente al settore elettrodebole. Infatti, in analogia al Modello Standard, possiamo definire le seguenti relazioni

Aµ(x) = cos θwV_µ⁰(x) + sin θwV_µ³(x) Zµ(x) = − sin θ^wV_µ⁰(x) + cos θwV_µ³(x) W_µ^±(x) = V_µ¹∓ Vµ²

√2

(3.57)

λa(x) = cos θwλ⁰(x) + sin θwλ³(x) λz(x) = − sin θ^wλ⁰(x) + cos θwλ³(x) λ^±(x) = λ¹√∓ λ²

2

(3.58)

Non eseguiremo questo calcolo ma vogliamo comunque vedere come agiscono le trasformazioni (3.57)(3.58) applicandole ad esempio al campo di Higgs ˆH1.

Il primo passo da compiere ´e ricavare la derivata covariante in funzione dei nuovi campi, occorre pertanto definire

Q = T³+ Y

2 ; T^± = T¹± T²,

in cui Q ´e l’operatore di carica mentre T^± sono operatori di salita e di discesa per l’isospin debole, la derivata covariante sar´a fornita dalla seguente espressione

D_µ^SU(2)⊗U(1) = ∂µ + ig

√2T⁺W_µ⁺ + ig

√2T⁻W_µ⁻ + ieQAµ + ig cos θw

hT³ − Q sin²w

iZµ. (3.59)

I termini relativi al settore cinetico e di interazione tra ˆH1 e i campi di gauge sono dati complessivamente da

(D^µH₁)^†(DµH₁) − i ˜H₁^†σ^µDµH˜₁ + i√

2H₁^†(gT^aλ^a − 1

2g⁰λ⁰) ˜H₁

−i√

2 ˜H₁^†(gT^aλ^a − 1

2g⁰λ⁰)H1.

(3.60)

In questa espressione la derivata covariante ´e ancora (3.34). Il contributo prece-dente sar´a trasformato nella seguente forma

(D^µH1)^†(DµH1) − i ˜H₁^†σ^µDµH˜1 + ig^hH₁^†T⁺H˜1λ⁺ − λ⁺H˜₁^†T⁻H1

i

+ig^hH₁^†T⁻H˜1λ⁻ − λ⁻H˜₁^†T⁺H1

i + √ 2ieQi

H₁^i†H˜₁ⁱλa − λ^aH˜₁^i†H₁^i

+

√2ig cos θw

T_i³ − Qⁱsin²θw

 hH₁^i†H₂ⁱλz − λ^zH˜₁^i†H₁ⁱⁱ (3.61)

in cui ora la derivata covariante ´e la (3.59).

Per completezza ridefiniamo i campi di forza in funzione delle componenti definite mediante la (3.57)

Aµν = ∂µAν − ∂^νAµ

Zµν = ∂µZν − ∂^νZµ

W_µν^± = ∂µW_ν^± − ∂^νW_µ^±.

(3.62)

Questa ´e la base dei generatori in cui la terza componenti di isospin di SU (2) si mescola con il generatore di ipercarica. Una delle due combinazioni di questi due generatori diventer´a il generatore di U (1)em, dando origine ad una simmetria di gauge residua ed esatta che ha come campo di gauge il fotone, mentre la rimanente combinazione lineare, appunto, ´e rotta e corrisponde allo Z₀. Questo, ovviamente, avviene solo dopo che i campi di Higgs hanno preso valori di aspettazione nel vuoto non nulli. Al momento, la simmetria G rimane una simmetria esatta, anche se la base di espansione delle derivate covarianti risulta ruotata.

Nel documento 0.2 Fisica oltre il Modello Standard (pagine 70-0)