Campo di spostamenti del terreno

Al collasso il pendio si comporta come un corpo rigido e ogni suo punto è soggetto a una rotazione rigida, il cui punto di istantanea rotazione è il centro della circonferenza di rottura. Globalmente quindi il sistema ruota rigidamente di un angolo ω e di conseguenza si può affermare che il prodotto di ω per il raggio R del cerchio di rottura sia uguale al modulo dello spostamento nel far field, U; in generale lo spostamento è un vettore sempre tangente alla circonferenza (Figura 4.20). L’atto di moto rigido appena descritto genera un campo di velocità, e quindi di spostamenti, triangolare lungo la superficie inclinata del versante. Questo campo cresce in ampiezza con la rotazione ω ed è il motivo per cui si attivano le forze stabilizzanti in corrispondenza dei chiodi.

Quando si vogliono confrontare diverse superfici di rottura è opportuno considerare lo spostamento di un punto fisso del pendio, comune ai meccanismi. In generale può essere conveniente prendere in considerazione il ciglio del pendio (punto C), in cui si immagina di posizionare la strumentazione per le misurazioni e il monitoraggio degli spostamenti. Allora per il punto C si ha Uc=ω∙Rc, dove

Rc è la distanza dal CIR al punto C. Inoltre, per uniformare le analisi, ci si riferisce alla componente verticale di Uc: Uvciglio o Uvc.

Figura 4.20 (a) Rotazione rigida del pendio; (b) campo di spostamenti lungo la superficie del pendio

Per ogni meccanismo di rottura è stato ricostruito il campo di spostamenti al fine di calcolare i sistemi di forze che si attivano al crescere di ω.

Occorre ricostruire l’andamento dello spostamento lungo il pendio nei punti in cui sono posizionate le piastre dei chiodi. Come già discusso, i chiodi hanno la funzione di veri e propri tiranti di ancoraggio per il volume di terreno instabile. È bene ricordare che i chiodi, in questo tipo di intervento, non lavorano a taglio e neppure si attivano per spostamenti di compressione; essi lavorano a trazione e trasmettono al terreno una forza di compressione. Tale forza in ogni chiodo viene attivata dalla componente dello spostamento ortogonale al pendio, ovvero diretta come il chiodo stesso, che chiamiamo Un. Questa forza aggiuntiva ha due effetti stabilizzanti sul sistema: da un lato aumenta la forza resistente in ciascun concio di terreno, perché la sua componente diretta come il peso si somma alla forza interna N’, dall’altro canto apporta un contributo stabilizzante all’equilibrio globale, diminuendo il valore del momento ribaltante (al denominatore di FS). In Figura 4.21 si mostra schematicamente come viene ricavato lo spostamento Un: i è l’angolo tra l’orizzontale e lo spostamento Ui generato dalla rotazione, il quale è diretto perpendicolarmente al segmento che congiunge il CIR al chiodo i- esimo (R*), è l’inclinazione del versante. Uni è dato dalla proiezione di Ui lungo la direzione normale al pendio, ovvero lungo il chiodo i-esimo, e la sua espressione è:

Uni = 𝜔𝑅∗∙ [sin 𝛼𝑖 cos β − cos 𝛼𝑖 sin β].

La curva caratteristica dell’articolo di Claudio Giulio di Prisco, Fulvio Besseghini e Federico Pisanò (Capitolo 3) è ricavata in funzione dei cedimenti ortogonali alle piastre dei chiodi, che in quel caso sono diretti verticalmente poiché lo strato considerato è orizzontale; nella nostra analisi, invece, gli spostamenti Uni sono i

responsabili dell’attivazione dell’intervento corticale, essendo perpendicolari al pendio.

Figura 4.21 Spostamento che attiva la forza nel chiodo i-esimo.

Tornando all’analisi, si vuole studiare come aumenta la stabilità del sistema al crescere dello spostamento del terreno, U. A tal fine, viene imposta una rotazione ω al pendio, che viene incrementata gradualmente. Quando l’angolo ω è nullo, ovviamente gli spostamenti sono nulli e non si attiva alcuna forza dell’intervento. Per attivare il sistema, si sceglie un intervallo di ω tra 0 e 0.21 rad; traducendo questo intervallo in termini di spostamento in metri, si moltiplica la coordinata ω per il raggio del meccanismo S176 e si ottiene un valore dello spostamento nel

far field U compreso tra 0 e 43 cm, che corrisponde a uno spostamento verticale

Riassumendo le caratteristiche dell’intervento già dimensionato allo stato limite ultimo:

- I chiodi vengono inseriti per una lunghezza di 14 m, LEFF; - I chiodi distano l’un l’altro 1,75 m lungo il pendio;

- Il primo chiodo è inserito a una distanza dal piede di 0,25 m sull’orizzontale;

- In tutto sono presenti 9 chiodi.

Come già osservato nel progetto allo SLU, a seconda del meccanismo alcuni chiodi si possono attivare oppure no, in relazione alla geometria della superficie di rottura. Ne consegue che il sistema di forze stabilizzanti è diverso per ciascun meccanismo, anche in termini di entità delle forze generate nei chiodi.

Nel grafico di Figura 4.22a sono riportati i campi degli spostamenti Un lungo il pendio calcolati in riferimento alla superficie di rottura S176.

-0,06 -0,01 0,04 0,09 0,14 0,19 0,24 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 U n [m ] 𝛚∙𝐑𝐜 in direzione verticale [m]

Un-Uvciglio

Figura 4.22 (a) Andamento degli spostamenti Un per ogni chiodo; (b) andamento di Un lungo il pendio, fissata l’ampiezza dello spostamento a 35 cm.

Si verifica che Un cresce linearmente con la rotazione ω, infatti in ascissa di Figura 4.22a è presente lo spostamento verticale del ciglio, che è dato dal prodotto di ω per la distanza tra il ciglio e il CIR. I chiodi sono numerati da 1 a 9 (i chiodi 8 e 9 non sono attivati per S176) a partire dal piede del pendio e ogni retta del grafico è riferita al singolo chiodo. Dalla figura è immediato notare che il primo è quello più sollecitato e di conseguenza sarà anche quello in cui si genererà la forza maggiore; spostandoci lungo il pendio verso il punto proiezione del CIR della S176 (ovvero il punto dove termina LEFF) si incontra l’ultimo chiodo che è quello azionato dallo spostamento minore. Le rette tratteggiate in grigio sono gli spostamenti dei chiodi oltre la lunghezza effettiva e sono state riportate nel grafico per mostrare appunto che oltre tale lunghezza la presenza dei chiodi è ininfluente, poiché le forze di compressione non attivano la chiodatura.

Fissando l’ampiezza dello spostamento del ciglio al valore finale del grafico pari circa a 35 cm, si può ricostruire l’andamento di Un lungo il pendio (Figura 4.22b). Oltre il valore di x pari a 8,5 m (che corrisponde a una distanza di 12 m dal piede),

-0,14 -0,1 -0,06 -0,02 0,02 0,06 0,1 0,14 0,18 0,22 0 2 4 6 8 10 12 14 U n [m ] x [m]

Un lungo il pendio

Un assume valori negativi, rappresentati dalle rette grigie tratteggiate di Figura 4.22a.