Gli enti razionali •1; le loro rappresentazioni sulle forme fondamli, p. e. sulla
retta; le loro rappresentazicon coord. omogenee o no sugli enti stessi. Come ad essi
si estanda tutta la geom. projettiva della retta, il birapporto, ecc. Come si estenda in partic. la definiz. di involuzione  liyi(t) =0, ove t1t2son le due coord. omoge,
. . .
xxxixGuido Castelnuovo (Venezia 1865 - Roma 1952).
xlCASTELNUOVO, G. 1886, Studio dell’involuzione generale sulle curve razionali mediante la loro curva
normale dello spazio ad n dimensioni, Atti Ist. Veneto, 6, 4, pp. 1167-1200.
xliCASTELNUOVO, G. 1888 - 89, Geometria sulle curve ellittiche, Atti Acc. Scienze Torino, 24, pp. 4-22. xliiCASTELNUOVO, G. 1888 - 89, Ricerche di geometria sulle curve algebriche, Atti Acc. Scienze Torino,
24, pp. 346-373.
xliiiCASTELNUOVO, G. 1889, Una applicazione della geometria enumerativa alle curve algebriche, Rend.
Circolo Mat. Palermo, 3, pp. 27-37.
xlivCASTELNUOVO, G. 1889, Numero delle involuzioni razionali giacenti sopra una curva di dato genere,
Rend. R. Acc. Naz. Lincei, 4, 5, pp. 130-133.
xlvRobert Fricke (Helmstedt 1861 - Bad Harzburg 1930).
xlviKLEIN, F., FRICKE, R. 1892, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Teubner,
Una serie lineare gr
n sull’ente razionale xl = fl(t), data da  liji(x) =0 non è
che un’involuzione  liji(f t) =0. Viceversa dalla definizione di grn(sulla retta) è
evidente che un’involuzione Ir
n è una grn. Se una serie algadi gruppi di n elemi è
tale che da r qualunque è in generale indivi//duato il gruppo, essa è una Ir
n: poiché
[69]
essa sta nella Iw
n costituita da tutti i gruppi di n elemidella forma e quindi (pag. 62,
63) segue ecc. - In particolare se le coord. degli elementi di una varietà qual. son funzi razli di t e ad ogni elem. corrispondono µ valori di t, questi genereranno
una I1
µ; e poiché questa è razle, sarà pur tale la varietà (e questa si potrà riferire univocameal parametro l della I1
µ).17
Principio di corrispondenza(a, a0). è attribuito a Chasles che primo lo formulò
in generale nel 1864; però già nel 1861 Jonquièresxlvii e Cremona lo applicavano
ripetutamente alla determinazione degli ordini di luoghi geometrici. La corrisp. (a, a0) su un ente razle è // (pag. 51) data da Â0a,a0aii0xiyi0 = 0; e però vi sono [70]
a+a0 elemi uniti  aii0xi+i0 = 0. Soluzioni multiple: se x = 0 è unito(a00 = 0)
e due omologhi cadono in esso, e ciò in ambi i modi (a01 = a10 = 0), esso conta
due volte; questa condize è anzi necessaria quando la corrisp. è simmetrica od
involutoria (a01=a10). Come in molti casi si riconosca la multiplicità di una soluz.e
Enunciato generale dovuto a Zeuthen18: “il numero delle coincidenze di x e y che
hanno luogo in un punto o della retta su cui si considera la corrispaè uguale alla
somma degli ordini dei segmenti infinitesimi xy fra un punto x la cui distanza da 0 sia infinitesima di 1oordine ed i corrispondenti punti y (l’ordine di una distanza
finita essendo uguale a zero)”. Legame // colla singolarità di una curva piana,
[71]
immagine della corrispondenza.
Applicazioni del principio di corrispondenza. - In una corrisp. (a, a0)vi sono
2a(a0 1)elemidi diramazione della 1aforma (ed altrettanti elemi doppi corrispi
nella 2a). Due corrisp.(a, a0),(b, b0)tra due forme hanno ab0+ba0coppie comuni;
17V. Lüroth [si tratta del matematico tedesco Jacob Lüroth (Mannheim 1844 - Monaco 1910)], Beweis
eines Satzes über rationale Curven (Math. Ann. IX) [si tratta di: LÜROTH, J. 1886, Beweis eines Satzes über rationale Curven, Math. Annalen, 9, pp. 163-165].
xlviiJean-Philippe-Ernest de Jonquières (Carpentras 1820 - Mouans-Sartoux, Grasse, 1901).
18Note sur le principe de correspondance (Bulletin des sciences math. V, 1873 p. 186) [si tratta del-
l’articolo del matematico Hieronymus Georg Zeuthen (Grimstrup, Jütland, 1839 - Copenaghen 1920): ZEUTHEN, J. 1873, Note sur le principe de correspondance, Bull. des Sciences Math., 5, pp. 186-190].
se sono involutorie, la metà. Una corrisp. (a, a0)su una forma ha a·a 12 + a0·a20 1
coppie involutorie.
Curva generata da due fasci di rette di un piano in corrisp. (a, a0); proposiz.
inversa. Due gn, gn’(di spazi qual.) in corrisp. (a, a0)generano una rigata d’ord.
an0+a0n x (se x sono i pi uniti): caso di a = a0 = 1 (a cui ogni altro si può
ridurre). Se le curve son sovrapposte(a+a0)n x; // e se la corrisp. è simmetrica, [72]
la metà an x
2 (onde x pari). Gli elementi doppi di una In1 sono 2(n 1) (Jaco-
biano). Elementi multipli di un’involuzione qual.: imponendo un punto n-plo ad un gruppo si danno in generale n condizi o n 1 secondo che il punto è dato o
no. Elementi(r+1)pli di una Ir
n: dicendone [n, r] il numero, si ha dal principio
di corrisp. : [n, r] = [n 1, r 1] + (n r) = [n 2, r 2] +2(n r) = · · · = [n r+1, 1] + (r 1)(n r) = (r+1)(n r). In generale formola di Jonquières19: in
una Ir
nil numero dei gruppi con elemimultipli secondo n1n2. . . nt, ove r=Â ni t20
è uguale a
n1n2. . . nt(n r)(n r 1). . .(n r t+1)//
diviso per a0b0. . . d0 se fra le n ve ne sono a uguali, b uguali, . . . d uguali. Infatti, [73]
supposte le n in ordine decrescente di grandezza, considerando gli •1gruppi con elementi multipli secondo n1. . . nt 1, nt 1 e la corrispondenza ha quest’ultimo e
gli n r t+1 elemisemplici, si ha, indicando con{n; r; n
1. . . nt}il numero cercato la formola ricorrente: per nt>2 {n; r; n1. . . nt} = 1d[{n 1; r 1; n1. . . nt 1nt 1} + (n r t+1){n nt+1; r nt+1; n1. . . nt 1}] e per nt=2 {n; r; n1. . . nt} = 1d2(n r t+1){n 1; r 1; n1. . . nt 1}
19Crelle 66 (1866): Mémoire sur les contacts multiples des courbes de degré r avec une courbe. . . [si
tratta di: JONQUIERES, E. DE 1866, Mémoire sur les contacts multiples d’ordre quelconque des courbes de dégré r, qui satisfont à des conditions données avec une courbe fixe du degré m, Jour. für die reine und angewandte Math., 66, pp. 289-321].
20e n  n
i, cioè n r+t. La formola di Jonquières si ritrova in un lavoro di Lerch [si tratta del
matematico ceco Mathias Lerch (Milínov, Boemia, 1860 - Sušice, Boemia, 1922)] (Sitzb. k. Böhm. Ges. d. W. 1885) [si tratta di: LERCH, M. 1885, Bestimmung der Anzahl merkwürdiger Gruppen einer allgemeinen Involution nterOrdnung kterStufe, Sitzungsb. K. Böhm. Gesell. der Wissenschaften, pp. 597-600].
Ora queste formole sono appunto verificate da quell’espressione generale. Ne segue che questa è vera se ha luogo diminuendo successivamente la multiplicità n di nu- mero e di grandezza. Ma per t=1 si riduce alla preced.: dunque è // vera sempre.
[74]
- Caso particolare:
{n; r; 2, 2, . . . 2} = 2r(n r). . .r!(n 2r+1)
- Applicazioni della formola di Jonquières. La[n, r] = (r+1)(n r)ci dà il num. degl’iperpiani stazionari di una gn razle di Sr; e in generale che quel rango che è
dato dal num. degl’iperpiani a contatto(r+1)-punto passanti per una Sr r 1, cioè
dall’ordine della Mr+1luogo degli Srosculatori, è(r+1)(n r)21. Altri caratteri della curva dati dagl’iperpiani tangenti multipli22. Altre applicazialle varietà di un
sist. lineare aventi dati contatti con una curva razionale; cerchi osculatori o sfere osculatrici per un punto o a contatto quadri- o // 5-punto o tangialtrove; i punti
[75]
sestattici di una curva piana razle(si devon togliere i flessi); ecc.
Per lo studio23 dei gruppi ed invol. armoniche od apolari e teor. della polarità
convien ricorrere alla Cnrazlenorm. (pag. 45)
x0=ln, . . . xi=ln i, . . . xn=1.
L’iperpiano osculatore in x sarà  ⇠iyi = 0 ove  ⇠isn i = 0 abbia s = l per
soluz. n-pla, sicché ⇠0=1 . . . ⇠i= ( 1)i(ni)li, . . . ⇠n = ( 1)nln0ossia confrontando:
⇠i= ( 1)i(ni)xn i.
Questa è una reciprocità involutoria in cui il coniugio di due punti od iperpiani è dato da
Â
( 1)i✓n i ◆ xiyn i =0 21Se l’Sr r 1incontra g in un punto, quel numero si riduce a(r+1)(n r 1), cioè diminuisce di
r+1; g è dunque(r+1)pla per la varietà degli Srosculatori. Ciò vale sempre.
22I caratteri si modificano per curve particolari.
23V. fra gli altri Castelnuovo, Studio dell’involuzeecc. e poi Deruyts [si tratta del matematico belga
François Deruyts (Liegi 1864 - Liegi 1902) che tenne dal 1896 il corso di geometria superiore presso l’Università di Liegi e si distinse soprattutto per i suoi studi sulle involuzioni.], Bulletin Acad. Belgique 1887 [si tratta di: DERUYTS, F. 1887, Sur la théorie de l’involution, Bull. Acad. Belgique, 3, 14, pp. 650-664.].
Â
( 1)ii!(n i)!xinn i=0.
Polarità rispetto a una quadrica, o sistema nullo24, secondo che n è pari o dispari
(Clif//ford). Dicendo coniugate od armoniche due n-ple quando l’una sta nella In 1
n [76]
determinata dagli n elemi n-pli presi nell’altra, la polarità rispetto alla Cn mostra
che quella relaz. è reciproca; che se n è impari ogni n-pla è coniugata a se stessa; se n è pari solo se s’annulla un invariante quadratico. Le n-ple coniugate ad una o più date formano un’involuz.; involuziIr
n, Inn r 1coniugate (quando i loro assi Sn r 1,
Srsono polari): gli stessi(r+1)(n r)elemisono(r+1)pli per l’una,(n r)-pli per l’altra, giacché ad un Srosculatore a Cnè polare l’Sn r 1osculatore nello stesso
punto.
Al coniugio od apolarità fra n-ple di elementi si collega la polarità risp. ad una n-pla fissa a1. . . an(rappres. dall’iperpiano a o // dal punto A). Se due elemi, uno [77]
x r-plo, l’altro y(n r)plo fanno una n-pla coniugata alla A, dicesi che y è polo o centro armonico r-esimo, o d’ordine n r di x; viceversa sarà x . . . Se i paramidi x
e y sono risp. 0 e •, l’equaz. di questa n-pla sarà lr =0 e la condiz. di coniugio
colla data  ailn-i = 0 diventa ar = 0: il che mostra la coincidenza dell’ordinaria
definize dei centri armonici. Una teoria più generale si ha ponendo in luogo di x r
pidistinti X
1. . . Xr: gli n r piy(n r)-pli in n-ple coniugate alla A e contenenti
quegli rX formano il gruppo polare misto di questi r pi. Si hanno pure prendendo
il 1o gruppo polare di X
1 risp. ad A; poi il 1o polare di X2 risp. a quello, ecc.;
caso di r = n 1. - Si può domandare un gruppo di r elemi X apolare ad A, cioè
tale che ogni // elem. ne sia polo. Dovrà A giacere sull’Sr 1 congiungente gli [78]
X, sicché l’equaz. del gruppo A sarà  liXin = 0 o  Xin = 0, forma canonica, e
viceversa. Allora ogni n-pla contenete tali r elemisarà coniugata alla A. Perché ciò
accada basta che per l’Sr 1passino non solo n r ma n r+1 iperpiani con contatti
(n r)-punti altrove. Assunto un elem. y come(n r)-plo in una n-pla coniugata ad A, i Gr residui fanno una Irr 1. Si hanno così n r+1 Irr 1 le quali avranno
in comune un’involuz. che sarà in generale (considerando la Cr
r di Sr) di dimens.
r (n r+1) = 2r n 1. Dunque se 2r n+1 i gruppi di r elemiapolari ad
un gruppo di n formano in generale una I2r n 1
r . In partic. se n è impari vi è in
generale un determ. gruppo apolare // di n+1
2 elemi: e se n è pari •1 di n2 +1
[79]
elem. La questione in ogni caso coincide con quella degli Sr 1 r-secanti passanti
per A: si potrebbe anche risolvere projettando da A e ricorrendo alle rigate Fn 2
contenenti la Cn di S
n 1ed alle loro direttrici minime; inoltre quella consideraz.
degli spazi secanti pone un limite infer. all’ordine dei gruppi apolari tolto quello d’ordine minimo. - Cfr. per la riduzione di una forma binaria a somma di potenze il Cap. sulle forme canoniche nella Algebra del Salmonxlviii.
Le involuzioni d’ordine n+1 sulla Cnconducono a notevoli proprietà di questa.
I gruppi di una tale involuz. danno i vertici di piramidi iscritte: le facce di queste (iperpiani) formano per la Ir
n+1un inviluppo •r di classe n r+1 (perché r punti
// della Cn individuano la piramide e quindi n+1 r facce). E poiché la Ir n+1
[80]
è individuata da r+1 gruppi, segue che le facce(r+1)(n+1)di r+1 piramidi iscritte nella Cn sono in un inviluppo •r di classe n r+1 (che contiene •r tali
piramidi iscritte nella Cn). - Caso di r = 1: si ha un’altra Cn a cui le •1piramidi
sono circoscritte. Se ad ogni vertice si fa corrispondere la faccia opposta, si ha fra le due Cn una corrisp. univoca: reciprocità; e poiché vi sono piramidi tali che ai
vertici corrisp. le facce opposte sarà una polarità risp. ad una quadrica: ecc. ecc. - Caso di r=n 1. - Esempi: coniche e cubiche sghembe.
Cenno sulla questione della determinaz. di un’Ir
nmediante gruppi di i>r elemi
// contenuti in essa: vale a dire determinaz. di spazi Sn r 1incidenti a spazi dati
[81]
Si 1. Così Schubertxlix (Math. Ann. 26 p. 47)l dimostra che gli Sn 2 incidenti a
2n 2 rette sono 1
n 1(2n 2n 2)e ne segue che tante sono appunte le I1n con un dato
Jacobiano: proposizione già enunciata dal Meyerli(loc. cit. e Math. Ann. 21 p.
132)liie trovata pure dallo Stephanosliii. Altri casi furon determinati da Schubert e
xlviiiGeorge Salmon (Cork 1819 - Dublino 1904). xlixHermann Schubert (Potsdam 1848 - Amburgo 1911).
lSCHUBERT, H. 1886, Die n-dimensionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen unseres Raums, Math.
Annalen, 26, pp. 26-51.
liFriedrich Wilhelm Franz Meyer (Magdeburg 1856 - Königsberg, Ostpreußen, 1934). liiMEYER, W. F. 1883, Über Apolarität und rationale Curven, Math. Annalen, 21, pp. 125-137. liiiCyparissos Stéphanos (Kea 1857 - Atene 1917).
Castelnuovo: non si ha però ancora quello generale.25 //