Cap 1 Preliminar

Cap. 2 . Degl’iperspazi ” 13

Cap. 3 . Oggetto della Geometria su una •1_algebrica.

Corrispondenze algebre_{. Serie lineari pag. 47}

Cap. 4 . Geometria sugli enti razionali ” 68

Cap. 5 . Serie lineari •1_{. Genere degli enti algebrici ” 82}

Cap. 6 . Formola di Zeuthen. Varietà •1_{di spazi e loro}

applicazioni. Le serie speciali ” 104

Cap. 7 . Serie complete. Serie residue. Curve aggiunte.

Applicazioni ” 129

Cap. 8 . Il metodo algebrico di Brill e Nöther ” 144

Cap. 9 . Rappresentazioni reali dell’ente algebro_.

Il metodo funzionale di Riemann ” 157

Cap. 10 . I moduli. Le serie lineari sugli enti generali ” 194

[1]

Introduzione alla geometria sulle •

1

_algebriche

Cap. 1 . Preliminari

Considerazioni generali sui legami e le coincidenze fra la Geometria e l’Ana- lisi. Metodo delle coordinate. Due modi di fondare l’edifizio geometrico, o par- tendo dai postulati relativi allo spazio, a punti, rette, piani, ecc., ovvero introducen- do per via puramente analitica questi elementi, come gruppi di numeri (coordi- nate), ecc. Conseguenze che ne derivano. Elementi complessi: ragione della loro introduzione.

Cenno sulle coordinate projettive omogenee. Altri enti che si posson deter- minare // con coordinate sono quelli dati da un’equazione, cioè le curve piane, [2]

superficie, ecc., che ora accenniamo.

Curve piane algebriche. Luoghi ed inviluppi. Ordine e classe. Punti multipli e tangenti multiple. Cenno sulle polari. Definizione di curve aggiunte ad una data. Le prime polari sono aggiunte. Le multiplicità s1, s2, . . . dei punti singolari di una

curva irriduttibile d’ord. n sono tali che 1

2(n 1)(n 2) Â12s(s 1) 0. Invero

si potrà condurre (almeno) una curva aggiunta d’ordine n 1 per 1₂(n 1)(n+ 2) Â1₂s(s 1)punti semplici della curva [ numero che è positivo, perché uguale ad n 1 aumentato della metà di n(n 1) Â s(s 1), e questa differenza si vede esser positiva considerando1_{le // intersezioni della curva con una curva aggiunta}

[3]

d’ordine n 1, ad es. la prima polare di un punto qual. ] ed il numero complessi- vo delle intersezioni che così si avranno  s(s 1) +1

2(n 1)(n+2) Â12s(s 1)

dovrà essere 6 n(n 1). Genere di una curva piana dotata di sole singolarità or- dinarie 1

2(n 1)(n 2) Â12s(s 1). Caso che vi siano solo punti doppi. Cus-

pidi e flessi. Cenno sulla deduzione delle formole di Plückeri _{dalla teoria delle}

polari. Dalla Ia_{formola si trae n+r 2n = 2p 2, espressione utile del genere.}

Il genere corrisponde per dualità a se stesso [ perché da r r = 3(n n) si trae n+r 2n=n+r 2n].

Superficie d’ordine n: numero dei coefficienti o dei punti che le determinano. Classe, rango, punti e linee multiple.

Complessi di rette; grado. Numero // dei coefficienti; alterabilità dell’equazione;

[4]

non si può alterare se si tien conto della generazione del complesso, della polarità rispetto a questo (cioè all’equazione) ecc. Complessi speciali. Complessi lineari: cenno sulle loro proprietà; caso dei complessi lineari speciali.

Connessi in generale di elementi qualunque tolti a forme fondamentali qualun- que: esempi particolari. Coefficienti.

Per tutte le specie di enti enumerate abbiamo nei coeffi_{delle loro equazioni delle}

coordinate nello stesso senso che per gli elementi. La specie più vasta è quella dei

1_{Cfr. Bertini [si tratta del matematico Eugenio Bertini (Forlì 1846 - Pisa 1933)], Rendiconti Ist. Lomb.}

1888 [si tratta di: BERTINI, E. 1888, Sopra alcuni teoremi fondamentali delle curve piane algebriche, Rend. Ist. Lombardo Scienze Lett., 2, 21, pp. 326-333 e 413-423]. Del resto la considerazione che quel numero è positivo non è necessaria: in caso opposto la disuguaglianza si avrebbe a fortiori.

connessi: essa abbraccia le precedi_{, anche i gruppi di n elem}i _{di una forma fond.}

1a_{sp., coll’equaz. f(x) =0. Anche le determinaz}i_{degli elem}i_{rientrano in questa,}

poiché le loro coord. sono i // coeff.i_{delle loro equaz}i_{. [5]}

Diremo che queste varietà (ed altre che si vedranno in seguito) sono lineari, e di dimensione data dal numero delle coord. non omogenee. Entro una varietà lineare stanno altre varietà che possiamo definire2_{in due modi diversi. Le coord. x, y, . . .}

sian funzi_{date di r parametri indip}i _{t, u, . . . sicché x= f(t, u, . . .), y=g(t, u, . . .),}

. . . , funzi _{le quali mutino in generale valore mutando t, u, . . . , e più precisamente}

assumano dati valori solo per una serie discreta di gruppi di valori di t, u, . . . ; la varietà si dice •r_{se corrisponde ai valori reali di t, u, . . . e per questi le funz}i_sono

definite ed hanno in generale le derivate prime. Ma noi diremo la varietà •r_quan-

do corrisponde ai valori complessi di t, u, . . . pei quali quelle // funzi_{s’intendono [6]}

definite e funzi_{nel senso di Riemann}ii_{(monogene di Cauchy}iii_{), cioè aventi in ge-}

nerale le prime derivate. - Esempi: curve, superficie, rigate, sistemi e complessi di rette.

Definize _{di funz}i _{algebriche e di irriduttibilità: le funz}i _{ad un sol valore son}

razionali. Varietà algebriche: quando le f , g, . . . son funzi_algebriche3_{; varietà ridut-}

tibili.

Da una o più equazi _{algebriche fra x, y, . . . è definita una varietà algebrica: ma}

questa definizione non vale per tutte4_{. Una varietà algebrica •}k-1_{entro la varietà}

lineare •k_{è però sempre data da un’equaz. alg. fra le coord. x, y, . . . (eliminando}

i parami _{t, u, . . . ): così le curve piane, le superf. ecc. Varietà razionali: quando le}

f , g, . . . son funzi _alge _{ad un sol valore, cioè razionali, ed // un elemento della [7]}

2_{riguardo alla dimensione.}

ii_{Bernhard Riemann (Breselenz, Hannover, 1826 - Selasca, presso Intra, 1866).} iii_{Augustin Louis Cauchy (Parigi 1789 - Sceaux, Seine, 1857).}

3_{legate eventualmente da una o più equaz}i_date.

4_{se con sole k r equaz}i_{si vuol definire una •}r_{. Ma con un numero conveniente di equaz}i_{si definisce}

ogni varietà. Kronecker [si tratta del matematico tedesco Leopold Kronecker (Liegnitz 1823 - Berlino 1891)] Festschrift p. 30 [si tratta dell’opera: KRONECKER, L. 1882, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen (Abdruck einer Festschrift zu Hervin Ernst Eduard Kummer’s Doctor-Jubiläum), Jour. für die reine und angewandte Math., 92, pp. 1-122]. V. anche Wahlen [si tratta del matematico austriaco Karl Theodor Valhen (Vienna 1869 - Praga 1945) professore presso l’Università di Greifswald dal 1904. Fu sostenitore del nazismo. Diede contributi alla Teoria dei numeri e alla matematica applicata.] nel Crelle 108 p. 346 [si tratta di: VAHLEN, K. TH. 1891, Bemerkung zur vollständigen Darstellung algebraischer Raumcurven, Jour. für die reine und angewandte Math., 108, pp. 346 -347].

varietà corrisponde in generale ad un sol gruppo di valori dei parami _{t, u, . . . Ve-}

dremo poi che per le •1_{razionali questa 2}a_condize _{non occorre. Curve, superf.,}

ecc. razionali: come il loro studio si riduca per varie questioni a quello delle varietà lineari in cui t, u, . . . son le coord.e

Varietà lineari o sistemi lineari di forme si hanno, più in particolare, quando le coord x, y, . . . son funzi_{lineari (fratte col denom. comune) di t, u, . . . , ossia quando}

le equazi_{degli enti si posson scrivere: l}

0f0+ · · · +lrfr=0 ove le l sono i param.i

Se le forme f sono linearme _indipi_{, cioè non legate da alcuna relaz. a}

0f0+ · · · +

arfr ⌘0 lineare a coefficostanti non tutti nulli, allora la varietà è •rpoiché l’ente

 lifi =0 coincide con l’ente  µifi=0 solo quando le l sian pro//porzionali alle

[8]

µ. (i rapporti delle l soddisfano alla condiz. posta sui paramit, u, . . . a pag. 5 nella

definizegenerale di •r).

L’indipendenza lineare delle f significa non stare in un sistema lineare di dimens. < r, cioè che non accade che il sistema determ.o da alcune di esse contenga pure le altre (da cui si potrebbe quindi prescindere). Se j_i ⌘ Â aikfk = 0 sono forme

qualunque del sist., il sistema lineare da esse determinato  µiji = 0 ossia

Âkfk aikµi = 0 è tutto contenuto in quello. Se le j sono r+1 cioè j0, . . . , jr,

si può porre  µiji ⌘  lkfk, cioè Âiaikµi = lk sempre che non sia|aik| = 05,

il che esigerebbe che esistessero delle µ non tutte nulle per cui Âiaikµi = 0, ossia

 µiji ⌘0, cioè che le j fossero legate linearme. Se dunque queste // sono indipi

[9]

linearme_{il sistema lineare •}r_{da esse determ}o_{coincide con quello determ}o_{dalle f :}

ciò mostra che le f son forme qualunque linearmeindipidel sistema. -

Dal fatto che se un sist.a _lin.e _{contiene alcune forme, continene pure il sist}a _line

determo _{da queste si traggono conseguenze importanti. L’intersez. di due sist}i

lini _{è pure un sist}a _{lineare (ove esista). Due sist}i _lini _•k_{, •}k0 _{che non abbiano}

alcuna forma comune stanno in un sista _line _•k+k0₊₁

tale che ogni sista _le _che

contenga quei due deve pur contenere questo (se i due sisti _{sono determ. dalle}

forme f0, f1, . . . fk; f00, f10, . . . fk0, queste saran tutte linearm. indip.i poiché se fosse

a0f0+ · · · +akfk+a00f00+ · · · +a0kfk0 ⌘ 0 ne seguirebbe che i 2 sistiavrebbero una

5_{In altri termini si posson ricavare dalle ji⌘Â a}

forma comune; ora tutte quelle k+k0_{+2 forme // determinano appunto il sista [10]}

•k+k0_+1).

Due tali sisti _•k_{, •}k0 _{si dicono linearm. indipi; entro un sistalin. •k+k}0_{+1 si de-}

terminano facilm. due tali sisti _indipi _{ecc. Due sist}i _lini _•k_{, •}k0_{, A e A0 abbiano}

comune uno •i_{B; entro A}0 _{prendiamo un sist}a_l.e _•k0 _{i 1}

C linearm. indip. da B: esso determinerà con A da cui sarà indip. un sista _l.e _•k+k0 _i

contenente A e A0_{, e contenuto in ogni sist}a_line_{passante per A, A}0_{, cioè il minimo sist}a_line_{in cui}

quei due stiano insieme. In altri termini entro un sista_•r_{due sist}i_•k_{, •}k0

, che non stiano in un sista_{minore, si tagliano in un sist}a_•k+k0 _r

(in uno supere_{se stanno in}

un sista_infer.).

Caso di k0 _{= r 1; caso di k}0 _{= r 1 e k = 1: se ne trae la costruzione di un //}

sista _line _•r _{mediante uno •}r 1_{ed una forma esterna (che si congiunge a quello [11]}

con fasci); esempi.

Considerazioni speciali relative ai sistemi lineari di gruppi di n pi_{di una retta}

(involuzioni), di curve piane e sup. d’ord. n. Se in un tal sistema •r _{si fissan più}

punti con date multiplicità (ed anche con qualche tangente) si hanno, ove esistano, le forme di un sista _line_{: poiché quelle condiz}i _{son lineari nelle l. Caso che si}

diano r punti semplici. Caso che il sista_{dato si componga di tutte le curve o sup.}

d’ord. n. - Nel sista _line _determo _{da più forme ogni p. s-plo per queste sarà s-}

plo per tutte; e se una retta è tang. ivi a quelle, sarà tg. a tutte6_{. - Punti base o}

fondamentali di un sista_{; // ordinari e straordinari. I fasci di curve o sup. d’ord. [12]}

n e le reti di sup. hanno sempre punti base: proprietà che vi si collegano⇤_{. - Ogni}

sista_line_l

0f0+ · · · +lrfr = 0 è segato da una retta o da un piano in un sistaline

l0f0(0)+ · · · +lrfr(0) = 0, il quale però può esser di dimense minore, e cioè sarà

•r h 1_{se la retta od il piano fan parte di un sist}a_•h_{contenuto nel dato. //}

6_{Se le forme che determinano il sistema hanno una parte comune, questa si stacca da tutto il sist}a_{, e}

la parte rimanente descrive un sista_{lineare. Sistemi degeneri.}

Nel documento Corrado Segre. Lezioni inedite di due corsi universitari, (pagine 40-45)