L’insegnamento secondario della matematica incontra gravi difficoltà. I giovani spesso non capiscono lo scopo, o non s’interessano.
Bisogna stare attenti ai concetti e proposizioni primitive. In un primo insegna- mento non occorre enumerarli tutti! In un insegnamento più elevato si potrà an- che rilevarli man mano. Ma bisognerà badare che sian tutti intuitivi. Non si esiga l’indipendenza.7//
Fermiamoci anzitutto sulle idee primitive. Lo scolaro accetterà subito non solo [18]
quella del numero intero, ma anche quella di somma, poi di numero frazionario, e più avanti di numero irrazionale: il tutto traendolo dalla vita pratica o dall’intu- izione: v. pag. 13. Definire al ragazzo con lungo discorso delle cose che egli crede già di conoscere è annojarlo. Si aspetti a fare questa riduzione nelle idee primi- tive quando egli sia più maturo e possa capirne lo scopo. Così, se passiamo alla geometria, si ammetta non solo il concetto di retta ma anche quello di piano. Stan- do al punto di vista esclusivamente logico si dovrebbe bandire nell’insegnamento ele//mentare la parola linea o curva, perchè non si hanno gli strumenti per definir- [19]
la. Ma ciò è assurdo! Si ammetta il concetto primitivo di linea. (11) p. 46. E così non si vieti al giovane di parlar di lunghezza8, di area, di volume, nozioni di cui egli ha
7V. anche Leoni [si tratta del matematico Carlo Leoni] pp. 220-221 [si tratta di: LEONI, C. 1915, La
matematica nel suo insegnamento primario e secondario, Vallardi, Milano].
dall’esperienza un concetto primitivo9: sebbene sian solo quei pochi che studieran-
no poi il calcolo integrale gli eletti che potranno ridurre quei concetti ad altri più semplici.
Veniamo ai postulati. Notiamo anzitutto che nelle trattazioni moderne se ne incontrano di quelli che son tanto ovvî da far stupire il giovane che meriti di pren- derne nota. Così: un numero è uguale a se stesso; il successivo di un // numero
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è pure un numero. - Oppure (Hilbert,10 1882. Grundlagen der Geometrie 1899vii): Se A, B, C son tre punti di una retta, e B sta fra A e C, B starà pure fra C ed A. - Se A e C son due punti di una retta, vi è sempre sulla retta almeno un punto che sta fra A e C. - Se B sta fra A e C, C non sta fra A e B. - Ecc. Non può un ragazzo capire lo scopo di una serie di tali enunciati! Quando occorrano nei ragionamenti, si adoperino senz’altro.
E d’altra parte il ragazzo non potrà imaginare l’utilità del dimostrare proposizio- ni, per lui evidenti, come queste: La somma di due numeri non muta se // al posto di uno di essi si mette un numero uguale. La somma di due numeri non è uguale
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ad uno dei due. Ogni numero diverso da zero è maggior di zero. Ecc. Oppure: Fra due punti di 1 retta ne stanno un numero illimitato. Due segmenti uguali ad un terzo sono uguali fra loro. Ecc. ecc. (Sull’intuizione v. p. 43).
Tutte le proposizioni che l’intera classe di scolari ritiene evidenti si potrebbero ammettere come postulati (tranne, se mai, nell’ultimo più alto insegnamento; e salvo ad avvertire che quelle proposizioni si posson dedurre le une dalle altre logicame). “Col dimostrare logicamente ciò che è evidente all’intuizione, si porta
un doppio danno, perchè si scredita insieme il ragionamento, // di cui non è quello
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l’ufficio, e l’intuizione, di cui si disconosce l’immenso valore. Si ha un bel dire che l’intuizione può condurre all’errore; sarà; ma l’intuizione fornisce pure la princi- pale, se non l’unica, guida alla scoperta della verità. Dovremo forse rinunziare alla
9Così Borel [si tratta del matematico Émile Borel (Saint-Affrique, Aveyron 1871 - Paris 1956)] assume
area e volume come concetti primitivi [si tratta di: BOREL, É. 1905, Géométrie, Colin, Paris.].
10Da Pasch [si tratta del matematico Moritz Pasch (Breslavia 1843 - Bad Homburg vor der Höhe 1930).]
Vorlesungen ü. neuere Geometrie [si tratta di: PASCH, M. 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner, Leipzig.].
verità per paura dell’errore?”11 (Castelnuovoviiicitep. 63ix).
Notiamo poi che vi sono in Geometria delle teorie (Analysis situs, topologia, forma delle curve e superficie) in cui l’osservazione dà direttamente un gran nu- mero di fatti, quantunque si sia ben lungi dal poter fissare un sistema semplice di postulati da cui gli altri fatti si traggano logicamente. //
Il rigore.
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Le cose che abbiam detto non impediscono che si svolga il senso del rigore. L’ab- bondare nell’uso dell’intuizione per prendere idee e proposizioni primitive, più di quanto non sarebbe indispensabile dal punto di vista esclusivamente logico, non è peccare di rigore; come taluno mostra di credere, facendo invece abuso di riduzioni logiche, che rendono noioso l’insegnamento.
Hermitex, Archiv. d. M. u. Ph. (3) I, 1901 pag. 20-21xi “Bacon de Verulam a
dit que l’admiration est le principe du savoir; sa pensée qui est juste en général, l’est surtout à l’égard de notre science, et je m’en autoriserai pour exprimer le désir qu’on fasse, pour les étudiants, la part plus large aux // choses simples et belles [24]
qu’à l’extrême riguer, aujourd’hui si en honneur, mais bien peu attrayante, sou- vent même fatigante, sans grand profit pour le commencant qui n’en peut com- prendre l’intérêt.” E poco oltre, dopo d’aver citato esempi di cose interessanti da insegnare, soggiunge: “Je pourrais invoquer bien d’autres exemples, à l’appui de la préférence, que je donnerais en principe et surtout au début à la science attrayante sur la riguer...”
Tutto ciò va inteso come s’è detto nella pag. preced. Bisogna evitar di annojare.
11Borel (citaz. p. 63) per ragioni d’opportunità suggerisce di scegliere aritmetica e algebra per
insegnamologico, e geometria per insegnamointuitivo [si tratta di: BOREL, É. 1907, La logique et l’intuition
en mathématiques, Revue de métaph. et de morale, 15, pp. 273-283].
viiiGuido Castelnuovo (Venezia 1865 - Roma 1952).
ixCASTELNUOVO, G. 1907, Il valore didattico della Matematica e della Fisica, Rivista di Scienza, 1, pp.
329-337.
xCharles Hermite (Dieuze 1822 - Parigi 1901).
Ma vi è luogo anche, per ragioni didattiche, a mancare veramente di rigore, a dare cioè in iscuola degli abbozzi di ragionamento invece, oppure prima dei // veri
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ragionamenti. Un tale abbozzo, o dimostraz. non rigorosa, potrà insegnare in che modo si fanno le scoperte, come si lavora coll’intuizione; oppure servirà a dare un’idea più sintetica, più facile a ricordare, della dimostrazione rigorosa che poi verrà esposta; oppure anche, per ragion di brevità, od altra ragione d’opportunità, si darà soltanto l’abbozzo di dimostraz. Basta che si avvertano gli scolari che la dimostraz. esposta è incompleta; e talvolta si mostri dov’è la lacuna. - Per esempio: l’area del cerchio, come limite di quella di un poligono regolare iscritto, risulterà subito espressa nel modo noto.
Al rigore perfetto in certe cose si può giungere più avanti. Può la gioventù pro//cedere per gradi, come l’umanità. v. pag. 40: La riforma
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