[37]
Regole per le definizioni.
1. Non imprendere a definire alcuna delle cose talmente cognite per se stesse, che non vi siano termini più chiari onde spiegarle.
2. Definire tutti i termini oscuri o equivoci.
3. Nella definizione dei termini impiegare solamente parole perfettamente co- gnite e già spiegate.
Regole per gli assiomi.
1. Non mettere alcuno dei principi fondamentali senza avere domandato se si accorda, per quanto sia chiaro ed evidente.
2. Non domandare come assiomi altro che // cose evidenti per se stesse.
[38]
Regole per le dimostrazioni.
1. Non imprendere la dimostrazione delle cose che sono talmente evidenti per se stesse, che non vi sia nulla più chiaro per provarle.
2. Provare tutte le proposizioni un poco oscure, e nella loro dimostrazione non impiegare altro che assiomi evidentissimi, o proposizioni già accordate o di- mostrate.
3. Sostituire sempre mentalmente le definizioni al posto dei definiti, onde non ingannarsi coll’equivoco dei termini che le definizioni hanno ristretto.
Le prime regole di ciascuna parte possono trascurarsi senza errore.
Possono muoversi tre obiezioni principali. Una, che questo metodo non ha nulla di // nuovo, l’altra che è facilissimo ad impararsi, e infine che è abbastanza inutile,
[39]
perchè il suo uso è quasi rinchiuso nelle sole materie geometriche.
xxviiiBlaise Pascal (Clermont, oggi Clermont-Ferrand, 1623 - Parigi 1662).
xxixPASCAL, B. 1783, Pensées de M. Pascal, chez Nyon, Paris: De l’art de persuader, Supplement, Art. III,
Bisogna dunque far vedere che nulla è così sconosciuto, nulla più difficile a porre in pratica, e nulla è più utile e più universale. //
La riforma
[40]
Accostare l’insegnamo della Matema alla realtà: questo il programma. - Pri- ma è svolto in Francia: programmi del 1902 (riportati in Tanneryxxx Notions de
mathxxxi.). Klein dal 1900 in poi, in Germania. Programma di Merano del 1905,
riprodotto alla fine del vol. Klein-Schimmackxxxii(citato qui pag. 64)xxxiii. Perryxxxiv
in Inghilterra. V. il discorso di Loriaxxxv “La scuola media e la sua attuale crisi di
sviluppo”, inaugureil congresso di Padova 1909 di “Mathesis”xxxviV. Marottexxxvii
cit. qui p. 64xxxviii.
V. i diagrammi ferroviari in Borel. V. i programmi francesi del 1902 (riforma) in //
Tannery Notions de mathém. [41]
Esempi dell’indirizzo logistico in confronto a quello realistico: dimostrazione di ab=ba in CataniaxxxixAritmetica ed Algebraxl, e in Borel Arithmétiquexli.
Qualche notizia storica. //
xxxJules Tannery (Mantes-la-Jolie 1848 - Parigi 1910).
xxxiTANNERY, J. 1903, Notions de mathématiques, (avec) Notions historiques par P. Tannery, Ch. Delagrave,
Paris.
xxxiiSi tratta di Der Meraner Lehrplau für Mathematik (1905), che è riprodotto nel volume citato nella nota
seguente alle pp. 208-220.
xxxiiiKLEIN, F.-SCHIMMACK, R. 1907, Vorträge über den mathematischen Unterricht an den höheren Schulen
Bearbeitet von R. Schimmack, Teil I, Teubner, Leipzig.
xxxivJohn Perry (Garvagh, Irlanda, 1850 - Londra 1920), matematico e ingegnere, presidente della Phisy-
cal Society di Londra, qui ricordato per aver elaborato un metodo di insegnamento noto come “practical mathematics”.
xxxvGino Loria (Mantova 1862 - Genova 1954).
xxxviLORIA, G. 1909, La scuola media e la sua attuale crisi di sviluppo, Atti del II Congresso della Mathesis,
Societá Italiana di Matematica, Premiata Società cooperativa tipografica, Padova, pp. 12-29.
xxxviiFrancisque Marotte (Clermont-Ferrand 1873 - 1945), matematico e pedagogista, direttore della
rivista La Revue de l’Enseignement des Sciences.
xxxviiiMAROTTE, F. 1905, L’évolution actuelle de l’enseignement mathématique en Angleterre et en Allemagne,
Bull. Sci. Mat., 29, pp. 281-306.
xxxixSebastiano Catania (Catania 1853 - Catania 1946).
xlCATANIA, S. 1910, Trattato di aritmetica ed algebra ad uso degl’Istituti Tecnici, N. Giannotta, Catania. xliBOREL, E. 1907, Arithmétique, Colin, Paris.
‡(1) (a p. 15) La Matematica insegna a ragionar bene; a non contentarsi di parole
[42]
vacue; a trarre conseguenze dalle premesse; a riflettere e scoprire da sè; a giudicar giusto; a generalizzare, a lavorare di astrazione; a parlare con precisione. V. (6) p. 45.
(2) (p. 26) Qui metterei anzi tutto “Doveri dell’insegnante”, e passerei più avanti “Sul metodo”. I doveri sono quelli indicati a pag. 26, 27 prescindendo dal metodo; e inoltre: Preparazione perfetta alla leze. Non consultare libri o appunti, eccezion fatta
per cose speciali, come date, ecc. Non dettare: usare un libro di testo. Procurare in ogni modo di catturarsi l’attenzione (v. pag. 27, 28). Pazienza cogli scolari; ripetere se non han capito; non scandalizzarsi per errori; cercar di persuadere gli scolari che tutti posson fare, che non occorre un’inclinazione speciale. Se una dimostraze
presenta difficoltà, non è capita da un allievo, si potrà talvolta farlo passare oltre: dopo qualche tempo, magari un altro anno la capirà. - L’insegnante disegni bene (se occorre, con rira e compasso): le figure ben fatte attraggono di più lo scolaro, e gli servono anche d’esempio. E talvolta posson servire i gessi colorati, o le linee punteggiate. Segue nota (3) p. 44.//
(Aggiunta a pag. 21) Riguardo all’esperienza ed intuizione, aggiungiamo che
[43]
sono insufficienti a concepire taluni enti: come la curva senza tangenti, un segmen- to senza gli estremi, un segmento coi soli punti razionali, ecc.16
Riguardo ai postulati d’ordinamento (di cui esempi a pag. 20) si osservi col Klein (Elem. Mathem. IIxlii) che la loro mancanza in Euclide è un vero difetto. Essa rende
possibili le dimostrazioni di vari paradossi geometrici (v. Klein, ivi) (e Enriques- Amaldi p. 379). //
(3) (a p. 28) Un triangolo quale si faccia scaleno. Gli scolari han la tendenza
[44]
16V. anche in Borel “L’espace et le temps” p 121-124 [si tratta di: BOREL, E. 1922, L’Espace et le Temps,
Alcan, Paris.] un altro esempio dell’impossibilità d’intuire taluni enti.
xliiKLEIN, F. 1909, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Teil II (Geometrie), Teubner,
Leipzig.
a preferire le orizzontali e verticali (fatto fisiologico). Si abituino a segnare triangi,
angiretti ecc. senza tale particolarità. Un quadrangolo non sia un rettangolo. Due
parallenon siano orizzli. Ecc. Le figure non sian sempre disposte nello stesso modo.
(4) (p. 27). A ciò può anche servire l’inserzione di notizie storiche. Così talvolta può servire a riposare o ad attrarre qualcuna delle curiosità che si trovano nei libri di Matematica dilettevole, p. e. Ghersixliiiecc. Vedi (7).
(5) (p. 26) Reidt p. 32 e segi, contrappone: 1onella forma dell’esposizione il meto-
do espositivo (dozierend) al metodo euristico (10) (interrogativo, al modo dei dialoghi di Socratexliv): v. esempio in Reidt p. 33 (v. anche qui a pag. 64 citaz. di un passo
di Platonexlv); 2o nelle dimostrazioni o soluz. di problemi il metodo sintetico e il
metodo analitico (Reidt p. 37 e segicon esempio); 3onello svolgimento delle singole
teorie e nel loro collegamento, il metodo euclideo (o dogmatico e il metodo genetico (Reidt p. 42 e seg., con esempi, p. e. a p. 46). V. altri esempi in Reidt p. 48 e p. 53. La terna più efficace è: euristico - analitico - genetico; ma non sempre sarà con- veniente, anche gli altri metodi han vantaggi. Sarà da alternare, // e da scegliere [45]
secondo l’argomento, la scolaresca e il tempo disponibile. - Sul metodo analitico e sintetico v. anche Sanniaxlvie D’OvidioxlviiElemidi Geom. I p. 128xlviii.
(6) Come uno degli scopi dell’insegnamento deve essere l’abituare a pensare fun- zionalmente, così un altro sarà quello di rafforzare l’intuizione spaziale.17
Qui aggiungiamo: I ragazzi han tendenza a ritenere la proporzàdiretta come
l’unica legge possibile. Bisogna che le funzioni mostrino loro che così non è. Ten- dano a idee generali.
xliiiGHERSI, I. 1913, Matematica dilettevole e curiosa. Problemi bizzarri, paradossi algebrici, Hoepli, Milano. xlivSocrate (V sec. a. C).
xlvPlatone (IV sec. a. C.).
xlviAchille Sannia (Campobasso 1823 - Napoli 1892). xlviiEnrico D’Ovidio (Campobasso 1843 - Torino 1933).
xlviiiSANNIA, A., D’OVIDIO, E. 1895, Elementi di geometria, B. Pellerano, Napoli (I ed. 1869).
17V. in Simon p. 182 “Kopfgeometrie”. [si tratta di una sezione del libro SIMON, M. 1908, Didaktik und
Un esempio dell’importanza che ha l’insegnamento della Matematica per im- parar a ragionare è dato dalle proposiziinverse. Non sempre è vera l’inversa di una
proposize: errore che accade di sentire nella vita comune. (Reidt p. 60 e seg.).
(7) Pare che i ragazzi s’interessino agli esercizi combinatori (Herbartxlix). V.
Leoni p. 126 (con citaz. di Capellil Boll di mat. del Contili, anno 5o) e fine pag.
137.
(8) Sul coordinamodegl’insegnanti di Mat. e Fis. v. Leoni, capo13o.
(9) A p. 31 Sui libri di testo. Un tale libro non // deve esser conciso, per modo
[46]
che lo scolaro debba prendere appunti e svilupparli poi a casa diffusamente. Per quanto ciò possa costituire un utile esercizio, sarà tempo preso ad altro studio. Sen- za contare che lo scolaro facilmente sbaglia nei suoi appunti. V. Reidt p. 82-83.
(10) Metodo euristico di esposizione della scienza è quello che segue la via in cui le proposizioni sono state effettivamente trovate, o almeno avrebbero potuto esser trovate: cioè esposizione della scienza non com’è, ma come si è formata.
(11) Occorre nell’insegnamodella Fisica parlar di linee in generale, di tangente
alla linea, di aree, di volumi. Occorron parabole, ellissi, paraboloidi, ecc. L’inse- gnante di Matema deve tener conto di ciò. Non definizioni rigorose, ma schiari-
menti, quando la definizione (di linea, o area, ...) sarebbe troppo difficile.
(12) In Fisica ciò che si trae con ragionamo dalle ipotesi, o teorie, o postulati, si
sottopone ogni volta che si può al controllo dell’esperienza. In Matematica ciò non occorre di regola, perchè i postulati hanno un tal carattere di evidenza da dar quasi la certezza. - Qui si noti che questa perfetta sicurezza del ragionamomatematico
xlixJohann Friedrich Herbart (Oldenburg 1776 - Gottinga 1841), filosofo e pedagogista tedesco. lAlfredo Capelli (Milano 1855 - Napoli 1910).
è in contrasto con ciò che accade coi ragionami // della vita comune, e delle al- [47]
tre materie di studio nelle scuole. Lì non si hanno ipotesi sicure, o precise: o vi è un po’ d’indeterminatezza nei dati, o sono fatti solo probabili; le deduzioni se ne risentono; e potrebbero anche essere errate. Sicchè van sempre confrontate colla realtà, come in Fisica. Perciò un’educazione esclusivamente matematica è incom- pleta; il ragazzo non deve credere che il ragionamento matematico sia il solo.
(13) Si danno certe dimostrazi invece di altre più semplici o più istruttive, per
ragione di metodo (purezza): cioè per non servirsi di questo o quello strumento, come le parallele, o le proporzioni, o la teoria dell’equivalenza. Sono cose inutili, che gli scolari non possono apprezzare, ancora. Si badi solo a interessare e a facilitare.
Così è della purezza del metodo geomo, che consiste nell’evitare l’uso dell’a- ritmetica. - Per eso il postulato della continuità della retta adoperato in Enriques-
Amaldi Geometria (p. 356 n. 573) è l’equivalente dell’introduz. dei numeri irrazli
(cfr. ivi p.389-390).
(14) P. e. moto dei gravi prescindendo dall’attrito, dalla resistenza dell’aria. // (15) L’esperienza dà approssimaze, non precisione. Così per le lunghezze gli stru- [48]
menti più perfetti permettono di apprezzare fino all’ordine di grandezza dei di- ametri degli atomi, 101 di millimicron, 101µµin metri 10 10. Così nelle misurazioni
in metri possiamo apprezzare fino alla 10a cifra decimale. L’11a cifra e segi non
hanno più senso. - E poichè le altre misure si riducono a lunghezze, possiam dire che la Matemadel mondo reale, come la Fisica, lavora solo con numeri approssimati.
Si può andare solo fino a una certa cifra. Bastano i numeri razionali.
In quest’orded’idee della realtà18, il punto diventa un corpo, una linea un nastro
d’estrema sottigliezza. Non diciamo più che 2 pi individuano una retta: la deter-
18M. Pasch Vorl. ü neuere Geom. 1882. Klein Anwendang... cit. a p. 66. J. Hjelmslev [si tratta del
matematico danese Johannes Hjelmslev (Horning 1873 - Copenaghen 1950)] Die Geometrie der Wirk- lichkeit. Acta m. 40 1915-16 p. 35 [si tratta di: HJELMSLEV, J. 1916, Die Geometrie des Wirklichkeit, Acta mathematica, 40, pp. 35-60].
minano con tanta maggior precisione quanto più son discosti (il segmento, non i prolungamenti). Due rette che s’incontrino determinano il loro po come tanto
meglio quanto maggiore è il loro angolo acuto: se questo è piccolo, l’indeterminaze
è grande. - E così, proseguendo, una linea pratica si compone, in più modi, di seg- menti rettilinei. La semitg a destra in P è quella // retta che ha comune colla curva
[49]
a partir da P il più lungo segmento (Hjelmslev). Ecc.
(16) Così l’ammettere che un punto abbia dimensioni crea una zona d’indecisione che non si ha più col punto ideale. È più semplice ammettere che 2 punti indi- viduano una retta, anzi che pensare un pennello sottilissimo di rette pei 2 pi. Ecc.