Capacità, stato di carica e temperatura dell'elettrolita [9]

Per definire lo stato di carica della batteria, innanzitutto si inizia dall'analisi della capacità della batteria, che come già espresso precedentemente è funzione della temperatura dell'elettrolita e della corrente di scarica.

È ben noto che la carica che può essere prelevata da una batteria al piombo con una corrente di scarica costante, alla temperatura costante dell'elettrolita, è maggiore con temperature più elevate dell' elettrolita e con corrente di scarica inferiore. Essa dipende anche dalla tensione raggiunta al termine della scarica considerata per misurare la capacità.

Con una corrente di scarica I fissata, la capacità può essere espressa con buona approssimazione dalla formula:

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θ_f è la temperatura di congelamento dell'elettrolita, che dipende principalmente dalla densità dell'elettrolita, e può normalmente essere assunta pari a -35 o -40°C.

C₀(I) è una funzione empirica dipendente dalla corrente di scarica ed è uguale alla capacità della batteria a 0 ° C;

Ovviamente, la capacità espressa in questo modo è tale per cui quest'ultima tende a zero al diminuire della temperatu θ è è in grado di fornire alcuna corrente.

Risultati sperimentali hanno dimostrato che la C₀(I) può essere espressa in funzione di una corrente di riferimento I*:

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Dove è stato assunto:

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K_c δ ff ricavati empiricamente per una data batteria e per una data corrente I*. un metodo per individuare il valore di I* è quello di scegliere un valore della corrente che scorre nella batteria nelle normali condizioni d'uso, e tale valore può essere espresso dalla corrente nominale I_n.

Tale corrente è ottenibile dal rapporto tra la capacità nominale C_n e il tempo di scarica T_n associato a tale capacità.

Il range di valori di corrente per cui la formula (*) da buoni risultati è abbastanza ampio quindi normalmente un unico valore di I* è scelto per una data applicazione della batteria.

Le due equazioni possono essere messe insieme e si ottiene:

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Un'altra equazione analitica che lega la capacità della batteria alla corrente di scarica è l'equazione di Peukert, la quale è una legge molto diffusa e molto utilizzata nel campo degli accumulatori, ed è quella su cui abitualmente si fa riferimento per la valutazione della capacità. Peukert oltre un secolo fa (1897) ha descritto mediante una semplice legge matematica, il à ’ di tipo logaritmica. Tale legge è rappresentata dalla formula:

Dove:

 C è la capacità nominale della batteria espressa in Ah;  I la corrente di scarica;

 t il tempo di scarica in ore;

 p è la costante di Peukert, che dipende dalla tipologia della batteria, ed è definita sperimentalmente dalla relazione:

dove, con I₁ > I₂ si intendono due correnti di scarica e t₁, t₂ i rispettivi tempi di scarica.

Un rapido paragone tra l'equazione di Peukert e l'equazione che esprime la ci permette di notare che, sebbene più complicata, quest'ultima supera le principali inadeguatezze dell'equazione di Peukert, cioè, la scarsa considerazione della temperatura nel computo della capacità. Inoltre in corrispondenza di basse correnti l'equazione di Peukert fornisce dei valori di capacità molto più grandi rispetto a quelle sperimentalmente misurati.[8]

Le equazioni scritte sopra valgono solamente se la temperatura dell'elettrolita e la corrente di scarica sono costanti nel tempo. Quindi in teoria durante i transitori tali equazioni non avrebbero validità, tuttavia durante i transitori si può ritenere che le formule valgano ancora, poiché invece della corrente i(t) è usata una corrente fittizia media di valore costante I_avg.

Quando si usa tale modello per simulare il comportamento della batteria bisogna adattare la capacità in modo continuo alla temperatura dell' elettrolita e alla corrente media I_avg in modo tale che al variare della temperatura e della corrente durante la scarica o la carica, la capacita sia sempre calcolata e stimata in modo corretto.

La corrente media della batteria Iavg è stata stimata come segue:

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 I_avg è la corrente di scarica media in espressa in Ampere;  I_m è la corrente del ramo principale espressa in Ampere;  τ₁ è costante di tempo del ramo principale espressa in secondi;

Osservando la Figura 20 si vede come la carica accumulata da ’ non è data dal ’ ’ sola corrente I_m. Se con il simbolo Q

e si “ ”, h lla condizione di batteria totalmente carica per ottenere lo stato di carica attuale, si ha quindi:

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Per determinare quindi lo stato di carica è necessario rapportare questa grandezza ad una capacità di riferimento della batteria, che spesso coincide con la capacità nominale, ossia la quantità di carica espressa in Ah che può essere estratta in condizioni nominali.

È necessario quindi fare riferimento al concetto di SOC.

Lo stato di carica, SOC (State Of Charge) è il contenuto energetico di un sistema di accumulo in un dato istante. Solitamente quando si parla della capacità del sistema si fa riferimento alla carica piuttosto che all' energia. In questo ambito, generalmente si fa riferimento agli Ah residui per indicare il contenuto energetico di una batteria, ( anche se non è un errore fare riferimento ai wattora residui, dal momento che le due grandezze sono correlate).

Il SOC è generalmente espresso in percentuale, rapportato ad una capacità di riferimento:

U ’ un sistema di accumulo è la profondità di scarica, DOD (Depth Of Discharge) che è il complemento a 100 del SOC. La profondità di scarica è definita come la percentuale di carica prelevata dalla batteria, e la si può calcolare attraverso la formula:

In generale è sempre valida DOD + SOC = 100%.

Nasce però il problema della scelta di questa capacità di riferimento. Infatti, come visto precedentemente, nella maggior parte degli accumulatori elettrochimici la capacità varia con la corrente di scarica e con la temperatura. Per tale motivo, per avere un valore del SOC attendibile sarebbe necessario variare la capacità di riferimento in funzione di queste grandezze.

Pertanto si introduce una terza grandezza spesso usata: il DOC (Depth Of Charge) è una ’ ff à scarica considerato( il valore della corrente di carica costante I, oppure in caso di corrente di scarica variabile la corrente I_avg)

Il SOC e il DOC possono essere espressi in questo modo:

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Per quanto riguarda la temperatura dell'elettrolita, anche questa deve essere valutata in modo più preciso possibile in quanto come già più volte ripetuto i componenti del circuito elettrico sono funzione di tale parametro.

La batteria al suo interno presenta componenti di una certa grandezza ed è facile dedurre che la temperatura interna sia diversa da punto a punto. Tuttavia è pensabile di dedurre un unico valore della temperatura equivalente interna della batteria.

La temperatura la si può determinare attraverso un'equazione differenziale nel dominio del tempo, riportata qui sotto:

^[9] E h ò θ trasformate di Laplace s: [9] Dove:  θ è emperatura dell'elettrolita [°C];

 è la temperatura dell'ambiente (normalmente aria) che circonda la batteria [°C];  è la capacità termica della batteria ;

 è la resistenza termica che si ha tra la batteria e l'ambiente circostante ;

 è il calore che viene generato all'interno della batteria dalla conversione di energia elettrica in energia chimica [W];