Determinazione dei componenti del circuito

Fino ad ora è stato presentato il modello e mostrato in che modo i componenti del circuito sono f θ SO . O h determinati i valori dei parametri presenti nelle equazioni analitiche del modello descritto in precedenza.

La determinazione è possibile partendo da una serie di test in laboratorio sulla batteria reale, quella su cui si vuole applicare il modello. I test consistono nel sottoporre la batteria a scariche e successive ricariche con diversi valori di corrente e di temperatura dell'ambiente.

Questi test in laboratorio vengono fatti poiché in linea di principio è possibile determinare tutti i f ’ (tensione e corrente) misurate nel corso delle prove sperimentali, con quelle calcolate utilizzando un simulatore digitale del modello.

Se V

m(t) ’ effettiva , e V

s(t,p) indica la tensione simulata dal modello relativa agli stessi andamenti delle grandezze di ingresso e ad un dato set di parametri p, gli elementi del vettore p possono essere determinati minimizzando una funzione ’ f . S h err la misura di tale errore, il problema si traduce nella risoluzione della seguente equazione: [11]

θ

V

θ

θ

I

parametri

57 Una possibile funzione errore è lo scarto quadratico medio:

, , ’ p e della notevole complessità f , è ff ’ minimo della funzione che permetta di ottenere dei risultati attendibili in tempi ragionevoli. Per tale motivo si preferisce diminuire la complessità computazionale del problema matematico della minimizzazione della funzione, scomponendo il problema in sottoproblemi più semplici, ognuno dei quali porta alla determinazione di un limitato numero di parametri. Nel corso del lavoro riportato nell'articolo scientifico si è quindi scelto di seguire questo approccio.

Una volta che gli elementi di p , ’ ( ) ò ssere utilizzata per verificare la validità dei risultati.

1.18.1. Parametri riferiti alla capacità [10]

La capacità è stata precedentemente definita dalla formula:

Con:

 θ ° ;  K_c, C₀, θ_f, ε, δ, * sono i parametri che devono essere identificati;

L θ à temente è la media della temperatura nel tempo in un specifico punto della batteria. Nelle batterie al piombo "allagate" (flooded) tale valore di temperatura è misurato in un punto interno della batteria tale che si possa ragionevolmente pensare che sia effettivamente la temperatura media.

Invece nelle batterie VRLA è stato dimostrato sperimentalmente che la misurazione della temperatura in corrispondenza dei terminali è una buona scelta.

Per quanto riguarda la determinazione del valore di I* è già stato detto che la scelta più adatta è quello di prendere come valore quello della corrente nominale di scarica, quindi I*=I_n.

Un altro parametro può essere facilmente calcolato, ossia la temperatura di congelamento θ_f. Normalmente si può ritenere che tale valore sia intorno ai -35°C per quanto riguarda questo tipo di batterie.

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Per identificarli si possono fare quattro test di scarica della batteria usando due valori diversi di corrente di scarica I₁,I₂ θ₁,θ₂.

Se la formula della capacità è utilizzata congiuntamente con le quattro coppie di parametri e le relative misure della capacità, si ottiene un sistema di quattro equazioni e quattro incognite (K_c, C₀, ε, δ), h ì .

1.18.2. Parametri riferiti al ramo principale [10]

Consideriamo per il momento lo schema generale di Figura 20, è stato detto che il ramo tra P e N è il ramo parassita che modella le reazioni parassite che avvengono in fase di carica e specificatamente alla fine di essa. A ’ f gassificazione è presente solo nella fase finale del processo di ricarica ed è assente durante la scarica. Per cui per analizzare i parametri del ramo principale che viene preso in considerazione durante il periodo di scarica della batteria, possiamo per il momento trascurare il ramo parassita. Questo semplifica ovviamente il procedimento di individuazione dei parametri. Consideriamo il modello di scarica riportato in figura qui sotto:

Figura 23: Modello valido per la scarica della batteria piombo-acido

Si ricorda che tutti i componenti del circuito sono funzione della temperatura e del SOC, e che per ogni batteria è caratterizzata da una serie di parametri che definiscono la forma particolare di queste funzioni: [10] O, se si assume : Rn In R1 I1 R0 + E Cn C1 Im

59 Con:

 p_e è il vettore contenente i dettagli della particolare batteria in rifermento alla forza elettromotrice;

 p_rk, p_ck, p_tk sono vettori contenenti i dettagli della particolare batteria considerati in riferimento alla k-esima resistenza e capacità rispettivamente;

L'identificazione è particolarmente semplificata se si assumono le seguenti condizioni: [10]  p_e, p_r0 sono costituiti da due elementi ciascuno;

 p_rk,p_tk sono costituiti da un unico elemento;

quindi in seguito queste assunzioni le equazioni scritte sopra diventano: [10]

Nelle quali i numeri a sinistra dell'uguale sono sperimentalmente valutati durante il test.

Questa semplificazione viene fatta perché come già detto in precedenza si assume come modello circuitale il modello del terzo ordine, caratterizzato dalle equazioni dei parametri elettrici che vengono scritte nuovamente qui sotto: [10]

Si ricorda che durante la scarica R₂ è sostanzialmente nulla. Da cui si può dedurre mediante un rapido confronto:

Un ciclo di lavoro semplice e utile per la determinazione dei valori dei parametri elettrici del circuito, è riportato nella F , è ’ , , della tensione di un accumulatore durante una scarica a corrente costante seguita da un periodo di assestamento nel quale la corrente rimane nulla. [10]

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Figura 24: Andamento qualitativo della tensione di un accumulatore durante una scarica a corrente costante

Il test si svolge in questo modo:

1) la batteria viene totalmente caricata;

2) poi la batteria viene scollegata da qualsiasi circuito esterno e si aspetta la completa stabilizzazione della tensione ai morsetti (questa fase richiede alcune ore);

3) si misura la tensione iniziale V₀, che si assume uguale alla fem corrispondente alla batteria totalmente carica corrispondente alla tempera θ;

4) successivamente si fa scaricare la batteria con una corrente costante per un intervallo di tempo ;

5) al tempo t= la corrente di scarica passa istantaneamente da a 0, e si registra il transitorio di completa stabilizzazione della tensione fino a che non raggiunge il valore V₁;

A questo punto i parametri possono essere determinati in questo modo:

 e possono essere determinati direttamente misurando la tensione all'inizio e alla fine del test V₀ e V₁ , e misurando anche lo stato di carica in corrispondenza di quei valori di tensione e . Si ha così un sistema di due equazioni in due incognite facilmente risolvibile.

 e possono essere determinati direttamente misurando le cadute di tensione istantanee durante i fronti di corrente, ossia:

[10] [10] Corrente Tensione

V

V

V

V

V

61 Dopodiché si risolve il sistema di due equazioni e due incognite :