Il caso centrato

Sia Y una Poisson random measure dipendente dal tempo e sia ˜Y la sua versione centrata. Nella sezione A.2 abbiamo visto come definire l’integra- le di funzioni L₁ o L₂ rispetto a ˜Y . Possiamo quindi ripetere la costru- zione dell’integrale stocastico della sezione precedente utilizzando ˜Y come integratore.

Sia ϕ una funzione L₁(µ), definiamo

˜ Y (ϕ, t) := Z U ×[0,t] ϕ(u) ˜Y (du × ds) = Z U ×R+1[0,t] (s)ϕ(u) ˜Y (du × ds)

Proposizione A.3.7. Il processo stocastico ˜Y (ϕ, t) è a incrementi indipen- denti. In particolare è una martingala.

Dimostrazione. L’indipendenza degli incrementi è conseguenza della proposi- zione A.1.2 come nel caso non centrato. Inoltre tali incrementi sono centrati per le proprietà dell’integrale rispetto ad una Prm centrata.

Sia quindi Z un processo semplice della forma (A.2). Definiamo l’integrale stocastico ˜IZ(t) analogamente a quanto fatto nel caso non centrato

Z(t) = m X k=1 ξk(t)ϕk ˜ IZ(t) := Z U ×[0,t] Z(s−) ˜Y (du × ds) = m X k=1 Z t 0 ξk(s−) d ˜Y (ϕk, s)

Abbiamo visto che se ϕ ∈ L1(µ) allora ˜Y (ϕ, t) è una martingala. Di

conseguenza ogni termine della sommatoria precedente Z t

0

60 APPENDICE A. POISSON RANDOM MEASURE

è una martingala locale. Concludiamo quindi che ˜IZ(t) è a sua volta

una martingala locale. In particolare possiamo calcolare la sua variazione quadratica.

Proposizione A.3.8. Con le notazioni precedenti vale

[ ˜IZ(t)]t=

Z

U ×[0,t]

Z2(u, s−) Y (du × ds)

Dimostrazione. La prima cosa da osservare è che, essendo ˜IZ(t) una somma

finita di integrali stocastici, possiamo esprimere la sua variazione quadratica come una sommatoria di integrali rispetto alle variazioni congiunte degli integratori [ ˜IZ(t)]t= X i X j Z t 0 ξi(s)ξj(s) d[ ˜Y (ϕi, ·), ˜Y (ϕj, ·)]s (A.3)

Procediamo quindi a calcolare tali variazioni congiunte. Osserviamo che è equivalente calcolarle sostituendo Y al posto di ˜Y . Iniziamo con i termini con indici uguali. Mostriamo

[Y (ϕj, ·), Y (ϕj, ·)]t= [Y (ϕj, ·)]t= Y (ϕ2j, t) (A.4)

Sia ϕ una funzione semplice appartenente ad L1(µ)

ϕ(u) =

n

X

i=1

ai1Ai(u)

e supponiamo di aver scelto una rappresentazione tramite insiemi Ai a due a

due disgiunti. Allora vale

Y (ϕ, t) =

n

X

i=1

aiY (Ai, t)

Ricordando che se Nt è un processo di Poisson omogeneo allora [N·]t= Nt

otteniamo quindi [Y (ϕ, ·)]t= X i X j aiaj[Y (Ai, ·), Y (Aj, ·)]t= X i a2_iY (Ai, t) = Y (ϕ2, t)

Abbiamo dunque verificato l’equazione (A.4) per funzioni semplici, e possiamo estendere il risultato a funzioni ϕ ∈ L1(µ) per densità.

Consideriamo adesso i termini nell’espressione (A.3) con indici distinti. Supponiamo di aver espresso il processo semplice Z

Z(t) =

m

X

k=1

A.3. POISSON RANDOM MEASURE DIPENDENTI DAL TEMPO 61

in modo che le funzioni ϕk abbiamo supporti disgiunti. Supponiamo che

ϕi(u) = X k ak1Ak(u) ϕj = X k bk1Bk(u)

dove gli insiemi A_k e B_k sono a due a due disgiunti. Allora

[Y (ϕi, ·), Y (ϕj, ·)]t= X i X j aibj[Y (Ai, ·), Y (Bj, ·)]t= 0

in quanto ogni termine della sommatoria è nullo. Il caso generale si ottiene analogamente per densità.

Ritornando all’equazione (A.3) abbiamo ottenuto

[ ˜IZ(t)]t= X i Z t 0 ξ_i2(s) dY (ϕ2_i, s) =X i Z U ×[0,t] ξ_i2(s)ϕ2_i(u) Y (dµ × ds)

Per linearità dell’integrale segue dunque la tesi.

Proposizione A.3.9. Se E[R_{U ×[0,t]}Z2(u, s) dµds] < ∞ allora ˜IZ(t) è una

martingala di quadrato integrabile e vale

E[I˜Z2(t)] = E

" Z

U ×[0,t]

Z2(u, s−)Y (du × ds) #

Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che ˜IZ(t) è una martingala di qua-

drato integrabile. In tal caso infatti l’uguaglianza risulta ovvia in quanto il secondo membro coincide con il valore atteso della variazione quadratica di ˜IZ(t). Osserviamo dunque che, se la condizione espressa dal teorema è

verificata, allora per ogni j ϕj ∈ L2(µ) per cui il processo ˜Y (ϕj, t) è una

martingala di quadrato integrabile. Vale inoltre

E Z t 0 ξj(s)2d[ ˜Y (ϕj, ·)]s  = E " Z U ×[0,t] ξ2_j(s)ϕ2_j(u) Y (dµ × ds) # < ∞

Da questo segue quindi che ogni termine della sommatoria che compone ˜IZ(t) è

una martingala di quadrato integrabile. Questo conclude la dimostrazione.

Chiudiamo questa sezione enunciando il risultato che permette di estendere l’integrale rispetto a ˜Y nel caso generale.

Teorema A.3.10. Sia Z un processo cadlag e adattato e sia Z_n una succes- sione approssimante di processi elementari come nel lemma A.3.5. Allora la successione

sup

t≤T

62 APPENDICE A. POISSON RANDOM MEASURE

è di Cauchy in probabilità. Esiste quindi un processo ˜IZ cadlag e adattato

tale che sup t≤T | ˜IZ(t) − ˜IZn(t)| P → 0 Definiamo allora Z U ×[0,t] Z(u, s−) ˜Y (du × ds) = ˜IZ(t)

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