Catene di Marko

Il processo di Markov è una discretizzazione stocastica indipendente dal tempo della descrizione dello sviluppo degli eventi. Essa è disciplinata da tre restrizioni:

1. il processo è discreto nel tempo;

2. il processo deve avere dei cambi di stato finiti;

3. P(Xn+1 = j | Xn = i, Xn-1 = in-1,...X0 = io) = P(Xn+1 = j |Xn = i) lo stato futuro del

processo dipende dal suo stato attuale ma non dagli stati passati. [6]

Viene ulteriormente chiamata catena di Markov omogenea (HMC), o stazionaria, se la parte destra della formula è indipendente da n cioè se la probabilità di andare da uno stato all'altro è indipendente dal momento in cui il passaggio è stato fatto. [7]

Un'altra considerazione importante riguardo le catene di Markov è l'ergodicità, cioè la condizione che esse convergano a medie probabilistiche:

Dove π è la distribuzione stazionaria e f : E → R è tale che

Per sviluppare le catene di Markov è necessario stabilire la Probability Transition Matrix (TPM) cioè la matrice di transizione probabilistica indicata con P, dove ogni suo elemento corrisponde alla probabilità di passare da uno stato all'altro. Le catene di Markov sono definite regolari se nessun elemento della TPM è nullo.

Figura 2-10 : Rappresentazione schematica delle Markov Chain e della Probability Transition Matrix

Possiamo determinare il deterioramento della pavimentazione con l’utilizzo delle catene di Markov come segue:

- il deterioramento della pavimentazione è continuo nel tempo. Per discretizzare le condizioni della rete nel tempo, vengono analizzati alcuni intervalli di tempo. Questi solitamente vengono definiti duty cycles (cicli di lavoro) e assumono una specifica durata costante.

- I possibili stati, cioè il numero di possibili risultati, è infinito. Tuttavia, in realtà, i cambi di stato sono definiti con un numero esatto per il particolare caso in esame.

- Nel deterioramento della pavimentazione si presume che la Markov property sia verificata [8].

Lo stato iniziale di qualsiasi processo può essere descritto da un vettore di partenza a0 =

( α1, α2...αn ). Utilizzando l'analogia del deterioramento della pavimentazione, il vettore

di partenza indica la condizione corrente della rete definita come la probabilità di trovarsi nelle varie condizioni di stato. Il vettore di partenza dovrebbe soddisfare le seguenti condizioni:

- la somma di tutti αi deve essere uguale a uno;

- tutti gli αi devono essere non-negativi.

Per modellare il deterioramento della pavimentazione con il tempo è necessario stabilire una matrice di probabilità di transizione (TPM).

La forma generale di P è data da:

Questa matrice contiene tutte le informazioni necessarie per modellare il processo tra i vari passaggi di stato. La probabilità di transizione, pij, indica la probabilità che una

parte della rete nella condizione i passi alla condizione j in un duty cycle. Un duty cycle nel deterioramento della pavimentazione si riferisce ad un determinato intervallo temporale di traffico e degrado ambientale.

Simile al vettore di partenza, ogni TPM deve soddisfare le seguenti condizioni: - la somma di tutti gli elementi di ogni riga deve essere uguale a uno o zero; - tutti gli elementi devono essere non-negativi.

Nella notazione della matrice, la distribuzione di probabilità degli stati del processo in un tempo specifico, per esempio t = 1, è pertanto data da:

a1 = a0P1

Analogamente, la distribuzione di probabilità degli stati del processo in qualsiasi momento t può essere calcolata per:

at= a0 Pt

Il deterioramento può quindi essere modellato usando l'equazione precedente, dove: - at = distribuzione della condizione al tempo t;

- a0 = distribuzione della condizione al tempo 0, cioè il vettore di partenza;

- Pt _{= P}

1 ∙P2∙P3...∙Pn-1, cioè il prodotto di tutte le matrici TPM precedenti al duty

cycle n (processo non-stazionario).

La definizione del pij nella TPM è stata effettuata utilizzando metodi diversi.

L'approccio standard è quello di osservare dai dati storici il modo in cui una rete si deteriora nel tempo e lo si usa per stimare pij come segue:

Dove:

- Nij è il numero di tratti della rete passanti dalla condizione i alla condizione j

durante un duty cycle in esame;

- Ni è il numero totale di tratti che in corrispondenza del duty cycle in esame si

trovano nella condizione i.

Le proporzioni variano da anno in anno, richiedendo pertanto una media di determinazione per ogni pij per garantire la precisione del modello. Nel caso in cui siano

disponibili una quantità insufficiente di dati storici affidabili, un gruppo di ingegneri esperti può essere utilizzato per stimare il pij usando il parere di esperti [9].

2.4.1.1 Caso stradale

In ambito stradale si possono usare catene di Markov stazionarie o non-stazionarie. Nel caso di catene stazionarie, si considera che la rete stradale peggiorerà sempre seguendo una singola matrice di probabilità di transizione. Se è probabile che il modello di deterioramento di una particolare rete stradale cambi in un dato momento, t, il processo

di deterioramento potrebbe essere modellato da una catena non stazionaria. Ciò implica l'uso di una diversa matrice di transizione prima e dopo t. In questo caso, il vettore delle condizioni al tempo t diventerà il vettore iniziale della seconda catena, che opererà con una matrice di transizione diversa.

Altre due condizioni devono essere soddisfatte per simulare il deterioramento della pavimentazione stradale. In primo luogo, pij = 0 per i > j, poiché le condizioni delle

strade non possono migliorare senza prima ricevere un trattamento. In secondo luogo, pnn = 1, poiché le strade che hanno raggiunto la loro peggiore condizione non possono

deteriorarsi ulteriormente (stato di assorbimento).

Di conseguenza la forma generale della matrice di transizione P è denotata da:

Un'ulteriore semplificazione, nella modellazione del deterioramento della pavimentazione, considera il fatto che il deterioramento possa avanzare solo di uno stato in un duty cycle. La TPM viene quindi indicata da:

Figura 2-11 : Rappresentazione schematica delle catene di Markov per la previsione delle prestazioni della pavimentazione in ambito stradale.

Per il caso stradale vengono generalmente considerati dei duty cycle di 1 anno mentre l’indice di stato è definito dalle condizioni della strada ed assume valori differenti in base alla normativa adottata.

Ad esempio per la Svizzera questo indice (I1) è ottenuto dalla combinazione ponderata

di diversi indici:

- I1 = degrado della superficie compresa la profondità di fresatura;

- I2 = planarità longitudinale;

- I3 = planarità trasversale;

- I4 = ruvidità;

- I5 = capacità portante.

Per ogni stato l'ampliamento (A) e la durezza (S) vengono valutate e combinate in una matrice M. Calcolo dato da:

dove Gi sono i coefficienti di ponderazione per ogni tipo di stato, è possibile inserire il

valore così ottenuto nel grafico seguente e stabilire il valore di I1 per ogni sezione. Si

può assumere valore da 0 subito dopo la costruzione e 5 per la pavimentazione distrutta secondo SN 640 925b [10].

Figura 2-12 : Trasformazione della somma Mi Gi della degradazione superficiale nel valore