CHIRURGIA DI DEHN

Per il Teorema 4.29 abbiamo: −1 2v8χ(Guts(M S )) − 1 2v8χ(Guts(M W )) = = −1 2v8( 1 2χ(∂Y ) + χ(F ) − rW) − 1 2v8( 1 2χ(∂Y ) + χ(F ) − rS) = = 1 2v8(rs+ rW − χ(F ) + χ(∂Y ) − χ(F )) = = 1 2v8(Tw(π(L) − χ(∂Y ) − χ(F ))), come volevamo. _ 5. Chirurgia di Dehn

Data una 3-varietà M con bordo e supponiamo una componente di bordo sia torica. Incollare un toro solido per eliminare tale componente di bordo è un riempimento di Dehn. L’operazione dipende dall’incollamento, che diventa unico una volta specificata la slope su cui viene incollato il meridiano del toro solido.

Indichiamo con M (s1, . . . , sn) la varietà ottenuta facendo n chirurgie di Dehn

con slope si su altrettante componenti di bordo toriche.

Definiamo una slope µ come meridionale su ∂N (L) se la slope rappresenta la classe di isotopia di un meridiano che borda un disco in N (L).

Per studiare le slope e definire una lunghezza dobbiamo generalizzare le superfici normali ammettendo speciali superfici che si auto-intersecano e che andiamo a definire.

Definizione 4.10. sia S l’immagine di una immersione di una superficie S connessa, in posizione generica in un pezzo C. La superficie S è ammissibile se valgono le seguenti condizioni.

(1) Se S è chiusa, allora la mappa è π1-iniettiva in C.

(2) L’insieme ∂S r ∂C è una collezione di archi embedded con estremi su facce interne di C e curve chiuse embedded in C.

(3) L’intersezione ∂S ∩ ∂C è composta da curve immerse.

(4) Se un arco γ è contenuto in una faccia, ogni regione che separa non è un disco.

5. CHIRURGIA DI DEHN 49

Figura 17. Per una superficie ammissibile le regioni evidenziate non possono essere dischi.

I punti 4 e5 sono rappresentati in Figura 17.

Dato che S è in posizione generica rispetto a C, la coppia (S, ∂S) è trasversa a C.

Una superficie Σ in una varietà di dimensione 3, irriducibile e ∂-irriducibile con una decomposizione in pezzi è ammissibile se ogni componente di intersezione con un pezzo è ammissibile.

Definizione 4.11. Sia S una superficie ammissibile in un pezzo angolato C e sia σ(∂S, C) il numero di componenti dell’intersezione fra ∂S e la parte interna di C. Sia v un vertice di intersezione fra una faccia interna di C e ∂S, definiamo l’angolo esterno ε(v) = π/2.

Siano v1, . . . , vn i punti in cui ∂S interseca un lato di C e gli estremi di ∂S ∩ C

su facce interne. Definiamo l’area combinatoria di S come A(S) =

n

X

i=1

ε(vi) − 2πχ(S) + 2πσ(∂S, C).

Teorema 4.31 (Gauss-Bonnet). Sia S una superficie ammissibile in una decomposizione in pezzi angolata per M . Sia σ(∂S, M ) il numero delle componenti di intersezione fra ∂S e le parti interne dei pezzi della decomposizione. Allora

5. CHIRURGIA DI DEHN 50

Dimostrazione. La dimostrazione è identica a quella della proposizione 3.5,

basta osservare che il termine σ è costante. _

Definizione 4.12. Dato C un pezzo della decomposizione angolata di una varietà M , sia S una superficie ammissibile che incontra almeno una faccia di bordo di C. Sia γ un arco di intersezione fra S e una faccia di bordo di C. Definiamo la lunghezza di γ relativa ad S come

l(γ, S) = a(S) |∂S ∩ ∂M |,

dove |∂S ∩ ∂M | indica il numero di componenti di ∂S ∩ ∂M . Dato che γ appartiene all’insieme ∂S ∩ ∂M , il denominatore è non nullo e l(γ, S) è ben definito.

Supponiamo che γ sia una curva immersa in una componente di ∂M , in posizione generica così che γ non incontri vertici della decomposizione. Siano γ1, . . . , γn le

componenti di γ che intersecano facce di bordo. Supponiamo che γi siano embedded

e con estremi su lati differenti. Per ogni γi sia Si una superficie ammissibile che

contiene γi nel bordo.

Definiamo l’estensione interna S di γ come S =S

iSi se ∂Si coincide con ∂Si+1

nella faccia interna della decomposizione che condividono; se γ è chiusa lo stesso vale per S1 ed Sn. Definiamo la lunghezza combinatoria di γ come:

lc(γ) = inf S ( _n X i=1 lc(γi, Si) ) , dove S rappresenta una estensione interna per γ.

Proposizione 4.32. Sia S una superficie ammissibile in una decomposizione in pezzi angolati propri per M . Supponiamo S non incontri facce esterne e siano γ1, . . . , γn le componenti di ∂S ∩ ∂M allora ogni γj in (∂M )j è un multiplo di una

slope sij primitiva e vale

a(S) ≥

n

X

j=1

lc(sij).

Dimostrazione. Per costruzione l’intersezione di S con i pezzi forma una

estensione interna per γ. _

Teorema 4.33 (Teorema 2π combinatorio). Sia M una 3-varietà compatta orientabile con una decomposizione in pezzi angolati propri.

5. CHIRURGIA DI DEHN 51

Supponiamo che M sia atoroidale e non sia una varietà di Seifert. Siano s1, . . . , sn un insieme di slope, al più una per ogni componente di ∂M ottenuta da

facce di bordo della decomposizione. Se lc(si) > 2π per ogni i = 1, . . . , n, allora la

varietà ottenuta tramite riempimento di Dehn con slope s1, . . . , sn ammette una

metrica iperbolica completa di volume finito.

Le dimostrazioni data da Howie e Purcell in [8] del Teorema 2π e dei successivi due Lemmi sono una applicazione dell’argomentazione usata da Lackenby [11].

Lemma 4.34. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante de- bolmente generalizzato L con π(L) debolmente twist ridotto. Sia F r π(L) unione di dischi e supponiamo r(π(L), F ) > 4.

Sia S una superficie ammissibile orientabile in un pezzo troncato C di Y r N (L) con S ∩ ∂X 6= ∅ e supponiamo ∂S non abbia la stessa slope del bordo di una superficie normale. Allora a(S) > 0.

Inoltre, per una superficie ammissibile o normale con area positiva, vale a(S)

|S ∩ ∂X| ≥ π/4.

Definizione 4.13. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.

Sia γ una curva nella classe di isotopia di k volte una slope primitiva p/q, sia S una estensione interna per γ, siano γi gli archi di intersezioni di γ con le facce di

bordo. Diciamo che un arco γi è skirting se ha estremo su lati di bordo adiacenti.

Lemma 4.35. Nel contesto della definizione precedente, valgono:

(1) Se Si è ammissibile e γi è un arco skirting, allora a(Si) > 0 oppure Si è

un bigono normale con lati su facce di bordo.

(2) Se γi e γi+1 non sono archi skirting su facce di bordo che non toccano

bigoni, allora Si o Si+1 ha area positiva.

(3) In entrambi i casi precedenti ci sono almeno k|q| archi, che compongono γi, contenuti in Si∩ ∂X.

Definizione 4.14. Definiamo l’intersezione di twist di K in π(L), Tw(K, π(L)), come il numero di regioni di twist di π(L) che intersecano la componente K di L. Teorema 4.36. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L con π(L) debolmente twist ridotto, F non sferica e con

5. CHIRURGIA DI DEHN 52

F diviso da π(L) in dischi. Supponiamo che Y rN(F ) sia atoroidale e ∂-anannular e che valga r(π(L), F ) > 4.

Allora la lunghezza combinatoria della slope p/q di una componente di K di L è almeno |q| Tw(K, π(L))π/4.

Dimostrazione. Sia γ una curva che rappresenta un multiplo non banale k della slope p/q. Ci sono almeno Tw(K, π(L)) facce di bordo che non toccano bigoni e formano la componente di bordo che contiene γ, inoltre se q 6= 0 la curva γ deve intersecarle tutte. Fissiamo una di queste facce di bordo, diciamo contenuta in un pezzo Ci, sia S una estensione interna di γ, sia Si l’intersezione di S con Ci e sia

γi = γ ∩ Si.

Per il Corollario 3.8non ci sono bigoni normali, per il lemma precedente se γi è

skirting, Si ha area positiva. Altrimenti, sempre per il lemma precedente, almeno

uno fra Si ed Si+1 deve avere area combinatoria positiva. Supponiamo che sia Si

ad avere area positiva. Quindi abbiamo trovato Tw(K, π(L)) componenti Si di S

con area positiva.

Per l’ultimo punto del Lemma precedente ∂Si è formato da almeno k|q| archi e

per il Lemma 4.34 vale

a(Si)

|Si∩ ∂X|

≥ π/4, quindi

a(S) ≥ Tw(K, π(L))a(Si) ≥ Tw(K, π(L))k|q|π/4.

Ma k era arbitrario e possiamo scegliere k = 1 inoltre anche l’estensione S era arbitraria e passando all’estremo inferiore rispetto alla scelta di S si ottiene

l(γ) ≥ Tw(K, π(L))|q|π/4.

 Teorema 4.37. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L con π(L) debolmente twist ridotto, con la superficie F non sferica divisa da π(L) in dischi.

Supponiamo che Y rN (F ) sia atoroidale e ∂-anannular e che valga r(π(L), F ) > 4. Per alcune componenti Ki di L siano dati coefficienti pi/qi che soddisfino

|qi| >

8 Tw(Ki, π(L))

5. CHIRURGIA DI DEHN 53

Allora la varietà ottenuta da Y r L tramite chirurgia di Dehn lungo le slope pi/qi ammette una metrica iperbolica completa.

Dimostrazione. Per il Teorema 4.1 Y r L è una varietà iperbolica completa di volume finito. In particolare è atoroidale e non è una varietà di Seifert, quindi non contiene anelli essenziali e siamo nelle ipotesi del Teorema 4.36. Pertanto la lunghezza combinatoria di una curva γi di slope pi/qi è almeno |qi| Tw(K, π(L))π/4

e usando l’ipotesi |qi| > 8/ Tw(Ki, π(L)), vale lc(γi) ≥ 2π.

Siamo nelle ipotesi del Teorema 2π combinatorio 4.33 e la varietà ottenuta

tramite chirurgia di Dehn è iperbolica. _

Corollario 4.38. Sia (π(K), F, Y ) una rappresentazione di un nodo alternante debolmente generalizzato K con π(K) debolmente twist ridotto. Inoltre supponiamo che tutte le regioni di π(K) r L siano dischi e che valga r(π(K), F ) > 4.

Supponiamo Y r K atoroidale e ∂-anannular con F di genere almeno 5. Allora tutte le chirurgie di Dehn non banali di Y r K danno origine a varietà iperboliche complete.

Dimostrazione. Sia Γ il grafo ottenuto da quello di π(K) con un incrocio al posto di una regione di twist. Sia t il numero di regioni di twist di K e sia f il numero di facce che non sono bigoni, allora f − t = χ(F ) = 2 − 2g(F ). Dato che ci sono almeno due regioni, perché il diagramma è colorabile a scacchiera, vale t ≥ 2g(F ) = 10. Quindi ogni chirurgia di Dehn di slope p/q con q 6= 0 restituisce

una varietà iperbolica per il Teorema 4.36. _

Infine osserviamo che se ogni componente del diagramma incontra più di 8 regioni di twist, ogni chirurgia di Dehn non banale produce una varietà iperbolica, sempre per il Teorema 4.36. Ricapitolando abbiamo il seguente

Teorema 4.39. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.

Supponiamo Y r N (F ) atoriodale e che non contenga anelli essenziali con entrambe le componenti di bordo su ∂Y . Sia F non sferica divisa in dischi da π(L) e supponiamo il rappresentante soddisfi r(π(L), F ) > 4.

Allora Y r L ammette una metrica iperbolica completa e di volume finito e le due superfici a scacchiera sono essenziali e quasifuchsiane.

5. CHIRURGIA DI DEHN 54

Il volume iperbolico di Y r L è limitato dal basso: Vol(Y r L) ≥ v8

2(Tw(π(L)) − χ(F )).

In più, se L è un nodo con numero di twist maggiore di 8 o il genere di F è almeno 5, allora tutti le chirurgie di Dehn non banali restituiscono varietà iperboliche complete.

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