Link Alternanti Debolmente Generalizzati

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Indice

Capitolo 1. Introduzione 1

Capitolo 2. Diagrammi alternanti debolmente generalizzati 3

1. Superfici di proiezione generalizzate 3

2. Diagrammi ridotti alternanti 6

Capitolo 3. Decomposizione in pezzi angolati 12

1. Decomposizione in pezzi di 3-varietà 12

2. Superfici Normali 17

3. Pezzi angolati e area combinatoria 19

4. Decomposizione in pezzi angolati per link alternati generalizzati 22

5. Superfici a scacchiera ed essenzialità 24

Capitolo 4. Varietà iperboliche 28

1. Condizioni di iperbolicità 29

2. Diagrammi su un toro in S3 37

3. Superfici a scacchiera in varietà iperboliche 39

4. Stima sul volume 42

5. Chirurgia di Dehn 48

Bibliografia 55

Elenco delle figure 56

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CAPITOLO 1

Introduzione

Nello studio delle varietà di dimensione 3, la classe più ricca è quella delle varietà iperboliche. Ogni 3-varietà può essere ottenuta tramite chirurgia di Dehn sul complementare di un link L in una 3-varietà irriducibile Y . Siamo interessati a distinguere quali link alternanti diano origine a varietà iperboliche e a distinguere tali varietà.

Mostrare che due oggetti topologici differiscono e capire perché differiscono è equivalente a dare un invariante per omeomorfismo che produce due diversi valori per le due varietà.

Uno dei principali invarianti per una varietà iperbolica completa è il suo volume che grazie al Teorema di rigidità di Mostow sappiamo essere un invariante topologico e vogliamo dare una stima di questa quantità.

Il testo è diviso in 3 parti. Nella prima parte si richiamano le definizioni principali riguardanti 3-varietà e link, in particolare si definiscono le superfici di proiezione generalizzate, le superfici a scacchiera per un diagramma e i link alternanti debolmente generalizzati.

Nella seconda parte si decompone la varietà data dal complementare di un link alternante debolmente generalizzato in pezzi e si definisce il concetto di superficie normale rispetto ad una decomposizione. Inoltre si equipaggia la decomposizione in pezzi con una nozione di angolo per ogni lato della decomposizione. Tale nozione permette di definire una area per le superfici normali e riscrivere il Teorema di Gauss-Bonnet nel nostro contesto. Infine si mostra che le superfici a scacchiera per un link alternante debolmente generalizzato L in una 3-varietà irriducibile Y sono π1-essenziali in Y r L.

Nella terza ed ultima parte, otteniamo condizioni sufficienti affinché Y r L ammetta una struttura iperbolica completa di volume finito. Tale risultato si ottiene usando il Teorema di Iperbolizzazione di Thurston e lo applichiamo per studiare nodi su un toro in S3. Si mostra che le superfici a scacchiera sono quasifuchsiane

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1. INTRODUZIONE 2

e applicando il Teorema di Agol-Storm-Thurston si stima dal basso il volume di Y r L. Infine utilizzando l’approccio di Lackenby e il Teorema 2π combinatorio si trovano condizioni tali che ogni chirurgia di Dehn lungo qualche componente del link produca una varietà iperbolica completa e di volume finito.

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CAPITOLO 2

Diagrammi alternanti debolmente generalizzati

Un link di n componenti in una 3-varietà Y è l’immagine di un embedding PL φ : C → Y , dove C è l’unione disgiunta di n circonferenze. Un nodo è un link con una sola componente.

Dato un link L contenuto in una 3-varietà Y , indichiamo con N (L) un intorno regolare di L in Y . Analogamente per una superficie S propriamente embedded con una mappa PL in Y indichiamo con N (S) un suo intorno regolare.

Lo studio delle 3-varietà è strettamente legato alla teoria dei nodi, ne è un esempio il Teorema di Lickorish-Wallace che afferma: ogni 3-varietà compatta chiusa e orientabile può essere ottenuta tramite una opportuna chirurgia di Dehn su un link in S3_{. Inoltre grazie al lavoro di Thurston, per i nodi alternanti si riesce}

a dare anche informazioni geometriche sia sul complementare del nodo che sulla varietà ottenuta tramite chirurgia di Dehn, in particolare nella maggior parte dei casi tale geometria è iperbolica completa e di volume finito.

Tuttavia non tutte le strutture iperboliche di volume finito si ottengono da nodi alternanti e quindi cerchiamo di ampliare la classe dei nodi alternanti, mantenendo il fatto che il complementare ammetta una struttura iperbolica e che genericamente un chirurgia di Dehn preservi la geometria.

1. Superfici di proiezione generalizzate

Una 3-varietà Y si dice irriducibile se ogni 2-sfera embedded in Y è bordo di una 3-palla embedded.

Il complementare di un link L in Y si indica con X(L) = Y r L, nel caso in cui il link sia ben definito dal contesto scriveremo soltanto X.

Un link L si dice split se esiste una sfera che separa Y in due componenti ed entrambe contengono una qualche componente di L. Osserviamo che se L è split allora la varietà X(L) non è irriducibile.

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1. SUPERFICI DI PROIEZIONE GENERALIZZATE 4

Figura 1. Tori non-split in S3.

Sia dato un link L in una 3-varietà Y contenuto in un intorno regolare di una sfera embedded. Un diagramma è una proiezione generica di L su S2 _{con una}

decorazione per ogni punto doppio dell’immagine che indica quale arco di L passa sopra o sotto. Un punto doppio del diagramma con tale specificazione si dice incrocio.

Una superficie propriamente embedded in una 3-varietà Y si dice separante se sconnette la varietà Y .

Definizione 2.1. Sia Y una 3-varietà compatta orientabile e irriducibile. Una collezione di superfici disgiunte F in una 3-varietà Y si dice non-split se tagliando Y lungo F , la varietà ottenuta Y r F è irriducibile.

Una superficie di proiezione generalizzata è un insieme di superfici Fi chiuse,

orientabili, connesse e disgiunte, embedded in Y che sia non-split.

Nel caso in cui una componente S di una superficie di proiezione generalizzata F in una varietà Y sia una sfera, tagliando lungo F otteniamo due componenti di Y r F irriducibili il cui bordo contiene S. Ma S deve essere il bordo di una palla in entrambe le componenti di Y r F che la contengono, quindi Y = S3 e S = F . Inoltre, sia g(F ) il genere di F dato da g(F ) = Pp

i=1g(Fi); assumere g(F ) > 0

è equivalente a chiedere che F non sia una sfera. Un esempio non banale di una superficie con queste proprietà in S3 _{è rappresentato in Figura} ₁_.

Definizione 2.2. Dato un link L contenuto in F ×I ⊂ Y , è naturale considerare la proiezione tramite π : F × I → F . Se la proiezione è generica, l’immagine π(L)

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1. SUPERFICI DI PROIEZIONE GENERALIZZATE 5

di L con gli incroci definiti si dice diagramma generalizzato.

Dato che la proiezione è generica, il grafo Γ associato a π(L) è 4-valente. Gli incroci di π(L) sono rappresentati da vertici di Γ con una decorazione che tiene conto di quale arco del diagramma passa sopra e quale sotto.

Diciamo che un diagramma generalizzato è connesso se il grafo Γ è connesso in ogni componente di F .

Ogni link non split ha una superficie di proiezione generalizzata banale data da ∂N (L). Tale proiezione non ha incroci e non fornisce alcuna informazione aggiuntiva sul complementare del link Y r L.

Un link L si dice torico se esiste un toro T di Heegaard tale che L ⊂ T . Un link L in una 3-varietà Y si dice satellite se esiste un nodo non banale C, diverso da L se L è un nodo, detto nodo compagno tale che L ⊂ N (C).

Definizione 2.3. Sia F una superficie chiusa e orientabile embedded in una 3-varietà Y compatta orientabile e irriducibile. Una curva semplice chiusa embedded in F si dice essenziale se appartiene ad una classe di omotopia di π1(F ) non banale.

Un disco di compressione per F è un disco D embedded in Y tale che ∂D sia una curva essenziale contenuta in F .

Operando una chirurgia su F tramite un disco di compressione D, rimuoviamo un anello da F e lo sostituiamo con due copie di D, in particolare la caratteristica di Eulero della superficie viene aumentata di 2.

Una superficie si dice incompressibile se non ammette un disco di compressione. Una 3-varietà con bordo si dice ∂-irriducibile se il bordo è incompressibile.

Un disco di ∂-compressione per una superficie con bordo S propriamente embedded in una 3-varietà con bordo Y è un disco D tale che ∂D = α ∪ β dove α = D ∩ S è un arco essenziale in S, ovvero non separa un disco in S, β = D ∩ ∂Y è un arco con gli stessi estremi di α. Una superficie S si dice ∂-incompressibile se non esiste un disco di ∂-compressione per S.

Definizione 2.4. Sia π(L) la proiezione di un link L su una superficie di proiezione F in Y . Chiamiamo rappresentante r(π(L), F ), il minimo numero di intersezioni fra il bordo di un disco di compressione per F in Y e il diagramma π(L).

Dato che F è orientabile, un intorno regolare di F è omeomorfo ad F × (−1, 1) e tagliando Y lungo F otteniamo due componenti di bordo che indichiamo con F+

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2. DIAGRAMMI RIDOTTI ALTERNANTI 6

ed F−.

Definiamo r−(π(L), Fi) come il minimo numero di intersezioni tra la proiezione

π(L) su F_i− e il bordo di un disco di compressione per F_i− _{in Y r F . Se non esiste} alcun disco di compressione poniamo r−(π(L), Fi) = +∞. Analogamente per Fi+

definiamo r+(π(L), Fi).

Se F = ∪iFi, il rappresentante può essere calcolato come

min

i {r−(π(L), Fi), r+(π(L), Fi)}.

Chiamiamo indice ˆr(π(L), F ) il minimo al variare di i del massimo fra r−(π(L), Fi)

e r+(π(L), Fi).

Il rappresentante serve per eliminare casi banali. Inoltre se il rappresentante è 0, esiste un disco di compressione D per F che non interseca π(L), facendo una compressione lungo D otteniamo una superficie di proiezione più semplice. Possiamo iterare il procedimento fino ad ottenere r(π(L), F ) > 0.

Se il diagramma generalizzato è connesso e il disco di compressione D è separante per una componente Fi di F allora il grafo Γ dato da π(L) ∩ Fi è contenuto in una

sola componente connessa operata lungo D. Possiamo dimenticare la componente che non interseca Γ e quindi semplice significa di genere minore.

Il valore dell’indice ˆr(π(L), F ) ci dice che se da un lato di F abbiamo un disco di compressione che interseca π(L) meno di ˆr(π(L), F ) volte, allora dall’altra parte di F almeno un disco di compressione deve intersecare π(L) almeno ˆr(π(L), F ) volte.

2. Diagrammi ridotti alternanti

Sia Y una 3-varietà irriducibile, F una superficie di proiezione generalizzata in Y e π(L) un diagramma generalizzato connesso di un link L contenuto in un intorno regolare di F .

Definizione 2.5. Un diagramma generalizzato si dice alternante se percorrendo una componente del link incontriamo gli incroci alternando fra sopra e sotto. Notiamo che è equivalente a chiedere che il bordo di ogni regione di F r π(L) ammetta una orientazione detta alternante, ovvero percorrendo la curva seguendo l’orientazione si arriva ad un incrocio da sotto e si esce da sopra, come in Figura 2.

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Figura 2. Regione con bordo alternante.

Definizione 2.6. Dato un diagramma generalizzato connesso alternante π(L) su una superficie di proiezione F consideriamo il grafo Γ associato a π(L). La superficie F viene separata da Γ in varie regioni. Due regioni si dicono adiacenti se hanno un lato in comune e si dicono opposte se si incontrano in un vertice. Il grafo duale a Γ è il dato di un vertice per ogni regione di F r π(L) ed un lato fra due vertici che rappresentano una coppia di regioni adiacenti.

Un diagramma generalizzato connesso è colorabile a scacchiera se esiste una bipartizione del grafo duale di Γ, ovvero una 2-colorazione delle regioni di F r π(L) tale che due regioni adiacenti abbiano colorazione opposta. Diremo che le regioni sono chiare o scure in base alla colorazione e tale colorazione si dice colorazione a scacchiera per il diagramma.

Se la superficie F è una sfera allora un diagramma alternante è sempre colorabile a scacchiera, perché ogni curva semplice chiusa trasversa al diagramma è bordo di un disco in F e deve incontrare un numero pari di lati di π(L). In generale se un diagramma π(L) su una superficie di proiezione generalizzata F è colorabile a scacchiera allora ogni curva semplice chiusa essenziale in F , in posizione generica rispetto a π(L), interseca trasversalmente π(L) un numero pari di volte. Ne segue che il rappresentante è pari.

Definizione 2.7. Una superficie S embedded in Y r L con ∂S = L si dice spanning surface. Una superficie di Seifert è una spanning surface, ma quest’ultime sono più generali in quanto possono anche essere non orientabili.

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Figura 3. Archi di incrocio

Figura 4. Orientamento delle regioni intorno ad un vertice e relativa colorazione.

Se aggiungiamo l’ipotesi che il diagramma π(L) sia colorabile a scacchiera, incollando regioni dello stesso colore opposte ad un incrocio tramite un nastro twistato in F × I otteniamo una coppia di spanning surfaces per L, dette superfici a scacchiera di π(L). La loro intersezione è composta dal link L e archi di intersezione che connettono la controimmagine di un incrocio. Tali archi sono detti archi di incrocio.

Ogni diagramma colorabile a scacchiera ha due superfici a scacchiera. Nel caso di un diagramma classico di un link su S2_{, tali superfici a scacchiera esistono}

sempre.

Definizione 2.8. Nel caso classico di una proiezione di un link su S2 ⊂ S3, un diagramma di un link L si dice primo se dato un disco D2 _{⊂ S}2 _{tale che la curva}

∂D2 _{interseca trasversalmente il link in due punti allora D}2_{∩ L è un singolo arco}

oppure il disco S2

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alternante su S2 _{in S}3 _{si dice ridotto se non contiene nugatory crossings, ovvero}

ogni incrocio è il vertice di 4 regioni distinte.

Notiamo che per un link classico la condizione di essere primo implica anche che il diagramma è ridotto. Ci sono vari modi di generalizzare il concetto di primalità, noi siamo interessati al caso meno restrittivo.

Definizione 2.9. Un diagramma generalizzato π(L) di un link L su una superficie di proiezione generalizzata F si dice debolmente primo se dato un disco D ⊂ Fi ⊂ F tale che ∂D interseca π(L) trasversalmente in due punti esiste un

disco D0 ⊂ Fi tale che ∂D0 = ∂D e π(L) ∩ D0 sia un singolo arco.

Un diagramma generalizzato si dice fortemente primo se ogni volta che una curva semplice chiusa l ⊂ F interseca π(L) esattamente due volte, allora l è il bordo di un disco D ⊂ F tale che π(L) ∩ D è un singolo arco. Per un link debolmente primo abbiamo già per ipotesi che la curva sia il bordo di un disco all’interno della superficie, a differenza di un link fortemente primo. Sia data una curva essenziale γ in F che interseca trasversalmente π(L) in due punti; se L è fortemente primo allora possiamo cancellare le intersezioni con una isotopia. In particolare un link fortemente primo non può avere rappresentante r(π(L), T ) = 2.

Definizione 2.10. Un diagramma generalizzato π(L) alternante su una super-ficie di proiezione F è ridotto se valgono le seguenti condizioni:

(1) ogni componente di F interseca π(L);

(2) non ci sono proiezioni di componenti di L senza incroci; (3) il diagramma è debolmente primo.

Dimenticando componenti di F che non itersecano π(L) possiamo sempre assumere l’ipotesi 1, inoltre tali componenti di F non ci danno alcuna informazione su L o sul complementare di L in Y .

Definizione 2.11. Un diagramma π(L) di un link L su S2 in S3 si dice quasi alternante se scambiando un incrocio il diagramma ottenuto è alternante. Ricorsivamente per ogni n ∈ N possiamo definire un diagramma n-quasi alternante se scambiando un incrocio abbiamo un diagramma (n − 1)-quasi alternante.

I link che ammettono un diagramma quasi alternante sono stati studiati in [2]. Possiamo facilmente mostrare per induzione che un link non-split che ammette un

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Figura 5. Operazione in una bolla intorno ad un incrocio da scambiare.

diagramma n-quasi alternante, senza nugatory crossings, ammette una superficie di proiezione generalizzata con un diagramma ridotto alternante.

Infatti consideriamo una bolla intorno ad un incrocio x da scambiare, prendiamo due archi del diagramma adiacenti e applichiamo una mossa di Reidmeister di tipo II per ottenere due incroci di segno opposto a x. Operiamo la superficie di proiezione inserendo una tubatura in modo da eliminare l’incrocio x e l’incrocio adiacente, come in Figura 5. Inoltre osserviamo che se il diagramma iniziale era colorabile a scacchiera, anche il diagramma ottenuto dopo questa operazione è colorabile a scacchiera.

Abbiamo scambiato l’incrocio x. Iterando il procedimento otteniamo un dia-gramma alternante su una superficie di proiezione generalizzata che soddisfa tutte le ipotesi della definizione di diagramma ridotto. Osserviamo che in questo processo otteniamo un diagramma π(L) su una superficie F che soddisfa la condizione r(π(L), F ) = 2 sul rappresentante.

In particolare il doppio di Whitehead del nodo trifoglio è un nodo satellite e ammette un diagramma 6-quasi alternante: applicando tale procedimento agli incroci evidenziati in Figura 6possiamo costruire un diagramma ridotto alternante che ammette una colorazione a scacchiera, tuttavia tale diagramma ha regioni che non sono dischi.

Dato che nodi satelliti non possono avere complementare iperbolico, la condizione r(π(L), F ) ≥ 4 è indispensabile tanto da essere inclusa nella prossima definizione dovuta a Howie [8].

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Figura 6. Doppio di Whitehead del nodo trifoglio.

Definizione 2.12. Sia π(L) un diagramma ridotto alternante su F e colorabile a scacchiera. Se il rappresentante soddisfa r(π(L), F ) ≥ 4 diciamo che π(L) è un diagramma alternante debolmente generalizzato ed L è un link alternante debolmente generalizzato.

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CAPITOLO 3

Decomposizione in pezzi angolati

Ad un certo punto ogni strategia usata per ottenere informazioni geometriche su una varietà si riconduce a dividere la varietà in pezzi più semplici per poi rimontarli insieme e ottenere la varietà di partenza. Nel nostro caso la superficie di proiezione generalizzata ci dice come dividere la varietà e il fatto che il link sia debolmente alternante ci permette di rimontare i pezzi mediante le informazioni sugli incroci.

1. Decomposizione in pezzi di 3-varietà

Dato un diagramma π(L) su una superficie F ad ogni incrocio l’arco che passa sopra viene detto overcrossing, l’arco che passa sotto viene detto undercrossing.

Definizione 3.1. Un pezzo C è una 3-varietà compatta orientabile e irriducibile con un grafo Γ embedded in ∂C con vertici di valenza 4, non vuoto e connesso e con le componenti di ∂C che non intersecano Γ incompressibili in C.

Dal diagramma di un link otteniamo sempre un grafo 4-valente. Vedremo che si può decomporre una varietà data come complementare di un link alternante debolmente generalizzato come unione di pezzi, con i vertici del grafo Γ rimossi. Per questo tali vertici sono detti ideali.

Definizione 3.2. Sia C un pezzo. Le regioni di ∂C r Γ si dicono facce, anche se possono non essere semplicemente connesse e i lati di Γ sono i lati delle facce. Una faccia contenuta in una componente di ∂C disgiunta da Γ si dice esterna ed ogni faccia esterna è una superficie chiusa incompressibile in C. Le altre facce sono dette interne.

Definizione 3.3. Una decomposizione in pezzi di una 3-varietà M è una decomposizione di M come unione di pezzi con i vertici dei pezzi rimossi.

Supponiamo sempre che la decomposizione sia il risultato di un incollamento di pezzi tramite omeomorfismi PL di suddivisioni di facce interne. Anche facce di uno stesso pezzo possono essere incollate fra loro.

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1. DECOMPOSIZIONE IN PEZZI DI 3-VARIETÀ 13

Definizione 3.4. Diciamo che (π(L), F, Y ) è una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L se π(L) è un diagramma alternante debolmente generalizzato connesso sulla superficie di proiezione generalizzata F nella 3-varietà compatta orientabile e irriducibile Y tale che ∂Y sia incompressibile in Y r N (F ).

Proposizione 3.1. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Allora Y r L ammette una decomposizione in pezzi omeomorfi a componenti di Y r N (F ).

Dimostrazione. Tagliamo Y lungo F ; la varietà Y r L viene tagliata in pezzi omeomorfi a Y r N (F ) che sono compatti e irriducibili perché F è non-split. Questi sono i pezzi Ci della decomposizione e il grafo contenuto in ∂Ci è esattamente il

grafo Γ intersecato con Ci. Un vertice del grafo corrisponde ad un incrocio del

diagramma π(L). I lati sono gli archi fra due vertici. Per definizione di diagramma ridotto ogni componente Fi interseca π(L). Le facce interne sono le regioni di

F r π(L) e le facce esterne sono le componenti di ∂Y .

Descriviamo l’incollamento dei pezzi per ottenere la varietà Y r L. Siano Fi le

componenti di F .

Dato che ogni Fi è orientabile ci sono due copie di Fi in ∂(Y r N (F )),

rispet-tivamente indicate con F_i+ ed F_i−. Vogliamo incollare una regione di F_i+ con la stessa regione di F_i−.

Fissiamo una faccia interna B e prendiamo un collare N di una componente b del bordo di B. Il Dehn Twist del collare che ruota b mandando un lato nel successivo rispetto all’orientazione descritta e fissa l’altra componente del bordo di N è un omeomorfismo lineare a tratti. Definiamo l’omeomorfismo PL fra una regione F_i+ e la stessa regione di F_i− su una suddivisione di entrambe come un Dehn Twist su ogni collare del bordo e l’identità sul resto.

Dato che il diagramma è alternante, il bordo di una regione di F_i+ ha una orientazione data dalla Definizione2.5, inoltre su F_i− è orientato in verso opposto, quindi l’omeomorfismo definito è una involuzione ed è ben definito.

Basta mostrare che la varietà ottenuta tramite questa identificazione è Y r L. Sia Γ il grafo di π(L) su F . Se incolliamo i pezzi tramite l’identità sulle facce otteniamo Y . Consideriamo la controimmagine E di π(L) data da L più un arco di incrocio per ogni incrocio. La varietà Y r L si ottiene da Y rimuovendo E

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Figura 7. Incollamento degli archi di incrocio.

e incollando gli archi di incrocio senza i loro estremi. Quindi i lati di Γ non appartengono a Y r L.

Quindi per ottenere Y r L dai pezzi dobbiamo retrarre i lati di Γ sui suoi vertici che sono gli unici punti rimossi dai pezzi.

Prendiamo in considerazione una copia di Fi. Per ogni vertice v di Γ disegniamo

un arco d’incrocio relativo a v in ogni regione di Fir π(L) che tocca tale incrocio,

come in Figura 7. Ogni arco del diagramma contiene un vertice per il Punto 1 della Definizione2.10 ed uno solo perché il diagramma è alternante. Facciamo una retrazione portando ogni arco del diagramma sull’unico vertice che contiene. Gli archi di incrocio vengono identificati a coppie e corrispondono ai lati delle regioni di F r π(L) come in Figura 7.

Sull’altra copia di Fi applichiamo lo stesso procedimento, ma ora i tipi di

incrocio sono scambiati, quello che era un undercrossing diventa un overcrossing e viceversa. Quindi le orientazioni degli archi di incrocio sono opposte a quelle che avevamo prima. Ogni arco di incrocio si incolla come prima e otteniamo una figura come in Figura 7con gli archi di incrocio che finiscono sui lati del grafo che corrispondono ai lati adiacenti ai precedenti.

Quindi un lato di un pezzo viene incollato con il lato successivo rispetto all’orientazione alternante. L’omomorfismo che otteniamo fra due regioni è lo stesso

che abbiamo descritto prima.

Notiamo che la condizione che il diagramma sia debolmente primo contenuta nella definizione di diagramma alternante ridotto non è necessaria nella dimostra-zione precedente. Inoltre non è necessario chiedere che il diagramma sia colorabile

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Figura 8. Troncamento intorno ad un vertice

a scacchiera.

Definizione 3.5. Un pezzo troncato ¯C è un pezzo C al quale abbiamo rimosso una intorno regolare B di ogni vertice di Γ. In un pezzo troncato abbiamo un grafo ¯Γ contenuto nel bordo i cui vertici hanno tutti valenza 3 e le nuove regioni di ∂ ¯_{C r ¯}Γ date dal bordo di B sono quadrati omeomorfi a dischi rappresentati in Figura 8 detti facce di bordo. I lati di una faccia di bordo sono detti lati di bordo. Le altre facce si ottengono dalle facce del pezzo originale e sono ancora dette interne o esterne.

Sostituendo ogni faccia di bordo con un vertice riotteniamo un pezzo come nella Definizione3.1.

Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente gene-ralizzato. Una decomposizione in pezzi ottenuti dalla Proposizione 3.1 restituisce Y r L che non è compatto. Incolliamo pezzi troncati tramite omomorfismi PL di suddivisioni di facce interne che mandano un lato di una regione nel successivo lato dello stesso tipo secondo l’orientazione data sulla regione. Così facendo otteniamo una decomposizione in pezzi troncati per la varietà compatta Y r N (L). Indichiamo la varietà compatta Y r N (L) con ¯X.

Definizione 3.6. Sia M una 3-varietà con una decomposizione in pezzi troncati ottenuta da una rappresentazione (π(L), F, Y ) di un link alternante debolmente generalizzato L. Sia Σ la superficie a scacchiera in M ottenuta dalle regioni chiare. La varietà M tagliata lungo Σ indicata con M _{Σ è la varietà ottenuta da M} rimuovendo un intorno regolare di Σ.

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Figura 9. Rimozione di un intorno di una faccia R in un pezzo troncato.

Dato che Σ è ottenuta dalle regioni di colore chiaro della decomposizione in pezzi troncati, l’intersezione di M_{Σ con un pezzo C della decomposizione in pezzi} troncati per M è ottenuto rimuovendo un intorno regolare N (Z) di ogni faccia Z di C che compone Σ. Possiamo scrivere N (Z) come il prodotto di Z per un intervallo quindi C ∩ (M _{Σ) è omeomorfo a C come si può vedere in Figura}9.

La stessa costruzione la possiamo fare anche con la superficie a scacchiera scura e la notazione è la stessa.

Definizione 3.7. Una decomposizione in pezzi limitata di M Σ è data dai pezzi della decomposizione in pezzi troncati di M con le facce che formano Σ dette di superficie. I lati delle facce di superficie sono anche loro detti di superficie. Per ottenere la varietà M_{Σ da una decomposizione in pezzi limitata si incollano le} facce interne con gli stessi omeomorfismi PL dati per la decomposizione in pezzi troncati di M .

Le facce di superficie non vengono incollate e sono regioni che vanno a comporre parte del bordo di M _{Σ. I pezzi per una decomposizione in pezzi troncati e una} decomposizione in pezzi limitata sono gli stessi, cambia solo l’incollamento.

Definizione 3.8. Il bordo di M tagliata lungo Σ con una decomposizione limitata è dato dalle facce esterne che costituiscono ∂Y , le facce di superficie e le facce di bordo. Le facce di bordo in una decomposizione in pezzi limitata formano l’insieme ∂(N (L) r N (Σ)) chiamato luogo parabolico.

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2. SUPERFICI NORMALI 17

Ricapitolando, un pezzo in una decomposizione in pezzi troncati può avere facce di bordo, che sono sempre dischi, facce esterne incompressibili, facce interne. Facce e lati di superficie occorrono solo nel caso di una decomposizione in pezzi limitata, facce di bordo si hanno in decomposizioni in pezzi troncati e in decomposizioni limitate. Le facce interne sono quelle facce che vengono incollate tramite omeomor-fismi PL e sono presenti in ogni decomposizione. Inoltre, lati di bordo vengono incollati solo a lati di bordo, lo stesso vale per i lati interni e i lati di superficie.

2. Superfici Normali

Così come per una triangolazione o per una decomposizione in poliedri di una varietà anche per una decomposizione in pezzi possiamo trovare superfici trasverse alla decomposizione che rappresentano classi di superfici a meno di isotopia, dette superfici normali.

Definizione 3.9. Una superficie S propriamente embedded in una 3-varietà M è detta parallela in ∂M o ∂-parallela se è isotopa a S0 contenuta in ∂M con ∂S = ∂S0. Una superficie S è detta essenziale se S è incompressibile, ∂-incompressibile e non ∂-parallela oppure se S è una sfera che non borda una palla.

Definizione 3.10. Una superficie S con bordo ∂S, propriamente embedded in un pezzo troncato C è normale se soddisfa:

(1) Sia S che ∂S sono in posizione generica rispetto a C e a Γ. (2) Ogni componente Si ⊂ S senza bordo è incompressibile in C.

(3) Se una circonferenza γ di ∂S è contenuta in una faccia V di C allora è essenziale in tale faccia.

(4) Se un arco γ ⊂ ∂S contenuto in una faccia V di C ha entrambi gli estremi su un lato λ della faccia V allora γ e un segmento di λ non possono bordare un disco in V .

(5) Un arco γ ⊂ ∂S in una faccia V di C con un estremo su un lato di bordo b e l’altro estremo su un lato adiacente lungo il vertice v a b, non può bordare un disco contenente v in tale faccia V .

La condizione1 implica che S e ∂S intersecano trasversalmente facce e lati di C. Le ultime 3 condizioni sono visualizzabili in Figura 10.

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2. SUPERFICI NORMALI 18

Figura 10. Le regioni evidenziate non possono essere dischi.

Una superficie S propriamente embedded in una 3-varietà con una decompo-sizione in pezzi troncati (Ci)_i=1,...,n si dice normale se S ∩ Ci è normale per ogni

i = 1, . . . , n.

Definizione 3.11. Sia M una 3-varietà e sia F1 una superficie propriamente

embedded in M . Sia D1 un disco in F1. Diciamo che F2 è ottenuta per scambio

di un disco da F1 se esiste un disco D2 propriamente embedded in M tale che

D2∩ F1 = ∂D2 = ∂D1 e F2 = (F1r D1) ∪ D2. Chiamiamo tale operazione su F1

scambio di un disco.

L’operazione di scambio di un disco è invisibile al gruppo fondamentale di una superficie. Osserviamo che se M è irriducibile allora D1 ∪ D2 è una sfera e lo

scambio di un disco può essere realizzato tramite una isotopia.

Teorema 3.2. Sia M una 3-varietà con una decomposizione in pezzi troncati. Ogni superficie essenziale a meno di scambi di dischi è isotopa ad una superficie in

forma normale.

Dimostrazione. La dimostrazione nel caso la varietà sia irriducibile segue il procedimento classico per ottenere una superficie normale rispetto ad una decom-posizione poliedrale isotopa ad una superficie data, come nell’articolo [5]. Nel caso generale ogni volta che abbiamo due dischi con lo stesso bordo invece di fare una

isotopia dobbiamo fare lo scambio di un disco.

(20)

3. PEZZI ANGOLATI E AREA COMBINATORIA 19

Corollario 3.3. Sia M una 3-varietà con una decomposizione in pezzi troncati. La varietà M è riducibile se e solo se contiene una 2-sfera essenziale in forma normale.

La varietà M è ∂-riducibile se e solo se contiene un disco essenziale normale. Dimostrazione. Data una 2-sfera essenziale, per il Teorema precedente, pos-siamo trovarne una in forma normale, il viceversa è ovvio. Lo stesso vale per un

disco essenziale.

3. Pezzi angolati e area combinatoria

Per congiungere proprietà topologiche di una varietà e la sua geometria in un contesto senza nozione di lunghezza, i due metodi più rilevanti che possiamo trovare in letteratura sono considerare i volumi e le aree utilizzando la norma di Gromov o considerare gli angoli fra sottovarietà. Nel nostro caso seguiamo l’approccio di Thurston generalizzando la nozione di angolo diedrale definita per una decomposizione in poliedri di una varietà.

Definizione 3.12. Un pezzo angolato è un pezzo troncato C tale che ogni lato e ⊂ C abbia associato un angolo interno α(e) e un angolo esterno ε(e) con le seguenti proprietà:

(1) gli angoli sono complementari: ε(e) = π − α(e); (2) per ogni lato e vale ε(e) ∈ (0, π);

(3) se e è un lato di bordo allora ε(e) = α(e) = π/2;

(4) ogni disco normale in C il cui bordo interseca i lati e1, . . . , ep soddisfa p

X

i=1

ε(ei) ≥ 2π;

(5) per ogni faccia di bordo B siano e1, . . . , en i lati interni con un estremo su

B, allora vale

n

X

i=1

ε(ei) = 2π;

(6) Se e è un lato di superficie allora α(e) = π.

Definizione 3.13. Una decomposizione in pezzi angolati di M è una suddivisio-ne di M in pezzi angolati incollati lungo facce intersuddivisio-ne tale che se i lati e1, . . . , ensono

identificati fra loro vale Pn

i=1α(ei) = 2π se sono interni e

Pn

(21)

lati di bordo. Una decomposizione in pezzi angolati limitata è una decomposizione in pezzi angolati tale che se i lati e1, . . . , en sono di superficie e sono identificati fra

loro allora Pn

i=1α(ei) = π.

Definizione 3.14. Data una superficie normale S con bordo e propriamente embedded in un pezzo angolato C, siano e1, . . . , en i lati del pezzo troncato C che

intersecano ∂S.

L’area combinatoria di S in C è definita come a(S) =

n

X

i=1

miε(ei) − 2πχ(S),

dove mi ∈ N è il numero di intersezioni fra ei e ∂S.

Data una decomposizione in pezzi angolati {Ci} di M e S una superficie

normale contenuta in M definiamo l’area combinatoria come la somma delle aree combinatorie delle componenti di S ∩ Ci:

a(S) = X

Sj⊂S∩Ci a(Sj).

Definizione 3.15. Un pezzo angolato C si dice proprio se ogni disco di ∂-compressione per C interseca Γ. Una decomposizione in pezzi angolati propri è una decomposizione in pezzi angolati tale che tutti i pezzi siano propri.

Osserviamo che data una rappresentazione (π(L), F, Y ) di un link alternante debolmente generalizzato il rappresentante è non nullo, quindi ogni pezzo angolato è proprio.

In particolare una curva che non interseca Γ ed è il bordo di un disco in un pezzo deve essere anche il bordo di un disco in F .

Osserviamo che un disco che non interseca il grafo ha area combinatoria pari a −2π. Per quanto appena detto, se esiste un tale disco D necessariamente D è parallelo in F e quindi il suo bordo separa un disco E in F . Ci sono due casi da considerare dati dal fatto che Γ è connesso: Γ è contenuto in E oppure no. Se Γ è contenuto in E e il rappresentante è maggiore di 0 allora F deve essere una sfera, ma allora ∂D borda un disco in una faccia di F e non era normale. Nel secondo caso D borda un disco in una faccia di F e non è normale.

(22)

Proposizione 3.4. Per una superficie connessa, orientabile S normale in un pezzo angolato proprio C vale a(S) ≥ 0. Se vale l’uguaglianza allora S è omeomorfa ad un disco, un anello o un toro.

Un disco normale S con area combinatoria nulla interseca Γ. Siano e1, . . . , en i

lati di C che intersecano ∂S allora vale Pn

i=1α(ei) = 2π.

Se S è un anello con area nulla allora ∂S non interseca il grafo Γ e le sue due componenti di bordo sono curve essenziali in differenti facce non contraibili di C.

Se S è un toro con area nulla allora è incompressibile e disgiunto da ∂C.

Dimostrazione. Per definizione di area combinatoria, la condizione χ(S) < 0 implica che a(S) > 0 pertanto possiamo supporre χ(S) ≥ 0. Dato che C è irriducibile la superficie S non può essere una sfera. Se S è un toro che non incontra ∂C allora deve incompressibile in C per il punto 2della definizione di superficie normale.

Se S è un disco normale, allora ∂S non è contenuto in una faccia esterna che è incompressibile. Se ∂S non incontra nessun lato allora è una curva chiusa essenziale in una faccia non semplicemente connessa di C, ed è un disco di compressione, contro l’ipotesi che il pezzo fosse proprio.

Siano e1, . . . , en i lati di C che intersecano ∂S. Per il punto 4 della

Definizio-ne3.10 vale Pn

i=1ε(ei) ≥ 2π.

Quindi a(S) ≥ 0 e l’uguaglianza si ha se e solo se

n X i=1 α(ei) = n X i=1 ε(ei) = 2π.

Se S è un anello normale vale a(S) =P

iε(ei) perché la caratteristica di Eulero

di un anello è 0 e se S ha area nulla allora S non incontra nessun lato e le sue componenti di bordo sono contenuti in facce non contraibili di C.

Proposizione 3.5 (Gauss-Bonnet). Sia S ⊂ M una superficie normale rispetto ad una decomposizione in pezzi angolati propri di M , allora

a(S) = −2πχ(S).

Analogamente per una superficie normale rispetto ad una decomposizione in pezzi angolati propri limitata di M_{Σ, sia k il numero di volte che ∂ S interseca un lato}

(23)

4. DECOMPOSIZIONE IN PEZZI ANGOLATI PER LINK ALTERNATI GENERALIZZATI 22

di bordo che sia anche un lato di una faccia di superficie allora vale: a(S) = kπ

2 − 2πχ(S).

Teorema 3.6. Sia M una 3-varietà compatta orientabile con una decomposi-zione in pezzi angolati propri, allora M è irriducibile e ∂-irriducibile. Inoltre le componenti di ∂M ottenute da facce di bordo sono toriche.

Dimostrazione. Se M è riducibile o ∂-riducibile contiene rispettivamente una sfera essenziale S o un disco di ∂-compressione D essenziale. Per il Teorema3.2, S e D possono essere scelti in forma normale. Per Gauss-Bonnet3.5l’area combinatoria sarebbe negativa, il che è impossibile per la Proposizione 3.4 sull’area positiva. Quindi M è irriducibile e ∂-irriducibile.

Mostriamo che componenti di bordo ottenute incollando facce di bordo sono tori. Ogni faccia di bordo è un disco e per la Definizione 3.12 un disco normale parallelo ad una faccia di bordo ha area combinatoria 0. Per la Proposizione 3.5 la superficie T ottenuta incollando facce di bordo soddisfa χ(T ) = 0. Dato che M è orientabile, ogni componente di bordo ottenuta da facce di bordo è orientabile ed è

riverstita da T , segue che è omeomorfa ad un toro.

4. Decomposizione in pezzi angolati per link alternati generalizzati Possiamo applicare quanto appena detto in generale, al complementare di un link.

Proposizione 3.7. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Allora Y r N (L) ammette una decomposizione in pezzi angolati propri.

Inoltre se Σ è una delle due superfici a scacchiera associate a π(L), allora X_{Σ ammette una decomposizione in pezzi angolati propri limitata con le facce} corrispondenti a regioni di Σ di superficie.

Dimostrazione. Associamo ad ogni lato della decomposizione in pezzi tron-cati ottenuti della Proposizione 3.1 un angolo interno α(e) = π/2 e verifichiamo le condizioni della definizione 3.12. La condizione 3 è verificata per definizione. In una decomposizione in pezzi ogni vertice ha valenza 4 quindi la somma degli angoli esterni dei lati che incontrano una faccia di bordo è 2π come richiesto nel punto 5.

(24)

4. DECOMPOSIZIONE IN PEZZI ANGOLATI PER LINK ALTERNATI GENERALIZZATI 23

Per la condizione 4 dobbiamo verificare che se una curva γ borda un disco normale D in un pezzo troncato che incontra lati e1, . . . , en allora

Pn

i=1ε(ei) ≥ 2π.

Supponiamo che D non sia un disco di compressione per F , ma sia parallelo in F , allora ∂D interseca trasversalmente π(L) un numero pari di volte. Se ∂D non incontra nessun lato, allora per la condizione 3della definizione 3.10 è essenziale in una faccia non semplicemente connessa di F , quindi è bordo di un disco D0 che contiene incroci di π(L) così come il complementare in F . Con una isotopia in D0 possiamo imporre che γ incontri π(L) trasversalmente in due punti, ma questo contraddice il fatto che il link fosse debolmente primo. Se ∂D incontra due lati, questi sono entrambi interni o di bordo.

Nel primo caso, dato che il link è debolmente primo esiste un disco D0 ⊂ Fi con

∂D0 = ∂D senza incroci di π(L), quindi ∂D incontra un solo lato e non rispetta la condizione 4della definizione 3.10.

Nel secondo caso se i lati di bordo sono adiacenti, a meno di isotopia possiamo scambiarli con un lato interno e avere un unico punto di intersezione fra il disco e π(L), il che è assurdo. Se i lati di bordo sono opposti tramite isotopia ci riconduciamo al caso di due lati interni. Quindi γ deve incontrare almeno quattro lati di π(L) eP

iεi ≥ 4π/2 = 2π.

Sia adesso D un disco di compressione per F .

Se γ = ∂D non incontra lati di bordo allora per la condizione sul rappresentante r(π(L), F ) ≥ 4, la curva γ deve incontrare almeno 4 lati interni eP

iεi ≥ 4π/2 = 2π.

Se γ interseca una faccia di bordo, tramite isotopia, possiamo rimpiazzare i lati di bordo con uno o due lati interni e ci riconduciamo al caso precedente. Per una decomposizione in pezzi di Y r L dato che i lati sono incollati in gruppi di 4 la somma degli angoli interni di ogni classe di lati è 4 · π/2 = 2π. Nel caso di una decomposizione limitata si incollano coppie di lati di superficie e abbiamo

2 · π/2 = π.

Nella dimostrazione precedente abbiamo mostrato che un disco normale che interseca esattamente due lati interni non può esistere.

Corollario 3.8. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.

I pezzi della decomposizione di X non contengono dischi normali che intersecano esattamente due lati interni, detti bigoni normali.

(25)

5. SUPERFICI A SCACCHIERA ED ESSENZIALITÀ 24

Componendo la Proposizione3.7 precedente con il Teorema3.6, otteniamo il seguente

Corollario 3.9. Sia L un link alternante debolmente generalizzato in Y . Allora Y r L è irriducibile e ∂-irriducibile.

Osserviamo che la condizione che il diagramma sia colorabile a scacchiera non è mai stata usata e non è necessaria.

In particolare tutti i link che ammettono diagrammi alternanti debolmente generalizzati in S3 sono non banali e non split. Inoltre si può mostrare che un tale link è anche primo: l’idea è che una sfera PL (o anche liscia) S che incontra π(L) trasversalmente in due punti può essere messa in posizione generica rispetto alla superficie F così che la loro intersezione sia una unione di circonferenze. Operando una chirurgia ad F per ogni circonferenza che non interseca π(L) possiamo assumere che l’intersezione S ∩ F sia composta da al più due circonferenze che bordano un disco di compressione per F , ma ogni circonferenza interseca al più due punti di π(L) e andiamo contro l’ipotesi che r(π(L), F ) ≥ 4. Riassumendo:

Proposizione 3.10. Sia L un link alternante debolmente generalizzato in S3. Il link L è non-split, non banale e primo.

Una dimostrazione alternativa di questo fatto può essere trovata in [9]. 5. Superfici a scacchiera ed essenzialità

Abbiamo già introdotto la nozione di superficie a scacchiera nella Definizione2.7. Tali superfici codificano importanti informazioni sul tipo di link e sulla topologia del complementare.

Definizione 3.16. Una superficie S propriamente embedded in una 3-varietà M si dice π1-essenziale se vale:

(1) l’omomorfismo π1(S) → π1(M ) è iniettivo;

(2) la mappa π1(S, ∂S) → π1(M, ∂M ) data dall’inclusione di S in M è

iniettiva;

(3) la superficie S non è parallela in ∂M .

L’insieme π1(S, ∂S) rappresenta l’insieme dei cammini in S con estremi in ∂S

(26)

tuttavia possono essere dotati di una struttura di gruppoide, dalla quale prendono il nome di gruppoide fondamentale. Tale struttura si definisce usando il linguaggio della teoria delle categorie e non è necessaria per il seguito, può comunque essere studiata in [7]. È ben noto che le superfici a scacchiera per un nodo classico alternante in S3 _{sono π}

1-essenziali. Il seguente Teorema 3.12 generalizza questo

fatto e la sua dimostrazione usa il

Lemma 3.11 (Lemma di Dehn). Data una immersione PL f : (D2, ∂D2) → (M, ∂M ) di un disco D2 _{in una 3-varietà M , se f − 1.61803398875ex|∂D}2 _{è una}

curva essenziale in ∂M allora esiste un disco propriamente embedded in M il cui bordo è una curva essenziale in ∂M .

Teorema 3.12. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.

Entrambe le superfici a scacchiera associate a π(L) sono π1-essenziali in ¯X =

Y r N (L).

Dimostrazione. Sia Σ una delle due superfici a scacchiera e indichiamo con e

Σ il bordo di un intorno regolare di Σ in ¯X.

La superficie eΣ è un rivestimento di Σ quindi la mappa π1(Σ) → π1( ¯X) è

iniettiva se e solo se anche π1(eΣ) → π1(X) lo è.

Dato che eΣ è orientabile, se π1(eΣ) → π1(X) non è iniettiva, per il Lemma di

Dehn esiste un disco D propriamente embedded in X_{Σ di compressione per} Σe che possiamo supporre in forma normale rispetto ad una decomposizione in pezzi limitata per X_Σ.

Osserviamo che D non incontra ∂N (L) e per la Proposizione 3.5vale a(D) = −2πχ(D) = −2π. Ma l’area di D è la somma delle aree di D ∩Ci al variare dei pezzi

Ci che per la Proposizione 3.4 sono tutte positive e questa è una contraddizione.

Analogamente se la mappa π1(Σ, ∂Σ) → π1(X, ∂N (L)) non è iniettiva possiamo

ancora applicare il Lemma di Dehn e trovare un arco γ in eΣ che insieme ad un arco in P formano il bordo di un disco E essenziale in X_{Σ. Dopo aver portato E in forma} normale con una isotopia, per la Proposizine 3.5 vale a(E) = −2πχ(E) + π = −π

e otteniamo ancora una contraddizione.

5.1. Caratterizzazione dei nodi alternanti. L’essenzialità di una superfice non dice tutto di come si comporta una superficie rispetto al bordo della varietà.

(27)

Definizione 3.17. Sia M una 3-varietà. Una slope su ∂M è una classe di isotopia di una curva semplice chiusa essenziale contenuta in ∂M .

Sia L un link orientato in S3 _{con una spanning surface Σ, consideriamo la}

varietà M = S3

r N (L) il cui bordo è formato da tori Ti. In questo caso una slope

in ∂M può essere rappresentata nel seguente modo. In S3 _{consideriamo un toro T} i

che è ∂N (Li), definiamo un meridiano µi come una curva semplice chiusa in Ti che

è il bordo di un disco in N (Li). Tale curva µi è un generatore di H1(S3 r Li, Z).

Inoltre possiamo definire una longitudine privilegiata λi come una curva semplice

chiusa in Ti che interseca µi in un solo punto e che sia il bordo di una superficie di

Seifert C in S3_{r L}i. Diamo a λi l’orientazione indotta da un collare di Li su C.

Orientiamo µi di modo che la coppia µi, λi definisca una orientazione positiva sul

tangente al toro nel punto di intersezione fra le due curve.

La coppia (µi, λi) forma una base dell’omologia del toro Ti e λi è un generatore

del nucleo della mappa da H1(Ti, Z) in H1(S3r L, Z) data dall’inclusione.

Sap-piamo che ogni classe di isotopia su un toro Ti di una curva semplice chiusa γ è

rappresentata da una coppia di interi coprimi (pi, qi) definiti a partire da una base

dell’omologia come: [γ] = pi[µi] + qi[λi]. Quindi per una componente torica di

bordo una slope è un numero pi/qi ∈ Q ∪ {∞}.

Sia ora Σ una spanning surface per L. Un collare di Li in Σ, dato da Σ ∩ N (Li),

è un anello e possiamo orientarlo con l’orientazione indotta da Li. La slope di Σ su

Li, slp(Σ, Li), è la classe di isotopia di Σ ∩ ∂N (Li). Dato che Σ è una spanning

surface per L vale qi = 1 quindi slp(Σ, Li) è un intero, esattamente pi. Osserviamo

che tale quantità non dipende dalla scelta di un intorno, né dalla scelta di una orientazione per Li.

Definiamo la slope di Σ su L come la somma al variare di i di slp(Σ, Li).

Data una componente Lj, definiamo l’intersezione geometrica fra due spanning

surface Σ1 e Σ2 lungo Lj come ij(∂Σ1, ∂Σ2) = | slp(Σ1, Lj) − slp(Σ2, Lj)| e infine

l’intersezione geometrica minimale fra due spanning surface per L è data da i(∂Σ1, ∂Σ2) =

P

jij(∂Σ1, ∂Σ2).

Howie in [10] sfrutta questo concetto per dare una caratterizzazione dei nodi alternanti.

Teorema 3.13 (Caratterizzazione dei nodi alternanti). Un nodo non banale K in S3 _{è alternante se e solo se esiste una coppia di spanning surface connesse per}

(28)

K tali che valga

χ(Σ) + χ(Σ0) + 1

2i(∂Σ, ∂Σ

0

) = 2.

Per la dimostrazione completa si veda l’articolo [10] che tratta anche il caso di link e fornisce un algoritmo per stabilire se un nodo è alternante. Nel caso di un link è necessario specificare un insieme di meridiani per il link. Una caratterizzazione alternativa è dovuta a Greene [6].

Le spanning surfaces alle quali ci si riferisce nel Teorema sono esattamente le superfici a scacchiera per un diagramma alternante ridotto di K, a meno di isotopia. L’equazione del Teorema 3.13 si ricava dal fatto che per il diagramma alternante su una sfera di un nodo in S3 è sempre colorabile a scacchiera e vale χ(Σ1) + χ(Σ2) + n = 2 dove n è il numero di incroci e Σi sono le superfici a

scacchiera. L’uguaglianza 2n = i(∂Σ, ∂Σ0) è dovuta dal fatto che le superfici si incontrano in archi di incrocio e un intorno di tali archi è sempre un nastro di Möbius.

Sia dato un qualsiasi diagramma generalizzato, non necessariamente alternante, di un link L su una superficie di proiezione generalizzata F colorabile a scacchiera con superfici a scacchiera Σ1 e Σ2. Le superfici a scacchiera si intersecano nel grafo

Σ1∩ Σ2 formato da L e dagli archi di incrocio, uno per ogni incrocio. Un semplice

calcolo mostra che vale

(29)

CAPITOLO 4

Varietà iperboliche

Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente genera-lizzato L. Lo scopo di questa sezione è capire la geometria di Y r L in funzione delle proprietà topologiche di Y r N (F ).

Definizione 4.1. Una 3-varietà X contenente un toro essenziale si dice toroi-dale. Una 3-varietà X con bordo contenente un anello propriamente embedded e incompressibile non parallelo al bordo si dice annular.

La varietà Y r N (F ) si dice ∂-annular se contiene un anello propriamente embedded ed essenziale con entrambe le componenti di bordo contenute in ∂Y , altrimenti si dice ∂-anannular.

Per un link satellite L in S3 _{osserviamo che il bordo di un opportuno intorno}

regolare del nodo compagno, che contiene L, è un toro essenziale in Y r L, quindi il complementare di un nodo satellite è una varietà toroidale. La presenza di tori essenziali impedisce ad una varietà di ammettere una metrica iperbolica che andiamo a definire.

Lo spazio iperbolico H3 _{è il semispazio H = {(x, y, z) ∈ R}3_{|z > 0} dotato della}

metrica riemanniana data dal tensore metrico g = 1

z2gE,

dove gE rappresenta il tensore metrico euclideo standard di R3.

Una 3-varietà iperbolica completa M è il quoziente di H3 _{per un sottogruppo Γ}

discreto e senza torsione del gruppo di isometrie di H3_{. Siamo interessati al caso in}

cui Vol(M ) sia finito.

Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente genera-lizzato L. Abbiamo visto che la varietà Y r N (L) ammette una decomposizione in pezzi troncati e per il Teorema3.6 che le componenti di bordo ottenute da facce di bordo sono tori. Vediamo Y r N (L) contenuta in Y r L, tali componenti di bordo in Y r L sono superfici embedded che sconnettono la varietà e sono il bordo

(30)

1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 29

di componenti omeomorfe a T × R≥0 date dall’incollamento di intorni regolari dei

vertici ideali e sono dette cuspidi.

Siccome stiamo considerando una varietà M con bordo dobbiamo fare una precisazione su come si comporta la metrica sulle componenti di bordo. Se M ammette una metrica iperbolica allora M non ha componenti di bordo omeomorfe a sfere, componenti toriche di bordo di M sono ideali e le altre componenti di bordo formate da superfici connesse di genere maggiore di uno sono totalmente geodetiche in M . Una superficie S contenuta in una varietà riemanniana M si dice totalmente geodetica se ogni geodetica per la metrica in S indotta dalla metrica in M è una geodetica anche per la metrica in M .

La metrica di M è la stessa metrica indotta dalla metrica iperbolica del doppio di M lungo le componenti di bordo totalmente geodetiche. Se indichiamo con T l’insieme delle componenti di bordo toriche di M allora la metrica è definita su M r T . Diremo che una varietà è iperbolica o ammette una struttura iperbolica assumendo sempre che la metrica sia completa e di volume finito.

1. Condizioni di iperbolicità

Vogliamo ora dare condizioni sufficienti affinché il complementare di un link ammetta una metrica iperbolica.

Teorema 4.1. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Supponiamo che F non sia una sfera, che F r π(L) sia unione di dischi e che l’indice soddisfi ˆr(π(L), F ) ≥ 4. La varietà Y r N (F ) è atoroidale e ∂-anannular se e solo se Y r L ammette una metrica iperbolica completa e di volume finito con bordo totalmente geodetico.

Un link L in Y tale che Y r L ammette una metrica iperbolica di volume finito si dice iperbolico.

Osserviamo che F non è una sfera se e solo se vale g(F ) > 0. Infatti dato che i pezzi sono irriducibili, una componente sferica di F dovrebbe essere il bordo di due palle e siamo quindi nel caso tradizionale di una proiezione su S2 _{in S}3_{. Inoltre}

vale anche il viceversa.

Dividiamo il precedente risultato in 3 punti fondamentali.

Teorema 4.2. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link L alternante debolmente generalizzato. Supponiamo che F non sia una sfera, che F r π(L) sia

(31)

unione di dischi e che l’indice soddisfi ˆ_{r(π(L), F ) ≥ 4. Allora X = Y r N (L) è} toroidale se e solo se Y r N (F ) è toroidale.

Teorema 4.3. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link L alternante debolmente generalizzato. Supponiamo che F non sia una sfera, che F r π(L) sia unione di dischi e che l’indice soddisfi ˆr(π(L), F ) ≥ 4. Allora X è annular se e solo se Y r N (F ) è ∂-annular.

L’ultimo ingrediente per dimostrare il Teorema 4.1 è il Teorema di Iper-bolizzazione di Thurston, la cui dimostrazione nel caso generale segue dalla geometrizzazione.

Teorema 4.4 (Teorema di Iperbolizzazione). Una 3-varietà compatta M con bordo non vuoto formato da tori, irriducibile e atoroidale ammette una metrica iperbolica di volume finito sulla sua parte interna.

Dimostrazione del Teorema 4.1. Per il Corollario3.9la varietà Y r N (L) è irriducibile e ∂-irriducibile. Per il Teorema4.2 _{se Y r N (F ) è atoroidale allora} anche Y r N (L) lo è e per il Teorema 4.3 _{la varietà Y r N (L) è anche anannular.}

Chiamiamo esterne le componenti di bordo di Y r N (L) che non sono toriche. Consideriamo la varietà M data dal doppio di Y r N (L) lungo le componenti di bordo esterne. Dato che Y r N (L) è irriducibile, una sfera essenziale per M deve intersecare una componente di bordo esterna di Y r N (L), ma avremmo un disco di ∂-compressione per Y r N (L) e dato che Y r N (L) è ∂-irriducibile tale sfera non può esistere e M è irriducibile.

Analogamente un toro essenziale in M deve intersecare ∂Y perché Y r N (L) è atoroidale. Dato che Y r N (L) è ∂-irriducibile, questo può succedere solo se Y r N(L) contiene un anello essenziale che per ipotesi non esiste. Segue che M è atoroidale.

Possiamo applicare il Teorema di Iperbolizzazione a M . Per mostrare che Y r N (L) è iperbolico con bordo totalmente geodetico osserviamo che l’omeomorfismo di M che scambia le due copie di Y r L può essere realizzato tramite una isometria

per il Teorema di Mostow.

Ci dedichiamo alla dimostrazione dei Teoremi 4.2 e 4.3.

Lemma 4.5. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debol-mente generalizzato L.

(32)

Nella decomposizione in pezzi angolati propri di Y r L sia D un disco normale con area combinatoria nulla che interseca almeno un lato di bordo. Allora D interseca esattamente 4 lati di π(L) e ha una delle seguenti forme rappresentante in Figura 11:

(1) il disco incontra un’unica faccia di bordo B attraversando due lati di bordo opposti e due lati interni;

(2) incontra due facce di bordo in lati di bordo adiacenti, racchiude un unico lato interno di un pezzo e le due facce interne che incontra hanno colorazione diversa;

(3) incontra due facce di bordo in lati di bordo opposti, interseca due facce interne con la stessa colorazione e nessun lato interno.

Figura 11. Rappresentazione del bordo di un disco normale.

Dimostrazione. Dato che ogni lato ha angolo esterno pari a π/2 per costruzio-ne, un disco normale per avere area combinatoria nulla deve incontrare esattamente 4 lati.

Se D interseca due lati di bordo opposti di una stessa faccia di bordo, i due casi possibili sono il primo e il terzo.

Se il disco interseca due lati di bordo adiacenti allora tramite una isotopia possiamo barattare questi lati con un lato interno, ma l’ipotesi sul rappresentante r(π(L), F ) ≥ 4 ci dice che il disco è parallelo in F e non può intersecare altri due lati interni, altrimenti non sarebbe possibile avere una colorazione a scacchiera.

(33)

Figura 12. Disco D di compressione meridionale per una superficie S.

Quindi ne interseca altri due di bordo che devono essere adiacenti e siamo nel caso 2.

Dobbiamo vedere che il bordo del disco circonda un unico lato. Usando due volte il precedente baratto otteniamo che il disco interseca esattamente due volte π(L), è parallelo in F e dato che il diagramma era debolmente primo entrambe le

intersezioni vivono sullo stesso lato come volevamo.

Definizione 4.2. Sia L un link in una 3-varietà Y compatta orientabile e irriducibile. Una superficie S chiusa e incompressibile in Y r L è meridionalmente compressibile se esiste un disco D embedded in Y con ∂D = D ∩ S tale che l’intersezione D ∩ L sia trasversa e consista di un solo punto, come in figura 12. Altrimenti S si dice meridionalmente incompressibile. Un anello essenziale in Y r N (L) si dice meridionale se entrambi le componenti di bordo sono meridiani su ∂N (L).

L’esistenza di un anello meridionale A è equivalente a dire che il link L non è primo. Infatti incollando ad A due dischi meridionali sulle sue componenti di bordo otteniamo una sfera S che interseca L in soli due punti e dato che A era essenziale S non può separare un arco di L senza incroci. Viceversa, rimuovendo da S un intorno regolare di S ∩ L otteniamo un anello meridionale.

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La dimostrazione del seguente Lemma si può trovare in [8].

Lemma 4.6. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debol-mente generalizzato L.

Sia A ⊂ Y r L un anello normale suddiviso in quadrati normali Ai = A ∩ Ci

dai pezzi Ci della decoposizione in pezzi angolati propri di Y r L. Supponiamo che

per un indice j, la curva ∂Aj sia il bordo di un disco in F e intersechi esattamente

una faccia di bordo e due lati interni di Γ.

Allora una superficie a scacchiera Σ contiene una componente omeomorfa ad un anello ottenuto da una striscia di bigoni su qualche componente Fj di F . Inoltre

una componente di bordo di A è parallela a ∂Σ in ∂N (L).

Teorema 4.7. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L tale che ˆr(π(L), F ) > 4.

Se Y r N (L) contiene un anello A essenziale con almeno una componente di bordo su ∂N (L) allora π(L) contiene una striscia di bigoni su F .

Inoltre, se S è la superficie a scacchiera data dalla striscia di bigoni allora una componente di ∂A ha la stessa slope di una componente di ∂S su ∂N (L).

Dimostrazione. Sia A in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi angolati di Y r N (L). Per la Proposizione 3.5, dato un pezzo C ogni componente di A ∩ C ha area combinatoria nulla. Per la Proposizione 3.4 ne segue che A viene diviso in dischi normali.

Dato che una componente di bordo di A è contenuta in ∂N (L) ed A viene diviso in dischi allora anche l’altra componente di bordo è contenuta in ∂N (L), inoltre almeno un disco Ai ha un lato su una qualche faccia di bordo. Possiamo applicare

il Lemma 4.5 ad Ai che ha una delle 3 forme ivi descritte.

Se Ai è del primo tipo allora esiste un nastro di quadrati tutti della stessa forma

che forma una componente di ∂A, lo stesso vale per l’altra componente di ∂A. Dato che vale ˆr(π(L), F ) > 4, due quadrati successivi non possono essere entrambi incompressibili, quindi possiamo assumere Ai parallelo in F . Siamo nelle ipotesi

del Lemma 4.6 e π(L) è come richiesto.

Supponiamo che ∂Ai incontri due lati di bordo. Se tutti i quadrati sono della

seconda forma allora circondano un arco di incrocio e A non era essenziale. Se i quadrati sono tutti della terza forma ognuno circonda un bigono e π(L) contiene un nastro di bigoni. Se i bigoni sono in numero dispari, abbiamo un nastro

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Figura 13. Eliminazione di due quadrati della terza forma in pezzi opposti ad F . Quadrati dello stesso colore sono dalla stessa parte di F .

di Möbius e ∂A è il bordo di un intorno regolare in F di tale nastro. Se sono in numero pari abbiamo un anello fra due componenti di π(L) parallelo ad A.

Supponiamo di avere quadrati normali sia della seconda che terza forma. Esiste un quadrato della terza forma incollato ad uno della seconda e quindi siamo nella condizione della Figura 13 con una sequenza [S0, S1, S2, S3]. Così abbiamo due

quadrati della terza forma con bordo parallelo in pezzi opposti a F , facendo una isotopia possiamo rimuovere S1 ed S2 e sostituire S0 ed S3 con quadrati della

seconda forma. Iterando il procedimento ci ritroviamo nel caso precedente senza

quadrati della terza forma.

Corollario 4.8. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Se vale ˆ_{r(π(L), F ) > 4 allora L è primo e Y r N(L)} non contiene anelli essenziali meridionali.

Dimostrazione. Per il Teorema 4.7 ogni anello essenziale A ha una compo-nente di bordo con la stessa slope di un nastro di bigoni su ∂N (L) che non è un meridiano. Pertanto l’anello A non è meridionale quindi il link è primo. Lemma 4.9. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debol-mente generalizzato L.

Sia S una superficie senza bordo normale rispetto ad una decomposizione in pezzi angolati propri di Y r L e siano (Si)_i∈I le componenti di intersezione di S

con i pezzi della decomposizione. Supponiamo che esista i tale che Si sia un disco e

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Proposizione 4.10. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L, con ˆr(π(L), F ) > 4.

Se Y r N (F ) è atoroidale, ma X = Y r N (L) è toroidale allora ogni toro essenziale in X interseca ogni pezzo della decomposizione in pezzi angolati di X in un anello normale A con le componenti di bordo essenziali nelle facce che le contengono.

Dimostrazione. Sia T un toro incompressibile in X, mettiamo T in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi. Per la Proposizione 3.5, ogni pezzo incontra T in una superficie di area combinatoria 0. Dato che Y rN (F ) è atoroidale, non ci sono tori incompressibili embedded in un pezzo C, quindi T incontra ∂C.

Supponiamo una componente di T sia un disco normale, allora anche le compo-nenti a lui incollate sono dischi e ogni componente di T è un disco. Inoltre dato che la decomposizione è angolata e T è disgiunto da L, ogni disco ogni disco incontra 4 lati interni. Nessun disco è parallelo in F . In tal caso possiamo applicare il Lem-ma 4.18e T sarebbe meridionalmente compressibile. Tagliando T lungo il bordo di un disco di compressione meridionale otteniamo un anello A con entrambe le componenti di bordo meridionali. Per il Corollario4.8, A non può essere essenziale, ma è parallelo ad una componente di ∂N (L), lo stesso deve valere per T che non sarebbe essenziale.

Se invece tutti i dischi sono di compressione, applichiamo il Teorema 4.7 e andiamo contro all’ipotesi ˆr(π(L), F ) > 4. L’unico caso possibile è la tesi

dell’enunciato.

Proposizione 4.11. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.

Se Y r N (F ) contiene un toro embedded, incompressibile e non parallelo a una componente di ∂Y allora Y r N (L) è toroidale.

Dimostrazione. Un toro incompressibile T embedded in Y r N (F ) è anche embedded in Y r L, assumiamo che non sia parallelo in ∂Y e mostriamo che è essenziale in X.

Sia D un disco di compressione per T in Y r L, consideriamo le intersezioni di D con le due superfici a scacchiera Σ1 e Σ2. Una circonferenza di intersezione più

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T era compressibile in Y r N(F ). Quindi un toro incompressibile in Y r N (F ) è incompressibile in Y r L.

Rimane da verificare che T non è parallelo in ∂N (L), dato che Y è irriducibile, basta vedere che sia meridionalmente incompressibile.

Sia E un disco di compressione meridionale per T , allora E0 _{= E ∩ (Y r N (L))} è un anello embedded in Y r N (L) con una componente di bordo in T e l’altra in ∂(Y r N (L)).

Ma E0_{∩∂(Y rN(L)) deve essere un meridiano di ∂N(L), sia Σ = Σ}1∩(Y rN(L)),

dato che T non interseca F allora ∂E0 interseca Σ in un solo punto. Ma se mettiamo E0 in posizione generica rispetto a Σ la loro intersezione deve essere composta da circonferenze e archi propriamente embedded (una 1-varietà). Dato che non esistono 1-varietà con un solo estremo, abbiamo un assurdo e tale E non può

esistere.

Dimostrazione del Teorema 4.2. Se Y r N (L) è atoroidale, per la Pro-posizione 4.10 _{ogni toro essenziale in forma normale contenuto in X = Y r N (L)} deve incontrare una faccia non semplicemente connessa della decomposizione in pezzi angolati, ma tutte le facce sono dischi e quindi X è atoroidale.

Viceversa, la Proposizione 4.11 _{dice che se Y r N (F ) è toroidale allora lo è}

anche X.

Dimostrazione del Teorema 4.3. Supponiamo che Y r N (L) contenga un anello essenziale. Se una componente di bordo di A è contenuta in ∂N (L) allora per il Teorema 4.7 abbiamo un nastro di bigoni su F , ma dato che F non può essere una sfera, almeno due regioni non sono dischi contro le ipotesi.

Se una componente di bordo di A sta su ∂Y , mettiamo A in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi angolati. Se A interseca N (F ) allora per la Proposizione 3.4 un sotto-anello più esterno deve intersecare una faccia non semplicemente connessa, contro l’ipotesi che tutte le facce siano dischi. Così A è disgiunto da N (F ).

Viceversa un anello essenziale A ⊂ Y r N (F ) tale che ∂A ⊂ ∂Y , è essenziale in Y r N (L). Infatti ogni disco di compressione o di ∂-compressione può essere scelto, a meno di isotopia, disgiunto dalle superfici a scacchiera come nella dimostrazione

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2. DIAGRAMMI SU UN TORO IN S3 ₃₇ 2. Diagrammi su un toro in S3

Possiamo applicare i risultati precedenti per caratterizzare il caso di link che ammettono un diagramma alternante debolmente generalizzato su un toro in S3_{. Un esempio di nodo alternante debolmente generalizzato che non è un nodo}

alternante in senso classico è il nodo 10161 della tavola dei nodi di Rolfsen. Questo

nodo ammette un diagramma alternante debolmente generalizzato su un toro, tale diagramma si può trovare in [8].

Teorema 4.12. Sia (π(K), F, S3) una rappresentazione di un nodo alternante debolmente generalizzato K su una superficie generalizzata F non sferica.

Allora K non è un nodo torico.

Dimostrazione. Una delle due superfici a scacchiera Σ è non-orientabile e per il Teorema 3.12 è π1-essenziale. Quindi anche ˜Σ deve essere π1-essenziale, ma

per Moser [12], le uniche superfici orientabili e π1-essenziali per un nodo torico

sono la superficie di Seifert di genere 1/2 · (p − 1)(q − 1) e l’anello con bordo L e di slope pq. Ma questo anello riveste una spanning surface se e solo se q = 2, e in tal caso Σ è un nastro di Möbius di slope 2p. Quindi K è un (p, 2) nodo torico, ma questi hanno un diagramma alternante debolmente generalizzato solo su S2. Una superficie chiusa embedded in una 3-varietà si dice di Heegaard se è separante ed è il bordo di due corpi con manici. Equivalentemente una superficie di Heegaard è una superficie ottenuta come bordo dell’unione degli 0 ed 1-manici della decomposizione in manici della varietà.

Lemma 4.13. Sia (π(L), F, S3) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L con F un toro non di Heegaard.

Allora L è un link satellite.

Dimostrazione. In S3 un toro è sempre il bordo di un toro solido. Per la Proposizione 4.11 un toro T parallelo ad F in un pezzo che non è un corpo con manici è incompressibile in S3_{r N (L). Quindi il cuore del toro solido separato da}

T è un nodo non banale ed è un nodo compagno per L.

Adams in [1] mostra che un nodo toricamente alternante non banale e primo non è satellite. Da ciò segue il

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2. DIAGRAMMI SU UN TORO IN S3 ₃₈ Lemma 4.14. Sia (π(K), F, S3) una rappresentazione di un nodo alternante debolmente generalizzato K, su un toro F di Heegaard e sia F r π(K) una unione di dischi.

Allora K non è un nodo satellite.

I seguenti lemmi usano il fatto che un toro in S3 è sempre il bordo di un toro solido. Quindi dato un anello A contenuto in un toro T in S3 _{l’anello T r A è} parallelo ad A.

Dato un anello A diciamo che A è unknotted se il cuore di A è un nodo banale, altrimenti diremo che è knotted o annodato.

Lemma 4.15. Sia (π(L), F, S3) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L con F un toro di Heegaard. Supponiamo una regione di Y r N (F ) sia un anello A. Se A è knotted allora L è un link satellite.

Dimostrazione. Sia A0 l’anello F r A. Il cuore di A0 è parallelo a quello di A e un toro incompressibile è dato da ∂N (A0). Infatti da una parte abbiamo il link L con ∂N (L) non parallelo a ∂A0 e dall’altra parte abbiamo il complementare di

un nodo non banale.

Definizione 4.3. Un I-fibrato su una superficie S è un fibrato di fibra un segmento I. Precisamente: fissato un intorno U di un punto in S la proiezione π : π−1(U ) → U si fattorizza tramite un omeomorfismo φ : π−1(U ) → U × I e la proiezione sulla prima coordinata U × I → U .

Lemma 4.16. Sia (π(K), F, Y ) una rappresentazione di un nodo alternante debolmente generalizzato K con F un toro di Heegaard. Sia una regione di F rπ(K) omeomorfa ad un anello A. Se A è unknotted, allora K non è satellite.

La dimostrazione di questo Lemma si trova in [8]. Possiamo riassumere quanto detto nel seguente

Teorema 4.17 (Nodi alternanti debolmente generalizzati su un toro in S3). Sia (π(K), F, S3_{) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato}

K. Sia F un toro F . Se F non è di Heegaard allora K è satellite.

Sia ora F di Heegaard. Se una regione di F r π(K) è un anello knotted allora K è satellite. Se le regioni di F r π(K) che non sono dischi sono unknotted allora K è un nodo iperbolico.