Varietà iperboliche
3. SUPERFICI A SCACCHIERA IN VARIETÀ IPERBOLICHE
Dimostrazione. Per il Lemma 4.13, se F non è di Heegaard allora K è satellite. Se F è di Heegaard e contiene una regione ad anello con il cuore annodato allora K è satellite per il Lemma 4.15.
Infine, il Lemma 4.14 e il Lemma 4.16 implicano che il complementare di K è atoroidale e il Teorema 4.12 implica che è anche anannular. Dato che S3
r K è irriducibile e ∂-irriducibile,allora ammette una metrica iperbolica completa di
volume finito.
3. Superfici a scacchiera in varietà iperboliche
Una volta accertato che la geometria del complementare del link è iperbolica, una domanda sorge spontanea: che relazione hanno tali superfici rispetto alla geometria? Scopriremo che dei tre possibili tipi di superficie, le superfici a scacchiera cadono tutte nella stessa classe.
Definizione 4.4. Sia L un link in una 3-varietà Y . Una curva chiusa non banale in una superficie Σ propriamente embedded in Y r N (L) si dice parabolica accidentale se è omotopa ad una curva in ∂N (L) in Y r N (L), ma non omotopa a ∂Σ attraverso Σ.
Un anello accidentale per Σ è un anello essenziale A propriamente embedded in X Σ = (Y r N (L)) Σ tale che ∂ A = α ∪ β con β contenuto nel luogo parabolico P e α ⊂ ˜Σ = ∂N (Σ) una curva parabolica accidentale. Una superficie Σ si dice accidentale se X Σ ha un anello accidentale.
Osservazione. Se Σ è una spanning surface per K che contiene una curva accidentale parabolica allora ammette un anello accidentale in X Σ. L’anello accidentale è la traccia di una opportuna isotopia per la curva parabolica accidentale. Se Σ è accidentale allora vale slp(Σ) = slp(β) su P .
Lemma 4.18. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.
Siano Σ, Σ0 le due superfici a scacchiera e sia A un anello accidentale per Σ. Allora A si decompone come unione di un numero pari di quadrati normali Ai con
un lato su una faccia di Σ, un lato su una faccia di bordo e i restanti due lati opposti su facce di Σ0. Inoltre nessun quadrato Ai è parallelo in F .
Dimostrazione. Mettiamo A in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi angolati, per Gauss-Bonnet 3.5 vale a(A) = pπ/2 dove p è il numero
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di volte che una componente di ∂A connette il luogo parabolico con ∂N (Σ), ma una componente di A è contenuta nel luogo parabolico e l’altra in ∂N (Σ), quindi a(A) = 0 ed A si decompone in quadrati normali di area combinatoria 0.
Dato che due quadrati consecutivi vivono in pezzi diversi che incontrano Σ, in totale ci devono essere un numero pari di quadrati. Inoltre ogni quadrato ha un lato su Σ e uno su una faccia di bordo, precisamente tali lati sono opposti. Infatti se così non fosse, una componente di ∂A incontrerebbe sia il luogo parabolico che ∂N (Σ). Necessariamente gli altri due lati devono essere contenuti in facce che vengono incollate.
Se Ai è parallelo in F , per il Lemma 4.6, la superficie Σ è un anello ed A è
parallelo a Σ quindi A non può essere accidentale.
Teorema 4.19. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Supponiamo ˆr(π(L), F ) > 4.
Una superficie a scacchiera Σ associata a π(L) non può essere accidentale. Dimostrazione. Un anello accidentale in forma normale di una superficie a scacchiera deve avere almeno un quadrato parallelo in F grazie all’ipotesi ˆ
r(π(L), F ) > 4. Si conclude per il Lemma 4.6.
Corollario 4.20. Sia L un link alternante in S3. Le superfici a scacchiera non sono accidentali in X.
Abbiamo visto che le superfici a scacchiera non possono essere accidentali, adesso vediamo se possono essere la base di una fibrazione.
Definizione 4.5. In una 3-varietà compatta orientabile Y , ci riferiamo ad una superficie essenziale Σ come semi-fibrante se Y Σ è un I-fibrato.
Osservazione. Notiamo che se Σ è semi-fibrante allora esiste una fibrazione di Y su Σ con fibra S1 oppure ˜Σ separa Y in due I-fibrati su Σ.
Lemma 4.21. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.
Sia una delle due superfici a scacchiera Σ data da regioni omeomorfe a dischi e sia Σ0 l’altra superficie a scacchiera.
Sia B un I–fibrato embedded in X Σ con base su Σ e con le fibre di bordo˜ essenziali. Sia R una regione di F r π(L) associata a Σ0. Allora B ∩ R è un
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Teorema 4.22. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Sia una delle due superfici a scacchiera Σ data da regioni omeomorfe a dischi.
Se X = Y r N (L) ammette una metrica iperbolica completa di volume finito allora Σ non è semi-fibrante per X.
Viceversa se Σ è semi-fibrante per X allora l’altra superficie a scacchiera Σ0 è data da regioni che compongono una catena di bigoni.
Dimostrazione. Se la superficie Σ è semi-fibrante per X, allora X Σ è un I-fibrato. Per il Lemma 4.21, ogni regione associata a Σ0 è una regione prodotto con esattamente due vertici ideali, quindi è un bigono. Quindi la superficie Σ0 deve essere un nastro di bigoni. Sappiamo che è π1-essenziale per il Teorema 3.12,
quindi il rivestimento doppio di Σ0 dato da ∂XN (Σ0) è un anello essenziale in X.
Dato che X è annular non può ammettere una metrica iperbolica per il teorema di
Iperbolizzazione.
3.1. Superfici quasifuchsiane. Sia Σ una superficie π1-essenziale propria-
mente embedded in una 3-varietà Y iperbolica completa e di volume finito. Sia π : H3 → Y il rivestimento localmente isometrico che definisce la metrica di Y .
Definizione 4.6. Se il sollevamento di Σ in H3 tramite π−1 è un piano con ω-limite una curva di Jordan in ∂H3 = S2 la superficie Σ si dice quasifuchsiana.
Il seguente Teorema, frutto del lavoro di Thurston [13], ci permette di concludere che le superfici a scacchiera sono quasifuchsiane.
Teorema 4.23. Sia Σ una superficie π1-essenziale propriamente embedded in
una 3-varietà Y con metrica iperbolica di volume finito. Allora Σ è una sola delle seguenti:
(1) accidentale; (2) quasifuchsiana; (3) semi-fibrante.
Una argomentazione su come arrivare a questo risultato si trova in [4].
Corollario 4.24. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Supponiamo che F non sia una sfera. Assumiamo che l’indice soddisfi ˆr(π(L), F ) > 4 e che F sia diviso da π(L) in dischi.