Varietà iperboliche
4. STIMA SUL VOLUME
Una superficie a scacchiera Σ associata a π(L) è quasifuchsiana.
Dimostrazione. Per il Teorema4.1 Y r L ammette una metrica iperbolica di volume finito. Per il Teorema 4.22 una superficie a scacchiera non può essere semi- fibrante e per il Teorema4.19non può essere accidentale. Segue per il Teorema4.23 che una superficie a scacchiera deve essere quasifuchsiana.
4. Stima sul volume
Esistono molte varietà di dimensione 3 con struttura iperbolica e per distinguerle serve un qualche invariante topologico.
Grazie al Teorema di rigidità di Mostow due varietà iperboliche della stessa di- mensione n > 2 omotopicamente equivalenti sono anche isometriche. In particolare la struttura iperbolica per una varietà è unica e il volume di una varietà iperbolica di volume finito è un invariante topologico.
Una varietà dotata di una metrica ha bordo totalmente geodetico se ogni geodetica del bordo è una geodetica della varietà.
Dato un toro solido D2 × S1 definiamo una fibrazione essenziale come una
fibrazione di D2×S1su D2con fibra S1essenziale. Possiamo classificare le fibrazioni
essenziali con un numero p/q ∈ Q nel seguente modo. La varietà D2 × [0, 1]/ ∼
dove la relazione ∼ è definita da reiω × {0} v reiω·p/q× {1} è un toro solido, se
p = 1 otteniamo un fibrato prodotto D2× S1 altrimenti abbiamo una fibrazione
singolare e al variare del parametro p/q le fibrazioni non sono isomorfe fra loro. Definizione 4.7. Una fibrazione di Seifert su una 3-varietà M compatta chiusa o con bordo torico è una partizione di M in circonferenze tale che ogni circonferenza abbia un intorno regolare omeomorfo a D2× S1 con una fibrazione essenziale.
Una varietà di Seifert è una 3-varietà dotata di una fibrazione di Seifert. Le varietà di Seifert ricoprono un ruolo importante nello studio delle 3-varietà. Teorema 4.25 (Decomposizione JSJ ). Una 3-varietà M chiusa irriducibile e orientabile contiene una collezione minimale unica T di tori essenziali embedded disgiunti tale che M T è composta da componenti atoroidali e varietà di Seifert. Nel nostro caso la varietà M è dotata di una metrica e può avere bordo; in tale caso il precedente Teorema si applica al doppio di M lungo il suo bordo. Quindi
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la varietà M viene tagliata lungo tori e anelli essenziali e le componenti ottenute possono anche essere I-fibrati e tori solidi.
Sia S una superficie π1-essenziale propriamente embedded in una 3-varietà
iperbolica completa orientata M . La varietà M S tagliata lungo tori e anelli essenziali si decompone in I-fibrati, tori solidi, varietà di Seifert e pezzi con metrica iperbolica completa e bordo totalmente geodetico.
Definizione 4.8. I pezzi con metrica iperbolica completa e con bordo total- mente geodetico sono detti guts e si indicano con Guts(M S ).
La relazione che lega i Guts al volume della varietà iperbolica è data dal seguente Teorema.
Teorema 4.26 (Agol-Storm-Thurston [3] ). Sia data una superficie π1-essenziale
S propriamente embedded in una 3-varietà iperbolica M completa e di volume finito. Supponiamo che M non abbia bordo.
Il volume di M è limitato dal basso da:
Vol(M ) ≥ −v8χ(Guts(M S )), dove v8 è il volume di un ottaedro ideale regolare.
La dimostrazione di questo fatto usa il flusso di Ricci e anche il Teorema di Geometrizzazione per le 3-varietà.
Questo risultato può essere rafforzato chiedendo che se M ha bordo allora il bordo è totalmente geodetico e la superficie S è disgiunta da ∂M .
Il volume di un ottaedro ideale regolare è v8 ≈ 3.66.
Sia ora (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L e sia S una delle due superfici a scacchiera. In Y S sia Σ l’altra superficie a scacchiera. Un bigono per Σ ha come bordo due lati di bordo e due lati di superficie. I due lati di bordo sono contenuti nel luogo parabolico, mentre i lati di superficie fanno parte di ˜S.
In particolare nella decomposizione JSJ di M S un intorno regolare di un bigono è un I-fibrato. Rimuovere bigoni non cambia quindi i guts di una varietà.
Definizione 4.9. Sia π(L) un diagramma su una superficie F , una regione di twist di π(L) è una catena di bigoni massimale per contenimento oppure un singolo incrocio contenuto in facce che non sono bigoni.
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Figura 14. In un diagramma twist ridotto almeno uno dei due dischi fra D e D’ deve contenere una catena di incroci.
Un diagramma π(L) alternante ridotto si dice debolmente twist ridotto se ogni disco D ⊂ F , con ∂D che interseca π(L) in 4 punti, a 2 a 2 adiacenti ad un incrocio, contiene una catena di bigoni o F r D contiene un disco D0 con ∂D0∩ π(L) composto da 4 punti, a due a due adiacenti agli stessi incroci relativi a ∂D ∩ π(L) che contiene una catena di bigoni, come in Figura 14.
Il numero di twist Tw(π(L)) è il numero di regioni di twist in un diagramma debolmente twist ridotto.
Ogni link alternante debolmente generalizzato su una superficie di proiezione generalizzata F ammette un diagramma debolmente twist ridotto.
Lemma 4.27. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L tale che tutte le regioni di F r π(L) siano dischi.
Siano D1 e D2 dischi normali tali che ∂D1 e ∂D2 incontrino esattamente 4 lati
interni. A meno di isotopia possiamo supporre che sia minimizzata l’intersezione ∂D1∩ ∂D2.
Se ∂D1 interseca ∂D2 in una faccia allora ∂D1 interseca ∂D2 esattamente 2
volte in facce non adiacenti e con la stessa colorazione.
Dimostrazione. Dato che l’intersezione è minimizzata ∂D1 incontra al più
una volta ∂D2 in una determinata faccia, altrimenti con una isotopia si riduce il
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Figura 15. Un esempio di una regione di twist D.
Figura 16. Il disco evidenziato può essere eliminato con una isotopia. Se ∂D1 e ∂D2 si intersecano in punti a, b in due facce adiacenti allora il segmento
s1 in ∂D1 che incontra un unico lato di π(L) e il rispettivo segmento s2 per ∂D2,
formano una curva chiusa γ che interseca π(L) in due punti. Dato che π(L) è debolmente primo una delle regioni di F separate da γ deve essere un singolo arco, in particolare s1 ed s2 incontrano lo stesso lato di π(L) come in Figura 16.
Per ipotesi ogni faccia è un disco e la regione di γ che interseca π(L) in un solo lato deve essere un disco. Con una isotopia possiamo rimuovere le due intersezioni
contro l’ipotesi di minimalità.
Sia S una superficie propriamente embedded in una 3-varietà M , sia MS = M S , gli I-fibrati della decomposizione JSJ di MS che non si ottengono da bigoni, vengono
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parabolico.
Lemma 4.28. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante de- bolmente generalizzato L con π(L) debolmente twist ridotto. Supponiamo che F non sia una sfera, che π(L) divida F in dischi e che il rappresentante soddisfi r(π(L), F ) > 4.
Supponiamo W priva di bigoni. Allora non esistono anelli essenziali embedded in MS con bordo contenuto in ˜S e disgiunto dal luogo parabolico.
Per simmetria, lo stesso vale scambiando le superfici a scacchiera W e S. Dato che un anello essenziale propriamente embedded deve necessariamente intersecare il luogo parabolico, gli I-fibrati della decomposizione JSJ si ottengono precisamente da bigoni del diagramma.
Teorema 4.29. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L con π(L) debolmente twist ridotto. Supponiamo Y r N (F ) sia atoroidale e ∂-anannular.
Siano S e W le due superfici a scacchiera e sia rw il numero di regioni associate
a W che non sono bigoni.
Supponiamo F non sia una sfera, che π(L) divida F in dischi e che valga r(π(L), F ) > 4. Allora:
χ(Guts(MS)) =
1
2χ(∂Y ) + χ(F ) − rW.
Dimostrazione. Nel caso speciale in cui W on contenga bigoni, il lemma precedente dice che MS non contiene I-fibrati ed è composta solo dai guts, quindi
vale
χ(Guts(MS)) = χ(MS) =
1
2χ(∂Y ) + χ(F ) − rW.
La seconda uguaglianza è data dal fatto che la caratteristica di Eulero della varietà MS rispetto alla caratteristica dei pezzi che la compongono conta una sola volta
le facce interne invece di due. La caratteristica di Eulero di una 3-varietà è data dalla metà di quella del suo bordo quindi la somma delle caratteristiche dei pezzi è χ(∂Y )/2 + χ(F ).
Se π(L) contiene bigoni chiari, rimpiazziamo ogni regione di twist chiara con un unico incrocio e otteniamo un link L0 alternante debolmente generalizzato, con relativa superficie scura S0 che differisce da S solo per i bigoni e dato che i bigoni
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danno origine a I-fibrati, i guts rimangono invariati da questa operazione. Sia MS00 = (Y r L0) S0 allora vale
χ(Guts(MS)) = χ(Guts(MS00)) = χ(MS00) = 1
2χ(∂Y ) + χ(F ) − rW,
dove la seconda uguaglianza segue dal caso particolare precedente.
Per simmetria con le stesse ipotesi vale anche χ(Guts(MW)) =
1
2χ(∂Y ) + χ(F ) − rS.
Teorema 4.30. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante de- bolmente generalizzato L con π(L) debolmente twist ridotto. Supponiamo Y r N (F ) atoroidale e ∂-anannular. Siano dischi tutte le regioni di F r π(L) e supponiamo r(π(L), F ) > 4.
Allora Y rL ammette una metrica iperbolica completa e di volume finito limitato dal basso da
Vol(Y r L) ≥ v8
2(Tw(π(L)) − χ(F ) − χ(∂Y )).
Dimostrazione. La varietà X = Y r L ammette una metrica iperbolica completa e di volume finito per il Teorema 4.1. Sia Γ il grafo 4-valente ottenuto da quello di π(L) sostituendo una regione di twist con un singolo incrocio. Sia v il numero di vertici di Γ e sia f il numero di regioni di F r Γ, il numero di lati di Γ è 2v dato che Γ è quadrivalente. Siano S e W rispettivamente le regioni chiare e scure di π(L), segue che
χ(F ) = v − 2v + f = f − v = rS+ rW − Tw(π(L))
da cui
rS+ rW − χ(F ) = Tw(π(L)).
Applicando il Teorema di Agol-Storm-Thurston4.26abbiamo la disuguaglianza Vol(X) ≥ −1
2v8χ(Guts(M S )) − 1