Varietà iperboliche
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ
di componenti omeomorfe a T × R≥0 date dall’incollamento di intorni regolari dei
vertici ideali e sono dette cuspidi.
Siccome stiamo considerando una varietà M con bordo dobbiamo fare una precisazione su come si comporta la metrica sulle componenti di bordo. Se M ammette una metrica iperbolica allora M non ha componenti di bordo omeomorfe a sfere, componenti toriche di bordo di M sono ideali e le altre componenti di bordo formate da superfici connesse di genere maggiore di uno sono totalmente geodetiche in M . Una superficie S contenuta in una varietà riemanniana M si dice totalmente geodetica se ogni geodetica per la metrica in S indotta dalla metrica in M è una geodetica anche per la metrica in M .
La metrica di M è la stessa metrica indotta dalla metrica iperbolica del doppio di M lungo le componenti di bordo totalmente geodetiche. Se indichiamo con T l’insieme delle componenti di bordo toriche di M allora la metrica è definita su M r T . Diremo che una varietà è iperbolica o ammette una struttura iperbolica assumendo sempre che la metrica sia completa e di volume finito.
1. Condizioni di iperbolicità
Vogliamo ora dare condizioni sufficienti affinché il complementare di un link ammetta una metrica iperbolica.
Teorema 4.1. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Supponiamo che F non sia una sfera, che F r π(L) sia unione di dischi e che l’indice soddisfi ˆr(π(L), F ) ≥ 4. La varietà Y r N (F ) è atoroidale e ∂-anannular se e solo se Y r L ammette una metrica iperbolica completa e di volume finito con bordo totalmente geodetico.
Un link L in Y tale che Y r L ammette una metrica iperbolica di volume finito si dice iperbolico.
Osserviamo che F non è una sfera se e solo se vale g(F ) > 0. Infatti dato che i pezzi sono irriducibili, una componente sferica di F dovrebbe essere il bordo di due palle e siamo quindi nel caso tradizionale di una proiezione su S2 in S3. Inoltre
vale anche il viceversa.
Dividiamo il precedente risultato in 3 punti fondamentali.
Teorema 4.2. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link L alternante debolmente generalizzato. Supponiamo che F non sia una sfera, che F r π(L) sia
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 30
unione di dischi e che l’indice soddisfi ˆr(π(L), F ) ≥ 4. Allora X = Y r N (L) è toroidale se e solo se Y r N (F ) è toroidale.
Teorema 4.3. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link L alternante debolmente generalizzato. Supponiamo che F non sia una sfera, che F r π(L) sia unione di dischi e che l’indice soddisfi ˆr(π(L), F ) ≥ 4. Allora X è annular se e solo se Y r N (F ) è ∂-annular.
L’ultimo ingrediente per dimostrare il Teorema 4.1 è il Teorema di Iper- bolizzazione di Thurston, la cui dimostrazione nel caso generale segue dalla geometrizzazione.
Teorema 4.4 (Teorema di Iperbolizzazione). Una 3-varietà compatta M con bordo non vuoto formato da tori, irriducibile e atoroidale ammette una metrica iperbolica di volume finito sulla sua parte interna.
Dimostrazione del Teorema 4.1. Per il Corollario3.9la varietà Y r N (L) è irriducibile e ∂-irriducibile. Per il Teorema4.2 se Y r N (F ) è atoroidale allora anche Y r N (L) lo è e per il Teorema 4.3 la varietà Y r N (L) è anche anannular.
Chiamiamo esterne le componenti di bordo di Y r N (L) che non sono toriche. Consideriamo la varietà M data dal doppio di Y r N (L) lungo le componenti di bordo esterne. Dato che Y r N (L) è irriducibile, una sfera essenziale per M deve intersecare una componente di bordo esterna di Y r N (L), ma avremmo un disco di ∂-compressione per Y r N (L) e dato che Y r N (L) è ∂-irriducibile tale sfera non può esistere e M è irriducibile.
Analogamente un toro essenziale in M deve intersecare ∂Y perché Y r N (L) è atoroidale. Dato che Y r N (L) è ∂-irriducibile, questo può succedere solo se Y r N(L) contiene un anello essenziale che per ipotesi non esiste. Segue che M è atoroidale.
Possiamo applicare il Teorema di Iperbolizzazione a M . Per mostrare che Y r N (L) è iperbolico con bordo totalmente geodetico osserviamo che l’omeomorfismo di M che scambia le due copie di Y r L può essere realizzato tramite una isometria
per il Teorema di Mostow.
Ci dedichiamo alla dimostrazione dei Teoremi 4.2 e 4.3.
Lemma 4.5. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debol- mente generalizzato L.
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 31
Nella decomposizione in pezzi angolati propri di Y r L sia D un disco normale con area combinatoria nulla che interseca almeno un lato di bordo. Allora D interseca esattamente 4 lati di π(L) e ha una delle seguenti forme rappresentante in Figura 11:
(1) il disco incontra un’unica faccia di bordo B attraversando due lati di bordo opposti e due lati interni;
(2) incontra due facce di bordo in lati di bordo adiacenti, racchiude un unico lato interno di un pezzo e le due facce interne che incontra hanno colorazione diversa;
(3) incontra due facce di bordo in lati di bordo opposti, interseca due facce interne con la stessa colorazione e nessun lato interno.
Figura 11. Rappresentazione del bordo di un disco normale.
Dimostrazione. Dato che ogni lato ha angolo esterno pari a π/2 per costruzio- ne, un disco normale per avere area combinatoria nulla deve incontrare esattamente 4 lati.
Se D interseca due lati di bordo opposti di una stessa faccia di bordo, i due casi possibili sono il primo e il terzo.
Se il disco interseca due lati di bordo adiacenti allora tramite una isotopia possiamo barattare questi lati con un lato interno, ma l’ipotesi sul rappresentante r(π(L), F ) ≥ 4 ci dice che il disco è parallelo in F e non può intersecare altri due lati interni, altrimenti non sarebbe possibile avere una colorazione a scacchiera.
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 32
Figura 12. Disco D di compressione meridionale per una superficie S.
Quindi ne interseca altri due di bordo che devono essere adiacenti e siamo nel caso 2.
Dobbiamo vedere che il bordo del disco circonda un unico lato. Usando due volte il precedente baratto otteniamo che il disco interseca esattamente due volte π(L), è parallelo in F e dato che il diagramma era debolmente primo entrambe le
intersezioni vivono sullo stesso lato come volevamo.
Definizione 4.2. Sia L un link in una 3-varietà Y compatta orientabile e irriducibile. Una superficie S chiusa e incompressibile in Y r L è meridionalmente compressibile se esiste un disco D embedded in Y con ∂D = D ∩ S tale che l’intersezione D ∩ L sia trasversa e consista di un solo punto, come in figura 12. Altrimenti S si dice meridionalmente incompressibile. Un anello essenziale in Y r N (L) si dice meridionale se entrambi le componenti di bordo sono meridiani su ∂N (L).
L’esistenza di un anello meridionale A è equivalente a dire che il link L non è primo. Infatti incollando ad A due dischi meridionali sulle sue componenti di bordo otteniamo una sfera S che interseca L in soli due punti e dato che A era essenziale S non può separare un arco di L senza incroci. Viceversa, rimuovendo da S un intorno regolare di S ∩ L otteniamo un anello meridionale.
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 33
La dimostrazione del seguente Lemma si può trovare in [8].
Lemma 4.6. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debol- mente generalizzato L.
Sia A ⊂ Y r L un anello normale suddiviso in quadrati normali Ai = A ∩ Ci
dai pezzi Ci della decoposizione in pezzi angolati propri di Y r L. Supponiamo che
per un indice j, la curva ∂Aj sia il bordo di un disco in F e intersechi esattamente
una faccia di bordo e due lati interni di Γ.
Allora una superficie a scacchiera Σ contiene una componente omeomorfa ad un anello ottenuto da una striscia di bigoni su qualche componente Fj di F . Inoltre
una componente di bordo di A è parallela a ∂Σ in ∂N (L).
Teorema 4.7. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L tale che ˆr(π(L), F ) > 4.
Se Y r N (L) contiene un anello A essenziale con almeno una componente di bordo su ∂N (L) allora π(L) contiene una striscia di bigoni su F .
Inoltre, se S è la superficie a scacchiera data dalla striscia di bigoni allora una componente di ∂A ha la stessa slope di una componente di ∂S su ∂N (L).
Dimostrazione. Sia A in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi angolati di Y r N (L). Per la Proposizione 3.5, dato un pezzo C ogni componente di A ∩ C ha area combinatoria nulla. Per la Proposizione 3.4 ne segue che A viene diviso in dischi normali.
Dato che una componente di bordo di A è contenuta in ∂N (L) ed A viene diviso in dischi allora anche l’altra componente di bordo è contenuta in ∂N (L), inoltre almeno un disco Ai ha un lato su una qualche faccia di bordo. Possiamo applicare
il Lemma 4.5 ad Ai che ha una delle 3 forme ivi descritte.
Se Ai è del primo tipo allora esiste un nastro di quadrati tutti della stessa forma
che forma una componente di ∂A, lo stesso vale per l’altra componente di ∂A. Dato che vale ˆr(π(L), F ) > 4, due quadrati successivi non possono essere entrambi incompressibili, quindi possiamo assumere Ai parallelo in F . Siamo nelle ipotesi
del Lemma 4.6 e π(L) è come richiesto.
Supponiamo che ∂Ai incontri due lati di bordo. Se tutti i quadrati sono della
seconda forma allora circondano un arco di incrocio e A non era essenziale. Se i quadrati sono tutti della terza forma ognuno circonda un bigono e π(L) contiene un nastro di bigoni. Se i bigoni sono in numero dispari, abbiamo un nastro
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 34
Figura 13. Eliminazione di due quadrati della terza forma in pezzi opposti ad F . Quadrati dello stesso colore sono dalla stessa parte di F .
di Möbius e ∂A è il bordo di un intorno regolare in F di tale nastro. Se sono in numero pari abbiamo un anello fra due componenti di π(L) parallelo ad A.
Supponiamo di avere quadrati normali sia della seconda che terza forma. Esiste un quadrato della terza forma incollato ad uno della seconda e quindi siamo nella condizione della Figura 13 con una sequenza [S0, S1, S2, S3]. Così abbiamo due
quadrati della terza forma con bordo parallelo in pezzi opposti a F , facendo una isotopia possiamo rimuovere S1 ed S2 e sostituire S0 ed S3 con quadrati della
seconda forma. Iterando il procedimento ci ritroviamo nel caso precedente senza
quadrati della terza forma.
Corollario 4.8. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L. Se vale ˆr(π(L), F ) > 4 allora L è primo e Y r N(L) non contiene anelli essenziali meridionali.
Dimostrazione. Per il Teorema 4.7 ogni anello essenziale A ha una compo- nente di bordo con la stessa slope di un nastro di bigoni su ∂N (L) che non è un meridiano. Pertanto l’anello A non è meridionale quindi il link è primo. Lemma 4.9. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debol- mente generalizzato L.
Sia S una superficie senza bordo normale rispetto ad una decomposizione in pezzi angolati propri di Y r L e siano (Si)i∈I le componenti di intersezione di S
con i pezzi della decomposizione. Supponiamo che esista i tale che Si sia un disco e
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 35
Proposizione 4.10. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L, con ˆr(π(L), F ) > 4.
Se Y r N (F ) è atoroidale, ma X = Y r N (L) è toroidale allora ogni toro essenziale in X interseca ogni pezzo della decomposizione in pezzi angolati di X in un anello normale A con le componenti di bordo essenziali nelle facce che le contengono.
Dimostrazione. Sia T un toro incompressibile in X, mettiamo T in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi. Per la Proposizione 3.5, ogni pezzo incontra T in una superficie di area combinatoria 0. Dato che Y rN (F ) è atoroidale, non ci sono tori incompressibili embedded in un pezzo C, quindi T incontra ∂C.
Supponiamo una componente di T sia un disco normale, allora anche le compo- nenti a lui incollate sono dischi e ogni componente di T è un disco. Inoltre dato che la decomposizione è angolata e T è disgiunto da L, ogni disco ogni disco incontra 4 lati interni. Nessun disco è parallelo in F . In tal caso possiamo applicare il Lem- ma 4.18e T sarebbe meridionalmente compressibile. Tagliando T lungo il bordo di un disco di compressione meridionale otteniamo un anello A con entrambe le componenti di bordo meridionali. Per il Corollario4.8, A non può essere essenziale, ma è parallelo ad una componente di ∂N (L), lo stesso deve valere per T che non sarebbe essenziale.
Se invece tutti i dischi sono di compressione, applichiamo il Teorema 4.7 e andiamo contro all’ipotesi ˆr(π(L), F ) > 4. L’unico caso possibile è la tesi
dell’enunciato.
Proposizione 4.11. Sia (π(L), F, Y ) una rappresentazione di un link alternante debolmente generalizzato L.
Se Y r N (F ) contiene un toro embedded, incompressibile e non parallelo a una componente di ∂Y allora Y r N (L) è toroidale.
Dimostrazione. Un toro incompressibile T embedded in Y r N (F ) è anche embedded in Y r L, assumiamo che non sia parallelo in ∂Y e mostriamo che è essenziale in X.
Sia D un disco di compressione per T in Y r L, consideriamo le intersezioni di D con le due superfici a scacchiera Σ1 e Σ2. Una circonferenza di intersezione più
1. CONDIZIONI DI IPERBOLICITÀ 36
T era compressibile in Y r N(F ). Quindi un toro incompressibile in Y r N (F ) è incompressibile in Y r L.
Rimane da verificare che T non è parallelo in ∂N (L), dato che Y è irriducibile, basta vedere che sia meridionalmente incompressibile.
Sia E un disco di compressione meridionale per T , allora E0 = E ∩ (Y r N (L)) è un anello embedded in Y r N (L) con una componente di bordo in T e l’altra in ∂(Y r N (L)).
Ma E0∩∂(Y rN(L)) deve essere un meridiano di ∂N(L), sia Σ = Σ1∩(Y rN(L)),
dato che T non interseca F allora ∂E0 interseca Σ in un solo punto. Ma se mettiamo E0 in posizione generica rispetto a Σ la loro intersezione deve essere composta da circonferenze e archi propriamente embedded (una 1-varietà). Dato che non esistono 1-varietà con un solo estremo, abbiamo un assurdo e tale E non può
esistere.
Dimostrazione del Teorema 4.2. Se Y r N (L) è atoroidale, per la Pro- posizione 4.10 ogni toro essenziale in forma normale contenuto in X = Y r N (L) deve incontrare una faccia non semplicemente connessa della decomposizione in pezzi angolati, ma tutte le facce sono dischi e quindi X è atoroidale.
Viceversa, la Proposizione 4.11 dice che se Y r N (F ) è toroidale allora lo è
anche X.
Dimostrazione del Teorema 4.3. Supponiamo che Y r N (L) contenga un anello essenziale. Se una componente di bordo di A è contenuta in ∂N (L) allora per il Teorema 4.7 abbiamo un nastro di bigoni su F , ma dato che F non può essere una sfera, almeno due regioni non sono dischi contro le ipotesi.
Se una componente di bordo di A sta su ∂Y , mettiamo A in forma normale rispetto alla decomposizione in pezzi angolati. Se A interseca N (F ) allora per la Proposizione 3.4 un sotto-anello più esterno deve intersecare una faccia non semplicemente connessa, contro l’ipotesi che tutte le facce siano dischi. Così A è disgiunto da N (F ).
Viceversa un anello essenziale A ⊂ Y r N (F ) tale che ∂A ⊂ ∂Y , è essenziale in Y r N (L). Infatti ogni disco di compressione o di ∂-compressione può essere scelto, a meno di isotopia, disgiunto dalle superfici a scacchiera come nella dimostrazione