Circuito Non-Foster matching network modificato (modello con la serie induttanza-

In questo circuito utilizziamo come modello equivalente a parametri concentrati della reattanza dell'antenna 𝑋𝑎 la serie 𝐿 − 𝐶 (𝐿 = 1.32 uH, 𝐶 = 47.85 pF), e tale elemento è

stato inserito al posto del carico 𝑍_𝐿 della NIC inserendo in parallelo una induttanza 𝐿 di valore pari a 220 uH come evidenziato dalla Figura 4.13.

Figura 4.13: Schema della NIC modificata inserendo in parallelo alla serie 𝑳 − 𝑪 una induttanza 𝑳.

Vediamo come si comporta effettivamente questa NIC modificata confrontando la reattanza d'ingresso 𝑋𝑖𝑛 ottenuta in questo caso con la serie 𝐿 − 𝐶 realizzata con elementi

ideali negativi (𝐿 = −1.32 uH, 𝐶 = −47.85 pF).

-500 0 500 1000 1500 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza serie L-C elementi negativi

Reattanza NIC (L=1.32uH C=47.85pF) modificata Reattanza NIC (L=1.32uH C=47.85pF)

O

h

m

Freq [Hz]

Figura 4.14: Confronto reattanza ottenuta con la NIC modificata con la serie ideale 𝑳 = −𝟏. 𝟑𝟐 𝐮𝐇, 𝑪 = −𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅.

Attraverso la Figura 4.14 osserviamo che per tutte le frequenze (2 ÷ 40 MHz) la NIC modificata si comporta esattamente come una serie ideale 𝐿 − 𝐶 (𝐿 = 1.32 uH, 𝐶 = 47.85 pF) infatti le due curve sono sempre sovrapposte. Mostriamo tramite la Figura 4.15 l'andamento in frequenza della parte reale e immaginaria dell'impedenza d'ingresso alla

NIC modificata. -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] NIC (L=1.32uH C=47.8pF) modificata

Imag [Z] NIC (L=1.32uH C=47.85pF) modificata Imag [Za] (Reattanza antenna)

O

h

m

Freq [Hz]

Figura 4.15: Andamento in frequenza impedenza d'ingresso ai capi della NIC (𝑳 = 𝟏. 𝟑𝟐 𝐮𝐇, 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅) modificata più antenna.

Come possiamo osservare nella Figura 4.15 la parte immaginaria dell'impedenza viene sostanzialmente annullata fino a 25 MHz; ciò accade perchè la serie 𝐿 − 𝐶 (𝐿 = 1.32 uH, 𝐶 = 47.85 pF) utilizzata come carico 𝑍𝐿 della NIC approssima molto bene

l'andamento della reattanza dell'antenna 𝑋_𝑎 e inoltre la NIC modificata, come visto in precedenza tramite la Figura 4.14, realizza proprio una serie 𝐿 − 𝐶 negativa (𝐿 = −1.32 𝐶 = −47.85 pF) per tutte le frequenze d'interesse. La parte reale invece, come nei due casi precedenti, vale circa 30 Ω per un ampio range di frequenza.

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107

Imag [Z] NIC (L=1.32uH C=47.85pF)

Imag [Z] NIC (L=1.32uH C=47.85pF) modificata

Reattanza antenna Xa

O

h

m

Freq [Hz]

Figura 4.16: Confronto al variare della frequenza della reattanza d'ingresso 𝑿𝒊𝒏 tra NIC (𝑳 = 𝟏. 𝟑𝟐 𝐮𝐇, 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅) e NIC (𝑳 = 𝟏. 𝟑𝟐 𝐮𝐇, 𝑪 = 𝟓𝟖. 𝟕𝟕 𝐩𝐅) modificata.

La Figura 4.16 mette in evidenza che la NIC modificata migliora il suo comportamento a bassa frequenza (come evidenziato anche precedentemente). All’aumentare della frequenza invece, questa struttura si comporta come la NIC non modificata, infatti la curva blu e quella rossa della Figura 4.16 sono sovrapposte. Questo comportamento è giusto dato che, l'impedenza presentata dall'induttanza 𝐿 = 220 uH in parallelo, cresce in modo lineare con la frequenza e pertanto tende a comportarsi come un circuito aperto rispetto all'impedenza presentata dalla serie 𝐿 − 𝐶. Mostriamo in Figura 4.17 l'andamento del parametro S11 al

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107

S11 NIC (L , C) modificato Re=1.6 Kohm

S11 NIC (L , C) Re=1.6 Kohm

S11 antenna S 1 1 [d B ] Freq [Hz]

Figura 4.17: Andamento parametro 𝐒𝟏𝟏 ai capi della NIC (𝑳 = 𝟏. 𝟑𝟐 𝐮𝐇, 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅) modificata più antenna.

Attraverso il grafico di Figura 4.17 osserviamo che utilizzando la struttura della NIC modificata riusciamo ad abbassare leggermente il parametro S₁₁ a bassa frequenza, ma la banda d'adattamento, considerando l'estensione frequenziale all'interno del quale il parametro S₁₁ è al di sotto dei −10 dB, non cambia rispetto alla struttura della NIC non modificata presentata precedentemente.

4.4 Modifica della rete di polarizzazione nella Non-Foster matching

network (modello con la serie induttanza-capacità)

Nei capitoli precedenti abbiamo osservato che la Non-Foster matching network permette di aumentare notevolmente la banda d'adattamento del sistema ottenendo una banda pari a 𝐵−10 𝑑𝐵_𝑁𝐼𝐶 = 11.75 MHz con l'utilizzo della serie 𝐿 − 𝐶 come modello equivalente della

reattanza dell'antenna. Adesso cerchiamo di migliorare ulteriormente la banda modificando la rete di polarizzazione. La nuova rete di polarizzazione dei transistori che prenderemo in considerazione è rappresentata in Figura 4.18.

Figura 4.18: Nuova rete di polarizzazione.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107

Real [Z] con NIC (L , C) nuova polarizz Imag [Z] con NIC (L , C) nuova polarizz

Reattanza antenna Xa

O

h

m

Freq [Hz]

Figura 4.19: Impedenza d’ingresso della rete costituita dalla cascata NIC (𝑳 , 𝑪) e antenna con l'utilizzo della nuova polarizzazione.

In Figura 4.19 viene rappresentato l'andamento in frequenza dell'impedenza d'ingresso della rete costituita dalla cascata NIC (𝐿 , 𝐶) e antenna (rappresentata in Figura 4.21) e osserviamo che la reattanza dell'antenna viene sostanzialmente annullata per quasi tutto il range frequenziale d'interesse, come avveniva anche nel caso della polarizzazione precedente. Per verificare se il cambiamento della polarizzazione migliora l'adattamento mostriamo l'andamento del parametro S11 al variare della frequenza (Figura 4.20).

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107

S11 Rete d'adattamento Passiva

S11 NIC (L , C) Re=4 Kohm

S11 NIC (L , C) nuova polarizz

S 1 1 [d B ] Freq [Hz]

Figura 4.20: Andamento parametro 𝐒𝟏𝟏 della rete costituita dalla cascata NIC (𝑳 , 𝑪) e antenna con l'utilizzo della nuova polarizzazione.

Attraverso la Figura 4.20 notiamo che la nuova polarizzazione permette di migliorare il valore minimo del parametro S₁₁ passando da −20 dB a −30 dB e di aumentare la banda d'adattamento di circa 6 MHz. La nuova rete presenta infatti una banda di B_{−10 dB _NIC} = 16.25 MHz, ciò implica che siamo riusciti ad ottenere una banda 21 volte superiore rispetto a quella ottenuta mediante l’utilizzo della rete passiva.

5 STABILITA’

Equation Chapter (Next) Section 5

Il problema della stabilità è molto importante nella progettazione di una NIC o NIV. Dobbiamo tenere presente che la stabilità di queste reti dipende da molti fattori; per esempio il punto di lavoro (polarizzazione) del dispositivo attivo e dal carico passivo 𝑍_𝐿 della NIC. Un circuito si dice instabile quando l'uscita cresce di ampiezza indefinitamente. Nell'approssimazione lineare, un circuito instabile presenta, a regime, tensioni e correnti di ampiezza infinita. Questo non accade in pratica parchè la non linearità intrinseca a tutti i dispositivi attivi limita l'ampiezza delle oscillazioni. Per verificare la stabilità ad una porta Figura 5.1 (a) dobbiamo assicurarci che [13]:

Ґ_𝑠Ґ_𝐿 < 1 (5.1)

(a) (b)

Figura 5.1: Coefficienti di riflessione (a) di una porta generica, (b) di un quadripolo.

Per un quadripolo, rappresentato in Figura 5.1 (b), occorre verificare la condizione sia in ingresso che in uscita: Ґ_𝑠Ґ_𝑖𝑛(Ґ_𝐿) < 1 , Ґ_𝐿Ґ_𝑜𝑢𝑡(Ґ_𝑠) < 1. Nell'equazioni precedenti valgono le relazioni di trasformazione tra impedenza e coefficienti di riflessione:

Ґ_𝑠 = 𝑍𝑔−𝑍0 𝑍𝑔 +𝑍0 , Ґ𝐿 = 𝑍𝐿−𝑍0 𝑍𝐿 +𝑍0 , Ґ𝑖𝑛 = 𝑍𝑖𝑛−𝑍0 𝑍𝑖𝑛 +𝑍0 , Ґ𝑜𝑢𝑡 = 𝑍𝑜𝑢𝑡−𝑍0 𝑍𝑜𝑢𝑡 +𝑍0 (5.2)

Analizzando la prima delle due condizioni di stabilità ( Ґ_𝑠Ґ_𝑖𝑛(Ґ_𝐿) < 1), supponendo che la terminazione di sorgente sia passiva, la condizione Ґ𝑖𝑛(Ґ𝐿) < 1 è sufficiente a

garantire la stabilità di ingresso. Infatti se il modulo del coefficiente di riflessione in ingresso fosse maggiore dell'unità (impedenza con parte reale negativa) il quadripolo rifletterebbe in ingresso più potenza di quanta ne abbia inviata il generatore, indicando un evidente comportamento instabile. Dato che questa condizione dipende dal carico è detta

condizione di stabilità in uscita. Siccome Ґ_𝑖𝑛 = 𝑠₁₁+𝑠_1−𝑠12𝑠21Ґ𝐿

22Ґ𝐿 , allora essa corrisponde a

trovare l'insieme dei punti del piano complesso che soddisfano la disequazione: 𝑠11 +𝑠_1−𝑠12𝑠21Ґ𝐿

22Ґ𝐿 < 1. Si può dimostrare che l'equazione associata 𝑠11− 𝐷Ґ𝐿 =

1 − 𝑠22Ґ𝐿 , dove 𝐷 rappresenta il determinante della matrice di scattering

𝐷 = 𝑠11𝑠22 − 𝑠12𝑠21 , è l'equazione di una circonferenza, detta circonferenza di stabilità di uscita. Il centro 𝐶_𝐿 e il raggio 𝑟_𝐿 di stabilità di uscita possono essere calcolati a partire dai parametri di scattering del quadriolo:

𝐶_𝐿= 𝑠22 ∗_{− 𝐷}∗_𝑠 11 𝑠22 2− 𝐷 2 𝑟_𝐿 = 𝑠12𝑠21 𝑠₂₂ 2_{− 𝐷} 2 (5.3)

Analogamente, la stabilità in uscita, è garantita quando Ґ𝑜𝑢𝑡(Ґ𝑠) < 1. Dato che questa

condizione dipende dalla sorgente è detta condizione di stabilità in ingresso. Si può dimostrare che il centro 𝐶𝑠 e il raggio 𝑟𝑠 della circonferenza di stabilità in ingresso sono:

𝐶_𝑠 = 𝑠11∗− 𝐷∗𝑠22 𝑠₁₁ 2_{− 𝐷} 2

𝑟_𝑠 = 𝑠12𝑠21 𝑠11 2− 𝐷 2

(5.4)

Una volta tracciate le circonferenze di stabilità d'ingresso e d'uscita occorre verificare se la regione di stabilità è quella interna o esterna delle circonferenze. Per determinare se la zona di stabilità è quella interna o esterna, il modo più rapido è quello di calcolare il modulo di Ґ_𝑖𝑛(Ґ_𝐿) nel caso particolare in cui Ґ_𝐿 = 0:

Ґ_𝑖𝑛(Ґ_𝐿 = 0) = 𝑠₁₁ + 𝑠12𝑠210

1 − 𝑠₂₂0 = 𝑠11 < 1 (5.5) se questa condizione è verificata la regione che comprende l'origine è quella stabile. Analogamente questa operazione la si fa anche per Ґ𝑜𝑢𝑡(Ґ𝑠) nel caso particolare in cui

Ґ_𝑠 = 0:

Ґ_𝑜𝑢𝑡(Ґ_𝑠 = 0) = 𝑠₂₂+ 𝑠12𝑠210

1 − 𝑠₁₁0 = 𝑠22 < 1 (5.6) se questa condizione è verificata la regione che comprende l'origine è quella stabile.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 5.2: Possibili casi di stabilità:(a) e (b) stabilità incondizionata, (c) (d) (e) (f) stabilità condizionata.

valore di Ґ𝐿 e Ґ𝑆 (Figura 5.2 (a) e (b)). I due casi corrispondo al cerchio di stabilità esterno

(zona di stabilità interna) oppure cerchio di Smith interno (zona stabile interna). Nel primo caso (cerchio di stabilità esterno) le condizioni sono:

𝐶𝐿 > 1 + 𝑟𝐿

𝑠11 < 1 (5.7)

nel secondo caso (cerchio di Smith interno) le condizioni sono:

𝑟_𝐿− 𝐶_𝐿 > 1

𝑠11 < 1 (5.8)

Le due condizioni combinate sono equivalenti a: 𝐶_𝐿 − 𝑟_𝐿 > 1

𝑠11 < 1 (5.9) anche a 𝑘 > 1𝑠11 < 1 (5.10)

dove 𝑘 =1− 𝑠11

2_{− 𝑠}

222+ 𝐷 2

2 𝑠12𝑠21 è il fattore di stabilità (Rollet-factor). Questa rappresenta la

incondizionata stabilità di ingresso, analogamente possiamo definire una incondizionata stabilità in uscita:

𝑘 > 1

𝑠₂₂ < 1 (5.11)

Si può dimostrare che la combinazione delle tre condizioni 𝑘 > 1, 𝑠₁₁ < 1, 𝑠₂₂ < 1 sono equivalenti alle due condizioni 𝑘 > 1, 𝐷 < 1, che sono necessarie e sufficienti per verificare l'incondizionata stabilità sia in ingresso che in uscita.