ADATTAMENTO DI ANTENNE COMPATTE MEDIANTE L'USO DI RETI NON-FOSTER

UNIVERSITA’ DI PISA

Facoltà Di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

ADATTAMENTO DI ANTENNE

COMPATTE MEDIANTE L'USO DI RETI

NON-FOSTER

CANDIDATO: RELATORI:

Francesco Alessio DICANDIA Prof. Ing. Agostino MONORCHIO

Ing. Simone GENOVESI

I

Indice ... 2

Scopo ... 4

Lista degli acronimi ... 4

Introduzione ... 5

1 NON-FOSTER MATCHING NETWORK ... 9

1.1Negative-Impedance-Converters (NIC) ... 12

1.2Negative-Impedance-Converters a inversione di corrente ... 13

1.3Negative-Impedance-Converters a inversione di tensione ... 14

1.4Negative-Impedance-Inverters (NIV) ... 15

1.5Capacità negativa (-C) realizzata mediante l’uso di una NIC ... 17

2 NON-FOSTER MATCHING NETWORK PER UN MONOPOLO SU PIANO DI MASSA ... 22

2.1Reti di adattamento con carichi concentrati passivi ... 25

2.2Circuito Non-Foster matching network (modello con singola capacità C=47.85 pF) .... 34

2.3Circuito Non-Foster matching network (modello con singola capacità C=58.77 pF) .... 43

2.4Circuito Non-Foster matching network (modello con la serie induttanza-capacità) ... 48

3 MODIFICA DELLA CORRENTE DI COLLETTORE 𝑰𝑪 NELLA NIC ... 54

3.1Non-Foster matching network con l’utilizzo del transistor MRF949T1 (modello con singola capacità C=47.85 pF) ... 55

3.2Non-Foster matching network con l’utilizzo del transistor MRF949T1 (modello con la serie induttanza-capacità) ... 59

3.3Tabella riassuntiva ... 63

4 MODIFICA CIRCUITO DELLA NON-FOSTER MATCHING NETWORK ... 65

4.1Circuito Non-Foster matching network modificato (modello con singola capacità C=47.85 pF) ... 65

4.2Circuito Non-Foster matching network modificato (modello con singola capacità C=58.77 pF) ... 69

4.3Circuito Non-Foster matching network modificato (modello con la serie induttanza-capacità) ... 72

4.4Modifica della rete di polarizzazione nella Non-Foster matching network (modello

con la serie induttanza-capacità) ... 76

5 STABILITA’ ... 79

5.1Caratteristiche della NIC ... 83

5.2Stabilità della NIC che realizza la capacità negativa (𝑪 = −𝟏𝟎𝟎 𝒑𝑭) ... 84

5.3Stabilità del circuito Non-Foster matching network con la polarizzazione modificata (modello con la serie induttanza-capacità) ... 87

6 NON IDEALITA’ DEI COMPONENTI ... 90

6.1Variazione 𝒉𝑭𝑬 transistor lato antenna ... 90

6.2Variazione 𝒉𝑭𝑬 transistor lato ricevitore ... 92

6.3Variazione della tensione di alimentazione ... 93

6.4Tolleranze dei componenti ... 96

7 CONCLUSIONI ... 98

S

Le antenne elettricamente compatte presentano un elevato valore del fattore di qualità 𝑄, pertanto sono caratterizzate da una elevata reattanza 𝑋_𝑎 e una piccola resistenza di radiazione 𝑅_𝑟; ciò significa che esse sono a banda stretta e quindi è opportuno inserire delle reti di adattamento (Matching Network, MNs) tra il generatore e l’antenna per modificarne l’impedenza d’ingresso 𝑍_𝑎 e aumentare il trasferimento della potenza. Con le tradizionali reti d’adattamento passive non è possibile adattare l’antenna su bande molto grandi a causa dei limiti del prodotto “guadagno-banda” illustrati da Bode [5] e Fano [6] nel caso di un generatore resistivo collegato ad un carico passivo. Tuttavia è possibile ottenere un adattamento su bande più grandi utilizzando delle reti d’adattamento attive che utilizzano degli elementi “Non-Foster” che permettono di superare questa limitazione. In questa tesi mostreremo i principali vantaggi offerti dalle reti d’adattamento Non-Foster, rispetto alle tradizionali reti d’adattamento comprendenti solo a elementi passivi, e la loro applicazione per l’adattamento di un’antenna a monopolo.

L

EM: Elettro Magnetico

ESA: electrically-small-antenna NIC: Negative impedance Converter NIV: Negative impedance Inverter RPF: Radiation Power Factor SAL: Small Antenna Limit MN: Matching-Network

VSWR: Voltage-Standing-Wave-Ratio BJT: Bipolar junction transistor HF: High frequency

VHF: Very high frequency OCS: Open-Circuite-Stable SCS: Short-Circuite-Stable

I

Equation Chapter (Next) Section 0

La necessità di antenne elettricamente piccole e a larga banda è in costante aumento nei sistemi di comunicazioni wireless, sia nelle applicazioni civili che militari. In molte di queste applicazioni, le antenne elettricamente compatte, sono necessarie a causa del limitato spazio disponibile nella struttura come ad esempio nei dispositivi mobili, attrezzature mediche e veicoli. Anche se la richiesta di queste antenne è in piena espansione, la realizzazione di esse è uno dei problemi più complessi nel campo della progettazione delle antenne. I problemi legati alla miniaturizzazione delle antenne non sono dovuti solamente alla tecnologia impiegata, come nei circuiti elettronici e nei moderni

chip; esistono anche problemi dettati dal rispetto delle leggi fisiche. Un'antenna è un

trasduttore di un segnale elettrico in un'onda elettromagnetica e viceversa. Questa trasformazione risulta efficiente se le dimensioni dell'antenna hanno un ordine di grandezza di almeno mezza lunghezza d'onda. La riduzione delle dimensioni può essere perseguita a spese del guadagno, dell'efficienza, della purezza di polarizzazione e della banda; inoltre nelle antenne "electrically-small-antenna" (ESA) l'alimentazione risulta un ulteriore problema. Sebbene non esista una definizione di antenna elettricamente piccola, spesso viene utilizzato come parametro il prodotto 𝑘𝑎 dove 𝑘 =2𝜋_𝜆 𝑟𝑎𝑑_𝑚 rappresenta la costante di propagazione nello spazio libero e a il raggio della sfera di dimensioni minime in grado di circoscrivere l'antenna. Quando la massima dimensione di un’antenna 𝑎 è minore di 1

𝑘 = 𝜆

2𝜋 allora l’antenna può essere considerata elettricamente piccola [1]. In

pratica un'antenna viene definita elettricamente piccola (compatta) quando viene soddisfatta questa relazione:

𝑘𝑎 < 1 (0.1) La condizione 𝑘𝑎 = 1 definisce il cosiddetto Small-Antenna-Limit (SAL) che rappresenta la frequenza massima in corrispondenza della quale l’antenna può essere considerata elettricamente compatta. Per esempio un dipolo di lunghezza complessiva 𝑙 è elettricamente compatto se 𝑙 <𝜆

𝜋, quindi un dipolo risonante (𝑙 = 𝜆

2) non è un'antenna

elettricamente corta. Lo studio di queste tematiche era già noto a meta degli anni '40 quando Wheeler [2] introdusse il fattore di potenza di irradiazione (Radiation Power

Factor - RPF) definito come il rapporto tra la resistenza di irradiazione 𝑅𝑟 e la reattanza

dell'antenna 𝑋_𝑎. Wheeler dimostrò come questo rapporto sia equivalente al prodotto banda-efficienza e direttamente legato al volume occupato dall'antenna.

𝑅𝑃𝐹 = 𝑅𝑟

|𝑋𝑎|= 𝐵Ɛ (0.2)

Diminuendo il raggio della sfera di dimensioni minime in grado di circoscrivere l'antenna (esempio mostrato in Figura I.1), essa tende ad assumere un comportamento da elemento reattivo, quindi aumenta il valore della reattanza 𝑋_𝑎 e si abbassa quello della resistenza di

irradiazione 𝑅_𝑟, per cui il RPF diminuisce. Il lavoro di Wheeler è stato generalizzato da Chu che ha formalmente ricavato la relazione tra il minimo fattore di qualità 𝑄 ottenibile da un’antenna omnidirezionale ed il suo volume [3]. Si definisce fattore di qualità di un’antenna come [4]: 𝑄 = 𝑠𝑒 𝑊𝑒 > 𝑊𝑚 2𝜔𝑊𝑒 𝑃𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒 𝑊𝑚 > 𝑊𝑒 2𝜔𝑊_𝑃 𝑚 𝑟𝑎𝑑 (0.3) dove 𝑊𝑒 rappresenta l’energia elettrica media immagazzinata nei dintorni dell’antenna,

quindi non propagativa (cioè di tipo reattivo), 𝑊_𝑚 rappresenta l’energia magnetica media immagazzinata nei dintorni dell’antenna, ovvero non propagativa (sempre di tipo reattivo), mentre 𝑃_𝑟𝑎𝑑 rappresenta la potenza irradiata dall’antenna. Secondo questa definizione, si assume implicitamente che l’antenna sia in grado di risuonare con un elemento circuitale appropriato, tale che realizzi una impedenza di ingresso puramente reale. Pertanto, la definizione del fattore di qualità 𝑄 di un’antenna è simile a quella del fattore di qualità di un elemento circuitale, che immagazzina prevalentemente un tipo di energia (elettrica o magnetica) e che presenta delle perdite.

Questo parametro è importante perché è anche definito come l’inverso della larghezza di banda percentuale, cioè il rapporto tra la frequenza centrale 𝑓𝑐 e la banda Δ𝑓. Chu è stato il

primo studioso che ha calcolato il fattore di qualità di un'antenna elettricamente piccola ed è giunto a questa espressione:

𝑄 = 1 + 2(𝑘𝑎) 2 (𝑘𝑎)3_{[1 + (𝑘𝑎)}2_]≅ 𝑓_𝑐 Δ𝑓 (a) (b)

Figura I.2: (a) Espressione del fattore di qualità trovato da Chu; (b) andamento fattore di qualità in funzione del prodotto ka.

dove 𝑘 =2𝜋_𝜆 rappresenta la costante di propagazione nello spazio libero e 𝑎 è il raggio della sfera di dimensioni minime in grado di circoscrivere l'antenna. Come possiamo osservare dalla Figura I.2 (b) le antenne elettricamente piccole, indipendentemente dalla loro forma, hanno un fattore di qualità elevato e di conseguenza presentano una banda molto stretta. Un'antenna compatta ha un elevato 𝑄 perchè la maggior parte della potenza d'ingresso è immagazzinata nella regione di campo vicino (near-field) e solo una piccola parte è irradiata nella regione di campo lontano (far-field). Per questo motivo è necessario aumentare la potenza irradiata e ridurre l'energia immagazzinata nel campo vicino per diminuire il 𝑄. Per far questo sono generalmente usati due metodi; modificare la struttura del radiatore usando tutto il volume a disposizione (se possibile) al fine di ridurre l’energia immagazzinata nel campo vicino e aumentare la resistenza di radiazione 𝑅_𝑟 dell’antenna, oppure aggiungere una rete di adattamento per modificare l’impedenza d’ingresso dell’antenna 𝑍_𝑎 e pertanto aumentare il trasferimento di potenza dalla sorgente all’antenna. Quando vengono utilizzate delle reti di adattamento passive e senza perdita dobbiamo tenere presente la fondamentale limitazione “banda” (o prodotto guadagno-banda) derivato da Bode [5] e Fano [6] tra un generatore resistivo e un carico passivo. Secondo il criterio di Bode-Fano c’è un tradeoff tra la banda e il minimo coefficiente di riflessione Ґ𝑚 ottenibile; una volta che il minimo coefficiente di riflessione Ґ𝑚 viene

stabilito, la banda è fissata e viceversa. La Figura I.3 mostra il criterio di Bode-Fano per quanto riguarda il tradeoff tra banda e coefficiente di riflessione.

(a)

(b)

Figura I.3: Criterio di Bode-Fano; (a) possibile andamento in frequenza del coefficiente di riflessione, (b) non realizzabile e realizzabile andamento del coefficiente di riflessione .

Sebbene delle prestazioni migliori potrebbero essere teoricamente ottenute utilizzando diverse reti (quadripoli) in cascata, le dimensioni del circuito aumenterebbero notevolmente e inoltre l’efficienza complessiva del sistema (antenna-rete d’adattamento) diminuirebbe a causa del fattore di qualità finito degli elementi concentrati utilizzati. Tuttavia, attraverso l'uso delle Non-Foster Matching Network, che utilizzano valori di capacità e induttanze negative realizzati con circuiti attivi chiamati

negative-impedance-converters (NIC) e inverters (NIV), è possibile superare la limitazione “guadagno-banda” e

ottenere un adattamento su una banda molto più ampia.

1 NON-FOSTER

MATCHING

NETWORK

Equation Chapter (Next) Section 1

Nell'introduzione si è detto che le antenne elettricamente compatte non possono essere adattate su una larga banda attraverso l'uso delle classiche reti di adattamento passive a causa della limitazione ”guadagno-banda” dei circuiti convenzionali composti da induttanze e condensatori; tuttavia, grazie alle Non-Foster Matching Network, è possibile ottenere un' adattamento su una banda molto più ampia. Questo è possibile grazie all’uso di capacità 𝐶 e induttanze 𝐿 negative realizzate con appositi circuiti chiamati NIC e NIV. In Figura 1.1 viene illustrato il vantaggio di una rete Non-Foster per una antenna elettricamente piccola rispetto alla convenzionale rete di adattamento passiva.

(a) (b)

Figura 1.1: Rete d'adattamento per un'antenna elettricamente piccola; (a) rete passiva, (b) Non-Foster Matching Network.

Come mostrato nella Figura 1.1 (a) la rete passiva rende nulla la reattanza ad una sola specifica frequenza, mentre nella Figura 1.1 (b), attraverso l'uso di una capacità negativa −𝐶 collegata in serie all'antenna, la reattanza viene annullata per tutte le frequenze. Considerando un modello più accurato dell'impedenza d'ingresso di un'antenna elettricamente compatta, come riportato in Figura 1.2 (a), possiamo annullare gli elementi positivi 𝐿, 𝐶 e 𝐶′ attraverso l'uso di elementi negativi −𝐿, −𝐶 e −𝐶' come mostrato in Figura 1.2 (b).

(a) (b)

Figura 1.2: (a) Modello impedenza d'ingresso antenna elettricamente piccola, (b) utilizzo elementi negativi per compensare la reattanza dell'antenna.

Prima di affrontare il discorso sulle reti Non-Foster, è necessario capire cosa sono le impedenze di tipo Foster. Se una rete ad una porta obbedisce al teorema di Foster sulla reattanza [7] allora esso viene indicato come elemento di tipo Foster. Questo è un convenzionale elemento passivo come un induttore o condensatore. Il teorema di Foster sulla reattanza afferma che l'andamento in frequenza della reattanza di un elemento passivo è una funzione monotona crescente; in altre parole, come mostrato in Figura 1.3, la pendenza della reattanza (o suscettanza) è sempre positiva:

𝜕𝑋 (𝜔) 𝜕𝜔 > 0 e 𝜕𝐵 (𝜔) 𝜕𝜔 > 0 (1.1) 0 50 100 150 200 250 300 350 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza L O h m Freq [Hz] (a) -2000 -1500 -1000 -500 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza C O h m Freq [Hz] (b)

Figura 1.3: Reattanza al variare della frequenza di (a) una induttanza 𝑳, (b) e capacità 𝑪.

Un elemento Non-Foster, realizzato con una NIC o NIV, non segue il teorema di Foster sulla reattanza e ha caratteristiche completamente opposte: cioè l'andamento in frequenza della reattanza è una funzione monotona decrescente come possiamo notare dalla Figura 1.4.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza L Reattanza -L O h m Freq [Hz] (a) -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza C Reattanza -C O h m Freq [Hz] (b)

Figura 1.4: Reattanza al variare della frequenza di (a) una induttanza negativa −𝑳, (b) e capacità negativa −𝑪.

Un’altra caratteristica di queste reti Non-Foster è riportata in Figura 1.5 dove si nota che all’aumentare della frequenza, i coefficienti di riflessione (Γ) di un ideale condensatore negativo e induttore negativo ruotano in sento antiorario.

(a) (b)

Figura 1.5: Coefficiente di riflessione all'aumentare della frequenza di (a) un condensatore ideale negativo e (b) un induttore ideale negativo.

1.1 Negative-Impedance-Converters (NIC)

Un NIC ideale, rappresentato in Figura 1.6, è una rete a due porte attiva, dove l'impedenza d'ingresso 𝑍_𝑖𝑛, quella vista dalla porta 1, è una versione negata e scalata del corrispondente carico passivo 𝑍𝐿 messo sulla porta 2 [8]. In Figura 1.6 osserviamo che l'impedenza

d'ingresso 𝑍_𝑖𝑛 è negativa e il suo modulo è il prodotto tra l’impedenza di carico 𝑍_𝐿 (quella vista dalla porta 2) e un coefficiente 𝐾. Questo coefficiente viene chiamato coefficiente di conversione d'impedenza, e per un NIC ideale esso è positivo, reale e costante.

Figura 1.6: Negative Impedance Converter (NIC) ideale.

Una rete a due porte può essere caratterizzata da alcuni parametri che descrivono il funzionamento della rete; per queste reti utilizzeremo i parametri 𝑕. Una rete a due porte può essere schematizzata agli effetti esterni con un circuito equivalente mostrato in Figura 1.7.

Figura 1.7: Modello equivalente per una rete a due porte usando i parametri 𝒉 con un carico 𝒁𝑳 collegata alla porta 2.

L’equazioni che definiscono una rete a due porte mediante i parametri 𝑕 sono: 𝑉1 = 𝑕11𝐼1+ 𝑕12𝑉2

𝐼2 = 𝑕21𝐼1 + 𝑕22𝑉2 (1.2)

𝑕

=

𝑉

= 0

𝑕

=

𝐼

= 0

𝑕

=

𝑉

= 0

𝑕

=

𝐼

= 0

Dato un carico passivo 𝑍_𝐿 sulla porta d’uscita, l’impedenza d’ingresso 𝑍_𝑖𝑛 è:

𝑍_𝑖𝑛 = 𝑉1

𝐼₁ = 𝑕11 −

𝑕12𝑕21𝑍𝐿

𝑕₂₂𝑍_𝐿+ 1 (1.3)

Dalla formula di 𝑍𝑖𝑛 è possibile trovare la condizione necessaria e sufficiente per realizzare

un NIC ideale (𝑍_𝑖𝑛 = −𝐾𝑍_𝐿). Per fare ciò dobbiamo avere 𝑕₁₁ = 𝑕₂₂ = 0 e 𝑕₁₂𝑕₂₁ = 𝐾. Entrambi i parametri 𝑕₁₂ e 𝑕₂₁ possono essere positivi o negativi, e a seconda del loro segno, le propietà del circuito sono differenti.

1.2 Negative-Impedance-Converters a inversione di corrente

Quando 𝑕₁₁ = 𝑕₂₂ = 0, e entrambi i parametri 𝑕₁₂ e 𝑕₂₁ di un ideale NIC sono positivi e unitari, abbiamo le seguenti equazioni che definiscono la rete a due porte:

𝑉₁ = 𝑉₂ , 𝐼₁ = 𝐼₂ (1.4) questo porta alla seguente relazione tra la corrente nella porta 1 e quella che scorre nel carico 𝑍_𝐿 di Figura 1.7:

𝐼1 = −𝐼𝐿 (1.5)

quindi l'impedenza vista dalla porta 1 è: 𝑍𝑖𝑛 =

𝑉1

𝐼1 =

𝑍𝐿𝐼𝐿

−𝐼𝐿 = −𝑍𝐿 (1.6)

Dalle relazioni scritte precedentemente sulle correnti e tensioni nelle due porte possiamo osservare che la tensione nella porta 1 coincide con la tensione che attraversa il carico 𝑍_𝐿, mentre le direzioni delle correnti sono opposte; per questo motivo questo NIC si chiama a inversione di corrente. Riassumendo, la matrice che caratterizza un NIC a inversione di corrente è:

Un esempio di circuito NIC a inversione di corrente è quello di Larky [9] mostrato in Figura 1.8.

Figura 1.8: NIC a inversione di corrente di Larky.

Questo circuito ha la proprietà che quando si chiude la porta 2 con un carico 𝑍𝐿

l'impedenza d'ingresso, cioè quella vista dalla porta 1, è pari a −𝑅1 𝑅2𝑍𝐿.

1.3 Negative-Impedance-Converters a inversione di tensione

Adesso consideriamo un NIC ideale dove entrambi i parametri 𝑕₁₂ e 𝑕₂₁ hanno modulo unitario e negativi. Per questo motivo l’equazioni che definiscono la rete a due porte sono:

𝑉1 = −𝑉2 , 𝐼1 = −𝐼2 (1.8)

La tensione e la corrente nella porta 1 hanno le seguenti relazioni:

𝑉1 = −𝐼𝐿𝑍𝐿 , 𝐼1 = 𝐼𝐿 (1.9)

L'impedenza d'ingresso ha la seguente relazione: 𝑍𝑖𝑛 = 𝑉_𝐼1

1 = −𝐼𝐿𝑍𝐿

𝐼𝐿 = −𝑍𝐿 (1.10)

In questa rete la direzione della corrente che scorre nella porta 1 coincide con quella che attraversa il carico ZL, invece la tensione sulla porta 1 ha il segno invertito rispetto a quella

che attraversa il carico; per questo motivo questa rete viene chiamata NIC a inversione di tensione. Riassumendo, la matrice che caratterizza un NIC a inversione di tensione è:

𝑕 = 0

−1

−1

0

Un esempio di circuiti NIC a inversione di tensione sono mostrati in Figura 1.9.

(a) (b)

Figura 1.9: NIC a inversione di tensione.

Nel circuito di Figura 1.9 (a) [10] l'impedenza d'igresso è pari a 𝑍_𝑖𝑛 = −𝑅_𝑅2

1𝑍𝐿 , invece

quello di Figura 1.9. (b) 𝑍_𝑖𝑛 = −𝑍_𝐿.

1.4 Negative-Impedance-Inverters (NIV)

Il NIV è un circuito a due porte attivo che trasforma l'impedenza di carico 𝑍_𝐿 vista dalla porta 2 nella sua ammettenza e cambiata di segno [11]. Un NIV ideale è presentato in Figura 1.10.

Figura 1.10: Negative-Impedance-Inverters (NIV) ideale .

Anche in questo caso la rete a due porte può essere caratterizzata da alcuni parametri che ne descrivono il funzionamento. Per queste reti utilizzeremo i parametri z.

Figura 1.11: Modello equivalente per una rete a due porte usando i parametri 𝒁 con un carico 𝒁𝑳 collegata alla porta 2.

In Figura 1.11 è rappresentato il circuito equivalente per una rete a due porte generale usando i parametri 𝑍 con un arbitrario carico passivo 𝑍𝐿 chiuso sulla porta 2. Le equazioni

che definiscono una rete a due porte mediante i parametri h sono: 𝑉₁ = 𝑧₁₁𝐼₁+ 𝑧₁₂𝐼₂ 𝑉₂ = 𝑧₂₁𝐼₁+ 𝑧₂₂𝐼₂ (1.12) dove:

𝑧

=

𝐼

= 0

𝑧

=

𝐼

= 0

𝑧

=

𝐼

= 0

𝑧

=

𝐼

= 0

Dato un carico passivo 𝑍𝐿 sulla porta d’uscita, l’impedenza d’ingresso 𝑍𝑖𝑛𝑔 è:

𝑍_𝑖𝑛 =𝑉1

𝐼₁ = 𝑧11 −

𝑧₁₂𝑧₂₁

𝑍_𝐿+ 𝑧₂₂ (1.13)

Dall'equazione della 𝑍𝑖𝑛𝑔 possiamo trovare le condizioni necessarie e sufficienti per

realizzare un NIV ideale con 𝑍_𝑖𝑛 = −𝐾𝑌_𝐿. Queste condizioni sono: 𝑧₁₁ = 𝑧₂₂ = 0 e 𝑧₁₂𝑧₂₁ = 𝐾. Siccome il coefficiente di conversione d'impedenza 𝐾 deve essere positivo allora entrambi i parametri 𝑧12 e 𝑧21 devono avere lo stesso segno. A differenza del NIC,

un NIV non può essere classificato a inversione di tensione o corrente perchè le proprietà di questa rete dipendono dal carico passivo 𝑍𝐿 e dal segno di 𝑧12 e 𝑧21. Però se la porta 2

della Figura 1.10 è chiusa su un carico resistivo, allora è possibile separare i NIV in due categorie a seconda del segno di 𝑧₁₂ e 𝑧₂₁. Quando entrambi i parametri sono positivi e unitari la fase della tensione sulla porta 1 è ruotata di 180° rispetto a quella sulla porta 2 mentre le correnti sono in fase; quindi in questo caso siamo di fronte a un NIV a inversione di tensione. Nell'altro caso, quando 𝑧₁₂ e 𝑧₂₁ sono negativi, le tensioni sulle due porte sono in fase mentre sono in controfase le correnti; quindi in questo caso siamo di fronte a un

1.5 Capacità negativa (-C) realizzata mediante l’uso di una NIC

Basandoci sul lavoro di Aberle [12] cerchiamo di realizzare una capacità negativa −𝐶 mediante l’uso di una NIC a inversione di tensione rappresentata in Figura 1.12.

Figura 1.12: NIC a inversione di tensione (circuito di Linvill).

Come si nota dalla Figura 1.12 la NIC è costituita da due transistori BJT (bipolar junction

transistor) e un carico 𝑍_𝐿 posizionato tra i due collettori dei transistori. Si noti che lo schema rappresentato in Figura 1.12 non include la rete di polarizzazione dei transistori.

(a) (b)

Figura 1.13: (a) Circuito di giacoletto del BJT, (b) approssimazione per le basse frequenze .

Considerando il modello equivalente per piccoli segnali del transistor BJT rappresentato in Figura 1.13 l’impedenza d’ingresso della porta del NIC è data da:

𝑍𝑖𝑛 = −𝑍𝐿+

2(𝑍_𝜋 + 𝑍_𝐿)

Utilizzando il modello approssimato per le basse frequenze (Figura 1.13 (b)) e assumendo 𝑍𝜋𝑔𝑚 ≫ 1 e 𝑍𝜋 ≫ 𝑍𝐿 la (1.14) può essere approssimata nel seguente modo:

𝑍𝑖𝑛 ≅

2

𝑔𝑚 − 𝑍𝐿 (1.15)

Dalla formula (1.15) si può notare che l'impedenza 𝑍_𝑖𝑛 non è puramente reattiva, ma abbiamo anche una parte reale indesiderata che dipende dalla tansconduttanza 𝑔_𝑚 del transistore. Con transistori ideali si può osservare che il coefficiente di conversione d’impedenza è unitario (𝑍𝑖𝑛 = −𝑍𝐿); il primo termine dell’espressione (1.15), cioè la parte

reale _𝑔2

𝑚, è un elemento parassita dovuto alla non idealità del transistore e dipende dalla

corrente di collettore I_𝐶 del punto di riposo del transistore; infatti la tansconduttanza 𝑔_𝑚 può essere calcolata mediante la seguente formula:

𝑔_𝑚 = 𝐼𝐶 𝑉𝑇≅

𝐼𝐶[𝑚𝐴]

26 (1.16)

quindi la parte reale dell’impedenza d’ingresso della (1.15) è pari a:

𝑅𝑒 𝑍𝑖𝑛 =

2 𝑔𝑚 =

52

𝐼𝐶[𝑚𝐴] (1.17)

Un modo per eliminare la parete reale del'impedenza 𝑍_𝑖𝑛 (_𝑔2

𝑚) può essere realizzato

aggiungendo anche un elemento resistivo in serie al carico 𝑍_𝐿 in modo tale che esso aiuterà ad annullare la parte reale della 𝑍𝑖𝑛. Pertanto effettuando una corretta progettazione della

rete è possibile ottenere capacità o induttanze negative (elementi non-Foster). Il circuito completo della Non-Foster matching network (contenete anche la rete di polarizzazione dei transistori) progettato su ADS è riportato in Figura 1.14; come possiamo notare il carico 𝑍𝐿

della NIC è rappresentata da una capacità di 𝐶 = 100 pF. Dalla teoria, quello che ci aspettiamo guardando all’ingresso della NIC, sarebbe una capacità negativa pari a 𝐶 = −100 pF.

Figura 1.14: Schema completo della NIC per realizzare una capacità pari a 𝑪 = −𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅.

Per verificare il funzionamento della rete andiamo a rappresentare, al variare della frequenza, il valore della reattanza rappresentata dalla NIC (Figura 1.15), e l’impedenza

d’ingresso della rete quando chiudiamo la NIC con una capacità di valore pari a 𝐶 = 100 pF (Figura 1.16) . 30 40 50 60 70 80 90 100 110 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 4.5 107 5 107 Reattanza NIC (C=100pF) Reattanza C=-100pF O h m Freq [Hz]

Figura 1.15: Confronto tra la reattanza d’ingresso dalla NIC con quella di una capacità ideale negativa pari a – 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅.

-5 0 5 10 15 20 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 4.5 107 5 107 Real [Z] NIC Imag [Z] NIC O h m Freq [Hz]

Figura 1.16: Impedenza d’ingresso della NIC quando chiudiamo la rete mediante l’uso di una capacità pari a 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅.

Dalla Figura 1.15 osserviamo che la NIC riesce ad approssimare molto bene una capacità ideale negativa pari a −100 pF, dato che le curve mostrate sono praticamente sovrapposte per quasi tutto il range di frequenza. Infatti, mediante la Figura 1.16, osserviamo che la reattanza d’ingresso della rete, quando inseriamo sulla porta di uscita della NIC una capacità 𝐶 = 100 pF, è praticamente nulla. Solamente a bassa frequenza abbiamo una reattanza non esattamente nulla; questo succede perché osservando attentamente la Figura 1.15 a tali frequenza la NIC non riesce ad approssimare esattamente una capacità di −100 pF, ma la sua capacità equivalente è un po’ più grande (in modulo); infatti notiamo attraverso la Figura 1.15 che la curva relativa alla reattanza d’ingresso della NIC si trova leggermente al di sotto di quella di una capacità ideale negativa pari a −100 pF. Inoltre possiamo verificare che l’impedenza d’ingresso presenta anche una parte reale costante pari a 15 Ω e il suo valore dipende dalla transconduttanza 𝑔𝑚 del transistor come detto

precedentemente; infatti effettuando un’analisi in continua del circuito mostrato in Figura 1.14 osserviamo una corrente di collettore 𝐼_𝐶 dei transistori pari a 3.85 mA e mediante la formula (1.17) otteniamo un valore teorico della parte reale dell’impedenza della NIC pari a 13.51 Ω che si avvicina molto ai 15 Ω ottenuti dalla simulazione. Per questo motivo possiamo concludere che il circuito equivalente della NIC non è una capacità ideale negativa, ma presenta anche una resistenza in serie di valore pari a 15 Ω. Per verificare la dipendenza della parte reale dell’impedenza d’ingresso della NIC con la corrente di collettore 𝐼_𝐶 dei transistori, effettuiamo delle simulazioni del circuito di Figura 1.14 al variare della resistenza 𝑅_𝑒 posta sull’emettitore dei transistori (Figura 1.17).

0 5 10 15 20 25 30 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 4.5 107 5 107 Real [Z]

Real [Znic] Re=30 ohm

Real [Znic] Re=100 ohm

Real [Znic] Re=200 ohm

O h m Freq [Hz] (a) -6 -4 -2 0 2 4 6 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 4.5 107 5 107 Imag [Z]

Imag [Znic] Re=30 ohm Imag [Znic] Re=100 ohm Imag [Znic] Re=200 ohm

O

h

m

Freq [Hz]

(b)

Figura 1.17: (a) Parte reale, (b) parte immaginaria dell'impedenza d’ingresso della NIC quando chiudiamo la rete con una capacità pari a 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅 al variare del valore della resistenza 𝑹𝒆 posta sull’emettitore dei due transistori.

Dalla Figura 1.17 possiamo osservare che al variare della corrente di collettore la parte immaginaria dell’impedenza d’ingresso non subisce grosse variazioni, invece la parte reale varia secondo la formula (1.17), ovvero all’aumentare della corrente di collettore (diminuire della resistenza 𝑅_𝑒) la parte reale diminuisce; viceversa al diminuire della corrente la parte reale aumenta. Per annullare tale resistenza d’ingresso, e quindi realizzare esattamente un elemento Non-Foster (𝐶 = −100 pF), possiamo inserire in serie al carico 𝑍_𝐿 della NIC una resistenza per annullare questa parte reale. Infatti, osservando la Figura 1.18, si nota che aggiungendo in serie alla capacità 𝐶 = 100 pF una resistenza di 𝑅 = 15 Ω (nel caso in cui 𝑅𝑒 = 100 Ω) la parte reale viene completamente annullata e la parte

immaginaria rimane sostanzialmente la stessa, quindi riusciamo a realizzare una capacità negativa pari a 𝐶 = −100 pF. -5 0 5 10 15 20 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 4.5 107 5 107 Real [Z] NIC (C=100pF) Real [Z] NIC (C=100pF R=15 Ohm) Imag [Z] NIC (C=100pF R=15 Ohm)

Imag [Z] NIC (C=100pF)

O

h

m

Freq [Hz]

Figura 1.18: Impedenza d’ingresso della NIC (𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅, 𝑹 = 𝟏𝟓 Ω) quando chiudiamo la rete mediante l’uso di una capacità pari a 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅.

2 NON-FOSTER

MATCHING

NETWORK

PER

UN

MONOPOLO

SU

PIANO

DI

MASSA

Equation Chapter (Next) Section 2

Lo scopo di questo capitolo è quello di utilizzare un negative-impedance-converter (NIC) per realizzare una Non-Foster matching network in modo tale da annullare la reattanza 𝑋_𝑎 di un’antenna elettricamente compatta. Il parametro di valutazione, per quanto riguarda la banda di adattamento dell’antenna, sarà il Voltage-Standing-Wave-Ratio (VSWR). Un’antenna è completamente adattata se il valore del VSWR è pari a 1 (assenza onda riflessa 𝑉𝑆𝑊𝑅 =1+ г _{1− г} ), tuttavia si può considerare l’antenna adattata fino a un valore massimo pari a 3. L'antenna presa in esame, mostrata in Figura 2.1, è un monopolo di lunghezza 𝑙 = 3.5 m posta su un piano di massa. In Figura 2.2 è rappresentata l’andamento dell'impedenza d'ingresso dell'antenna 𝑍_𝑎 = 𝑅_𝑎 + 𝑗𝑋_𝑎 al variare della frequenza compresa tra 2 ÷ 40 MHz.

Figura 2.1: Monopolo di lunghezza 𝒍 posta su piano di massa.

(a) -1600 -1200 -800 -400 0 400 800 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Za] Imag [Za] O h m Freq [Hz] (b)

Figura 2.2: Andamento impedenza d'ingresso monopolo di lunghezza 𝒍 = 𝟑. 𝟓 𝐦 su un pino di massa (a) sulla carta di Smith, (b) in frequenza.

Dalla Figura 2.2 si nota che, come detto nell'introduzione, a bassa frequenza l'antenna presenta una parte reale (𝑅𝑎) molto piccola e una parte immaginaria (𝑋𝑎) molto elevata in

modulo, questo perché l'antenna è elettricamente compatta; infatti possiamo notare che sulla carta di Smith siamo vicino al bordo. All'aumentare della frequenza la resistenza 𝑅𝑎

dell'antenna comincia ad aumentare e la sua reattanza 𝑋_𝑎 tende a diminuire, perché le sue dimensioni cominciano ad essere confrontabili con la lunghezza d'onda 𝜆 in gioco. La risonanza dell'antenna avviene a circa 20 MHz perché a tale frequenza la lunghezza d'onda è pari a 15 m, e per il teorema delle immagini la dimensione dell'antenna presa in esame è pari a 7 m, cioè circa 𝜆 2 . Dalla tabella mostrata in Figura 2.3 osserviamo che l'antenna presenta un VSWR minore di 3 (S₁₁ < −6 dB) per le frequenze comprese tra 18.56 ÷ 23.24 MHz quindi l’antenna presenta una banda pari a 𝐵−6𝑑𝐵 = 4.68 MHz

centrata a 20 MHz. (a) -20 -15 -10 -5 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 S11 antenna S 1 1 [d B ] Freq [Hz] (b)

Figura 2.3: (a) VSWR del monopolo sul piano di massa, (b) 𝐒𝟏𝟏 al variare della frequenza del monopolo su piano di massa.

Basandoci sul lavoro di Aberle [12] la Non-Foster Matching Network è stata realizzata con una NIC a inversione di tensione, rappresentato in Figura 1.12 utilizzata precedentemente per ottenere una capacità negativa, collegata in serie all’antenna per ridurre la sua reattanza come mostrato in Figura 2.4.

Figura 2.4: NIC a inversione di tensione collegato in serie all'antenna.

Con riferimento alla Figura 2.4 possiamo ricavare la nuova impedenza d'ingresso, ovvero: 𝑍𝑖𝑛 = 𝑍𝑎 + 𝑍𝑁𝐼𝐶 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑁𝐼𝐶 + 𝑗(𝑋𝑎 + 𝑋𝑁𝐼𝐶) (2.1)

Una volta selezionata la tipologia del NIC dobbiamo scegliere un adeguato carico 𝑍_𝐿 da mettere in qusto circuito per annullare o ridurre la reattanza d'ingresso dell'antenna 𝑋_𝑎. Per fare questo è importante avere un modello equivalente a parametri concentrati della reattanza di ingresso dell'antenna 𝑋𝑎 sulla gamma di frequenze di interesse. Prima di

concentrarsi sulla realizzazione della Non-Foster matching network vediamo come potrebbe essere realizzata una rete d'adattamento classica con l'utilizzo di elementi a parametri concentrati passivi.

2.1 Reti di adattamento con carichi concentrati passivi

L’uso di reti di adattamento è di fondamentale importanza nel caso di elementi radianti per le bande HF (3 − 30 MHz) e VHF (30 − 300 MHz), per ottenere un buon adattamento dell’antenna all’impedenza della linea di trasmissione che collega il carico alla sorgente come mostrato in Figura 2.5. Una rete di adattamento è idealmente senza perdite al fine di evitare inutili perdite di potenza, e di solito è progettata in modo che l’impedenza vista guardando verso la rete di adattamento sia pari a 𝑍₀ in modo tale da eliminare riflessioni sulla linea di trasmissione e garantire il massimo trasferimento di potenza tra la sorgente ed il carico. Quando una linea di trasmissione è chiusa su un carico una parte della potenza incidente viene generalmente riflessa dal carico stesso. Questo fenomeno è indesiderato, prima di tutto perché a causa della riflessione la quantità di potenza assorbita dal carico risulta inferiore rispetto alla potenza ottenibile dalla sorgente, inoltre sulla linea di trasmissione si ha un’onda stazionaria che può risultare dannosa nei sistemi ad alta potenza, poiché le tensioni più elevate che vengono a stabilirsi sulla linea possono condurre a perforazioni del dielettrico e l’onda riflessa potrebbe danneggiare il generatore. Infine nei sistemi di comunicazione la presenza di onde riflesse sulla linea di trasmissione può condurre a distorsioni del segnale. A causa di tutti questi inconvenienti, affinché sulla linea non siano presenti onde riflesse, si ricorre all’utilizzo di reti d’adattamento.

Figura 2.5: Rete d’adattamento tra il carico 𝒁𝑳 e la linea di trasmissione.

Le più semplici reti d'adattamento sono chiamate 𝐿-section le quali utilizzano due elementi reattivi per trasformare un arbitrario impedenza di carico 𝑍_𝐿 in una impedenza desiderata 𝑍_𝑖𝑛. Esistono due possibili configurazioni base come mostrati in Figura 2.6.

(a) (b)

Figura 2.6: reti di adattamento a 𝑳, (a) rete per 𝒁𝒏 dentro al cerchio 𝟏 + 𝒋𝒙, (b) rete per 𝒁𝒏 fuori dal cerchio 𝟏 + 𝒋𝒙.

Se l’impedenza di carico normalizzata, 𝑍_𝑛 =𝑍𝐿

𝑍0, cade all’interno del cerchio 1 + 𝑗𝑥 nella

carta di Smith allora deve essere utilizzato il circuito di Figura 2.6 (a), altrimenti se l’impedenza normalizzata cade all’esterno deve essere utilizzata la configurazione di Figura 2.6 (b). Il cerchio 1 + 𝑗𝑥 rappresenta il cerchio con 𝑟 = 1 nella carta di Smith delle impedenze come mostrato in rosso in Figura 2.7.

Figura 2.7: Carta di Smith delle impedenze.

Nelle due configurazioni possibili delle reti a 𝐿 gli elementi reattivi possono essere sia induttanze che capacità a seconda del tipo di carico 𝑍_𝐿 che abbiamo; in generale quindi esistono 8 possibili configurazioni totali delle reti a 𝐿 a seconda del carico 𝑍_𝐿. Queste configurazioni sono mostrate in Figura 2.8.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Tornando sulla nostra antenna (monopolo su un piano di massa rappresentata in Figura 2.1), cerchiamo di realizzare una rete di adattamento a 𝐿 in modo tale da adattarla alla frequenza centrale di 15.5 MHz. Dalla Figura 2.2 possiamo notare che l’impedenza presentata dalla nostra antenna a tale frequenza è 𝑍_𝑎 = 16.37 − 𝑗99.7 Ω e pertanto l’impedenza normalizzata è 𝑍_{𝐿_𝑛} = 0.32 − 𝑗1.99 (𝑍₀ = 50 Ω). Tramite la Figura 2.9 osserviamo che l’impedenza normalizzata del carico 𝑍𝑛 (in questo caso quella dell’antenna

𝑍𝑎_𝑛) cade all’esterno del cerchio 1 + 𝑗𝑥, quindi per adattare l’antenna alla frequenza di

15.5 MHz dobbiamo utilizzare la configurazione mostrata in Figura 2.6 (b).

Figura 2.9: Impedenza normalizzata dell’antenna 𝒁𝒂_𝒏 alla frequenza di 𝟏𝟓. 𝟓 𝐌𝐇𝐳.

Per capire quali elementi reattivi da utilizzare dobbiamo tenere in considerazione alcune caratteristiche sul movimento dell’impedenza, o ammettenza, sulla carta di Smith a seconda dell’elemento reattivo aggiunto (sia in serie che in parallelo):

 Se si connette in serie una reattanza (𝑍 = 𝑗𝑋_𝑠), la 𝑍_𝑖𝑛 avrà la stessa parte reale

dell’impedenza di carico 𝑍𝐿, ma differente parte immaginaria:

𝑍_𝑖𝑛 = 𝑅_𝐿+ 𝑗(𝑋_𝐿+ 𝑋_𝑠). In questo caso sulla carta di Smith il punto corrispondente alla 𝑍_𝑖𝑛 si troverà sulla stessa circonferenza a resistenza costante, ma spostato all’intersezione con la circonferenza a reattanza costante 𝑋 = 𝑋𝐿+ 𝑋𝑠. Se si

aggiunge una induttanza 𝐿 allora il punto si sposterà in senso orario, altrimenti aggiungendo una capacità 𝐶 il punto si sposterà in senso antiorario come è possibile vedere nella Figura 2.10 (a), (b)

 Se si aggiunge un elemento in parallelo con ammettenza 𝑌 = 𝑗𝐵_𝑝 l’ammettenza 𝑌_𝑖𝑛 diventa: 𝑌𝑖𝑛 = 𝐺𝐿+ 𝑗(𝐵𝐿+ 𝐵𝑝); ciò vuol dire che sulla carta di Smith il punto

corrispondente all’ammettenza 𝑌_𝑖𝑛 si troverà sulla stessa circonferenza a conduttanza costante, ma spostato all’intersezione con la circonferenza a suscettanza costante 𝐵 = 𝐵_𝐿+ 𝐵_𝑃. Se si aggiunge una induttanza 𝐿 allora il punto si sposterà in senso antiorario, altrimenti aggiungendo una capacità 𝐶 il punto si sposterà in senso orario come è possibile vedere nella Figura 2.10 (c), (d)

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.10: Movimenti sulla carta di Smith dell’impedenza quando collego in serie (a) una induttanza 𝑳, (b) una capacità 𝑪; movimento sulla carta di Smith dell’ammettenza quando collego in parallelo (c) una induttanza 𝑳, (d) una capacità 𝑪.

Tenendo presente queste considerazioni una possibile soluzione potrebbe essere rappresentata dalla rete 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝 mostrata in Figura 2.11. Come possiamo notare sono utilizzate due induttanze con valori paria a: 𝐿1 = 773.77 nH e 𝐿2 = 358.7 nH.

Figura 2.11: Rete di adattamento 𝑳𝒔 − 𝑳𝒑 per monopolo su piano di massa.

Con la prima induttanza, quella in serie all'antenna (𝐿₁), ci spostiamo sulla carta di Smith fino al cerchio a conduttanza costante 𝑔 = 1 e con l'induttanza in parallelo (𝐿₂) fino al centro della carta di Smith. Questi due passaggi sono illustrati sulla carta di Smith mostrata in Figura 2.12.

Figura 2.12: Movimenti sulla carta di Smith dell'impedenza di ingresso 𝒁𝒊𝒏 mediante l'uso della rete di adattamento .

In Figura 2.13 è mostrato l'andamento in frequenza del parametro S₁₁ all'ingresso della rete di adattamento 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝 mostrata precedentemente.

-50 -40 -30 -20 -10 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 S11 Rete Ls-Lp S11 Antenna S 1 1 [d B ] Freq [Hz]

Figura 2.13: Andamento parametro 𝐒𝟏𝟏 al variare della frequenza all'ingresso della rete di adattamento 𝑳𝒔 − 𝑳𝒑.

Tramite la Figura 2.13 si nota che l'inserimento della rete di adattamento passiva abbassa la frequenza di risonanza da 20 MHz a 15.5 MHz con un valore del parametro S₁₁ molto basso (−40 dB); però, come detto precedentemente, riusciamo ad ottenere una banda molto stretta pari a 𝐵−6𝑑𝐵 = 1.36 MHz (prendendo come riferimento per la banda il valore

di S₁₁ pari a −6 dB). Adesso mostriamo l'andamento dell'impedenza d'ingresso 𝑍_𝑖𝑛 al variare della frequenza in Figura 2.14.

(a) -20 0 20 40 60 80 100 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] Imag [Z] O h m Freq [Hz] (b)

Figura 2.14: Andamento impedenza d'ingresso al variare della frequenza all'ingresso della rete di adattamento 𝑳𝒔 − 𝑳𝒑 (a) sulla carta di Smith, (b) parte reale e parte immaginaria.

Dalla Figura 2.14 (b) notiamo che la parte reale assume un valore massimo pari a 75 Ω alla

(𝑓_𝑅 = 15.5 MHz); il valore minimo del coefficiente di riflessione è pari a 0.008 come possiamo notare sulla carta di Smith (Figura 2.14 (a)). Dobbiamo tenere presente che

questa soluzione, come rete di adattamento per l'antenna, non è l'unica possibile. Ad esempio un'altra soluzione potrebbe essere rappresentata dalla rete 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝 mostrata

dalla Figura 2.15.

Figura 2.15: Rete di adattamento 𝑳𝒔 − 𝑪𝒑 per monopolo su piano di massa.

Questa soluzione utilizza una induttanza 𝐿1 = 1.25 uH in serie all'antenna e una capacità

𝐶1 = 0.298 nF in parallelo. Con la prima induttanza, quella in serie all'antenna (𝐿1), ci

spostiamo sulla carta di Smith fino al cerchio a conduttanza costante 𝑔 = 1 e con la capacità in parallelo (𝐶2) ci spostiamo al centro della carta di Smith. Questi due passaggi

sono illustrati sulla carta di Smith mostrata in Figura 2.16.

Figura 2.16: Movimenti sulla carta di Smith dell'impedenza di ingresso 𝒁𝒊𝒏 mediante l'uso della rete di adattamento.

In Figura 2.17 è rappresentato l'andamento in frequenza del parametro S11 all'ingresso

della rete di adattamento 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝 mostrata precedentemente.

-50 -40 -30 -20 -10 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 S11 Rete Ls-Lp S11 Antenna S11 Rete Ls-Cp S 1 1 [d B ] Freq [Hz]

Figura 2.17: Andamento parametro 𝐒𝟏𝟏 al variare della frequenza all'ingresso della rete di adattamento 𝑳𝒔 − 𝑪𝒑.

Dalla Figura 2.17 osserviamo che anche in questo caso la rete 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝 abbassa la frequenza di risonanza dell'antenna alla frequenza di 15.5 MHz, con un valore dell'S11 pari

a −36 dB e riusciamo ad ottenere una banda d'adattamento pari a 𝐵_−6𝑑𝐵 = 1.17 MHz (prendendo come riferimento per la banda il valore dell'S₁₁ pari a −6 dB). Possiamo concludere dicendo che, mettendo a confronto i parameri S11 delle due reti di adattamento

passive realizzate notiamo che, la rete d'adattamento 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝 presenta un valore minimo dell'S₁₁ più basso e una banda leggermente più ampia. Adesso, in Figura 2.18, mostriamo l'andamento dell'impedenza d'ingresso 𝑍𝑖𝑛 al variare della frequenza e la confrontiamo con

quella ottenuta con la rete di adattamento precedente 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝.

-20 0 20 40 60 80 100 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] Imag [Z] O h m Freq [Hz] (a) -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] Imag [Z] O h m Freq [Hz] (b)

Figura 2.18: Andamento impedenza d'ingresso al variare della frequenza all'ingresso della 𝑳𝒔 − 𝑳𝒑, (b) 𝑳𝒔 − 𝑪𝒑.

Attraverso la Figura 2.18 notiamo che l'andamento in frequenza della 𝑍𝑖𝑛 è

sostanzialmente diverso nelle due reti. La rete 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝 a bassa frequenza presenta dei valori molto bassi sia della parte reale che immaginaria della 𝑍_𝑖𝑛, invece la rete 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝 ha un valore della reattanza 𝑋 molto grande in modulo. Ad alta frequenza la situazione si ribalta, cioè la rete 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝 presenta una reattanza 𝑋 dell’impedenza d’ingresso molto elevata, invece la rete 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝 molto piccola. Il motivo di questo effetto è che l'induttanza 𝐿 e la capacità 𝐶, a bassa frequenza, si comportano rispettivamente come un cortocircuito e un circuito aperto; quindi l’induttanza in parallelo 𝐿𝑝, nella rete 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝, annulla l’impedenza presentata dall’antenna 𝑍_𝑎, invece il condensatore in parallelo 𝐶𝑝 nella rete 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝, dato che si comporta come un circuito aperto, diventa trasparente e quindi l’andamento della 𝑍_𝑖𝑛 sostanzialmente coincide con l’impedenza dell’antenna 𝑍_𝑎. Viceversa ad alta frequenza l'induttanza 𝐿 e la capacità 𝐶 si comportano rispettivamente come un circuito aperto e cortocircuito e quindi l’induttanza 𝐿𝑝, nella rete 𝐿𝑠 − 𝐿𝑝, diventa trasparente e la capacità 𝐶𝑝, nella rete nella rete 𝐿𝑠 − 𝐶𝑝, tende a cortocircuitare a massa l’impedenza dell’antenna 𝑍_𝑎.

2.2 Circuito Non-Foster matching network (modello con singola

capacità C=47.85 pF)

La prima NIC progettata è quella illustrata in Figura 2.19. Come possiamo notare abbiamo utilizzato come modello equivalente a parametri concentrati della reattanza dell'antenna 𝑋_𝑎 una capacità di valore 𝐶 = 47.85 pF, e tale elemento è stato inserito al posto del carico 𝑍_𝐿. Il circuito completo della Non-Foster matching network progettato su ADS è riportato in Figura 2.24.

In Figura 2.20 viene rappresentato l'andamento in frequenza della reattanza 𝑋 della capacità 𝐶 utilizzata come modello (pari a −1_𝜔𝑐) e dell'antenna 𝑋_𝑎. Dalla figura notiamo che l'approssimazione è molto buona per le frequenze inferiori a 5 MHz, mentre per frequenze superiori la reattanza della capacità 𝐶 non riesce a seguire in modo fedele l'andamento della reattanza dell'antenna 𝑋𝑎.

-1500 -1000 -500 0 500 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza antenna Xa Reattanza C=47.85pF O h m Freq [Hz]

Figura 2.20: Confronto, al variare della frequenza, dell’impedenza della singola capacita di valore 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅 (curva nera) con la reattanza dell'antenna 𝑿𝒂(curva rossa).

Per verificare il comportamento della NIC mostrata in Figura 2.19 vediamo, attraverso la Figura 2.21, se è in grado di realizzare veramente un elemento Non-Foster utilizzando come carico 𝑍_𝐿 la capacità 𝐶 = 47.85 pF.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza NIC (C=47.85pF) Reattanza reale C=-47.85pF O h m Freq [Hz]

Figura 2.21: Andamento in frequenza della reattanza d'ingresso ai capi del NIC quando utilizziamo come carico 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅 e di una capacità negativa ideale 𝑪 = −𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅 .

Dalla Figura 2.21 osserviamo che a bassa frequenza i valori dell'impedenza della NIC sono diversi rispetto a quelli di una capacità ideale negativa di −47.85 pF, questo implica che la

NIC non riesce a sintetizzare esattamente una capacità di −47.85 pF. A partire da 10 MHz

invece i valori dell'impedenza della NIC e quelli di una capacità ideale negativa di −47.85 pF sono molto simili, questo significa che a tali frequenze la NIC si comporta come un condensatore di capacità pari a −47.85 pF. Per verificare quanto detto rappresentiamo in Figura 2.22 il valore della capacità equivalente negativa rappresentata dalla NIC al variare della frequenza quando utilizziamo come carico 𝑍_𝐿 una capacità 𝐶 = 47.85 pF.

(a)

(b)

Attraverso la Figura 2.22 (a) si nota che, come previsto dalla Figura 2.21, a bassa frequenza la NIC è equivalente a un capacità di valore molto più piccolo rispetto ai −47.85 pF previsti; mentre al di sopra dei 10 MHz il valore della capacità rappresentata si avvicina molto ai −47.85 pF previsti. In pratica il coefficiente di conversione d'impedenza 𝐾 (𝑍_𝑛𝑖𝑐 = −𝐾𝑍_𝐿) al variare della frequenza non è sempre costante pari 1 come previsto dalla teoria, ma varia in frequenza come possibile osservare mediante la Figura 2.22 (b).

-1500 -1000 -500 0 500 1000 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] NIC (C=47.85pF) Imag [Z] NIC (C=47.85pF) Reattanza antenna Xa O h m Freq [Hz]

Figura 2.23: Andamento impedenza d’ingresso della rete costituita dalla NIC (𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅) e antenna.

Collegando sulla porta d’uscita della NIC l’antenna presa in esame otteniamo l’impedenza d’ingresso mostrata in Figura 2.23. Come possiamo notare la reattanza d’ingresso 𝑋𝑖𝑛 si

annulla alla frequenza di 𝑓 = 6 MHz e i suoi valori, nella gamma di frequenza d’interesse, sono compresi tra −250 Ω 𝑒 350 Ω, invece la parte reale, per le frequenze comprese da 6 MHz a 17 MHz, è piuttosto costante pari a circa 150 Ω. Dal modello equivalente della reattanza utilizzato ci saremmo aspettati una reattanza 𝑋_𝑖𝑛 nulla per frequenze inferiori ai 5MHz, dato che la capacità utilizzata approssima molto bene la reattanza dell’antenna 𝑋_𝑎 come visto in Figura 2.20; in realtà ciò non accade dato che al di sotto dei 5 MHz la capacità equivalente rappresentata dalla Non-Foster matching network è molto più piccola dei −47.85 pF previsti come evidenziato precedentemente in Figura 2.22. Confrontando la sola reattanza d'ingresso della rete costituita dalla NIC più antenna (𝑋_𝑖𝑛), con quella della sola antenna (𝑋𝑎), osserviamo che la pendenza della reattanza 𝑋𝑖𝑛 è notevolmente

diminuita; infatti i valori sono compresi tra −250 ÷ 350 Ω, mentre quella della sola antenna variano da −1600 ÷ 250 Ω.

(a) (b)

Figura 2.25: VSWR (a) del monopolo sul piano di massa, (b) all’ingresso della rete NIC più antenna utilizzando come modello la sola capacità 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅.

-20 -15 -10 -5 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 S11 NIC (C=47.85pF) S11 antenna S 1 1 [d B ] Freq [Hz]

Figura 2.26: Andamento parametro 𝐒𝟏𝟏 del monopolo su piano di massa e all’ingresso della rete NIC più antenna utilizzando come modello la sola capacità 𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅.

In Figura 2.25 e Figura 2.26 presentiamo il confronto del parametro VSWR e S₁₁ ai capi dell’antenna (monopolo sul piano di massa) e ai capi della rete NIC più antenna. Osserviamo che ai capi della rete NIC e antenna il VSWR non riesce mai a scendere sotto il

valore 3 (valore minimo ottenuto pari a 3.090 a 7 MHz). Sembrerebbe aver peggiorato l’adattamento dell’antenna inserendo la Non-Foster matching network, in realtà questo disadattamento non è dovuta alla reattanza 𝑋_𝑖𝑛, ma il problema è che la parte reale della 𝑍_𝑖𝑛 è molto maggiore dei 50 Ω presi come riferimento nel calcolo del VSWR. Notiamo infatti nella Figura 2.23 che la parte reale assume un valore pari a circa 150 Ω per le frequenze comprese tra 6 ÷ 17 MHz. Per risolvere questo problema possiamo inserire un trasformatore in serie al NIC per abassare la resistenza d’ingresso e quindi ottenere un buon adattamento come mostrato in Figura 2.27 (b).

(a) (b)

Figura 2.27: (a)Trasformatore, (b) trasformatore in serie alla Non-Foster matching network.

Il trasformatore è costituito da due avvolgimenti (chiamati comunemente primario e secondario) attorno ad un materiale ferromagnetico; quando sul primario viene applicata una tensione elettrica alternata sinusoidale, per effetto dell’induzione magnetica si crea nel nucleo un flusso magnetico anch’esso sinusoidale. Per la legge di Faraday-Lenz questo flusso magnetico induce nel secondario una tensione elettrica sinusoidale. La tensione prodotta nel secondario è proporzionale al rapporto tra il numero di spire del primario 𝑁1 e

quelle del secondario 𝑁₂ secondo la relazione: 𝑉₁ 𝑉2 = 𝐼₂ 𝐼1 = 𝑁₁ 𝑁2 = 𝑛 (2.2)

Dove 𝑉₁ è la tensione sul primario, 𝑉₂ è la tensione sul secondario, 𝐼₁ la corrente nel primario, 𝐼₂ la corrente nel secondario e 𝑛 è il rapporto spire.

Adesso consideriamo un trasformatore chiuso su un carico resistivo come mostrato in Figura 2.28. Dalla relazione mostrata precedentemente possiamo dire che l’impedenza vista ai capi del primario è pari a:

𝑍1 =

𝑉₁ 𝐼1 = 𝑛

2_{𝑅 (2.3)}

Scegliendo quindi il parametro 𝑛 (raporto spire) in modo appropriato possiamo effettuare una trasformazione di impedenza desiderata. Tornando alla Non-Foster matching network il problema dello scarso adatamento mostrato in Figura 2.26 era dovuta ad una elevata parte reale 𝑅_𝑖𝑛, in quanto la NIC aveva sostanzialemente ridotto la reattanza dell’antenna 𝑋𝑎. Inserendo in serie alla NIC un trasformatore con 𝑛 = ₁₅₀50 = 0.577 otteniamo la

seguente impedenza d’ingresso 𝑍_𝑖𝑛 rappresentata in Figura 2.29.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] Real [Z] NIC (C=47.85pF)

Real [Z] NIC (C=47.85pF) e trasformatore

O h m Freq [Hz] (a) -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Imag [Z] Imag [Z] NIC (C=47.85pF)

Imag [Z] NIC (C=47.85pF) e trasformatore

O

h

m

Freq [Hz]

(b)

Figura 2.29: Confronto della (a) parte reale, (b) parte immaginaria dell'impedenza 𝒁𝒊𝒏 d'ingresso della rete NIC (𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅) e antenna con e senza trasformatore.

Dalla Figura 2.29 notiamo che, inserendo in serie un trasformatore otteniamo l’effetto voluto; infatti la parte reale dell’impedenza è pari a 50 Ω per un largo range di frequenza. Osserviamo inoltre che il trasformatore modifica anche la parte immaginaria diminuendo la pendenza della curva; infatti i valori della reattanza sono compresi tra −90 ÷ 120 Ω, invece in assenza del trasformatore erano compresi tra −250 ÷ 350 Ω. Dobbiamo evidenziare che l'uso del trasformatore non è una soluzione ideale in quanto riduce ulteriormente la piccola tensione captata ai capi dell'antenna. In Figura 2.30 rappresentiamo il parametro S11 ottenuto con il trasformatore in serie alla NIC e lo

-50 -40 -30 -20 -10 0 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 S11 NIC (C=47.85pF) e trasformatore S11 antenna S11 NIC (C=47.85pF)

S11 rete adattamento passiva Ls-Lp

S 1 1 [d B ] Freq [Hz]

Figura 2.30: Andamento parametro 𝐒𝟏𝟏 della rete NIC (𝑪 = 𝟒𝟕. 𝟖𝟓 𝐩𝐅) e antenna con il trasformatore in serie.

In Figura 2.30 si nota che utilizzando un trasformatore in serie alla rete costituita dalla NIC e antenna riusciamo ad ottenere una banda di 𝐵_−6𝑑𝐵 = 18.85 MHz (3.5 ÷ 22.35 MHz); invece il solo monopolo su piano di massa presentava una banda pari a 𝐵_−6𝑑𝐵 = 4.68 MHz (18.56 ÷ 23.24 MHz). Ciò mette in mostra che utilizzando una Non-Foster

matching network riusciamo ad ottenere una banda di adattamento molto maggiore rispetto

alle tradizionali reti di adattamento passive, utilizzate nel paragrafo precedente, che riuscivano ad adattare l’antenna su bande molto strette, inferiori ai 2 MHz.

2.3 Circuito Non-Foster matching network (modello con singola

capacità C=58.77 pF)

Nel paragrafo precedente abbiamo utilizzato come modello equivalente della reattanza 𝑋_𝑎 dell’antenna una singola capacità di valore pari a 𝐶 = 47.85 pF, ma come mostrato in Figura 2.20 l’approssimazione risultava accettabile solo per frequenze inferiori ai 5 MHz; al di sopra di tali frequenze la capacità non riusciva a seguire l’andamento della reattanza 𝑋_𝑎 dell’antenna in modo fedele. Come soluzione alternativa possiamo utilizzare un valore più grande della capacità (𝐶 = 58.77 pF), per fare in modo che l’andamento dell’impedenza della capacità riesca a seguire la reattanza dell’antenna 𝑋𝑎 anche per

frequenze maggiori dei 5 MHz.

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Reattanza C=58.77pF Reattanza antenna Xa Reattanza C=47.85pF O h m Freq [Hz]

Figura 2.31: Confronto, al variare della frequenza, dell’impedenza della singola capacita di valore 𝑪 = 𝟓𝟖. 𝟕𝟕 𝐩𝐅 (curva blu) con la reattanza dell'antenna 𝑿𝒂(curva rossa).

Dalla Figura 2.31 osserviamo che l’approssimazione non è ottima per tutto il range di frequenze preso come riferimento; ma è accettabile solo da 5 ÷ 15 MHz. Anche in questo caso, attraverso la Figura 2.32 (a), osserviamo che la NIC a bassa frequenza non riesce ad approssimare la capacità equivalente voluta (−58.77 pF) ma assume valori più piccoli. Aumentando la frequenza la capacità rappresentata dalla NIC si avvicina sempre più ai −58.77 pF desiderati; questo si verifica perchè il coefficiente di conversione di impedenza 𝐾 non è costante al variare della frequenza.

(a) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Confronto reattanza Reattanza reale C=-58.77pF Reattanza NIC (C=58.77pF) O h m Freq [Hz] (b)

Figura 2.32: (a) Capacità equivalente ai capi della NIC, (b) confronto reattanza d'ingresso della NIC (𝑪 = 𝟓𝟖. 𝟕𝟕 𝐩𝐅) con la capacità ideale 𝑪 = −𝟓𝟖. 𝟕𝟕 𝐩𝐅.

Verifichiamo le prestazioni della NIC rappresentando in Figura 2.33 l’andamento in frequenza dell’impdenza d’ingresso della rete costituita dalla NIC (𝐶 = 58.77 pF) e antenna. -500 0 500 1000 1500 0 5 106 1 107 1.5 107 2 107 2.5 107 3 107 3.5 107 4 107 Real [Z] NIC (C=58.77pF) Imag [Z] NIC (C=58.77pF) O h m Freq [Hz]

Figura 2.33: Impedenza d'ingresso 𝒁𝒊𝒏 della rete NIC (𝑪 = 𝟓𝟖. 𝟕𝟕 𝐩𝐅) più antenna al variare della frequenza.

In Figura 2.33 osserviamo che la reattanza di ingresso 𝑋_𝑖𝑛 si annulla alla frequenza di 10 MHz laddove l’approssimazione della capacità 𝐶 = 58.77 pF eguaglia esattamente la reattanza dell’antenna 𝑋𝑎 (come si può osservare in Figura 2.31). Per quanto riguarda la

parte reale si mantiene piuttosto costante al valore di circa 150 Ω da 7 MHz a 25 MHz come nel caso precedente. In Figura 2.34 mettiamo a confronto la reattanza d'ingresso 𝑋𝑖𝑛