Conoscenze di base in probabilità e statistica e criticità per il loro insegnamento

trattano di vari aspetti critici e difficoltà che si incontrano nell’apprendimento di tali discipline ([9], [10], [11], [12]). Nel seguito del paragrafo farò riferimento principalmente a [11], in cui si riportano e commentano i risultati di una ricerca condotta nella scuola primaria e nella secondaria di primo grado7.

 Evento certo, possibile, impossibile

Appare ovvio che per “riconoscere e quantificare situazioni d’incertezza” il primo passo debba essere avere chiaro il significato di evento possibile e saper distinguere un evento possibile da un evento certo o impossibile. Si potrebbe pensare che il concetto di evento certo, così come quello di evento impossibile, siano più facili da acquisire rispetto al concetto di evento possibile, ma non è così.

Com’è stato riscontrato nel corso della sperimentazione, che sarà dettagliata nel capitolo successivo, e com’è noto in letteratura ([11])8, il concetto di evento certo appare in qualche modo il meno familiare, interpretato talvolta come “sicuro che può accadere” o più frequentemente ritenuto equivalente a “molto probabile” , così come quello di evento impossibile è talvolta interpretato come “molto raro”.

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La ricerca riguardò un ampio numero di studenti, cui fu sottoposto un questionario, in due versioni. Non tutti i quesiti sono stati riportati e analizzati nell’articolo, ma per gentile concessione di uno degli autori, la Prof. Maria Sciolis, ho potuto accedere ai questionari per intero e ai risultati delle risposte fornite dagli studenti.

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Alcuni risultati sono tratti da documenti non pubblicati relativi alla ricerca esposta in [11], in cui sono riportate le analisi alle risposte e alle giustificazioni dei ragazzi alle domande effettuate per la ricerca stessa.

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L’influenza del linguaggio naturale potrebbe essere una causa di questi fraintendimenti. Dalla ricerca esposta in [11], si osserva tuttavia che ci sono anche aspetti più complessi da considerare: alla domanda “nel lancio di un dado si ottiene un numero minore di 7?”, la percentuale delle risposte che indicano l’evento possibile, anziché certo, è decisamente rilevante anche tra studenti della scuola secondaria superiore, mentre di fronte alla domanda “nel lancio di un dado si ottiene un numero maggiore di 6?”, la percentuale di risposte che indicano l’evento possibile, anziché impossibile è molto ridotta.

La maggior complessità per i ragazzi nella valutazione dell’evento certo rispetto all’evento impossibile potrebbe essere collegata alla difficoltà di interpretare lo spazio degli eventi come un tutto unico (evento certo), al contrario di una più facile intuizione di unicità dell’insieme vuoto.

Per questo, esempi come “E’ certo che domani sorgerà il sole” non sono d’aiuto, ma sarebbe consigliabile piuttosto un lavoro sugli insiemi, mirato anche all’individuazione dello spazio degli eventi a partire da situazioni di gioco o di interesse per il bambino.

 Spazio degli eventi

La corretta identificazione dello spazio degli eventi è un obiettivo importante da raggiungere; solo conoscendo quali sono gli eventi possibili si potrà procedere poi a una quantificazione della probabilità, soprattutto a livello di scuola primaria, dove lo spazio degli eventi sarà costituito sempre da un numero finito di eventi elementari e il grado di fiducia nel verificarsi di ciascuno di essi sarà uguale.

Possiamo renderci conto della difficoltà a individuare correttamente lo spazio degli eventi

nel caso di eventi composti; nella ricerca in [11], alla domanda“se lanci due monete è più

probabile ottenere una testa e una croce o due teste?” la percentuale di coloro che hanno

risposto che è ugualmente probabile è decisamente elevata. Risposta analoga è stata data alla domanda “se lanci due dadi è più probabile ottenere un 6 e un 5 oppure due 6?”. Le giustificazioni alle risposte date a tali domande portano a pensare che l’errata valutazione sia in parte dovuta, soprattutto a livello primaria, all’idea primitiva che se non è possibile controllare l’esito di un evento allora tutti gli esiti sono ugualmente possibili (o quantomeno non si avverte la necessità di quantificare) e in parte al fatto che i ragazzi considerano i due dadi o le due monete separatamente e non congiuntamente: i numeri 5 e 6 non vengono associati a due diverse coppie ordinate ( (5,6) e (6,5) ), ma all’insieme {5, 6}. Questa interpretazione porterebbe a considerare l’uscita di due 6 (associata all’insieme{6, 6}), ugualmente probabile all’uscita di un 5 e un 6 (associata all’insieme {5, 6}). Identificare, come spazio degli eventi, il prodotto cartesiano degli spazi degli eventi dei singoli lanci pare non essere intuitivo. I possibili eventi sono pensati come coppie in cui non conta l’ordine e quindi non si coglie che è possibile avere un 5 e un 6 in due modi diversi.

Ritengo che la percentuale delle risposte corrette potrebbe salire ponendo la domanda nella versione “se lanci una moneta due volte è più probabile ottenere una testa e una croce o

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dei due lanci potrebbe facilitare i ragazzi nell’individuazione dell’esito del primo e del secondo lancio e quindi guidarli alla coppia ordinata.

In [11] è messa peraltro in evidenza la difficoltà per molti bambini, ma anche per ragazzi più grandi, a riconoscere che le diverse situazioni del lancio contemporaneo di due dadi o del lancio ripetuto due volte di uno stesso dado hanno la medesima struttura matematica; essi non riescono, infatti, a comprendere che sono entrambe da considerarsi come due rappresentazioni diverse dello stesso esperimento ideale.

Nello stesso articolo è inoltre messo in rilievo il fatto che la capacità intuitiva di valutare globalmente la grandezza dello spazio degli eventi e della sua struttura è favorita se la stessa domanda è posta in forma più generalizzata e lo spazio degli eventi è più ricco: “Nel lancio di due dadi è più probabile ottenere lo stesso numero su entrambi i dadi o due numeri diversi?”.

Qui la risposta corretta può essere guidata talvolta dall’esperienza: ho lanciato più volte due dadi e ho osservato più spesso esiti diversi piuttosto che uguali. Nella maggior parte dei casi, comunque, la risposta corretta è data perché appare evidente la maggior numerosità dei casi con esiti diversi rispetto a quella degli esiti uguali, anche senza bisogno di considerare le coppie ordinate.

Nell’analoga versione per il lancio di due monete, la percentuale delle risposte corrette (in questo caso le probabilità di avere la stessa faccia o facce diverse sono uguali) è più alta, ma solo in pochi casi la giustificazione della risposta corretta fa riferimento allo spazio degli eventi, più povero rispetto a quello del lancio dei due dadi.9

Nella costruzione dello spazio degli eventi non dovrebbero essere trascurati casi in cui lo spazio degli eventi si modifica grazie a un’informazione ricevuta, per esempio “Nel lancio di un dado so che il numero uscito è dispari, quali sono i possibili esiti?”.

Quando si tratterà di passare a valutazioni quantitative della probabilità, quest’attività sarà stata propedeutica a far comprendere che la probabilità di un evento non è specifica dell’evento in sé, ma essa dipende dalle informazioni che si hanno in merito; questo tipo di esercizio favorirà in seguito una valutazione non statica della probabilità.

 Valutazioni qualitative e quantitative della probabilità

L’insegnante di scuola primaria dovrebbe essere consapevole che esistono diverse impostazioni della probabilità, oltre a quella “classica”, che generalmente è presentata in classe. Questo potrebbe essere utile ai fini di saper gestire alcuni spunti che potrebbero venire dalle osservazioni stesse dei bambini, ad esempio in termini di frequenze rilevate da

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Bisogna ribadire che dalle analisi delle risposte che affermano che la probabilità è la stessa emerge il fatto che nel bambino spesso la risposta corretta è basata unicamente sull’idea che un caso è uguale all’altro perché è tutta questione di fortuna.

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dati raccolti per le attività nell’ambito della statistica, oppure da valutazioni soggettive che i bambini possono dare in situazioni ed esperienze di vita quotidiana.

La conoscenza delle varie impostazioni è inoltre importante per essere consapevoli che tutto non finirà con la limitata visione classica: sapere che esiste un’impostazione assiomatica, ad esempio, può far comprendere, anche all’insegnante che non ha una formazione matematica, che la probabilità è, a tutti gli effetti, parte della matematica, come la geometria o l’algebra.

La valutazione quantitativa della probabilità di un evento non appare, a livello di scuola primaria, di tipo intuitivo; in ([11]) si evidenzia che se si pongono i bambini di fronte a scelte semplici, come ad esempio scegliere tra due situazioni in cui gli eventi possibili sono in numero uguale mentre i casi favorevoli in numero diverso, scelgono correttamente la situazione in cui i casi favorevoli sono di più; se si chiede loro di confrontare due situazioni in cui il numero di casi favorevoli è uguale e il numero dei casi possibili è diverso, (ad esempio in un caso ci sono 6 buste di cui 3 hanno un premio e nell’altro ci sono 10 buste di cui 3 hanno un premio) molti bambini considerano ancora i casi favorevoli senza tenere conto della diversa numerosità dei casi possibili.

Questo è probabilmente dovuto al fatto che, come osservato da Piaget, non hanno ancora maturato il concetto di rapporto.

Vince la numerosità dei casi favorevoli anche in situazioni in cui in una delle due scelte ci sia certezza di vincita: infatti, se poniamo i bambini di fronte alla scelta tra 4 buste di cui 4 con un premio e 10 buste di cui 8 con un premio, ci dobbiamo aspettare che una buona percentuale delle scelte si rivolga al secondo caso. Questo tipo di difficoltà sembrerebbe ridursi con l’età e il progredire delle conoscenze.

Tuttavia ci sono difficoltà che pur riducendosi con il progredire dell’età permangono in alta percentuale anche tra i ragazzi di scuola secondaria superiore, ad esempio la difficoltà a riconoscere due situazioni come equivalenti: se poniamo gli allievi di fronte alla scelta tra 5 buste di cui 3 con premio oppure 10 buste di cui 6 con premio, ci dobbiamo aspettare una consistente percentuale di alunni che risponde erroneamente; nel caso di alunni di scuola primaria la scelta ricade prevalentemente sulla situazione in cui ci sono più casi favorevoli, nel caso di ragazzi più grandi prevale la scelta della situazione in cui è minore il numero degli “svantaggi”. Quest’ultimo schema risolutivo potrebbe essere all’origine di un’altra difficoltà osservata che sembrerebbe non diminuire con il progredire dell’età, ad esempio nella scelta tra 5 buste di cui 2 con premio e 7 buste di cui 4 con premio, anche i ragazzi più grandi che dovrebbero avere le conoscenze per confrontare le due frazioni 2/5 e 4/7, possono invece rispondere in percentuale rilevante che i due casi sono equivalenti.

Interessante è la sperimentazione condotta da Fischbein in [10] dove sembrerebbe che fornendo ai bambini una strategia di confronto tra due situazioni che si basa sul raggruppamento, rendendo non necessaria l’acquisizione del concetto di rapporto, si ottiene, anche tra i più piccoli, un deciso aumento di scelte corrette. Non è chiaro tuttavia se i bambini eseguano la strategia suggerita consapevolmente o semplicemente si adeguino

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a quanto loro richiesto. Rimane inoltre, a nostro avviso, cruciale la necessità di potenziare con strumenti didattici adeguati l’apprendimento delle frazioni e del corretto ragionamento proporzionale. Molte situazioni probabilistiche possono offrire a questi argomenti alcuni contesti applicativi significativi.

 Eventi composti, eventi indipendenti

Come si è già evidenziato, una prima difficoltà che si può incontrare nel considerare un evento composto è quello di valutare in modo corretto il corrispondente spazio degli eventi. Si rimanda per questo a quanto già commentato a proposito delle difficoltà su quest’aspetto e alla sperimentazione condotta in [11]. Si ritiene, quindi, che l’insegnante, consapevole di questa difficoltà, possa utilizzare diverse strategie didattiche per favorire la corretta individuazione dello spazio degli eventi, ad esempio facendo uso di tabelle a doppia entrata o diagrammi ad albero e, più in generale, promuovere attività idonee a favorire nei propri alunni l’utilizzo di rappresentazioni grafiche adeguate.

Sarà di grande importanza, inoltre, svolgere attività semplici di collegamento tra logica e insiemi che favoriscano il riconoscere ad esempio il connettivo “o”, riferito all’unione di due insiemi, e distinguerlo dal connettivo “e”, riferito all’intersezione tra due insiemi, il significato di espressioni come “almeno” o “al più”, le quali generano tante difficoltà anche a livello di scuola superiore, e la negazione “non” di un qualche evento, che porta all’individuazione del suo complementare.

Non è certo a livello di scuola primaria che s’introdurrà la legge delle probabilità composte, che è naturale conseguenza della definizione di probabilità condizionata, ma l’insegnante della scuola primaria non può ignorarla per lavorare con competenza e consapevolezza su prime situazioni semplici tipiche come lancio ripetuto due volte di una moneta o di un dado, o estrazioni ripetute da un’urna con o senza rimessa. Queste ultime, peraltro, costituiranno, nel proseguimento degli studi, i modelli probabilistici teorici del campionamento statistico; sarà quindi importante creare giochi basati su estrazioni con rimessa oppure senza e guidare il bambino affinché distingua correttamente tra le due situazioni e osservi che se le estrazioni avvengono con rimessa, avrà le stesse opportunità a ogni estrazione, mentre senza rimessa lo scenario degli eventi possibili varierà dopo ogni estrazione; queste osservazioni guideranno il bambino a distinguere tra eventi dipendenti e indipendenti, concetti questi che saranno formalizzati nel proseguimento degli studi.

 Variabili aleatorie

Uno dei concetti di base più importanti in probabilità è il concetto di variabile aleatoria. La definizione formale di variabile aleatoria è complessa e alla portata solo degli ultimi anni della scuola secondaria superiore; il concetto intuitivo di variabile aleatoria è invece, a nostro avviso, alla portata anche dei bambini di scuola primaria.

Ci avviamo a parlare di variabili aleatorie in varie situazioni ludiche, ad esempio quando estraiamo a sorte dei nomi e associamo ogni nome al numero di lettere che lo compongono

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o, nel lancio ripetuto di una moneta, quando contiamo il numero di volte in cui è uscito “testa”; altri esempi di potenziali variabili aleatorie si realizzano quando pensiamo al punteggio che otteniamo nel lancio di un dado, quando si considera la somma dei punteggi che otteniamo nel lancio di due dadi, quando ci domandiamo qual è la probabilità che esca

un numero pari o uno dispari nel gioco del “Bim-Bum-Bam” 10

.

Gli insegnanti di scuola primaria dovrebbero essere consapevoli di questo e avere chiaro quantomeno che la variabile aleatoria è una relazione tra un insieme di eventi aleatori e un insieme numerico (che a livello elementare è un insieme finito di numeri) con la particolarità che l’aleatorietà degli eventi induce un’aleatorietà nei numeri ad essi corrispondenti nella relazione. Far osservare la corrispondenza tra i possibili esiti di una data situazione aleatoria e alcuni numeri e la probabilità che tali numeri hanno in dipendenza di quegli esiti è un primo avvio al concetto di variabile aleatoria. Se inoltre s’introduce una scommessa, con potenziale guadagno o perdita, si avvia il bambino a pensare in termini di gioco equo oppure no. Vale la pena evidenziare, infine, che nel proseguimento degli studi le variabili aleatorie costituiranno il modello teorico delle variabili statistiche e saranno quindi la chiave di collegamento della statistica alla probabilità.

 Esperienze ripetute

Talvolta la probabilità di un evento è espressa in percentuale, ad esempio si potrebbe affermare che la probabilità che un nuovo nato sia di sesso maschile è 51.5%, in questo caso staremmo adottando un’impostazione della probabilità in senso di frequenza relativa campionaria, basando cioè la nostra valutazione su dati statistici rilevati su un grande numero di nascite. Questa impostazione ha come supporto teorico principale il teorema noto come “legge dei grandi numeri” che, essendo un teorema è, quindi, una proposizione dimostrabile in una teoria. Concettualmente molto diverso dalla così detta “legge empirica

del caso” che afferma che se ripetiamo più volte un esperimento, nelle stesse condizioni, la

frequenza relativa di un evento che riguarda quell’esperimento è una sensata valutazione della probabilità dell’evento stesso, poiché sperimentalmente possiamo verificare, ad esempio, che se lanciamo molte volte una moneta non truccata, o ne simuliamo l’esperimento al calcolatore, all’aumentare del numero dei lanci, la frequenza relativa dell’evento “esce testa” tende a essere uguale alla frequenza relativa dell’evento “esce croce”. Questo non vuol certo dire che il numero delle teste tenda a essere uguale al numero delle croci!

L’impostazione teorica della “legge dei grandi numeri” invece è la seguente: consideriamo una successione di variabili aleatorie X1, X2,…,Xn indipendenti e con la stessa

distribuzione di probabilità di media  e varianza 2. Consideriamo la variabile aleatoria 𝑋_𝑛

=𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛

𝑛 , ottenuta facendo la media delle variabili aleatorie date.

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Gioco a coppie simile a morra cinese: ognuno dei due invece di carta, forbice o sasso deve scegliere un numero da rappresentare con le dita e poi vengono contate quelle di entrambi i giocatori

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Allora per ogni >0, si dimostra che lim

𝑛→∞𝑃 𝑋 − 𝜇 < 𝛿 = 1 𝑛

vale a dire se n tende all’infinito la probabilità che la variabile aleatoria 𝑋 converga alla _𝑛 media , media comune a tutte le variabili aleatorie in gioco, è uguale a 1. Se ad esempio lanciamo n dadi, all’aumentare del numero n dei dadi cresce la probabilità che la media dei punteggi ottenuti non sia molto diversa dalla media , che, nel caso di dadi non truccati, è 3.5. Se l’evento d’interesse è “uscita del punteggio 2”, il teorema ci dice che all’aumentare del numero n dei dadi lanciati cresce la probabilità che la frequenza relativa (e non quella assoluta!) del punteggio 2 non si discosti troppo dal valore atteso che, nel caso di dadi non truccati, è 1/6.

Una corretta comprensione della “legge dei grandi numeri” può aiutare l’insegnante a non trasmettere erronei fraintendimenti, tipo quello dei numeri “ritardatari” del lotto, vale a dire l’idea che nella casualità ci sia una specie di legge di compensazione, per cui se per un certo numero di volte non si è verificato un dato evento, alla volta successiva sia più probabile che quell’evento accada, contraddicendo palesemente l’ipotesi fondamentale d’indipendenza delle prove. Se poniamo, ad esempio, il problema seguente: nei primi due lanci di una moneta è uscita “testa”, se lanciamo la moneta di nuovo è più probabile che esca “testa”, che esca “croce” o la probabilità è la stessa? La percentuale delle risposte corrette può essere abbastanza buona anche a livello di scuola primaria, dimostrando quindi la capacità dei bambini di cogliere l’indipendenza degli eventi in prove ripetute. Nella scuola primaria, comunque, la percentuale di risposte errate è in generale più alta rispetto alla percentuale di risposte errate nei ragazzi di scuola secondaria inferiore, e le risposte errate mostrano una prevalenza appunto a ritenere più alta la probabilità dell’evento che non si è verificato nelle prime prove.

Un altro aspetto interessante è che possiamo ottenere informazioni da esperienze ripetute, basta poi saper trarre in modo corretto le conclusioni, essere coscienti cioè che, mentre in generale nella matematica siamo abituati a procedere per deduzioni, in questo caso, in base all’esperienza fatta, si possono rafforzare o no le ipotesi fatte, nel senso che attribuiremo una maggiore o minore probabilità a un evento, in base appunto all’esperienza fatta. Facciamo un esempio semplice, se estraggo ripetutamente con rimessa (senza guardare e rimescolando ogni volta) da un sacchetto dove ci sono due biglie (non so di che colore) e la prima estrazione mi mostra una biglia blu, ho la certezza che almeno una pallina è blu, se, dopo avere reimmesso la biglia e mescolato, estraggo di nuovo e ottengo una biglia di colore diverso ho la certezza che le due biglie sono di due colori diversi e ne conosco anche il colore, ma se continuo a estrarre blu, posso solo ritenere più probabile che le due biglie siano entrambe blu e al crescere del numero delle estrazioni riterrò altamente probabile che entrambe le biglie siano blu, ma per averne certezza dovrò aprire il sacchetto e guardare di che colore sono le due biglie, altrimenti la mia ipotesi: “entrambe le biglie sono blu” non sarà certa, se accetterò questa ipotesi come vera, devo avere coscienza che potrei commettere un errore, ritenere l’ evento “le due biglie sono di colore diverso”