Descrizione della sperimentazione in classe quinta primaria

Così come per la seconda primaria, in questa fase abbiamo proposto e discusso un questionario appositamente progettato costituito da tre problemi. Anche in questo caso non è stato imposto ai bambini un tempo preciso per lo svolgimento della prova; si è lasciato il tempo necessario affinché tutti rispondessero alle domande, circa cinquanta minuti in tutte e tre le classi, e poi è stata sviluppata la discussione durata circa mezzora.

Il primo quesito è il seguente:

Con tale quesito si vuole capire se i bambini sono in grado di ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni, consultando una tabella a doppia entrata.

Per la prima domanda del quesito i bambini hanno affermato di aver seguito tre diversi criteri di scelta:

- la rapidità del treno, consigliando quindi alla maestra quello che, a loro parere, impiega meno tempo;

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- l’orario d’arrivo, suggerendo quello che arriva a destinazione prima degli altri;

- la valutazione tra comodità dell’orario di partenza e durata del viaggio, consigliando quindi la Freccia Bianca.

Nella seconda domanda non sembra emergere una difficoltà in generale nella lettura della tabella, ma piuttosto nel calcolare i tempi di viaggio dei treni; l’errata valutazione del treno più veloce non sarebbe dovuta a un’incapacità di osservazione della tabella, ma a un calcolo sbagliato. Analizzando questa difficoltà di calcolo, durante la discussione e anche visionando alcune risposte, si osserva che per calcolare il tempo di viaggio qualcuno svolge una sottrazione tra l’orario di arrivo e quello di partenza, considerando per esempio le 11:49 come numero decimale 1149; tali alunni, intervistati, mostrano di non avere familiarità con le unità di misura ore-minuti. Due bambini, inoltre, rispondono senza considerare le informazioni sugli orari presenti in tabella, ma pongono la loro attenzione sui nomi dei treni: “il più veloce è il treno regionale veloce perché dice che è veloce”, “secondo me freccia rossa è il più veloce perché lo dice la parola e il più lento freccia

bianca perché ha l’aria di essere il più lento”.

In generale, comunque, la maggior parte degli alunni mostra una buona capacità di interpretare la tabella, ricavarne informazioni e prendere conseguenti e ragionevoli decisioni.

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L’esercizio ha lo scopo di stabilire la capacità di lettura e interpretazione di un grafico piuttosto complesso a due variabili (anno e genere del libro) e con i dati riportati in percentuale.

Come ci aspettavamo, si sono riscontrate varie difficoltà.

La prima difficoltà è nella lettura del grafico, proprio per la presenza della doppia variabile. I bambini non sembrano abituati a leggere grafici di questo tipo probabilmente perché hanno avuto modo di lavorare solo su istogrammi a una sola variabile: infatti, quando si è chiesto loro di soffermarsi su uno solo degli anni in questione, hanno saputo leggere e interpretare le percentuali dei tre diversi generi senza problemi. Inoltre alla prima domanda, in cui si chiedeva di valutare se l’andamento percentuale di libri Horror prestati mostrava una diminuzione ogni anno, la maggior parte ha risposto dicendo che “non

diminuisce sempre, ma prima diminuisce e poi aumenta”.

Questa domanda, a mio avviso, è risultata semplice perché è stato sufficiente uno sguardo d’insieme per accorgersi che la barra relativa al genere richiesto non subisce sempre diminuzioni di altezza.

Nel momento in cui i bambini si sono trovati, invece, a dover calcolare le variazioni percentuali di un genere specifico di anno in anno la situazione è diventata per loro più complicata, poiché, per rispondere correttamente, sono necessari un’analisi più approfondita del grafico e più passaggi per arrivare a una conclusione ragionata: in primo luogo selezionare il genere richiesto e gli anni che si vogliono confrontare e poi calcolare la variazione percentuale. A conferma di ciò, alla domanda in cui si chiede di valutare di quanto è variata la percentuale di libri di Fantascienza dal 2012 al 2015, il 45% del campione non ha risposto alla domanda.

Il 23% ha dato le seguenti risposte:

- “è variata del 5% perché la differenza è poca”; in questo caso si pensa che il bambino abbia dato una stima approssimativa della differenza tra le due barre del 2012 e del 2015 basandosi su un’impressione visiva, errata, senza considerare i dati numerici a disposizione;

-“la variazione è del 6%”; questa risposta è interessante, il 6% è il risultato della somma di tutte le variazioni percentuali dal 2012 al 2015; in fondo la risposta mostrerebbe una capacità di analisi dell’istogramma, poiché il bambino che dà questa risposta sembra analizzare le barre di anno in anno relative al genere effettivamente richiesto e forse la risposta ha alla base una diversa interpretazione della richiesta “quanto è variata la percentuale di…dal 2012 al 2015?”, l’alunno che risponde 6% probabilmente pensa gli sia richiesto di tenere conto di tutte le variazioni intercorse dal 2012 al 2015;

-altre percentuali, fornite come risposta, sembrerebbero essere state ottenute a seguito di distrazione nel ricercare il genere o gli anni richiesti.

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Solo un 32% fornisce la risposta “attesa”, confrontando unicamente la percentuale del 2012 e quella del 2015 e risponde che non c’è stata variazione.

Altra difficoltà che abbiamo riscontrato è dovuta ai dati forniti in percentuale e non come frequenze assolute; non avevamo previsto questo problema: si era ritenuto, infatti, che l’argomento delle percentuali fosse già stato trattato a quel punto del percorso scolastico. Notiamo che alla domanda in cui si è chiesto se il numero di libri prestati nel 2015 è maggiore rispetto agli altri anni, solo un bambino risponde che non ci sono elementi per dare risposta; tutti gli altri considerano i valori percentuali dati come frequenze assolute e calcolano il totale dei libri prestati sommando le percentuali.

La seconda parte dell’esercizio riguarda il confronto tra l’istogramma e un grafico a torta per vedere quali rappresentazioni sono loro familiari e se per il bambino è possibile comprendere che stessi dati possono essere rappresentati in modo diverso.

L’associazione tra la rappresentazione del grafico a torta e un particolare anno dell’istogramma sembrerebbe abbastanza naturale: ben il 70% associa il grafico a torta all’anno 2015.

La maggior parte, nel corso del confronto collettivo, afferma di aver associato il grafico a quel particolare anno poiché ha osservato che il 2015 è l’unico anno in cui la barra del genere Fantascienza è più alta di quella di Avventura, elemento che è stato poi riscontrato nel grafico a torta. Ancora una volta sembra che l’impatto visivo sia il principio di scelta più importante: solo alcuni, infatti, fanno riferimento alla percentuale del 55%, più della metà della torta, per individuare l’anno corrispondente.

La capacità comunque di saper interpretare e confrontare le due diverse rappresentazioni sorprende, tenuto conto che questi alunni non hanno mai affrontato in classe l’argomento delle percentuali; per questi bambini l’equivalenza tra “più della metà” e “più del 50%” appare intuitiva.

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Il terzo quesito è un classico esercizio di probabilità:

Il quesito mira a stabilire qual è per l’alunno il criterio di scelta e da quali fattori essa è influenzata.

A questa domanda la maggior parte dei bambini risponde che vorrebbe giocare con l’urna limone, notando una maggior presenza di biglie arancioni rispetto a quelle blu. Le motivazioni sono del tipo: “Scelgo l’urna limone perché ho la stessa possibilità di trovarne

una arancione e una blu”, in questa risposta sembrerebbe presente una valutazione di

uguale probabilità di realizzarsi di uno tra i due eventi “esce arancio” oppure “esce blu”; analogamente in “perché ne ho due arancioni e due blu”. Interessante anche la risposta: “Perché ce n’è di più arancioni e anche se nell’urna arancio c’è la stessa percentuale di

arancioni ci sono più blu”. Anche qui il bambino pare mettere in relazione il numero di

biglie arancioni con quello delle blu, ma rende esplicito di avere eseguito un confronto tra le varie urne e di avere dedotto che, a parità di numero di biglie arancioni (lui parla di percentuale, ma si riferisce in realtà alla frequenza assoluta), l’urna limone è da preferirsi perché ha meno biglie blu.

Non mancano però risposte alternative, in cui si valorizza l’aspetto posizionale delle biglie rispetto a quello numerico: qualcuno risponde di voler giocare con l’urna Mandarino

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perché la biglia arancione si trova al centro e quindi mettendo la mano in posizione centrale si può direttamente pescare tale biglia; qualcun altro invece sceglierebbe l’urna Arancio perché la biglia arancione è più in alto rispetto alle altre e quindi è più vicina e più facile da pescare. La scelta di un criterio di posizione piuttosto che di quantità è probabilmente dovuto al fatto che lo schema delle estrazioni casuali non è loro familiare e nel quesito non è stato detto che le biglie saranno rimescolate prima dell’estrazione.

A questo punto è venuto spontaneo riflettere con i bambini se questo criterio di scelta sarebbe stato valido anche nel caso in cui le palline fossero state rimescolate e per far capire meglio come avviene un’estrazione a caso, si sono messe delle caramelle in un cappello e, dopo averle mescolate, sono state mostrate alla classe: i bambini si sono accorti che l’ordine iniziale in cui esse erano posizionate era cambiato dopo il mescolamento e solo guardando si poteva conoscere.

Seconda fase:

La seconda fase è composta di varie attività:

-Attività 1, La costruzione di un istogramma a partire da una tabella a doppia entrata: Si è discusso insieme ai bambini su quale città avrebbero voluto visitare in occasione di una gita scolastica; dopo aver convenuto con loro la necessità di scartare le città troppo lontane da poter essere visitate in un solo giorno, è stata stilata una lista con le possibili mete proposte; costruendo una tabella a due variabili nome bambino e città, come quella riportata sotto, si è proceduto alla votazione.

Ognuno ha potuto dare una sola preferenza, mettendo una crocetta in corrispondenza del proprio nome e della città che voleva votare.

Anna Michele Filippo Totale

Pisa Roma Siena

Con quest’attività si è voluto avviare gli allievi all’uso di tabelle a doppia entrata, in una situazione concreta quale la votazione.

Si è costruito l’istogramma delle preferenze espresse dalla classe e discusso con i bambini i concetti di moda, valutando se nella loro votazione essa fosse unica o meno, e di frequenza assoluta e relativa.

Si è discusso con i bambini sul perché considerare anche le frequenze relative oltre a quelle assolute: in tutte e tre le classi qualcuno risponde che “è importante perché si mette

in relazione il numero di preferenze per una città con il totale dei voti”; “per esempio, quattro su cinque sono tanti voti, mentre quattro su 200 sono pochi”.

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A questo punto si è costruito un grafico in cui i dati sono espressi in percentuale; come si è già detto, l’argomento delle percentuali non era ancora stato affrontato in nessuna delle classi e quindi, essendo rilevante in questo contesto parlare di frequenza relativa, il termine “percentuale” è stato definito come frequenza relativa moltiplicata per 100.

Una volta costruito il diagramma, si è mostrato un cartellone con una rappresentazione simile a quella proposta nel secondo esercizio del questionario introduttivo. Questa volta le due variabili sono legate alla meta della gita e alla classe: accanto all’istogramma realizzato con i risultati della loro votazione, si è riportato quello di un’altra classe quinta, ottenuto tramite una votazione delle stesse città e i cui dati sono anch’essi in percentuale. La votazione nell’altra classe è fittizia ed è utilizzata per riportarsi a una rappresentazione simile a quella del questionario, avere dati su cui fare confronti e aprire una discussione collettiva su quanto osservato. Tenendo presente le difficoltà incontrate nel questionario analogo iniziale, oltre a domande sulla lettura del grafico si è di nuovo posto il problema se fosse possibile dire quanti sono i bambini dell’altra classe: di nuovo la maggior parte di loro inizialmente sembra non tenere conto che i dati sono in percentuale, considerandoli come frequenze assolute; quando si è chiesto di fare lo stesso calcolo sul grafico riferito alla loro classe sono rimasti un po’ spiazzati di ottenere 100 e si sono resi conto che non c’è corrispondenza con la numerosità della loro classe.

La differenza nel rappresentare i dati in percentuale o come frequenze assolute, a mio avviso, sembra comunque essere stata compresa a pieno solo da pochi alunni: quando dopo un po’ di discussione su altri aspetti, si è chiesto di nuovo se è possibile sapere quanti sono i bambini nell’altra classe, la maggior parte ha ancora una volta sommato le percentuali e, quando risulta che i bambini sarebbero 100, rimane un po’ perplessa, ma non riesce a individuare perché ottiene tale numero.

In una classe sono emerse osservazioni molto interessanti sulla proporzionalità: “Bisognerebbe capire quanti punti percentuali vale un voto; per esempio in classe nostra 3

voti corrispondono al 15%, e 1 voto vale 5 punti percentuali; quindi se ho il 20% allora saranno 4 voti”. Non tutta la classe sembrerebbe comprendere questi ragionamenti fatti da

alcuni compagni, ma del resto è noto che l’argomento della proporzionalità non è un concetto semplice, si ricorda che secondo J. Piaget è una competenza che si raggiunge solo intorno agli 11/12 anni.

-Attività 2, Estrazioni a sorte e valutazioni di probabilità:

Si è proposta una valutazione di probabilità simile a quella del terzo esercizio del questionario.

La differenza rispetto all’altro esercizio è che in questo si sono proposte due configurazioni in cui la probabilità di uscita di una caramella gialla è la stessa. Le configurazioni possibili tra cui i bambini hanno potuto scegliere sono state: 3 gialle e 5 verdi o 6 gialle e 10 verdi. L’approccio è stato ancora una volta di tipo ludico: la classe è stata divisa in due squadre e ogni bambino ha estratto una caramella, che si è reinserita poi nel cappello rimescolando;

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se la caramella estratta era gialla, la squadra a cui il bambino apparteneva guadagnava un punto.

Prima di procedere al gioco, si è chiesto ai bambini con quale delle due configurazioni volessero giocare, vale a dire se preferissero inserire nel cappello 3 caramelle gialle e 5 verdi oppure 6 gialle e 10 verdi. Qualcuno ha affermato di voler giocare con l’ultima, perché ci sono più palline gialle, altri hanno scelto la configurazione 3-5 perché considerano che la differenza tra quelle gialle e quelle verdi è minore rispetto all’altra (due in questo caso, contro quattro dell’altro). Si sono quindi evidenziate le tipiche difficoltà, di cui si è riferito nel cap.2: l’intuizione spinge a scegliere dove il numero assoluto è più grande senza rapportare al totale oppure a contrapporre parte a parte valutando gli svantaggi.

Visto che le scelte sono ricadute su entrambe le configurazioni si è deciso di fare un giro di estrazioni con tutte e due. Nel momento di discussione sui risultati ottenuti i bambini hanno notato che il numero di caramelle gialle uscite non differiva così tanto nei due diversi casi, dando motivazioni che sembrano giustificate dal contrapporre le caramelle gialle alle verdi; a nessun bambino è venuto in mente di fare il rapporto tra il numero di caramelle gialle e il totale. Si è quindi confermato quanto noto in letteratura: la definizione di probabilità come rapporto tra numero di casi “favorevoli” e numero di casi “possibili” non appare spontanea.

Si aggiunge in queste classi l’aggravio di una scarsa dimestichezza con le frazioni, oltre alla difficoltà, come si è già detto, intrinseca per la loro età di comprendere il concetto di proporzionalità.

Per cercare di far comprendere l’equivalenza tra le due configurazioni, si sono disegnati due cerchi su due cartelloni diversi: il primo, diviso in otto settori di uguale ampiezza di cui tre gialli e cinque verdi a rappresentazione della prima configurazione e il secondo, diviso in sedici settori di uguale ampiezza di cui sei gialli e dieci verdi, a rappresentazione della seconda.

Si è deciso di ricorrere al disegno per far sì che i bambini potessero riscontrare visivamente che l’area occupata dal colore giallo è la stessa in entrambi i cerchi. Si è suggerito quindi che per confrontare le possibilità che abbiamo di estrarre una caramella gialla tra due diverse configurazioni, conviene fare il rapporto tra il numero di caramelle gialle e il totale delle caramelle, sia in una configurazione sia nell’altra e confrontare poi i due numeri ottenuti. Questo problema ha dato, tra l’altro, l’opportunità di introdurre l’idea di frazioni equivalenti non avulsamente, ma in una situazione in cui concretamente gli alunni hanno potuto ritenerla importante e utile.

-Attività 3, Un gioco con i nomi:

Con quest’attività di gioco, che prende come oggetto d’indagine i nomi dei bambini, ci si è posti lo scopo di indagare le possibili intuizioni di probabilità condizionata e di variabile

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aleatoria; avevamo pensato di poterla sviluppare ampiamente nella seconda fase ma si è, in realtà, dovuta diluire tra seconda e terza fase e quindi ridurre nei tempi e nello sviluppo che le avremmo voluto dare, poiché abbiamo dovuto dedicare più spazio all’argomento delle percentuali e delle frazioni, che non ritenevamo sconosciuto in una classe quinta.

Si è richiesto ai bambini di scrivere i loro nomi alla lavagna e di classificarli in base alla “lettera iniziale”. I bambini li hanno quindi divisi in due gruppi: quelli che iniziano per vocale e quelli la cui lettera iniziale è una consonante. Si è quindi richiesto di distinguerli per genere e infine abbiamo costruito una tabella analoga a quella seguente e riportato in tabella i dati raccolti:

NOMI Vocale Consonante Totali

Maschili Femminili Totali

A questo punto, ogni bambino ha scritto il proprio nome su un cartoncino, inserendo quest’ultimo in un contenitore porta sorpresa. Tutti i contenitori sono stati posti in un cappello per procedere a varie estrazioni con rimessa; prima di procedere all’estrazione, si è chiesto ai bambini se avrebbero scommesso su un qualche evento, ad esempio sull’uscita di un nome maschile o femminile oppure su un nome che inizia per vocale o per consonante.

In tutte le classi, gli alunni hanno scelto di scommettere sul gruppo più numeroso della categoria richiesta, controllando i dati in tabella e mostrando di saper utilizzare una tabella a doppia entrata.

Si osserva che, rispetto ai bambini delle classi di seconda, in cui la scelta era influenzata dal desiderio di uscita di un determinato nome, il preferito, i bambini delle classi di quinta sembrerebbero avere acquisito un’idea più razionale della casualità di un evento, non più collegata al desiderio di quanto si vorrebbe accadesse.

La successiva scommessa è stata quella sull’uscita di un nome maschile che inizia per vocale o su un nome femminile che inizia per vocale. I bambini hanno controllato sulla tabella alla colonna “vocale” se erano di più i maschi o le femmine, mostrando di saper

individuare su di essa gli eventi congiunti MV, FV (“nome maschile”, qui indicato con

M; “nome femminile”, qui indicato con F; “nome che inizia per vocale”, qui indicato con V).

A questo punto si è estratto un nome e annunciato alla classe il genere, ad esempio “Il

nome estratto è maschile” e quindi si è chiesto: “Scommettereste che esso inizi per vocale o per consonante?”.

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Lo scopo era controllare se i bambini di quinta sono già in grado di intuire la probabilità condizionale. L’informazione data dal conoscere il genere del nome modifica lo spazio degli eventi e dovrebbe suggerire ai bambini di riferirsi nella tabella alla sola riga di genere per controllare se in quella riga ci sono più V o più C (qui C indica “nomi che iniziano per consonante”). Di fatto così è stato, come per la domanda precedente sull’evento congiunto, i bambini hanno deciso in base al gruppo più numeroso, facendo pensare ad un uso corretto della tabella.

Alla domanda se sarebbero disposti a scommettere di più sull’uscita di un nome che inizia per V, quando non si sa se il nome è di genere M (oppure F), rispetto a quando invece il genere è noto, la risposta sembra essere ancora guidata dalla scelta del gruppo più numeroso senza tenere conto del rapporto al totale, sia esso della categoria di genere o sia esso il totale di tutti gli alunni della classe. Emergerebbero ancora una volta le difficoltà di