3.2 Stima del Ritardo
3.2.1 Correlazione
Un metodo comunemente utilizzato per il riscontro del ritardo fra due segnali `e la cross-correlazione.
La registrazione dei segnali audio in mare `e una operazione che ci porta a considerare segnali aleatori. Per poter sfruttare con efficacia gli strumenti di analisi e sintesi a nostra disposizione `e necessario fare alcune ipostesi e richiamare alcuni strumenti che consentono appunto di elaborare i dati.
La registrazione del segnale audio `e in realt`a un processo aleatorio che dipende dal tempo. Nelle condizioni in cui il sistema opera, in teoria, non sarebbe possibile considerare pi`u realizzazioni di un medesimo evento, poich´e appunto nel tempo, in generale, la sorgente che emette il segnale di interesse cambia posizione. Essa pu`o essere di varia natura (in termini di ampiezza e frequenza), e genera con continuit`a processi aleatori che hanno differenti propriet`a statisitche al variare del tempo. D’altronde proprio sulla base di queste caratteristiche `e possibile risalire alle informazioni che permettono di arrivare ad una soluzione. Per cui, in generale, durante il monitoraggio dell’area marina, `e consentito osservare solamente una possibile funzione campione del processo aleatorio.
Un’analisi statisticamente pi`u accurata pu`o essere condotta sul rumore ambienta- le ([9] e [22]) in ambito marino ad esempio per conoscere la distribuzione congiunta di probabilit`a, anche se per il nostro problema sarebbe pi`u opportuno uno studio del rumore nel luogo specifico nel quale il sistema si trover`a ad operare. Detto questo, la
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distribuzione congiunta di probabilit`a che caratterizza in modo univoco il processo os- servato `e ignota. Pi`u avanti, soprattutto per lo sviluppo pratico dell’algoritmo, saranno formulate alcune ipotesi pi`u specifiche. Tuttavia, gi`a a questo punto, per portare avanti l’analisi, `e necessario introdurre le seguenti assunzioni statistiche sul segnale registrato: • Per poter utilizzare alcune formule, dovremo supporre che i segnali registrati
siano stazionari di ordine almeno 2.
• In definitiva, per poter effettuare i calcoli, dovremmo supporre addirittura che i segnali registrati siano ergodici.
Ovviamente queste assunzioni devono essere effettuate con cautela: esse non sono vere in generale, perch´e, ad esempio, a seconda della natura dell’intruso, oltre che al variare della distanza, osserveremo densit`a di probabilit`a che nel tempo possono essere soggette a variazioni. Per poter considerare validi i dati raccolti, `e necessaria allora la seguente fondamentale ipotesi: si suppone le propriet`a statistiche del segnale varino lentamente rispetto ad un campione minimo di registrazione il quale consente comun- que l’estrazione di informazioni utili ai fini del nostro obiettivo. Questo `e un punto molto importante da sottolineare per il funzionamento pratico dell’algoritmo: in prati- ca si considera il segnale per un tempo relativamente breve (tipicamente nell’ordine di 0.5-1.5 secondi), e successivamente questo spezzone di segnale `e suddiviso in altri sot- toinsiemi. Tali sottoinsiemi sono considerati la realizzazione di un medesimo processo aleatorio, per il quale `e possibile definire univocamente alcune caratteristiche statisti- che. Ci`o permette di considerare i segnali su tali intervalli stazionari in senso debole e fondamentalmente rende possibile l’utilizzo della correlazione e l’analisi spettrale.
Tale ipotesi ha senso se effettivamente, nel periodo di tempo considerato, la sorgen- te da identificare non cambia bruscamente la sua natura (ovvero, passando al campo frequenziale, `e possibile parlare di uno spettro in maniera univoca), e cio`e, nel caso pi`u semplice ma anche pi`u rappresentativo, non si sposta con alta velocit`a. Per il parti- colare ambiente marino e per l’utilizzo previsto del sistema, tale ipotesi `e sicuramente valida: supponendo una velocit`a di 10 nodi (circa 5.1444 [m/s]), negli intervalli di tempo considerati (circa 1 sec) la barca pu`o variare, nel caso peggiore di moto radiale rispetto all’array degli idrofoni, la propria posizione di circa 5 metri; `e verosimile sup- porre che il segnale registrato in questo intervallo dai due idrofoni abbia caratteristiche statistiche stazionarie almeno riguardo ai primi due momenti. Per la natura non linea- re del problema, questa ipotesi si indebolisce con l’avvicinarsi dell’imbarcazione alla
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boa. Tuttavia nelle vicinanze di questa il segnale registrato `e meno equivoco, anche in termini di ampiezza (il source level dell’eq (2.43) aumenta notevolmente). Ormai, in questa situazione, la violazione dell’area `e palese, e quindi l’algoritmo si trova in una situazione meno critica. Da notare che da un lato sorgerebbe l’esigenza “statistica” di collezionare sequenze tanto pi`u lunghe possibili per incrementare l’affidabilit`a delle previsioni, dall’altro ci`o `e impossibile per l’utilit`a stessa del sistema: la grandezza da individuare, e cio`e il ritardo, deve essere stimata su una sequenza temporalmente breve perch´e i dati raccolti devono possedere una certa uniformit`a. L’individuazione di un compromesso fra queste due esigenze `e un parametro importante per la buona riuscita dell’identificazione. Si pu`o pensare anche ad un algoritmo che scali automaticamente il tempo di osservazione in funzione della distanza stimata (al passo precedente), ma per ora queste migliorie non sono state adottate, essendo questo uno studio di massima e mancando di sufficienti dati sperimentali.
Sempre riguardo all’intervallo di tempo da considerare, `e opportuno porre in risalto un altro fatto: l’aumento della distanza fra gli idrofoni non provoca solo effetti posi- tivi. Infatti `e vero che una maggiore lontananza fra gli idrofoni migliora la precisione del tracking e la portata del sistema di sorveglianza, ma `e altrettanto vero che, con l’aumentare della loro distanza, dobbiamo prelevare un numero maggiore di campioni affinch´e la correlazione dia risultati chiari. Questo vuol dire che le rilevazioni avven- gono in tempi pi`u lunghi e ci`o, in caso di movimento della sorgente, peggiora l’ipotesi di stazionariet`a dei segnali. Sotto queste condizioni si indebolisce quindi la robustezza delle stime effettuate, e possiamo avere risultati che si allontanano maggiormente dalla realt`a.
Per effettuare il calcolo dei parametri che caratterizzano i processi stocastici in esame, dobbiamo ipotizzare che le medie statistiche siano uguali, con probabilit`a 1, a quelle temporali. Ci`o equivale ad assumere che la coppia di processi aleatori in esame sia congiuntamente ergodica. In definitiva, bisogna assumere che i processi aleatori in nostro possesso siano strettamente stazionari.
Dopo queste considerazioni, si pu`o far uso della funzione di correlazione Rxx(τ ),
dipendente solamente dalla traslazione τ . Essa pu`o essere definita per un singolo segnale (auto-correlazione) ovvero lo stesso tipo di operazione pu`o essere effettuata fra due differenti segnali (cross-correlazione).
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nulla, ma nel seguito daremo per scontato di aver sottratto la media) `e la seguente Rxx(τ ) = E {x(t)∗x(t + τ )} , (3.8)
in cui E esprime il valore atteso e l’operatore di coniugato generalizza la funzione anche in presenza di segnali complessi (ma non `e il nostro caso). La funzione di auto-correlazione `e legata alla risposta in frequenza del processo aleatorio. Se Rxx(τ )
rimane costante al crescere di τ , mediamente i campioni di x prelevati fra t = t1 e
t = t1+ τ , saranno circa uguali ([2]). Questo denota che il segnale non varia (in media)
nel tempo in modo significativo, e le sue componenti spettrali saranno concentrate a bassa frequenza. Viceversa se x(t) decresce velocemente al crescere di Rxx(τ ), significa
che il processo contiene frequenze pi`u elevate.
Analogamente `e possibile effettuare lo stesso tipo di operazione fra due segnali x(t) e y(t), e definire la cross-correlazione. Essa dipende dal solo parametro di traslazione per le ipostesi fatte precedentemente circa la stazionariet`a dei segnali misurati.
Rxy(τ ) = E {x(t)∗y(t + τ )} . (3.9)
Quindi la cross-correlazione (o cross-covarianza ricordando che sono segnali a media nulla) `e una funzione che rappresenta la somiglianza fra due segnali in funzione di una traslazione temporale. In corrispondenza del massimo della cross-correlazione, si registra la massima somiglianza fra i due segnali, e, prelevando il τ corrispondente, otteniamo l’entit`a temporale che ci interessa.
τrit = argmax τ
[Rxy(τ )] . (3.10)
Da questa osservazione si pu`o capire quanto questo strumento sia prezioso per la misurazione del ritardo nel nostro caso. Naturalmente, essendo in presenza di segnali aleatori, `e possibile effettuare solamente una stima della funzione di auto e cross- correlazione. Considerando che il segnale `e campionato e non potendo disporre di sequenze infinite di dati, una stima a massima verosimiglianza (ML) della funzione di auto-correlazione per una sequenza di N campioni `e la seguente:
ˆ Rxx(kT ) = 1 N N −1 X i=0 x(iT )x(iT + kT ), (3.11) mentre l’analoga formula per la cross-correlazione `e:
ˆ Rxy(kT ) = 1 N N −1 X i=0 x(iT )y(iT + kT ). (3.12)
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